b – 4ac > 0
ECUACIONES ALGEBRAICAS, POR MARIA A. GARCÍA ZURITA
Ecuaciones algebraicas: Una ecuación algebraica es una igualdad en la que hay una o varias cantidades
desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica la igualdad de la ecuación para determinados
valores de la incógnita.
Las Incógnitas de una ecuación son representados por las ultimas letras del alfabeto como ser: x, y, z, w,
etc.
Una ecuación algebraica esta compuesto por 2 miembros y una igualdad
Transposición de términos: Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro,
para realizar estos cambios se deben cumplir las siguientes reglas:
1. Toda expresión que este sumando en un miembro; pasa a restar al otro miembro.
2. Toda expresión que este restando en un miembro; pasa a sumar al otro miembro.
3. Toda expresión que este multiplicando en un miembro, pasa al otro miembro a dividir.
4. toda expresión que este dividiendo en un miembro, pasa al otro miembro a multiplicar.
Raíces o solución de una ecuación: LA maíces de una ecuación son valores que reemplazados en las
incógnitas o variables satisfacen la igualdad de la ecuación. Una ecuación tiene uno, dos o mas soluciones
esto dependerá del grado de la ecuación.
Grado de una ecuación: Las ecuación pueden ser lineales o de primer grado, cuadráticas o de segundo
grado y polinomicas de grado mayores a 3. El grado de la ecuación es el mayor exponente que tienen la
variable o exponente.
Ecuaciones lineales: Son aquellas ecuaciones que tienen grado uno; para resolver este tipo de ecuación
solo se debe despejar la variable o incógnita.
Ejemplo:
a)
Resolver la siguiente ecuación lineal: 3x?3?9
3x?3? 9
3x ? 9?3
12
3
x ?
?
x ? 4
Ecuaciones cuadráticas:
Son aquellas ecuaciones que tienen grado dos, las ecuaciones cuadráticas
tienen la siguiente forma:
ax
2
+ bx + c = 0 ;
a ? 0
Las raíces o soluciones de las ecuaciones cuadráticas se obtienen aplicando la fórmula:
b 2 – 4ac
2a
x1,2
– b ?
?
2
– 4 a c) ? 0 esta expresión es denominado
Una ecuación cuadrática tiene solución real solo si: (b
discriminante de la ecuación.
NATURALEZA DE LAS RAÍCES: Sea la ecuación: a x
2
+ bx + c
=
0, con a , b y c números
reales y a ? 0 . x1 y x2 sus raíces, entonces:
2
?
x1 y x2 son reales y distintas
b
2
– 4ac = 0
?
x 1 = x 2
y además son reales
b
2
– 4ac < 0
?
x 1 y x 2 no son reales, son complejas conjugadas
CUESTIONARIO WORK PAPERS 2
-3X + 4X{2X – 7 -[-( 3X +2 )( 2 – X )] – 2X }
a ? b? a2 ?
s) X + Y
X – 2X + 4X – 6 entre X + 5
u) -3X + 4X –2
? 2
Operaciones Algebraicas
Resuelve las siguientes operaciones algebraicas:
a) (3a + 2b – c) + (2a + 3b + c)
b) 3X + (-2X) + 5
2 2
d)
x2 ?4x?5x? x2
e) (2X – 3Y) – (X-2Y)
f)
2a + {3b – [c – 4 – (4a + 5b + 5c) – 3a – 4] + 6b} – 3
g) 5X +5 – {5X – 4 -[-2X +5- (2 – X)] – 2X }
h) 3X – 2(X – 5)
i)
j)
4X- (-2X+3X-2)
2 2
k) 4XY – 2{3X – 4[-6XY +5X – 2Y(3 – 5X)] – 7XY
l)
(3X +1) – [-4X + 5 – (2 – 8X)] – 5X
m)
2 ?2 ?
3 ?5 ?
1
2
n) (3X – 1)(-2X -4)
4
p) (2Y +5)(–3X – 4)(5X – Y)
q)
r)
(a2 ?2ab?b2)(?ab)
(ax ?ax?1 ?ax?2)(a ?1)
5 5
entre X + Y
t)
4 2 2
2
entre
6X – 3
Resuelve los siguientes ejercicios de Fracciones Algebraicas
a.
1
y
?
x
xy ? y 2
Rpta:
1
x? y
b.
?
2
y ?1
4x
y?1
3x
y
Rpta:
7 xy 2 ?4 xy ?3 x?2
y(y 2 ?1)
c.
4 xy ?3
2xy
?
y?2 x
3x
d.
2
1
2m2n
2
3mn
?
e.
?
?
x ?3
6
x ?2
4
x ?1
3
f.
2
2
1?3 x
x ? x3
?
1
x ? x
?
2
x ? x
? 3
?
3a b
5x
b
a ?25a
2a ?8a2?10a
x ? y
x ?2xy ? y
(4a b + 5ab )
(9 – X )
?a b?3?
3
(2 – X)
?x y ? xy 2
?
? ?
b2 ?
c9 ? ?
g.
1
ab
a2 ?b2
a b?ab3
?
1
a2 ?ab
h.
i.
2
?
a?1
(a?1)3
1
1
?
x ?4
x ?3
2 a
a?1 (a?1)
j.
?
?
1? x
x?1? x?
1
x ?1
1
x
k.
2
x
3
2
2
? a
l.
3
3
m.
2
2
2 2
Resuelve los siguientes ejercicios de productos notables.
a. (7 – 3X)
2
b.
2 2
2
c. ( X
2
– XY)
2
d. (2X
2
+ 5X)
2
e. (X
2
– 3)
2
2
f.
g.
2
h. (X
2
– 64)
i.
(a
2
– 25)
3
j.
k.
3
2
l.
?
?
? 1
? 4
? ? ?? ? ?? ?
m. ? x ? 1 ?? x ? 1 ?
? y 5?? y 5?
Realizar los siguientes cocientes notables.
n.
a
6
– b
6
o.
4
a + b
25 – 36X
2
5 +6X
p.
a
4
– 1
1+ a
2
q. 27X
3X
6
2
+ 1
+ 1
Rpta: 5m (1?3m)
Rpta: (1?x)(x? x )
Rpta: (a ?1)(a
Rpta: (3x ?1)(x?3a)
o) b y ?
18b ?13b?5
Resuelve los siguientes ejercicios de Factorización:
2
a)
b)
c)
d)
e)
5m2 ?15m3
2×2?3xy ?4x?6y
3×2 ?6x
a2 ?2a?ab?2b
?a?3??a?1??4?a?1?
f)
1
4
b2
9
b
3
?
?
g)
h)
6m?9n?21nx?14mx
x?x2 ? x3 ?x4
3
i)
a20 ?a16 ?a12 ?a8 ?a4 ?1
16
4
?a8 ?1)
j)
ax? x?a?1
Rpta:
(x?1)(a?1)
k)
3×3 ?9ax2 ?x?3a
2
l)
4X
2n
– 9
2
n)
b4
9
a2
4
?
1
25
4 2
2 4
q) X
2
+7X + 10
r)
x4 ?5×2 ?50
s)
X2
– 5X – 36
t)
2X
2
+ 11X + 5
u)
2
v) 6X
2
– 7X – 3
Resuelve los siguientes ejercicios de ecuaciones algebraicas:
a) x?3? 3x?5
b)
6x??2x?1?? ???5x?????2x?1???
3 3
d)
?x?2?2 ?3x ? 2?x?3?? x2
e)
? 2
x 2 ?2x?3
x?3
f)
g)
3(a-4x)+7(2x-a)-5(3x+2a)+a = 0
a?x?2?? 2
h)
?1
?x ?2?2
(x ? 4)2
i)
j)
k)
l)
m)
x2 ?8x?15 ? 0
4x?5×2 ? ?12
x2 ? 2(x?3)
3×2 ?5x?2 ? 0
x2 ?11x ? ?24
2
o)
p)
4×2 ?19x ? 5
2×2 ?10x ? 0
Lógica matemática: La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En
un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un
argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en
ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y
naturales, etc.
Proposiciones y operaciones lógicas: Una proposición o enunciado es una oración que puede ser
falso o verdadero pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica
matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el
porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una
letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
p: La tierra es plana.
q: -17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: Oriente Petrolero será campeón en la presente temporada de Fútbol.
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son
proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o
verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición
del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se
tendría que esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los enunciados t y w no son
válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es
una orden.
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas: Existen conectores u operadores lógicas que
permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o
conectores básicos son: Negación, Conjunción, Disyunción, Implicación o condicional, Doble
implicación o Bicondicional y diferencia Simétrica.
Negación: Esta operación se la realiza con el operador Not (~); la función de este operador es negar la
proposición; la negación significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador Not se
obtendrá su complemento o negación (falso).
Tabla de valores de verdad del operador NOT (~)
La negación se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra que es su
negación.
Ejemplo:
p
~p
~p
~p
: Todo hombre es honesto
: No todo hombre es honesto
: Hay hombres que no son honestos
: Existen hombres deshonestos
Conjunción: Esta operación se la realiza con el operador AND (?); la función de este operador es de
conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su
símbolo es (?) y se lee (p y q); a esta operación también se la conoce como la multiplicación lógica:
Tabla de valores de verdad del operador AND (?)
Ejemplo:
p : El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque.
q : El coche enciende cuando hay corriente la batería.
p ? q : "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería"
Disyunción: Esta operación se la realiza con el operador OR (?); la función de este operador es de
conectar dos proposiciones que solo una de ellas se debe cumplir para que se pueda obtener un resultado
verdadero. Su símbolo es (?) y se lee (p ó q); a esta operación también se la conoce como la suma lógica:
Tabla de valores de verdad del operador OR (?)
Ejemplo:
p
q
: Una persona puede entrar al cine si compra su boleto.
: Una persona entra al cine si obtiene un pase.
p ? q : Una persona puede entrar al cine si compra su boleto ó obtiene un pase
Implicación o condicional: Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos
proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:
p ? q Se lee "Si p entonces q"
Las proposiciones p y q se llaman antecedente y consecuente de la implicación o condicional; la tabla de
valores de verdad de la condicional dice “si el antecedente es V y el consecuente es F entonces la
implicación será falsa; caso contrario será verdadera.
Tabla de valores de verdad del operador condicional (?)
Ejemplo:
El candidato del NFR dice "Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su
sueldo el próximo año". Una declaración como esta se conoce como condicional.
p : El NFR salió electo Presidente de la República.
q : El pueblo recibirá un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.
p ? q : Si el NFR salio electo presidente de la republica entonces el pueblo recibirá un 50% de aumento
en su sueldo el próximo año.
Doble implicación o bicondicional: Sean dos proposiciones p y q; la proposición bicondicional tiene
siguiente manera:
p ? q Se lee "p si solo si q"
Tabla de valores de verdad del operador bicondicional (?)
Esto significa que la operación bicondicional es verdadera (si p y solo si q es también verdadera) o bien
(si p es falsa si y solo si q también es falsa).
Ejemplo:
P
Q
: Erlan es buen estudiante.
: Erlan tiene promedio de diez.
p ? q
: Erlan es buen estudiante si solo si tiene promedio diez
La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su reciproca de la
siguiente manera:
p ? q = (p ? q) ? (q? p)
Diferencia simétrica: Sean las proposiciones p y q; la diferencia simétrica p ? q (p o q en sentido
excluyente) tiene la siguiente tabla de valores de verdad.
Tabla de valores de verdad del operador diferencia simétrica (?)
La tabla de valores de verdad de p ? q esta caracterizado por la verdad de una y solo una de las
proposiciones en donde: p ? q equivale a decir ~(p ? q)
Clasificación de las formulas proposicionales: Las formulas proposicionales se clasifican en:
Tautología o verdad lógica
Contradicción o falsedad lógica
Contingencia o indeterminada
Tautología: Es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus
variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre V.
Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos
podemos apoyar para realizar demostraciones.
Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las
mas usadas y mas sencilla es (p?~p). Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
Ejemplo:
p: La puerta es verde.
La proposición (p ? ~p) equivale a decir que "La puerta es verde y la puerta no es verde". Por lo tanto
se esta contradiciendo o se dice que es una falsedad. Una proposición compuesta cuyos resultados
en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado F se le llama contradicción.
Contingencia: Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de
verdad, dan como resultado V o F se le llama contingencia.
Equivalencia Lógica: Dos proposiciones f1 (p, q, r, s …) y f2 (p, q, r, s …) son lógicamente
equivalentes si y solo si para valores de verdad cualesquiera de p, q, r, s.., reproducen idénticos
valores de verdad para las formulas f1(p, q, r, s …) y f2(p, q, r, s …).
Leyes lógicas: En el cálculo proposicional se utilizan las siguientes leyes o tautológicas cuyas
demostraciones se reduce a la confección de una correspondiente tabla de verdad.
1.- Doble negación.
a) ~(~p) ? p
2.- Leyes conmutativas.
a) (p?q) ? (q?p)
b) (p?q) ? (q?p)
c) (p?q) ? (q?p)
d) (p ? q) ? (q? p)
3.- Leyes asociativas.
a) [(p?q)?r] ? [p?(q?r)]
b) [(p?q)?r] ? [p?(q?r)]
4.- Leyes distributivas.
a) [p? (q?r)] ? [(p?q)?(p?r)]
b) [p?(q?r)] ? [(p?q)?(p?r)]
c) [p? (q?r)] ? [(p?q)?(p?r)]
d) [p? (q?r)] ? [(p?q)?(p?r)]
5.- Leyes de idempotencia.
a) (p?p) ? p
b) (p?p) ? p
6.- Leyes de Morgan
a) ~(p?q)? (~p?~q)
b) ~(p?q)? (~p?~q)
c) (p?q) ? ~(~p?~q)
b) (p?q) ? ~(~p?~q)
7.- Contrapositiva.
a) (p?q) ? (~q?~p)
8.- Implicación.
a) (p?q) ? (~p?q)
b) (p?q) ? ~ (p?~q)
c) (p?q) ? (~p?q)
d) (p?q) ? ~ (p?~q)
9.- Equivalencia
a) (p?q) ? [(p?q)?(q?p)]
b) (p?q) ? [(p?q) ? (~q?~p)]
10.- Leyes de Identidad
a) (p?V) ? p
b) (p?F) ? F
c) (p?V) ? V
d) (p?F) ? p
11.- Leyes de Complementación
a) (p?~p) ? V
b) (p?~p) ? F
c) ~V ? F
d) ~F ? V
12.- Leyes de Absorción
a) [p ?(p?q)] ? p
b) [p? (p?q) ? p
CUESTIONARIO WORK PAPERS 6
1. Utilizando tablas de valores de verdad demostrar.
a) p ? ( p ? q ) ? p
b) ~ ( p ? q ) ? ~p ? ~q
c) p ? ( q ? r ) ? ( p ? q ) ? ( p ? r )
d) ~p ? q ? p ? q
e) p ? q ? ( p ? q ) ? ( q ? p )
2. Utilizando las definiciones y las leyes de la lógica matemática demostrar.
a) p ? ~q ? ~ (p ? q)
b) ~p
? p ? (q ? ~q)
c) q ? ( p ? r ) ? p ? ( q ? r )
d) p ? q
e) p ? q
? (p ? q) ? p
? (p ? q) ? q
f)
p ? q ? ~p ? ~q
g) p ? ( q ? r )
h) ( p ? q ) ? r
? ( p ? q ) ? ( p ? r)
? (p ? r) ? (q ? r)
Conjunto: Es toda colección o agrupación de objetos relacionado con algún tema en común. La idea de
conjunto es una idea intuitiva que se representa generalmente por una letra mayúscula.
A = ? silla, gato, mesa, perro ?
Elemento: Es cada uno de los objetos por los cuales esta conformado el conjunto. Por ejemplo el gato es
un elemento del conjunto A.
Observación 1: En un conjunto dado ninguno de sus elementos debe aparecer repetido.
B = ? a , a , b ? ; debe escribirse : B = ? a , b ?.
Observación 2: Un conjunto formado por un solo elemento es conceptualmente distinto a dicho elemento.
C = ? v ? ; es distinto a : v.
Observación 3: Dos conjuntos son disjuntos si y solo si no tienen elementos comunes, es decir, su
intersección es vacía.
A ? A' = ?
? A y A' son disjuntos.
Relación de pertenencia ( ? ): Si un elemento está en un conjunto dado, se dice que pertenece a él y
esto se indica mediante el símbolo ?.
Ejemplo:
Sea el conjunto C = { 1, 5 ,9 ,7}
El elemento 5 ? C ; el elemento 8 ? C
Determinación de un conjunto: Un conjunto se puede determinar por extensión o por comprensión.
Conjunto por extensión: Se debe indicar cada uno de los elementos que lo forman.
D = ? Gabriela Mistral , Pablo Neruda ?.
Conjunto por comprensión: Se debe indicar algunas de sus propiedades que tienen todos los elementos
de dicho conjunto.
D = ? Poetas Bolivianos que han obtenido el Premio Nobel de Literatura ?
Conjunto universo (U): Se nombra así al conjunto formado por todos los elementos de un tema dado.
U = ? a , e , i , o , u ? (Tema : vocales minúsculas del abecedario) .
Conjunto vacío (?): Es el conjunto que no tiene elementos. También puede decirse que ningún elemento
del universo cumple la condición dada en él.
B = ? Especies de insectos de 10 patas ? = ? ? = ?
Relación de igualdad ( = ): Dos conjuntos son iguales si y sólo si están formados por los mismos
elementos.
A = B
?
? x(x ? A ? x ? B)
A= ? 1,2,3 ? ;
B= ? 2,1,3 ?
Relación de inclusión (?): Sean A y B dos conjuntos, entonces A está incluido en B, o bien A es un
subconjunto de B, si y sólo si cada elemento de A lo es también de B .
A ? B
?
? x(x ? A ? x ? B)
Si A = ? p , q ? y B = ? m , n , p , q , r ? , entonces A ? B .
Diagrama de Venn – Euler
Diagrama lineal
Teorema de relación de inclusión:
Teorema 1: El conjunto vacío está incluido en cada conjunto.
? ? A.
Teorema 2: Cada conjunto está incluido en su universo respectivo.
A ? U.
Teorema 3: Cada conjunto está incluido en sí mismo.
A ? A.
Operaciones de conjuntos: Las operaciones que se pueden realizar con dos o mas conjuntos son: unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
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