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Elementos de mecánica celeste



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    1 s Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
    Elementos de Mecánica Celeste Elements of Celestial
    Mechanics Alexander Moreno Sánchez Centro Colombiano de
    Cosmología y Astrofísica Bogotá. D. C,
    Colombia. amorenosa@unal.edu.co Recibido 01-03- 2013; Aceptado 30
    – 03- 2013; Publicado en línea 10 – 05 – 2013 Resumen
    Siendo la mecánica celeste uno de los grandes
    capítulos de las ciencias físicas, de gran belleza
    y de enorme sentido organizacional, se presenta una corta
    introducción de algunos elementos propios de la misma, se
    muestran algunas ecuaciones generales que fundamentan las
    deducciones analíticas y las predicciones fabulosas que
    permite hacer la mecánica celeste. PACS : 45.50.Pk,
    95.10.Ce Palabras Claves: Mecánica newtoniana, leyes de
    Kepler, ecuaciones orbitales, integrales de movimiento. Abstract
    Celestial mechanics being one of the greatest chapters in the
    physical sciences, of great beauty and enormous organizational
    sense, we present a short introduction to some elements of it,
    are some general equations underlying analytical deductions and
    predictions fabulous which allows celestial mechanics. PACS :
    45.50.Pk, 95.10.Ce Keywords: Newtonian mechanics, Kepler’
    laws, orbital equations, integrals of motion. c 2013. Centro
    Colombiano de Cosmología y Astrofísica. Todos los
    derechos reservados. Introducción En estos días que
    se investiga, se pública, se anuncia y se desarrollan
    grandes proyectos cienti…cos; a mi parecer, nos olvidamos
    de algunos campos de la ciencia que han contribuido de forma sin
    igual a la comprensión y al desarrollo de la humanidad,
    sabemos de los grandes adelantos en materia espacial, de lo
    importante que resultan los satélites arti…ciales
    para mejorar y construir nuestra tecnología moderna, y
    ahora que nos intimada una posible colisión con un cuerpo
    espacial, sí que toma mayor importancia recordar, y para
    aquellos estudiosos comprender, como es que se mueven los cuerpos
    en el espacio, la causa y efecto de su movimiento, la
    descripción física de las órbitas, en
    …n, por ello es previsible, que la mecánica celeste
    tome mayor importancia, por lo menos en los centros de estudio,
    ya que sin éste importante campo de las ciencias
    físicas, quizá, no seamos capaces de sobrevivir en
    el futuro próximo.

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    3 2 3 r 1 2 Centro Colombiano de Cosmología y
    Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL Este corto
    y escueto trabajo no pretende sustituir los principios
    teóricos completos, ya que existen portentosos tratados
    sobre esta ciencia los cuales permiten alcanzar un nivel de
    comprensión único en este campo de estudio, solo se
    muestran algunos desarrollos importantes, se tocan algunos temas
    muy especiales y se intenta dar una visión de las
    complejidades propias de los sistemas gravitantes. Ahora
    bién, si el lector se interesase de forma especial por
    algún tema partícular deberá acudir a la
    literatura especializada, ya que aquí simplemente se desea
    crear cierta motivación hacia estos temas[1][2][3].
    Dinámica Fundamental La mecánica celeste conjuga de
    manera única y elegante la teoría mecánica
    newtoniana y la teoría matemática clásica
    analítica, para describir gracilmente el movimiento
    planetario alrededor del sol, los satélites alrededor de
    sus planetas, los pares estelares, el movimiento de cometas y
    asteroides, entre otros muchos cuerpos que gravitan de manera
    elegante en el universo. Desde el punto de vista
    histórico, se considera como punto de partida las
    conocidas y clásicas leyes de Kepler para el movimiento
    planetario 1. La órbita de cada planeta es una elipse con
    el sol en uno de sus focos. 2. El radio vector que une el sol con
    el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo
    iguales. 3. La razón entre los cuadrados de los periodos
    de dos planetas cualesquiera es igual a la razón entre los
    cuadrados de su distancia media desde el sol. Además desde
    el punto de vista fundamental, la única, elegante y
    hermosa ley de la gravitación universal, concebida por
    Newton, establece que si dos partículas de masa m1 y de
    masa m2 están situadas a una distancia r de
    separación mutua, cada partícula atrae a la otra
    con una fuerza de…nida por Gm1 m2 =r2 , donde G es una
    constante universal y las fuerzas reciprocas actuan sobre la
    línea que une las partículas[1]. Movimiento bajo
    una fuerza central Cuando la fuerza resultante sobre una
    partícula causa un movimiento acelerado alrededor de un
    punto …jo, el movimiento se llama de fuerza central, en
    donde dicho punto …jo se conoce como centro de fuerzas,
    este tipo de movimiento es bastante frecuente en muchos tipos de
    sistemas planetarios y estelares, los planetas se mueven en
    órbitas tales que la fuerza de atracción debido al
    sol siempre pasa a través del mismo punto; por ejemplo, en
    un sistema de dos estrellas, una de ellas gira alrededor de la
    otra bajo la acción de la fuerza gravitacional. Ahora
    bién, se pueden derivar varias propiedades importantes del
    movimiento producido por una fuerza central, las cuales son
    independientes de la forma análitica precisa de la ley de
    fuerzas, en partícular muchas aplicaciones
    astronómicas involucran la ley del cuadrado inverso de
    Newton. En consecuencia tenemos los siguientes resultados[1][10]
    3.1 Ley de las Áreas Entonces, considérese una
    partícula de masa m en una posición r, relativo a
    un origen …jo o, y si la partícula describe una
    curva c; bajo la acción de una fuerza central F , la cual
    puede estar dirigida hacía el centro o o hacía
    afuera del centro o, por lo tanto para una masa constante la
    seguna ley de Newton puede establecerse como[1][7][10] mv = F ur
    , considerando, el producto vectorial con el vector de
    posición r (1) mv = r F ur = 0 . (2) Ahora, podemos
    considerar la velocidad areal (razón de cambio del
    área barrida con el tiempo), de…nida como A = 1 2 r
    v = 2 r uA , (3) 2

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    3 2 d 2 (6) 3.2 1 2 Centro Colombiano de Cosmología y
    Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL donde uA es
    un vector unitario perpendicular a r y v , es decir perpendicular
    al plano instantáneo de…nido por estos vectores,
    entonces se concluye que una partícula de masa m que se
    mueve bajo una fuerza central describe una órbita la cual
    yace en un plano. Si la magnitud de la velocidad areal es 1 h;
    entonces el área descrita en un tiempo t está dada
    por A = 1 2 ht + c , (4) de lo anterior se concluye, que para
    cualquier fuerza central, la segunda ley de Kepler del movimiento
    planetario se mantiene, es decir A = cte , (5) la cual es la
    segunda ley de Kepler, "en periodos iguales se barren
    áreas iguales", el área barrida por el radio vector
    es directamente proporcional al tiempo, el inverso de esto
    también es cierto, si el área barrida por el radio
    vector es directamente proporcional al tiempo, la fuerza es una
    fuerza central. Asumiendo A = pt + q; tenemos A = p entonces r2 =
    2p , por lo tanto (r ) = 2rr + r2 = 0 , dt es decir 2rr + r2
    expresión que corresponde a la aceleración la cual
    es cero, quiere decir esto que no hay aceleración, por lo
    tanto no hay ninguna fuerza perpendicular a r , en consecuencia
    la órbita yace sobre un plano. Velocidades Lineales y
    Angulares Otros resultados cinemáticos se siguen del
    movimiento bajo una fuerza central. De tal modo que si p denota
    la distancia perpendicular del origen o a una tangente T sobre la
    trayectoria de la partícula, tenemos[1][7] con la cual se
    puede obtener 2A = r v = huA , (7) v = h p , (8) donde p = rsen ,
    y v la velocidad lineal de una partácula moviéndose
    bajo la acción de una fuerza central, es inversamente
    proporcional a la distancia perpendicular desde o a la tangente
    instantánea a la órbita, por lo tanto A = 1 2 r v ,
    (9) de tal forma que la velocidad angular de la partícula
    en p está dada por = h r2 , (10) por lo tanto se puede
    establecer que r2 = 2p . (11) De este modo puede decirse que la
    velocidad angular de una partícula moviéndose bajo
    la acción de una fuerza central varía inversamente
    proporcional con el cuadrado de la distancia desde el origen a la
    partícula, así que A = 2 r uA . 3 (12)

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    3 3.3 d 1 d 2 , 1 Z (18) dr , Centro Colombiano de
    Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA
    CENTRAL Integrales de momentum angular y energía De la
    segunda ley de Newton deducimos las ecuaciones de movimiento de
    una masa m que son[1][7][10] mv = F ur , (13) L = r mv = r F ur =
    0 , (14) esto implica que el momentum angular L de una
    partícula moviéndose bajo una fuerza central
    permanece constante en magnitud y dirección, esto implica
    que el momentum angular es perpendicular al plano órbital
    L = r mv = mr2 uA . (15) Entonces la integral de la
    ecuación de movimiento de la partícula implica que
    el momentum angular es constante y vale mh; ahora, mv v = F v ur
    ; pero v v = dt ( 2 v v) = dt ( 1 v2 ) , asi que ur es
    perpendicular a u , en consecuencia por lo tanto tenemos vur =
    (rur + r u )ur = r , (16) d 1 ( mv2 ) = F dt 2 dr dt (17) y
    suponiendo que F solo depende de la longitud del radio vector r ,
    es decir F = F (r); de tal forma que integrando obtenemos mv2 = F
    (r)dr + E , 2 esto quiere decir que el trabajo hecho por F en el
    cambio de posición es la integral a lo largo de la
    órbita. Tenemos que F = F (r)ur es una fuerza
    conservativa, por tanto, existe una energía potencial V
    (r) tal que F (r) = dV , de tal modo que se puede escribir 1 2
    mv2 + V (r) = E , (19) la cual establece que la energía
    cinética más la energía potencial de una
    partícula moviéndose bajo la acción de una
    fuerza central es constante, ley de conservación de la
    energía, así que E, constituye una segunda integral
    de movimiento, que conduce a la siguiente expresión v = r
    2(E V (r)) m (20) y como la raíz solo depende de r, se
    observa que la velocidad para todas las órbitas que tienen
    la misma enegía total, sin consideración de sus
    formas, es la misma a una distancia dada r desde el centro de
    fuerzas. 3.4 Ecuación de la órbita Si se denota la
    fuerza por F (r);entonces las ecuaciones de movimiento obtenidas
    de la segunda ley de Newton, en coordenadas polares son[1][7] 2
    m[r r ] = F (r) , (21) mr2 = mh , 4 (22)

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    3 d 2 1 r ) m r , 1 n , d du 2 , d du 2 , d du 2 Z Z du 2 ( r u u
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    MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL este conjunto de ecuaciones
    constituye un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo
    orden que debe conducir a cuatro constantes de
    integración, no obstante ya se han encontrado dos de
    ellas, según se mostró en los apartados anteriores,
    las cuales son las integrales de momento angular y de
    energía, las otras dos integrales se obtienen de la
    solución de las ecuaciones de movimiento, pero para ello
    se requiere …jar dos condiciones iniciales, las cuales
    permitiran …jar la órbita completa. Si
    de…nimos u = , con lo cual, = hu2 ; r = 2 h2 u2 ( d u );
    en consecuencia obtenemos m[ hu2 ( d2 u d 2 h2 u3 ] = F (r) ,
    (23) la cual conduce a d2 r dt2 1 h2 = F (r) + 2 . (24) La
    ecuación diferencial obtenida para u como función
    de conduce a la ecuación polar de la órbita, cuando
    la ley de fuerzas es conocida y si se realiza una expasión
    en términos de u d2 u d 2 + u = 1 F ( u ) mh2 u2 (25)
    ahora bién, si suponemos que la fuerza varía como F
    (r) = rn , entonces F ( u ) = u ; con lo cual d2 u d 2 + u = u n
    mh2 2 (26) con algunas manipulaciones algebraicas, obtenemos 2 [(
    ) + u2 ] = d d ( 2 mh2 )( n 1)u n 2 du d (27) la cual se puede
    simpli…car para obtener [( ) + u2 ] = d d u (n+2) du d
    (28) donde es una constante, ahora integrando una vez, es decir
    obtenemos [( ) + u2 ]d = d d du u (n+2) d , d (29) d ) + u2 = n
    +1 u (n+1) + c , (30) donde c es una constante de
    integración, por lo tanto se obtiene du d = c u2 + ( n +1
    )u (n+1) , (31) y si se integra nuevamente Zu0 du[c u2 + ( n +1
    )u (n+1) ] 1=2 = Z 0 d , (32) obtenemos Zu0 q c du u2 + ( n+1 )u
    (n+1) = 0 con n 6= 1, (33) 5

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    3 Z Z R 1 Z , , , , Centro Colombiano de Cosmología y
    Astrofísica donde u0 y 0 son puntos iniciales sobre la
    órbita. MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL Cuando se
    conoce n; la ecuación anterior de…ne u como una
    función de , ésta se conoce con el nombre de
    ecuación polar de la órbita. La integral anterior
    es de la forma (a + bu2 + cu n 1 ) 1=2 du , (34) cuando n es un
    entero, resultaran funciones trigonométricas si n es menor
    de 2, de tal modo que n está restringido a n = 1; n = 2 ,
    n = 3, sin embargo, n = 1 ya fue excluido, entonces solo queda n
    = 2 y n = 3. Si consideramos n = 1; la integral se convierte en
    (a + bu2 + cu 2 ) 1=2 du , (35) la cual se puede expresar como
    (au2 + bu4 + c) 1=2 udu; que con la sustitución v = u2 se
    obtiene (bv2 + av + c) 1=2 dv , (36) 2 al realizar la integral
    conduce a funciones trigonométricas. De este modo se puede
    concluir que cuando una fuerza central varía como rn ,
    cuando n = +1; 2; 3 , la ecuación polar de la
    órbita puede ser expandida en términos de funciones
    trigonométricas. En el caso de potencias superiores de r
    esto conduce a soluciones en términos de funciones
    circulares. Puede mostrarse en general que cuando n = +5; +3; 0;
    4; 5; 7 , la ecuación polar de la órbita se expresa
    en términos de funciones elípticas[1]. 3.5 Fuerza
    cuadrática Inversa En muchas aplicaciones
    astronómicas se considerá la fuerza central como
    una fuerza inversa cuadrática, que como se conoce fue
    propuesta por Newton, la cual tiene la siguiente forma[1][7] F
    (r) = GM m r2 (37) donde G es la constante gravitacional de
    Newton, que junto con M constituyen la "potencia" o "intensidad"
    de la fuerza central, y m es la masa del cuerpo que está
    siendo acelarada, que en términos del cambio de variable
    propuesto anteriormente, se puede expresar como 1 F ( ) = u GM m
    1=u2 (38) en consecuencia, esta forma de la ley de fuerzas
    conduce a la siguiente ecuación de movimiento d2 u GM d 2
    + u = h2 , que sí se integra, permite obtener la siguiente
    solución (39) u = A cos( 0 ) + GM h2 , (40) de tal modo
    que en términos de r tenemos r = 1+ h2 =GM Ah2 ( GM ) cos(
    0 ) (41) ésta es conocida como ecuación polar de la
    órbita. Ahora bién, la ecuación
    estándar de una sección cónica, en
    coordenadas polares es r = p 1 + e cos( 0 ) (42) 6

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    3 p e , du 2 ( d u2 d 1 du = du 2 r h2 d h d ; 1 du GM r mh2 : 2E
    d h r r h h Centro Colombiano de Cosmología y
    Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL donde e es
    la excéntricidad, manera es la distancia del foco a la
    direcctriz, entonces podemos relacionar de la siguiente p = h2 GM
    , e = Ah2 GM (43) de la geometría análitica se sabe
    que los paramétros p; e determinan la forma de la
    sección cónica, y entre otras cosas se sabe que si
    e < 1 , la cónica es una elipse e = 1 , la
    cónica es una parábola e > 1 , la cónica
    es una hipérbola Estos parámetros
    geométricos dependen de las constantes de
    integración A y de las constantes físicas del
    sistema h , G , M: Por lo tanto, podemos considerar la siguiente
    ecuación de movimiento d ) + u2 = 2GM u h2 + c , (44) el
    vector velocidad en la órbita se puede expresar como v
    =rur + r u , así que podemos obtener las siguientes
    expresiones r = siguiente (45) h du , r = hu , con esto obtenemos
    lo v = [(h d ) + h2 u2 ]1=2 (46) además tenemos que 2
    tanto ( du )2 = = = GM u la cual corresponde a la energía
    potencial por unidad de masa, por lo con estas expresiones
    llegamos a v2 = 2GM u + ch2 , y bajo algunos procedimientos
    algebraicos adicionales conduce a (47) 1 2 1 mv2 GM mu = mch2 , 2
    (48) expresión que corresponde a la energía total
    de la partícula bajo una fuerza central de tipo inverso
    cudrado, que se puede expresar como E = 1 2 mv2 GM mu , (49)
    así que podemos obtener el valor de la constante de
    integración c = Para el eje transversal de la
    cónica r = h du = 0; implica que u2 2GM u h2 2E mh2 =0 ,
    (50) esto es una cuadrática en u cuya solución se
    puede expresar como GM u = 2 [1 1+ 2Eh2 mG2 M 2 ] , (51) esta
    expresión permite determinar los valores máximos y
    mínimos sobre el eje transversal de la cónica, de
    tal modo que estos valores son GM GM umax = 2 + A = 2 [1 + 1 +
    2Eh2 mG2 M 2 ] , (52) 7

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    3 h h r h r , 2 r , 3.6 , , , , Centro Colombiano de
    Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA
    CENTRAL umin GM = 2 GM A = 2 [1 1+ 2Eh2 mG2 M 2 ] , (53) de este
    modo tenemos GM A = 2 1+ 2Eh2 mG2 M 2 (54) Ah pero como e = GM ,
    por lo tanto se llega a una relación fundamental entre la
    excentricidad y la energía total de la partícula,
    de tal forma se pude escribir como e = 1+ 2Eh2 mG2 M 2 (55) y
    así se tiene que si 1. E = 0; e = 1 , la órbita es
    una parábola 2. E < 0; e < 1 , la órbita es
    una elipse 3. E > 0; e > 1 , la órbita es una
    hipérbola Ecuación polar de la órbita Si
    consideramos un punto …jo o y una línea …ja
    AB a una distancia D de o y si suponemos que un punto P en el
    plano de o y AB se mueve de manera que la relación entre
    su distancia al punto o a su distancia a la recta AB es siempre
    igual a una constante positiva e. Por lo tanto, la curva que
    describe P expresada en cooordenadas polares (r; ) está
    dada por[1][10] r = p 1 + e cos (56) donde el punto o se llama
    foco, la línea AB directriz, y el radio e es la
    excentricidad. La curva frecuentemente se llama sección
    cónica debido a que puede obtenerse por la
    intersección de un plano y un cono a diferentes
    ángulos, y como se anotó anteriormente existen tres
    cónicas según el valor de la excentricidad. 1.
    Parábola : E = 0; e = 1: La ecuación de la
    parábola se puede expresar como r = p 1 + cos (57) ahora
    si q denota la distancia del foco al vértice, tenemos p =
    h2 GM = 2q , (58) así que obtenemos la ecuación de
    la órbita r = 2q 1 + cos( 0 ) (59) y la velocidad en la
    órbita a una distancia r desde el centro de fuerzas es vp
    = r 2GM r (60) se conoce como velocidad de escape del centro de
    fuerzas. 2. Elipse: E < 0; e < 1 Si C es el centro de la
    elipse y CV = CU = a es la longitud del semieje mayor, entonces
    la ecuación de la elipse puede escribirse como 8

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    3 , p , , GM h2 p (66) , 1 p (69) p 1 p (70) . Centro Colombiano
    de Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA
    FUERZA CENTRAL r = a(1 e2 ) 1 + e cos (61) Nótese que el
    eje mayor es la recta que une los vértices V y U de la
    elipse con una longitud 2a, si b es la longitud del semieje menor
    y si c es la distancia CO desde el centro al foco, entonces
    tenemos el siguiente resultado c = a2 b2 = ea , (62) y como en el
    caso anterior si q denota el radio vector del vértice de
    la elipse cerca del origen, y si q0 denota el radio vector a la
    distancia máxima desde el origen, de hecho el origen es el
    foco, pero como el semieje mayor es 2a , entonces q = p 1+ e , q
    = p 1 e (63) de este modo q + q = 2a , (64) por lo tanto para la
    elipse se encuentra que p = a(1 e2 ); así que la
    ecuación de la elipse puede escribirse como r = a(1 e2 ) 1
    + e cos( 0 ) (65) de otra parte como p = , la velocidad areal que
    es constante está dada por h = GM a(1 e2 ) , de esta forma
    se puede encontrar una expresión para la energía,
    la cual es E = GM m 2a (67) también se puede encontrar la
    velocidad a una distancia r desde el centro de fuerzas, dada por
    v2 = GM [ 2 1 r a ] , (68) Según los resultados anteriores
    se puede deducir una expresión para el período en
    una órbita eliptica. Si A denota el área barrida
    por el radio-vector en un tiempo t , entonces tenemos A = GM a(1
    e2 )t + c , 2 donde c es una constante de integración.
    Así que, en un período el radio vector barre una
    área donde el semieje menor es b = ap1 ab = a2 1 e2 = GM
    a(1 e2 ) , 2 e2 , entonces el período está dado por
    2 a3=2 = pGM (71) Lo anterior corresponde a la tercera ley de
    Kepler. Aquí M es cercanamente la misma para cada planeta
    y es aproximadamente la masa del Sol. 3. Hipérbola E >
    0; e > 1 La hipérbola consta de dos ramas, que son
    asintóticas a dos rectas llamadas asíntotas que se
    cortan en un punto llamado centro denotado por C, la distancia CV
    = a del centro al vértice V se llama semieje mayor, y el
    9

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    4 , , p (74) , 4 4.1 Centro Colombiano de Cosmología y
    Astrofísica EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS eje mayor es la
    distancia entre los vértices V y U . De tal modo que la
    ecuación de la hipérbola puede escribirse como r =
    a(e2 1) 1 + e cos (72) también, puede decirse que una
    elipse puede de…nirse como el lugar o trayectoria de todos
    los puntos cuya suma de las distancias, desde dos puntos
    …jos es una constante. En términos de lo anotado
    anteriormente, tenemos que 2a denota el eje transverso de la
    cónica, en consecuen- cia la geometría de la
    órbita indica que p = a(e2 1) , de tal modo que r = a(e2
    1) 1 + cos( 0 ) (73) y como en los casos anteriores la velocidad
    areal es constante, dada por y la energía total dada por h
    = GM a(e2 1) , E = GM m 2a (75) de igual forma podemos determinar
    la velocidad a una distancia r desde el centro de fuerzas, dada
    por 2 1 v2 = GM [ + ] , r a (76) Como se había mencionado
    anteriormente, en lo deducido anteriormente, está
    implicita la primera ley de Kepler[1]. El Problema de los dos
    Cuerpos En física este es una de los problemas
    paradigmáticos, se tienen resultados clásicos y
    cuánticos, pero aquí, se considerará la
    solución clásica apropiada para consideraciones de
    mecánica celeste, de tal forma que se asumirá que
    las masas involucradas son esfericamente simétricas y
    homógeneas en capas concéntricas, en consecuencia
    se atraen las masas una a otra como si la masa de cada una
    estuviese concentrada en el centro de la esfera, de forma
    más simple es como si se tuviesen dos partículas
    con masa a una distancia igual a la distancia entre los centro,
    igualmente se resalta que las dos masa están
    su…cientemente aisladas de otras masas, en consecuencia
    unicamente tenemos una fuerza cuadrática inversa de
    atracción mutua a lo largo de la línea que une los
    centros. Por lo tanto, la dinámica del movimiento
    resultante permite evidenciar dos problemas relevantes para la
    mecánica celeste 1. Dada la posición y velocidad en
    el espacio de una masa puntual como función del tiempo,
    encontrar los elementos geométricos de la órbita 2.
    Dados los elementos orbitales, o parámetros, de…nir
    la forma y orientación del camino dinámico, para
    encontrar la posición de las masas en un instante
    dado[3][4][5] Movimiento del centro de masa Si imaginamos un
    sistema de referencia inercial con o como origen del sistema y
    dos masas localizadas por los vectores de posición r1 , r2
    , ahora, si consideramos que R es el vector de posición
    del centro de masa, y r; de…ne el vector de
    posición de m2 relativo a m1 . Por lo tanto según
    la ley de gravitación universal, la fuerza sobre m1 debida
    a m2 está dada por F12 = k2 m1 m2 r2 ur , (77) 10

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    4 Z Z 0 0 0 0 0 r1 y 0 0 0 0 0 m1 m2 0 0 r3 m2 m1 0 0 r2 0 2 M 2
    (r1 ) Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
    EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS de igual forma se puede considerar
    la fuerza sobre m2 debida a m1 dada por F12 = k2 m2 m1 r2 ur ,
    (78) en estas expresiones se considerá k2 como constante
    gravitacional universal, diferente a G, debido a considera-
    ciones de tipo algebraico, ahora bien, podemos considerar las
    ecuaciones de movimiento para las masas, dadas por m1 r1 = k2 m1
    m2 r2 r ; (79) m2 r2 = k2 m2 m1 r2 r ; (80) en consecuencia si
    reliazamos la respectiva integración del sistema se
    obtiene ((m1 r1 + m2 r2 )dt)dt = m1 r1 + m2 r2 + c1 t + c2 t ,
    (81) está integral debe ser nula, ya que la suma de las
    fuerzas gravitacionales es cero y además ninguna fuerza
    externa actua sobre el sistema, por lo tanto, tenemos m1 r1 + m2
    r2 = c1 t + c2 t , entonces, si el lado izquierdo es M R por la
    de…nición de centro de masa, se puede obtener m1 r1
    + m2 r2 = M R , así que, (82) (83) R = c1 M t + c2 M ,
    (84) lo cual índica que el centro de masa se mueve sobre
    una línea recta en el espacio, donde M es la masa total
    del sistema[1][5][6] 4.2 Movimiento relativo El movimiento de m1
    y de m2 relativo al centro de masa se puede considerar de la
    siguiente manera r1 = R + r1 , r2 = R + r2 , donde r1 ; r2
    denotan el vector de posición de m1 y de m2 respecto al
    centro de masas, entonces r = r2 como R = 0 , tenemos que m1 r1 =
    m1 r1 ; m2 r2 = m2 r2 ; por lo tanto (85) (86) (87) m1 r1 + m2 r2
    = k2 (r2 r1 ) k2 (r2 r1 ) , (88) así que después de
    algunas manipulaciones algebraicas podemos obtener lo siguiente
    r1 = m3 r k ( 2 ) 01 3 , 11 (89)

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    4 0 ) 0 . 1 0 M 2 (r1 )3 2 0 2 M 2 (r2 ) ^ ^ (94) { | { | p 1 3
    Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica EL
    PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS r2 = k2 ( m3 r2 M 2 (r2 )3 (90) Esto
    corresponde a las aceleraciones de las masas m1 ; m2 relativas al
    centro de masa, por ende podemos conocer las respectivas
    posiciones en cualquier instante resolviendo las ecuaciones
    anteriores, pero nos encon- tramos con dos constantes de
    integración, las cuales no son conocidas, además no
    existe forma de determinarlas absolutamente, ya que ellas estan
    de…nidas respecto a un origen …jo en el espacio,
    por ello, debemos restringirnos a una solución para el
    movimiento relativo de una masa respecto de la otra. Entonces, no
    podemos encontrar una solución absoluta, es decir conocer
    la posición de cada masa en todo tiempo, debido al
    desconocimiento de c1 ; c2 surgidas de la integración de
    las ecuaciones de movimiento. Por lo tanto, si nos restringimos a
    considerar m1 en el origen del sistema de referencia, se obtiene
    r1 = k2 ( m3 r1 ) 0 = 0; (91) r = m3 r k ( 1 ) 02 3 , (92) la
    cual bajo algunas operaciones algebraicas obtenemos r = k2 M r3 r
    , (93) en consecuencia, el problema de dos cuerpos se redujo al
    problema de un cuerpo, ya que m2 es la masa que se mueve
    alrededor de m1 , esta expresión es la que nos
    permitirá determinar órbitas y paramétros.
    Bueno, solo que para algunos …nes es conveniente expresar
    esta expresión en términos de coordenadas
    cartesianas, la cual es (x^ + y^ + zk) = kM (x2 + y2 + z2 )1=2
    (x^ + y^ + zk) . La solución de la ecuación
    anterior introduce doce constantes de integración, las
    cuales necesariamante se deben de …jar mediante las
    condiciones iniciales, pero ignorando el movimiento del centro de
    gravedad, se reduce el número a seis constantes de
    integración. Ahora bien, si conocemos la posición,
    es decir tres componentes de posición, y la velocidad,
    también tres componentes, se pueden encontrar las seis
    constantes de integración. Sin embargo, estas cantidades
    no están disponibles en aplicaciones astronómicas,
    para subsanar esto, se debe considerar las coordenadas
    geométricas de la masa durante al menos tres instantes
    diferentes y de allí deducirse las componentes de
    velocidad, esto quizá sea uno de los problemas de la
    teoría orbital[1][10]. 4.3 Integral de las áreas El
    movimiento relativo de m2 al rededor de m1 de forma estricta se
    considera como un movimiento bajo una fuerza central, por lo
    tanto la velocidad areal es constante, que según el
    tratamiento hecho anterior y siguiendo los desarrollos
    algebraicos convencionales, se puede expresar como 1 2 1 2 (yz
    (xz yz) = xz) = 1 2 1 2 c1 , c2 , (95) (96) 1 1 (xy xy) = c2 ,
    (97) 2 2 donde h = c2 + c2 + c2 y si son dadas las cooordenadas
    iniciales y las componentes de velocidad, se pueden determinar
    las constantes. En lo mostrado anteriormente, se han ilustrado
    algunos elementos para la determinación matemática
    de las órbitas planetarias, la determinación de las
    constantes de movimiento, y los parámetros físicos
    relevantes, este 12

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    5 5 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
    SERIE DE MOVIMIENTOS DE LA TIERRA esquema teórico, de
    forma sistemática se programa en un entorno computacional
    el cual permite determinar, de forma precisa las órbitas,
    y condiciones necesarias en el movimiento de los cuerpos
    celestes, hoy día procedimento rutinario en algunos
    centros, otrora trabajos de muchisimas horas. En lo que sigue se
    reportaran algunos fenoménos …sicos importantes,
    originados en el movimiento planetario, y cuyo fondo de estudio
    es la mecánica celeste[1][10]. Serie de movimientos de la
    Tierra Se conoce de investigaciones seguidas durante mucho
    tiempo, que la Tierra posee alrededor de catorce movimi- entos, a
    saber[7][8][9]: 1. Rotación Oeste-Este, la cual toma 23
    horas, 56 minutos, su efecto es la sucesión de los
    días y las noches, para ser precisos, se de…ne el
    día solar medio como el promedio del día solar
    verdadero, que corresponde con el tiempo civil y que equivale a
    86.400 segundos, unidad que actualmente se de…ne a partir
    de propiedades atómicas muy precisas, lo cual permite
    medir las diferencias con el día solar verdadero. Es
    así como se denomina día al lapso que tarda la
    Tierra desde que el Sol está en el punto más alto
    sobre el horizonte hasta que nuevamente vuelva a estar en la
    misma localización, esto no es más que una forma de
    medir el tiempo, además se sabe de la observación
    astronómica que dependiendo de la referencia que se use
    para medir la rotación terrestre, se puede hablar de
    tiempo solar o de tiempo sidéreo, el primero toma como
    referencia al Sol y el segundo toma como referencia a las
    estrellas. Es convencional considerar el "día" como
    día solar medio, base del tiempo civil, que se divide en
    24 horas, de 60 minutos, de 60 segundos, y dura, por tanto,
    86.400 segundos. El día sidéreo o día
    sideral es el lapso transcurrido entre dos culminaciones, o
    tránsitos, sucesivos del primer punto de Aries, o
    equinoccio Vernal. Se podría de…nir igualmente
    respecto al primer punto de Libra. El día sidéreo
    es 4 minutos más corto que el día solar medio. 2.
    Revolución Anual, la cual se da alrededor del Sol en
    366.24 días siderales, como consecuencia tenemos la
    aberración de la luz, y el día solar se hace
    más largo que el sideral. El periodo de rotación de
    la Tierra es aproximadamente 24 horas ( exactamente 23.9344 h =
    86.164 s = 1 día sidéreo) 3. Precesión de
    los Equinoccios, la cual toma 25.765 años aproximadamente,
    que corresponde a 50" de arco por año, esto trae como
    consecuencia que, el año trópico dure 20 minutos de
    arco menos que el año sideral, que los signos del
    zodíaco no tengan una posición …ja en las
    constelaciones y que los polos celestes cambien paulatinamente de
    posición. Se denomina año trópico o
    año tropical al tiempo preciso requerido para aumentar la
    longitud media del Sol en 360 grados sobre la eclíptica;
    es decir, en completar una vuelta completa. Su duración es
    de 365,242198 días de tiempo solar medio (365 días
    5 h 48 m 45,9 s). Debido a la precesión de los equinoccios
    y a la nutación, este tiempo es distinto al que media
    entre dos pasos sucesivos del Sol por el equinoccio de primavera;
    es decir, entre dos pasos sucesivos por el llamado primer punto
    de Aries. Para comprender la diferencia con el año
    sidéreo se debe tener en cuenta la precesión de los
    equinoccios. Cuando se hace referencia a un equinoccio o a un
    solsticio, se habla del punto de la órbita terrestre en
    que el eje de rotación de la Tierra se alinea (solsticio)
    o se sitúa perpendicular (equinoccio) a la línea
    imaginaria Sol-Tierra. Resulta que ese eje, debido a la citada
    precesión de los equinoccios, da una vuelta sobre la
    perpendicular a la eclíptica en unos 26.000
    años[11]. 4. Nutación, causada por atracción
    de la Luna, que toma 18 años, 8 meses, ocasionando que el
    valor de la precesión de los equinoccios sufra ciertas
    oscilaciones, al igual que la diferencia entre el año
    trópico y el sideral, como también el cambio en la
    oblícuidad de la eclíptica. 5. Rotación de
    la línea de los ápsides, o sea, de la línea
    perigeo-apogeo, en una cantidad de 11"5 por año, de tal
    forma que en 55.000 años se invierte esta línea, y
    que en 110.000 años vuelva a estar en su primitiva
    posición. Para este movimiento cada ápside se
    mani…esta describinedo una circunferencia en el espacio,
    cuyo diámetro es aproximadamente de 300 millones de
    kilómetros. 6. Disminución de la Oblicuidad de la
    Eclíptica, que toma 0.48" de arco cada año, este
    movimento hace como si la órbita terrestre girase
    alrededor de la línea de los equinoccios,
    acercándose al ecuador, pero sin confundirse con
    él, ya que cuando llega a la inclinación de 1.21
    minutos de arco la inclinación nuevamente vuelve a crecer.
    7. Perturbaciones Planetarias, estas son debido al cambio de
    posición de los planetas, produciendo variaciones en la
    fuerza de atracción que éstos ejercen sobre la
    Tierra. 13

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    6 6 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
    VARIACIONES ORBITALES 8. Variación de la excentricidad de
    la órbita terrestre, dicha variación se
    veri…caen un periodo de 80.000 años, durante el
    cual la excentricidad pasa por un máximo de 0.02 y por un
    mínimo de 0.0003, actualmente el valor es de 0.01675 en
    descenso, calculándose que dentro de 24.000 años
    alcanzará el mínimo citado, y entonces la
    órbita de Tierra será casi circular, y a partir de
    esa época, se iniciará el proceso ascendente. 9.
    Desplazamiento del centro de gravedad del sistema solar,
    corresponde al centro determinado por el Sol y por las posiciones
    variables de los planetas, en torno del cual gira anualmente los
    planetas. 10. Movimiento mensual de la Tierra, se veri…ca
    el movimiento de la Tierra en torno del centro de gravedad del
    par Tierra-Luna, se sabe que el centro de gravedad está
    ochenta veces más cercano a la Tierra, que a la Luna. 11.
    Corrimiento de los polos terrestres, se da en forma espiral, y
    cuya amplitud no sobrepasa los 15 metros, el cual tiene su origen
    en la plasticidad del planeta, que tiene como consecuencia las
    ligeras variaciones en la latitud de todos los lugares del
    planeta. 12. Mareas de la corteza terrestre, consisten en el
    levantamiento del suelo dos veces por día en 30 cm a la
    latitud de 45 grados y en 50 cm en el ecuador. 13. Movimiento
    general de traslación del Sistema Solar, es decir del
    centro de gravedad del sistema, el cual se traslada hacia la
    estrella Vega de la Lira, a razón de 20 Km por segundo.
    14. Movimiento general de traslación galáctico, el
    centro de gravedad del sistema galáctico también se
    traslada, el cual se desplaza hacia un punto de la
    constelación de Capricornio, a razón de 600 Km por
    segundo. Como podrá observarse, el movimiento real y
    completo de nuestro planeta, es bastante más complejo de
    lo que usualmente pensamos, pero como siempre sucede en muchas
    campos de la ciencia, sólo se consideran aprox- imaciones
    o simpli…caciones de un fenómeno o conjunto de
    fenómenos, para obtener resultados, o explicaciones
    coherentes como también predicciones que nos permitan
    profundizar en la comprensión de nuestro mundo
    físico, por ello no es muy frecuente encontrar
    teorías o desarrollos tecnológicos basados en esto
    que combinen todos los elementos anteriores en un único
    marco explicativo, es así como dependiendo del aspecto o
    interés partícular se tomará uno o
    más elementos de los considerados anteriormente. Por ello
    me parece de gran alcance, cómo pueblos primitivos
    podían determinar ciclos y fenómenos que con gran
    di…cultad hoy podemos determinar, por ejemplo la
    civilización maya, y posiblemente los olmecas, usaban
    tablas complejas para predecir acontecimientos celestes como por
    ejemplo los eclipses, las alineaciones planetarias, los
    equinoccios, etc, por ejemplo es notable, su capacidad para
    predecir alineaciones planetarias, lo cual requeria conocimientos
    de un orden diferente, se necesitaría haber conocido todo
    lo relacionado con la precesión de los equinoccios, cuyo
    problema principal es que es sumamente lenta, ya que tarda, como
    se mencionó, algo así como 25.765 años en
    completar un ciclo, el cual se puede determinar observando la
    posición del Sol en el equinoccio de primavera respecto a
    las estrellas del zodíaco, haciendo esto se descubre que
    la posición del Sol en el primer día de la
    primavera retrocede a través del zodíaco a un ritmo
    aproximado de un grado cada sesenta y dos años, entonces
    se debía contar con registros históricos para poder
    inferir este conocimiento, problema que los estudiosos han
    considerado y al que no le han dado una debida
    explicación. Variaciones Orbitales En esta sección
    y en las siguientes me referire, sin entrar en los detalles o la
    descripción completa, a algunos aspectos de interés
    partícular, como es la explicación de las eras
    glaciales, y de consideraciones climáticas, no obstante
    considerando que el sustento teórico de los mismos
    está basado en la descripción analítica
    rigurosa esquematizada anteriormente y en los estudios detallados
    que se han adelantado durante muchos años[1][6][7][8]. El
    Sistema Solar presenta perturbaciones mutuas entre los diferentes
    cuerpos que lo constituyen, en partícular la órbita
    terrestre se encuentra perturbada, es decir que los otros cuerpos
    afectan la estabilidad de la órbita, sus elementos y la
    foma de la misma, dichas modi…caciones tienen por su
    puesto sus consecuencias, conduciendo a lo que se conoce como
    variaciones o perturbaciones orbitales; entre los efectos
    producidos por ellas están, la aparición y
    desaparición de los períodos glaciales e
    interglaciales holocénicos (El Holoceno, del griego holos,
    todo, y kainos, reciente: la era totalmente reciente, una
    división de la escala temporal geológica, es la
    última y actual época geológica del
    período Cuaternario. Comprende los últimos 11.784
    años, desde el …n de la última
    glaciación. Es un período interglaciar en el que la
    temperatura se hizo más suave y la capa de hielo se
    derritió, lo que provocó un ascenso en el nivel del
    mar. Esto hizo que Indonesia, Japón y Taiwán se
    separaran de Asia; Gran 14

    Monografias.com
    6 6.1 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
    VARIACIONES ORBITALES Bretaña, de la Europa continental y
    Nueva Guinea y Tasmania, de Australia. Además, produjo la
    formación del estrecho de Bering)[11]. Si bien la
    luminosidad solar se mantiene prácticamente constante a lo
    largo de millones de años, no ocurre lo mismo con la
    órbita terrestre. Ésta oscila
    periódicamente, haciendo que la cantidad media de
    radiación que recibe cada hemisferio ‡uctúe
    a lo largo del tiempo. Son éstas variaciones las que
    provocan las pulsaciones o cambios glaciares llevando a veranos e
    inviernos de largo período. Son los llamados
    períodos glaciales e interglaciales. Hay que tener en
    cuenta varios factores que contribuyen a modi…car las
    características órbitales haciendo que la
    insolación media en uno y otro hemisferio varíe
    aunque no lo haga el ‡ujo de radiación global. La
    excentricidad, la inclinación axial, y la precesión
    de la órbita de la Tierra varía en el transcurso
    del tiempo produciendo las glaciaciones del Cuaternario cada
    100.000 años. El eje de la Tierra completa su ciclo de
    precesión cada 25.765 años. Al mismo tiempo el eje
    mayor de la órbita de la Tierra gira, en unos 22.000
    años. Además, la inclinación del eje de la
    Tierra cambia entre 22,1 grados a 24,5 grados en un ciclo de
    41.000 años. El eje de la Tierra tiene ahora una
    inclinación de 23,5o respecto a la normal del plano de la
    eclíptica. Precesión de los equinoccios La
    precesión de los equinoccios es el cambio en la
    dirección del eje de giro terrestre, más o menos
    dura 25.765 años alrededor del eje de la eclíptica.
    En 1842 el matemático francés Joseph Adémar
    postuló que la precesión del eje terrestre
    llevaría a una precesión de los equinoccios y
    solsticios que los harían desplazarse a lo largo de la
    órbita coincidiendo unas veces cerca del afelio y otras
    del perihelio. Esto es debido a que el cambio en la
    dirección del eje de rotación causa una
    variación del punto Aries o corte del ecuador y la
    eclíptica y por tanto cambia el inicio de la primavera y
    en consecuencia el ángulo que forma con la línea de
    los ápsides, lo cual tiene incidencia en el momento en que
    la Tierra en su traslación alrededor del Sol alcanza el
    perihelio y el afelio. Adémar pensó que esto
    explicaría la última glaciación que
    terminó hace 10.000 años. Cuando el punto Aries se
    alinea con la dirección de la línea de los
    ápsides de la órbita de la Tierra (perihelio), un
    hemisferio tendrá una diferencia mayor entre las
    estaciones mientras el otro hemisferio tendrá las
    estaciones más benignas. El hemisferio que está en
    verano en el perihelio recibirá un aumento en la
    radiación solar, pero ese mismo hemisferio estará
    en invierno en el afelio y tendrá un invierno más
    frío. El otro hemisferio tendrá un invierno
    relativamente más caluroso y el verano más fresco.
    Cuando el punto Aries es perpendicular a la línea de los
    ápsides los hemisferios norte y sur tendrán los
    contrastes similares en las estaciones. En la actualidad el
    verano del hemisferio sur ocurre durante el perihelio y su
    invierno durante el afelio. Así las estaciones del
    hemisferio sur deben tender a ser algo más extremas que
    las estaciones del hemisferio norte. Este efecto queda en parte
    compensado por el hecho de que el norte tiene más Tierra y
    el sur mucho más océano y es conocido que el efecto
    del mar es suavizar las máximas y elevar las
    mínimas[7][8][9][11]. 6.2 Excentricidad órbital Un
    factor importante

    Partes: 1, 2

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