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Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
Elementos de Relatividad Especial y General
Alexander Moreno Sánchez
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
Bogotá. D. C, Colombia.
amorenosa@unal.edu.co
Recibido 10-02- 2015; Aceptado 31 – 03- 2015; Publicado en línea 02 – 04- 2015
Resumen
En este breve trabajo se desea ilustrar algunos aspectos importantes de lo que se conoce como Teoría
de la Relatividad, como es bien sabido esta es una enorme teoría que modi…ca las concepciones
clásicas de espacio y tiempo, y además permite uni…car los conceptos de gravedad y aceleración,
todo ello dentro de un marco geométrico muy elegante, por lo tanto la pretención de este modesto
trabajo es muy pobre frente a tan portentosa teoría, espero que este pequeño trabajo sea un punto
de partida de aquellos que se interesan por seguir el desarrollo de la ciencia.
PACS : 04.50.-h, 04.50.Kd, 14.70.Kv
Palabras Claves: sistema coordenado, invarianza Lorentz, espaciotiempo, curvarura, gravedad.
Abstract
In this brief article is intended to illustrate some important aspects of what is known as Theory
of Relativity, as is well known this is a huge theory that modi…es the classical conceptions of
space and time, and also uni…es the concepts of gravity and acceleration all within a very elegant
geometric frame, so the pretense of this modest work is very poor face as portentous theory, I
hope this small work a starting point for those interested to follow the development of the science.
PACS : 04.50.-h, 04.50.Kd, 14.70.Kv
Keywords: coordinate system, Lorentz invariance, spacetime, curvarura, gravity.
c 2015. Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica. Todos los derechos reservados.
Introducción
Nos encontramos frente a quizá, la mayor o una de las mayores teorías físicas existentes, se trata de la Teoría
General de la Relatividad. Mucho se ha escrito sobre ella, y es muy seguro que se continue escribiendo sobre
la misma. Es increíble como esta teoría atrapa, conjuga, enmarca, extiende y cubre una amplia cantidad de
fenómenos y situaciones físicas diversas, su amplitud, su coherencia y su belleza es enigmática, asombrosa y
paradigmática en el análisis y pensamiento cientí…co de todos los tiempos. En este corto artículo se mostrará
de forma compacta el marco teórico, es decir, matemático, que permite expresar las leyes físicas en términos
relativistas, aún más, se ilustra la estructura matemática que sustenta dicha teoría, sin, por su puesto pretender
3
2
3
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
ser un tratado, sólo es un bosquejo, un punto de partida. Igualmente, nos encontramos este año celebrando
el centenario de la aparición de la Teoría General de la Relatividad y aunque no era mi propósito ni es mi
pretención rendir homenaje a dicha teoría con este pequeño artículo, sí me parece que es muy importante
recordar los principios básicos que la fundamentan, más hoy día, donde encontramos múltiples teorías que dan
la sensación de haber perdido de vista el panórama inicialmente planteado por la Relatividad General o por lo
menos sus aspectos experimentales y observacionales.
Relatividad General
En está sección se describirá lo concerniente con el modelo estándar de la gravedad, es decir, la Teoría General de
la Relatividad de Einstein, la cual claramente debe ser incluida en cualquier descripción completa de las fuerzas
de la naturaleza. Talvez, puede parecer sorprendente que hoy día tengamos un esquema teórico que uni…ca todas
las fuerzas de la naturaleza pero que no incluye la gravedad. Por tanto es menester, encontrar un marco teórico
consistente donde la gravedad sea incorporada en una teoría uni…cada. Existen varios índicios de que esto debe
ser así, a saber
1. Ésta es, como se mostrará, una teoría gauge, con una estructura que es similar, aunque no idéntica a otras
teorías.
2. Por sí misma, no proporciona una teoría de campos cuánticos renormalizable o …nita.
3. Ésto surge naturalmente en alguna aproximación para ir más allá del modelo estándar, es decir, a travéz
de una supersimetría local y de supercuerdas.
4. Su escala de masa básica, la así llamada masa de Planck, no es muy diferente de la escala de uni…cación
de las otras fuerzas.
5. La relatividad general es una teoría muy elegante por lo cual la hace modelo para las otras fuerzas e
interacciones de la naturaleza.
6. La relatividad general puede simpli…carse para obtener los resultados clásicos y las predicciones conven-
cionales.
7. Se de…ne una entidad única llamada espaciotiempo, el cual se modela como una variedad matemática.
Bueno, lo mencionado anteriormente, es un elemento de indiscutible importancia dentro de la comprensión
del mundo físico, pero no es el único, la gravedad sigue siendo una fuerza o interacción determinate, en el origen y
evolución del universo, es aún una fuerza misteriosa, evocativa, sorprendente, por ello la preponderancia que tiene
la relatividad general como la mejor aproximación a la gravedad o la mejor descripción actual. Evidentemente,
nos encontramos frente a un singular aspecto de la naturaleza, la gravedad, considero que ésta es solo un elemento
o constituyente natural, que quizá, en el futuro se revelen propiedades desconocidas de esta misteriosa interacción,
o más inquietantemente que encontremos interacciones semejantes a la interacción gravitacional o descubramos
leyes y principios que no conocemos de ella.
En lo siguiente se desarrollaran algunos aspectos teóricos, basados en el formalismo de las tetradas[1] [2] [3].
Principio de Equivalencia
La gravedad es única entre las fuerzas conocidas de la naturaleza debido a que ésta tiene el mismo efecto sobre
todos los cuerpos de la naturaleza. Esto se in…ere de la proporcionalidad existente entre la fuerza gravitacional
sobre un objeto y la masa de los objetos, un hecho que es algunas vecés establecido como la igualdad de la
"masa gravitacional" y la "masa inercial". Pruebas precisas de esta igualdad fueron hechas por Eötvös[3], cuyos
experimentos muestran que una amplia variedad de cuerpos experimentan la misma aceleración en un campo
gravitacional dado sin consideración de su masa o composición. Una consecuencia de está igualdad es que el efecto
de cualquier campo gravitacional constante puede ser eliminado trabajando en un sistema coordenado acelerado
adecuado, por ejemplo un "ascensor callendo libremente", esto es llamado el "principio de equivalencia débil" .
La simetría fundamental del modelo estándar gravitacional es precisamente éste principio o PED, la prueba más
precisa de la manifestación del PED es la universalidad de la caída libre o por sus siglas en iglés UFF, aunque
a la fecha no se ha detectado ninguna violación del UFF, existen fuertes razones para considerar que una teoría
cuántica de la gravedad viola está simetría para alguna escala de longitud. Puede resumirse la situación diciendo
2
4
4
ninguno de nuestros resultados será alterado si permitimos que el número de dimensiones espaciales se incremento
(3)
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
COORDENADAS GENERALES
que casi todas las aproximaciones para extender el marco de trabajo actual de la física (modos Kaluza-Klein,
teoría de cuerdas, supercuerdas, supergravedad, p-branes, branes, supersimetrías,…..) predicen la existencia de
nuevas interacciones mediadas por campos escalares o vectoriales que violan la UFF. El principio de equivalencia
débil, también se puede expresar de la siguiente manera: el movimiento de cualquier partícula de prueba callendo
libremente es independiente de su composición o estructura, donde una partícula de prueba es de…nida como
un cuerpo que es electricamente neutro, que tiene una energía de ligadura gravitacional despreciable comparada
con su energía en reposo, con un momentum angular despreciable, y que sea su…cientemente pequeño para
que las inhomogenéidades del campo gravitacional dentro de su volumen tenga efectos despreciables sobre su
movimiento[1] [2] [3].
De forma más general, podemos escoger sistemas coordenados tal que localmente el campo gravitacional
puede ser eliminado, esto se conoce como el "principio de equivalencia fuerte" o PEF, el cual asegura, que en
una región su…cientemente pequeña de espacio los campos gravitacionales y los marcos de referencia acelerados
tienen efectos idénticos (equivalencia aceleración-gravedad). Desde la perspectiva de la física de partículas,
concerniente con el estudio de fuerzas, es probablemente mejor pensar el principio de equivalencia no como una
manera de eliminar la gravedad, sino como el medio que nos permite usar cualquier sistema coordenado, no sólo
inercial, es decir sistemas no acelerados, para lo cual estamos restringidos si la gravedad es excluida. Igualmente,
se tiene que en un marco callendo libremente no local se puede detectar la existencia de un campo gravitacional,
considerando el movimiento de partículas de prueba como en el principio de equivalencia débil, o desde cualquier
otro fenómeno de física relativista especial, por lo cual se puede establecer que para cada evento puntual del
espaciotiempo, existe una vecindad su…cientemente pequeña, tal que en cada marco local callendo libremente en
esta vecindad, todas las leyes físicas no gravitacionales obedecen las leyes de la relatividad especial. Además si
se reemplaza en el enunciado todas las leyes físicas no gravitacionales por todas las leyes físicas, se obtiene el así
llamado principio de equivalencia fuerte[3] [4].
Coordenadas generales
Para expresar está idea en forma matemática, comenzamos escogiendo un conjunto de coordenadas tal que en
cada punto del espaciotiempo podemos asignar un conjunto de valores dado por fx ; = 0; 1; 2; 3g: En efecto,
con d 1 > 3 , y esto será importante para otros …nes, pero aún más, el marco teórico de la relatividad general
permite extender el número de dimensiones espaciales sin modi…car sustancialmente sus principios y alcances[1].
En cada punto del espaciotiempo se de…ne un conjunto de cuatro vectores (generalmente muchos más) n ,
cada uno de los cuales está en la dirección de los ejes coordenados, además son vectores unitarios, en el sentido
de que sus longitudes corresponden a incrementos unitarios de las coordenadas. Entonces, se puede obtener el
incremento de los cuatro vectores desde el punto x al punto adyacente o vecino x + dx dado por
dx = dx n ,
(1)
ahora, se de…ne el tensor métrico como g
asociado con estas coordenadas introduciendo un producto escalar
g
= n n = g
,
(2)
con esto, la "distancia" o intervalo espaciotemporal ds; entre los puntos x
y x +dx ; está dada por el producto
escalar
ds2 = dxdx = g dx dx ,
entonces en cada punto del espaciotiempo x , se introduce un sistema coordenado local, es decir en términos del
principio de equivalencia "un ascensor que cae libremente", por lo tanto un sistema en el cual no existe ninguna
fuerza gravitacional. Se de…ne este sistema por un conjunto de vectores en , con n = 0; 1; 2; 3 el cual satisface
em en =
mn
,
(4)
en donde
mn
es el tensor métrico del espacio plano de Minkowski,
3
4
,
donde
m
mn
mn
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COORDENADAS GENERALES
mn
= diag(+1; 1; 1; 1; ::::) ,
(5)
así, de este modo al conjunto de vectores en se le llama una tétrada, término apropiado sólo para d = 4 . De
esta forma se puede expresar cualquier miembro de una tetrada en términos de los vectores unitarios del sistema
coordenado general, haciendo
en = en n ,
(6)
por medio de la tétrada en . La teoría de las tétradas es un caso especial para una variedad diferenciable
cuatridimensional. Se aplica a la métrica de cualquier signatura, en cualquier dimensión, y para una seudo-
geometría de Riemann, junto con una teoría de la conexión de Cartan, esto es un método alternativo en geometría
diferencial. En diversos contextos también se ha llamado método del marco ortonormal, repère mobile, forma
de soldaje, forma no holonómica ortonormal. Esta sección es un acercamiento a las tétradas, pero escrito en
términos generales. En otras dimensiones distintas de 4, se han utilizado palabras como tríada, péntada, funfbein,
elfbein, etc.. Vielbein cubre todas las dimensiones. Si se busca una notación de índice base-dependiente, ver
tétrada (notación de índice).
Mediante la combinación adecuada de algunas expresiones anteriores se encuentra la siguiente relación[1]
g em en =
mn
,
(7)
por lo tanto se espera que se puedan escoger los em para que varien continuamante de punto a punto del
espaciotiempo, así, que los em se consideran como una función diferenciable de x . En cualquier región local
este será el caso si se tiene un campo gravitacional sin discontinuidades. Sin embargo dependiendo de la topología
de la variedad, tal escogencia puede no ser posible globalmente, o sobre toda la variedad espaciotemporal. Como
ejemplo trivial de tal restricción topológica, recuérdese el hecho de que una super…cie bidimensional de una esfera
en tres dimensiones no es posible de…nir un campo vectorial unitario continuo sobre la super…cie, por ello se
divide la variedad en dos regiones que se sobrelapan, donde se de…nen tétradas variando continuamente en cada
una de ellas.
Bien, ahora se introduce la tétrada inversa, em mediante
em em =
es el delta de Kronecker. Por lo tanto en = en n lo cual conduce a
n = en en ,
si multiplicamos esto por em se puede deducir que
(8)
(9)
em en =
n
m
,
(10)
de tal forma que se puede encontrar que
g
= em en
mn
,
(11)
por lo tanto en este sentido, la tétrada e puede ser considerada como "la raíz cuadrada" de la métrica g ; así
que el conocimiento completo de la tétrada determina completamente la métrica.
Es útil ahora introducir la métrica plana mn , la cual se de…ne numéricamente idéntica a mn , por con-
siguiente claramente se tiene la idéntidad
np
mp
=
n
m
,
(12)
la cual permite subir índices con
o bajar índices con
, por ejemplo se puede de…nir
em =
mn
en .
(13)
4
5
,
5
n
,
,
n
n
0 1
n
m = @ 0
(21)
0 1 0 A
c
1
e
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TRANSFORMACIÓN LOCAL DE LORENTZ
Similarmente, para coordenadas espaciales generales es conveniente introducir el tensor métrico inverso, g
de…nido por
g
g
=
,
(14)
de forma similar se puede subir o bajar índices, por ejemplo
con lo cual se puede mostrar que
em = g em , x = g x ,
(15)
g
= em en
mn
.
(16)
Hasta este momento, se ha hecho una descripción matemática sobre el espaciotiempo, pero la "física" entra
a travéz de la hipótesis de la invarianza de las leyes físicas: en partícular de que las leyes de la física deben ser
invariantes bajo una transformación general de coordenadas (TCG), y bajo una transformación de Lorentz local
(TLL), es decir, bajo rotaciones de las tétradas. En otros términos, la validéz de las ecuaciones fundamentales no
debe depender de la escogencia o asignación de las coordenadas x , o de las tétradas en : Este es el hecho por el
cual la escogencia de tétradas puede hacerse independiente de cada punto del espaciotiempo, tal que suministre
un vínculo entre la gravedad y las teorías gauge[3] [4] [5].
Transformación local de Lorentz
Se considera, primero los efectos de una transformación local de Lorentz (TLL), esto es una rotación de la
tétrada, lo cual se expresa como[1] [4]
em ! em =
que según lo mencinado anteriormente, se cumple que
em en =
lo cual implica que
m en
mn
(17)
(18)
p
m
q
n pq
=
mn
,
(19)
notése que si el factor fuera reemplazado por el de Kronecker esta ecuación nos diría que m seria una
matriz ortogonal. Los facotores se presentan porque m es una representación del grupo O(1; 3) además de
O(4), entonces podemos escribir la última expresión como
kp
np
=
k
n
.
(20)
Un ejemplo frecuente de una transformación local de Lorentz son los llamados "boots", de…nido mediante
una velocidad v a lo largo de los tres ejes coordenados, donde la correspondiente matriz de "rotación" es
0 0
B 0 0 0 0 C ,
donde, como es usual tenemos = v y = (1 ) 1=2 : De este modo para encontrar la correspondiente regla
de transformación para las componentes de un vector se considera, por ejemplo,
x = xm ^m ,
5
(22)
5
n
,
e0
e
m x
,
0
n x
.
,
k
n
,
0
k e
.
n
donde
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TRANSFORMACIÓN LOCAL DE LORENTZ
de tal forma que este vector en el sistema coordenado transformado, se puede expresar como
además, se puede encontrar que
x = x0m ^m = x0m
m ^n
(23)
expresión que se puede invertir para dar
xn =
x m =
n 0 m
m n
(24)
(25)
Ahora, consideremos la transformación de la derivada de una función o campo escalar, para lo cual tenemos
@
@xm
!
@
@x0 m =
@ @xk
@xk @x0 m
=
k
m
@
@xk
(26)
o de forma más concisa
(@m )0 =
m (@k
) .
(27)
Se puede observar que la derivada respecto a xm se transforma como un índice que baja la componente covariante,
entonces, una cantidad de dos índices se transformará como
em =
m en
(28)
de lo cual se puede encontrar la siguiente transformación
e0m =
m k
(29)
De este modo, para muchos propósitos es conveniente considerar sólo transformaciones locales de Lorentz
(LLT) in…nitesimales, las cuales se pueden expresar como
n
m
=
n
m
+
n
m
,
(30)
donde la matriz m es pequeña o in…nitesimal. Así, de esta forma podemos expresar la transformación general
a primer orden como
p q
pq ( m n
+
p q
m n )
=0 ,
(31)
o equivalentemente como
nm
=
mn
.
(32)
Volvamos al efecto de una transformación de coordenadas general la cual se puede escribir como
x ! x0 = x +
(x) ,
(33)
(x) es alguna función continua de x. De este modo las componentes de un vector dx se transforman
como
dx ! dx0 =
@x0
@x
dx =
+
@
@x
dx ,
(34)
esta expresión permite obtener la transformación asociada con cualquier índice contravariante (índice griego
superior), por ejemplo tenemos
em (x) ! e0 (x0 ) =
+
@
@x
em (x) ,
(35)
6
7
e ,
m
6
donde
m
m p
p m
=
7
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donde hemos tomado sólo términos a primer orden en
EL LAGRANGIANO DE EINSTEIN
; de tal modo que el cambio en em (x) está dado por
T GC (em )
=
@
@x m
(36)
con esta expresión y con algunos desarrollos algebraicos adicionales podemos obtener[1] [2] [3]
T GC (e )
=
@
@x
em .
(37)
Estas últimas expresiones constituyen la transformación general de coordenadas, las cuales son de gran
importancia en la relatividad general.
Derivada Covariante
Las ecuaciones de la física contendran derivadas de campos tensoriales y por lo tanto es necesario de…nir derivadas
covariantes las cuales deben contener las propiedades de transformación correctas de las transformaciones locales
de Lorentz TLL y de la transformación general de coordenadas TGC. De…nimos la derivada covariante de em
mediante la siguiente relación[1] [2] [3]
D em = @ em
em + !mn en ,
(38)
es la conexión asociada con la transformación general de coordenadas, es referido como símbolo de
Christo¤el, el cual no es un tensor. De forma análoga !mn se se asocia con la transformación local de Lorentz y
es un vector bajo la transformación general de coordenadas, este vector es llamado la "conexión de espín", ahora
se cálcula como !mn se transforma bajo una TLL requiriéndo que D em tenga las propiedades de transformación
adecuadas, de tal modo que tenemos
T LL (D
em ) =
m
n (D
en ) =
m
n (@
en
en + !nk ek ) ,
(39)
bajo algunos desarrollos algebraicos podemos obtener
T LL (! n )
=
@
m
n
+
p ! n
n ! p
,
(40)
de forma análoga, se encuentra para
el siguiente resultado
T GC (
)=
@ @
(@
)
(@
)
+ (@
)
,
(41)
estos desarrollos muestran que las conexiones no se transforman como tensores.
Ahora, el siguiente paso es obtener el lagrangiano para los campos em , !mn ,
. Sin embargo en la
teoría de Einstein de la relatividad no existen campos independientes. En lugar de ello, las dos conexiones son
postuladas como funciones de em que junto a los desarrollos obtenidos anteriormente lleva a expresiones únicas
para estas conexiones, en partícular tenemos
=
1
2
g
[@ g
+ @ g
@ g ] ,
(42)
esto tiene la importante propiedad simétrica
lo cual implica que D D
= D D
para cualquier
campo escalar . De esta forma se dice que el espacio tiene "torsión" cero[1].
El lagrangiano de Einstein
Se puede introducir un tensor muy importante conocido como el tensor de intensidad-esfuerzo, el cual se construye
para incorporar los contenidos y la dinámica de la materia energía, se denota como T ; el cual se construye
para situaciones especiales. De igual forma se introduce el siguiente tensor[1]
7
7
k
k
=
! . Entoces se debe construir un escalar
,
1
,
entonces se puede determinar la integral de acción de…nida por
Z
2 m
2 n
2 m n
1
1
2
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EL LAGRANGIANO DE EINSTEIN
Rmn = @ !mn
@ !mn + !m !kn
!m !kn ,
(43)
se puede mostrar que esta cantidad se transforma como un tensor de dos índices, bajo tansformaciones TGC y
TLL. Se puede observar que no se ha introducido las conexiones
porque ellas se cancelan, ya que
mientras que Rmn es antisimétrico bajo permutación de índices
del ‘cuadrado’de Rmn con los índices adecuadamente contraídos, esto conduce a un término del lagrangiano, el
cual debe contener la energía cinética de los !mn , entonces se puede representar de forma independiente, campos
que se propagan. Ahora formamos una cantidad escalar R , de…niendo
R = Rmn em en ,
con lo cual se escribe el Lagrangiano de Einstein como
(44)
donde se de…ne e como
L(E) =
e = det(em ) = det(em )
eR
2 2
1=2
= [ det(g )]
(45)
(46)
de tal manera que podemos pensar que L(E) es una densidad escalar. Como R es invariante bajo una TGC,
S(E) = d4 xL(E) . (47)
La cantidad es una constante arbitraria que no juega ningún rol a menos que se introduzcan términos de
materia adicionales. Como R tiene dimensiones de (longitud) 2 y la densidad lagrangiana tiene dimensiones
de (energ{a)(longitud) 3 , se sigue que 2 tiene dimensiones de (longitud)(energ{a) 1 , o equivalentemente en
unidades tal que h= c = 1; así tendría dimensiones de (masa) 1 :
Las ecuaciones clásicas de movimiento para los campos !mn y en son obtenidas minimizando la acción,
de…nida anteriormente, respecto a los campos, entonces de este modo encontramos la ecuación de movimiento
respecto a !mn ; la cual es
!
mn
=
1
e (@ en
@ en )
1
e (@ em
@ em )
1
e e (@ ep
@ ep )ep .
(48)
Esta es una ecuación puramente algebraica, porque en el lagrangiano las derivadas de !mn sólo se consideran
los términos lineales, lo cual posibilita la eliminación de los !mn en favor de los em :
Ahora bien, minimizando la acción respecto em rapidamente, se observa que se requiere
(Rmn en + Rnm en )e + Rpn ep en
e
em
=0 .
(49)
Bien, recordemos el resultado general que se tiene para cualquier matriz M
(det(M))
Mjk
= det(M)(M
)kj ,
(50)
así, podemos obtener
e
em
=
eem ,
(51)
con lo cual obtenemos
Rmn en
R em = 0 ,
8
(52)
8
.
.
1=2
c
8
,
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EL TENSOR DE CURVATURA
donde se ha hecho uso de las propiedades de antisimetrización de Rmn , mediante algunos pasos algebraicos se
obtiene
R
1
2
Rg
=0 ,
(53)
donde R = Rmn en em :
La ecuación obtenidad anteriormente, es la ecuación de Einstein para em , y de este modo para la métrica g ,
en el espacio vacío. La ecuación es no lineal y tiene muchas soluciones, en analogía con las múltiples trayectorias
obtenidas para un cuerpo que se lanza con diferentes condiciones iniciales en mecánica clásica.
El proceso matemático que se ha seguido, en el cual !mn y em son considerados como campos independientes,
se conoce con el nombre de ‘formalismo a primer orden’o formalismo de ‘Palatini’ Un proceso alterno se sigue
con la conexión de spín como una función de em ; con este proceso conduce a un lagrangiano que contiene sólo
campos em . Este proceso es referido como ‘formalismo a segundo orden’ A nivel clásico y en ausencia de
materia, los dos procesos anotados anteriormente son idénticos[1].
La versión cuantizada de los dos formalismos no necesariamante es la misma, ya que el formalismo a primer
orden permite ‡uctuaciones cuánticas de !mn alrededor del valor clásico. También, con la inclusión de materia
en el Lagrangiano, el formalismo a primer orden da un !mn que en general depende de otros campos, así los dos
formalismos dan diferentes resultados, aun clasicamente. Sin embargo, estas diferencias solo aparecen para altos
ordenes del acople gravitacional, y así de este modo unicamente se afectan las distancias muy cortas del orden
de la longitud de Planck lP = hG3N
1:6 10 35 m.
El tensor de Curvatura
Se obtienen propiedades de los símbolos R introducidos anteriormente. Esto suministrará un vínculo entre
la aproximación considerada y tratamientos más generales. En primer lugar bajamos los índices de Rmn
mediante[1] [2] [3] [4]
R
= Rmn em en ,
(54)
esta cantidad es conocida como el tensor de curvatura de Riemann-Cristo¤el. Tomando las expresiones anteri-
ormente halladas de !mn en la de…nición de Rmn ; conseguimos expresar este tensor en términos de los em y de
este modo en términos de la métrica, con lo cual se encuentra
R
=
1
2
[@ @ g
@ @ g
@ @ g + @ @ g ]+
(55)
así, se pueden obtener las siguientes relaciones de simetría-antisimetría
R
=
R
=
R
= R
.
(56)
Una consecuencia de estas relaciones, es que en el espaciotiempo cudri-dimensional, unicamente 20 de las 44 =
256 componentes de R
son independientes. Estas 20 componentes de…nen completamente las propiedades
de curvatura del espaciotiempo. Todos los elementos del tensor de Riemann-Cristo¤el son cero, si solamente sí,
el espacio es plano, es decir si, las coordenadas se pueden escoger de tal forma que g =
; note que si esto
no es cierto en un sistema coordenado dado no se puede asumir que el espacio no sea plano. La única manera
que podemos estar seguros es calcular los R
y mostrar que al menos una de las componentes es diferente de
cero.
El tensor de dos índices R que aparece en la ecuación de Einstein se conoce con el nombre de tensor de
Ricci, y se relaciona con el tensor R
mediante
Rmn = R
em en ,
(57)
de tal modo que con algun paso algebraico adicional obtenemos
9
9
9
Z
(62)
Z
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INCLUSIÓN DE MATERIA
R
= R
em en em en = R
g
,
(58)
lo que permite concluir que R = R : Además, el tensor de Ricci es simétrico, es decir R = R :
Ahora bién, la contracción de los dos índices del tensor de Ricci conduce al escalar de curvatura R; dado por
R = g
R
= R ,
(59)
se puede mostrar que los siguientes pasos son equivalentes
R = g
R
= g
g
R
= g
g
Rmn em en = Rmn em en .
(60)
Es importante mencionar que unicamente el tensor de Riemann-Cristo¤el R
con sus 20 componentes
independientes contiene toda la información acerca del espacio, ya que R unicamente tiene 10 componentes y
R tiene unicamente una componente. Por lo tanto, cuando R
sea idénticamente cero, ambos R y R son
también cero, pero lo contrario de esto no necesariamente es cierto. Un espacio donde R = 0 se dice que es
un espacio plano de Ricci, pero un espacio plano de Ricci no necesariamente es plano.
Finalmente, se da una relación útil para R ; la cual se puede deducir de algunas consideraciones algebraicas[5]
R
= @
@
+
.
Inclusión de Materia
Con el …n de relacionar el tratamiento puramente geométrico, se hace necesario introducir la materia-energía, lo
cual brindará la posibilidad de crear un marco físico, para ello se considera una nueva acción de…nida como[1]
S = S(E) + S(M ) ,
(61)
donde el término S(M ) describe los fermiones, los bosones, los campos gauge, etc. Claramente, se requere que
S(M ) también sea invariante bajo TLL y TGC.
Así, podemos escribir S(M ) en términos de la densidad Lagrangiana, dada por
S(M ) = d4 xL(M ) ,
y esta puede ser expresada en términos de un esclar U como
L(M ) = eU .
Por lo tanto, cuando variamos la acción respecto a em , se obtiene
(63)
S
(M )
= d4 xe
U
em
em U em ,
(64)
asi, podemos de…nir T
mediante
T
=
em
U
em
em U
,
(65)
entonces, la ecuación de Einstein es ahora expresada como
R
1
2
Rg =
2
T ,
(66)
donde el factor 2 , suministra el acople entre materia y campos gravitacionales y el tensor T es conocido
familiarmente como el tensor momentum-energía, el cual se puede obtener para algunos casos concretos.
La ecuación de campo obtenida muestra que, en la presencia de un tensor de momentum-energía no cero, el
tensor R 6= 0; así que el espacio no puede ser plano de Ricci.
10
9
densidad de energía de fondo constante
donde
la
,
nm
!
,
,
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
INCLUSIÓN DE MATERIA
Bién, se consideraran algunos casos para L(M ) ; uno de los casos más simples consiste en considerar una
L(cosm o) =
e
2
,
(67)
es llamada la constante cosmológica, entonces se obtiene para el tensor momentum-energía
T
=
g
2
,
(68)
con lo cual la ecuación de Einstein toma la forma[2]
R
1
2
Rg + g = 0 ,
(69)
podemos, mirar que la gravedad (curvatura), debido al acople con la energía, da un signi…cado al valor absoluto de
la energía potencial, un signi…cado que está ausente en la física no gravitacional donde unicamente las fuerzas-las
derivadas de la energía potencial-tienen signi…cado, además, empiricamente, es en cualquier escala razonable
muy pequeña, un hecho que no se entiende hoy día (problema de la constante cosmológica).
1
Como segundo ejemplo de un lagrangiano de materia, consideremos un campo sin masa de espin- 2 , entonces,
en el espacio plano el Lagrangiano está dado por
L(1/2) = i
@
,
(70)
de este modo, con el …n de generalizar esto, reemplazamos @
por una derivada covariante apropiada D
cual debe transformarse como un espinor bajo una TLL y como un vector bajo una TGC, es decir
T LL (D
)=
i
4
nm
nm D
(71)
donde
nm
son los parámetros in…nitesimales, y
T GC (D
)=
@
@x
D
,
(72)
se observa que
está de…nido en términos de las matrices de Dirac usuales en un espacio plano, es decir como
nm
=
1
2
i(
n m
m n )
.
(73)
Estas ecuaciones son satisfechas poniendo
D
= @
i mn
4
mn
(74)
lo cual permite entender porque !mn
Lagrangiana se puede expresar como
es referido como la conexión de espín. Con lo anterior, la nueva densidad
L(1/2) = ie
D
(75)
donde e es introducido porque L es una densidad escalar, y donde los
= en
n
,
(76)
son las matrices en espacios curvos que, en general, son funciones de x :
Un ejemplo …nal, considera una partícula clásica simple de masa m; entonces, el camino seguido por esta
partícula puede ser escrito en forma paramétrica como
x = x ( ) ,
11
(77)
9
h i1=2
2
Z h i1=2
(p)
4
Z Z h i1=2
(p) 4
S(p)
em
Z
(x
d h
i1=2
0
1
2
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
INCLUSIÓN DE MATERIA
donde el parámetro de…ne la posición de la partícula sobre la trayectoria, un posible parámetro puede ser
la coordenada temporal = x0 , pero se pueden considerar otros tipos de parámetros. Entonces bajo estas
consideraciones, se puede construir un lagrangiano escalar de…nido por
L(p) = m g x x , (78)
donde el punto denota la derivada respecto al llamado parámetro afín. Se puede interpretar la expresión anterior
si se considera que no existe campo gravitacional, por lo cual se puede identi…car g =
como x0 y adicionalmente se toma el límite no relativista o bajas velocidades, se obtiene
y si se considera
L(p) =
m(1
2
x )1=2
1
m + mx + :::::: ,
2
(79)
lo cual, si no consideramos la masa en reposo, basicamnete se obtiene la energía cinética de la partícula. Ahora
bien, si se considera la acción
S = m d g x x , (80)
es proporcional a la longitud de la trayectoria entre sus puntos …nales. Esta interpretación geométrica, permite
veri…car la invarianza de la reparametrización de S(p) , es decir la invarianza bajo
! f ( ) .
(81)
Ahora, con el …n de escribir la acción como una integral sobre todo el espacio, se introduce una función delta,
tal que
S = m d x d g x x (x x( )) , (82)
entonces, si se realizan las variaciones sobre esta acción, se encuentra el tensor momentum-energía de una
partícula simple, el cual es
x x 4
T (p) = m
x( )) . (83)
g x x
Por lo tanto minimizando la acción respecto a las variaciones en x ( ) , determinamos la ecuación para la
trayectoria, la cual es más fácil de expresar cuando se escoge como el tiempo propio, la cual es la longitud de
camino de…nida por
d = (g dx dx )1=2 .
Así, en el límite no relativista, con campo gravitacional cero, y con
a las llamadas ecuaciones de movimiento, de…nidas por
(84)
siendo el tiempo ordinario x ; llegamos
g
x +
@g
@x
x x
1 @g
2 @x
x x =0 ,
(85)
la cual se puede expresar como
x + g (@ g
@ g )x x = 0 ,
(86)
y haciendo uso de los símbolos de Christo¤el, se puede expresar como
x +
x x =0 ,
12
(87)
g (@ g
1
(
) (
=
3
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
10 LÍMITE NEWTONIANO
donde se puede interpretar esta ecuación como una generalización de la primera ley de Newton que describe, en
un sistema coordenado arbitrario, el movimiento de una partícula en un campo gravitacional, además el camino
se interpreta como una geodésica que corresponde a un extremo de la longitud de camino entre los puntos …nales,
de hecho la longitud es medida respecto a la métrica g , y es en ésta métrica donde se incorpora el efecto de la
gravedad[3] [4].
10
Límite Newtoniano
Con el …n de ilustrar la relación entre relatividad general y la teoría clásica de Newton, consideremos el movi-
miento de una partícula de masa m en un fondo generado por un campo gravitacional, es decir un campo
determinado por alguna fuente externa, en otros téminos un espaciotiempo curvo debido a la presencia de una
fuente de materia-energía. Entonces ignoremos los efectos de la partícula en si misma sobre el campo grav-
itacional ya que esta solo contribuye con correcciones a segundo orden en el movimiento de la partícula. De esta
forma el camino de la partícula está dado por x ( ) , donde usamos la asignación = x0 ; bien, con esto en
mente consideremos movimiento no relativista, es decir baja energía, poca velocidad, y masa muy pequeña de
0
la partícula, lo cual nos conduce a despreciar x en comparación a x = 1.
Ahora, consideremos algo más, tomemos el campo gravitacional que sea estático, por lo tanto @0 g = 0
, y que además sea un campo débil o de baja intensidad, esto signi…ca que podemos considerar un sistema
coordenado cuasi-cartesiano tal que[1]
g
=
+ h
,
(88)
donde jh j