T m o n o ia e o ia e o a a a a ia e C v io u Cuando ansiamos
respuestas l´gicas observamos se˜ales. Cada hecho
indica algo preciso para iluminar nuestro itinerario. Explorando
la Relatividad Especial 1. Expresi´n transformada de la
energ´ cin´tica Tradicionalmente se recurre al
desarrollo en serie para comparar la f´rmula relativista de
la energ´ cin´tica con la f´rmula
cl´sica. Hay un modo m´s directo y m´s
did´ctico, que a los estudiantes de todos los niveles les
resulta convincente. S´imbolos energ´ cin´tica
masa en movimiento m0 masa en reposo velocidad de la luz en el
vac´ velocidad del objeto Transformaci´n Escribamos
las ecuaciones de partida. m0 = m 1 – v2 C 2 (1) T = (m – m0 )C 2
En (2) reemplazamos m0 como indica (1). (2) T = m – m 1 – v2 C 2
C 2 (3) Extraemos factor com´n m . T = m 1 – 1 – v2 C 2 C 2
(4) 1
. 2 C C C C l´ o a o 2 C 2 C C C En el miembro derecho
multiplicamos y dividimos por 1+ 1 – v2 C 2 Despu´s
operamos. T = m 1 – v2 1 – C 2 1+ 1+ v 1 – 2 1 – v2 C 2 C 2 (5)
Aplicamos propiedad distributiva. Despu´s simpli?camos. T =
m 1+ v2 v2 1 – 2 (6) En (1) despejamos m y aplicamos eso en (6).
T = m0 1+ v2 v2 1 – 2 v2 1 – 2 (7) v Los estudiantes comprueban
que en el imite para ? 0 el denominador C tiende a 2,
coincidiendo con la f´rmula cl´sica. Eso los
tranquiliza. 2. Semejanza con la derivada de un logaritmo
Simbolicemos u a la funci´n siguiente. u = v . ln 1 + 1 –
v2 C 2 (8) Derivamos. du dv = ln 1 + 1 – v2 C 2 + v . 1+ 1 v 1 –
2 1 2 1 v 1 – 2 (-2v) C 2 (9) Simpli?camos y ordenamos. du dv =
ln 1 + 1 – v2 C 2 – 1 C 2 1+ v2 v2 1 – 2 v2 1 – 2 (10) 2
e 2 C 2 C C C C C du dv o e ia e u o o a f´ o i? Hacemos
pasaje de t´rminos. 1 C 2 1+ v2 v 1 – 2 v 1 – 2 = ln 1 + 1
– v2 C 2 – du dv (11) En (8) dividimos ambos miembros por v . u v
= ln 1 + 1 – v2 C 2 (12) En (11) aplicamos (12) . 1 C 2 1+ v2 v2
1 – 2 v2 1 – 2 = u du – v dv (13) Multiplicamos por m0 C 2 ambos
miembros m0 1+ v2 v2 1 – 2 v2 1 – 2 = m0 C 2 u du – v dv (14)
Reemplazamos el miembro izquierdo de (14) por T , como indica
(7). T = m0 C 2 Siendo T funci´n de v solamente,
incremental. u du – v dv es simplemente el cociente (15)
Expresada en t´rminos de u , la energ´ cin´tica
existe cuando el cociente com´n u v y el cociente
incremental du dv di?eren. 3. Propiedades de la funci´n u
La funci´n u tiene dimensiones de velocidad. Es la
velocidad observable multiplicada por el logaritmo de 1 m´s
la contracci´n relativista, como vemos en (8).
¿Podemos atribuirle signi?cado isico a una funci´n
as´ 3
a C C o o (e – 1 ) o o o o f´ M´s que discutir ideas,
intentemos en primera instancia examinar propiedades
matem´ticas. Por ejemplo buscar los extremos de u poniendo
en (10) du dv =0 . 0 = ln 1 + 1 – v2 C 2 – 1 C 2 1+ v2 v2 1 – 2
v2 1 – 2 (16) Podemos darle a (16) una forma compacta utilizando
el s´imbolo siguiente. d = ln 1 + 1 – v2 C 2 (17) Expresada
en funci´n de d la ecuaci´n (16) toma la forma
siguiente. De (17) despejamos v2 C 2 0= d – 1 v2 C 2 e d (e d – 1
) (18) v2 C 2 = e d 2 – e d (19) Aplicamos a (18) lo indicado en
(19). Despu´s simpli?camos. 2 – e d 0= d – d (20)
Multiplicamos ambos miembros por e d – 1 Despejamos e d 0 = d e d
– 1 – 2 – e d (21) e d = 2 + d 1 + d (22) Resolver la
ecuaci´n (22) es condici´n previa para calcular los
valores de v asociados con los extremos de la funci´n u .
La de?nici´n (8) muestra que para v = 0 y para v = C , en
ambos casos, resulta u = 0 . Es decir tenemos u = 0 en los topes
del intervalo de velocidad permitido para m0 = 0 . Los ceros de
la funci´n u delimitan condiciones isicas
espec´i?cas. 4
f´ a o ia o a e o u a ia ia o o e ´ o e ia o n a ia a
n a e o e u C v Entre medio de los topes resulta u > 0 . Los
conceptos isicos permiten esperar que u tenga un m´ximo en
esa regi´n. Esto deber´ veri?carse resolviendo a (22)
. 4. Mejor que conclusi´n, invitaci´n El m´ximo
de u corresponde a una velocidad determinada, cuyo valor se
calcula resolviendo a (22). Simbolicemos vq a esa velocidad.
¿Qu´ se puede opinar de lo hecho despu´s de la
de?nici´n (8) ? ¿Complica in´tilmente los
c´lculos o es el primer paso de algo interesante? Me
gustar´ calcular vq y despu´s hacer experimentos
acelerando part´iculas hasta esa velocidad precisa, para
observar detalles del comportamiento. ¿Podr´ u ser
una medida de algo que antes nunca fue tenido en cuenta? Vista
por primera vez, la funci´n u no exhibe un signi?cado
evidente. Lo mismo sucede la primera vez que vemos la
de?nici´n de entrop´ia. Sin la entrop´ia no
sabr´iamos, por ejemplo, qu´ proporci´n de un
monto de energ´ia es util para realizar trabajo. Tal vez
una part´icula en movimiento est´ sujeta a
limitaciones en su interacci´n con el medio circundante.
¿Qu´ ocurrir´ en el caso de existir una
velocidad que imposibilita la interacci´n con el entorno?
So˜emos un poco, imaginando que eso existe y que se produce
cuando u tiene su m´ximo. El medio no actuar´ sobre
la part´icula, ni la part´icula sobre el medio.
Ser´ia un tr´nsito perfectamente inercial, sin
oposici´n, a velocidad constante y en forma indetectable.
So˜emos m´s. Un conjunto de part´iculas en esa
condici´n permanecer´ia dentro del universo como
materia indetectable. Materia normal en un estado especial, que
no permite detectarla por medios convencionales. Ideas de ese
estilo ejempli?can las razones para sentir curiosidad respecto al
signi?cado de u y al comportamiento de la materia en el estado vq
. Iterando num´ricamente, con la ecuaci´n (22) obtuve
un valor d exacto hasta 15 decimales. El d´cimosexto
decimal (´ltimo de la cifra mostrada) es levemente
impreciso. dq = 0, 508554724060375(5) Aplicando ese valor a (19)
obtenemos con la calculadora (23) v2 C 2 = 0,
56058198122474604851481204822425 (24) Radicando tenemos = 0,
7487202289405… 5 (25)
o a ia o a ia o o Esto signi?ca que la funci´n u adquiere
su valor m´ximo cerca de 3 v = C . ¿Hay evidencia
emp´irica de algo interesante que ocurra en esa 4
condici´n ? Ese tipo de evidencia, en caso de existir,
ser´ otro motivo para investigar el desarrollo iniciado en
la de?nici´n (8). He dado a este art´iculo un estilo
distendido, acorde con la sencillez del tema. Por eso
evitar´ agregar en el ?nal referencias bibliogr´?cas,
citas, lecturas recomendadas, etc. Simplemente me gustar´
recibir noticias de alguien que resuelva formalmente la
ecuaci´n (22). Mi correo electr´nico es
carloschiappini@hotmail.com Gracias. 6