CD=5. Encontrar
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN"
CURSO: GEOMETRIA
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UNIVERSIDAD
SAN MARCOS
¡Tú eres el próximo
GEOMETRÍA:
Docente: Dr. Johnny F. Farfán P.
Actualmente la geometría, en sus
diversas concepciones, tiene muchas
aplicaciones, en el campo de la física
(estática), análisis vectorial, en la
ingeniería y arquitectura. Las
construcciones de casas, edificios,
puentes, puertos, etc.
La geometría es una ciencia que
surge de la necesidad de medir los
terrenos y trazar sobre ellas líneas
divisorias. La palabra geometría
deriva de dos palabras griegas geo,
que significa tierra y metron que
significa medir.
Tema Nº1: SEGMENTOS
1. En una recta se tienen los
puntos consecutivos A, B, C,
D de modo que AD=30,
Ab=10, CD=12. Calcular BC.
a.5
b. 6
c. 7
d. 8
e.9
2. En los puntos colineales A, B,
C, D se cumple que BC=5,
AC+BD=20. Hallar AD.
a.10 b. 12 c. 13. d. 14 e. 15
3. Sobre una recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C,
¡
D de modo que AB=4; BC=3;
???? +????
????
d.
a.1, 25 b. 1,21 c. 1,22
1,23 e. 1, 27
4. En una recta se marcan los
puntos consecutivos A, B, C
de modo que AB=10 + x;
BC= 16 – 2x. Encontrar "x", si
B es punto medio del
segmento AC.
a.1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
5. En una recta se ubican los
puntos consecutivos A, B, C
tal que AB+AC=18, luego se
toma el punto medio "M" del
segmento BC. Hallar AM.
a.7 b. 8 c. 9 d. 5 e. 4
6. En una recta se marcan los
puntos consecutivos A, B, C,
luego se toma el punto medio
M del segmento BC.
Encontrar
AM,
si:
????2
4
+
????.???? = 64
a.6 b. 7 c. 8
d. 5 e.4
7. En los puntos colineales A, B,
C, D se cumple que AC=14,
BD=16. Encontrar la longitud
del segmento que une los
puntos medios de los
segmentos AB y CD.
= Encontrar AC.
???? = ???? Hallar AE.
+
=
Hallar CD.
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a.11 b.12 c.13 d.14 e.15
8. Los puntos A, B, C, D, E se
encuentran sobre una línea
recta, de tal forma que:
BC=2AB, AD=20, Además
AB.CE=AC.BD Calcular DE.
a.10 b. 20 c. 30 d. 40 e. 50
9. En los puntos colineales A, B,
C, se toma el punto medio M
del segmento BC de modo
que AB2+AC2=26. Hallar
AM2+BM2
a.10 b.11 c.12 d.13 e.14
10. Sobre una recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C,
D cumpliéndose que
AB.BD=AD.BC, además
1
????
+
1
????
=
2
5
Hallar BC.
a. 2,4
b.2,5 c.2,6 d.2,7
e.2,8
11. En una línea recta se ubican
los puntos A, B, C, D tal que
CD2=AC.BC, además:
1 1 1
???? ???? 13
a.13 b.14 c.15 d.16 e.17
12. Sobre una recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C,
D de modo que
¡
AB.CD=AD.BC,
además:
1
????
+
1
????
1
6
a.11 b.12 c.13 d.14 e.15
13. En una recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C,
D de modo que:
AB.CD=2AD.BC, además:
2
????
+
1
????
=
??
2????
Hallar "n".
a. 4 b.5 c.6 d.7 e.8
14. En una línea recta se tienen
los puntos consecutivos A, B,
C, D, E tal que:
AC+BD+CE=35, además:
3
4
a.10 b.20 c.30 d.40 e.50
15. En una recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C,
D
cumpliéndose que
(AB-CD) (AD+BC)=36, BD=8.
Encontrar AC.
a. 10 b.11 c.12 d.13 e.14
TAREA ACADÉMICA
16. En una línea recta se ubican
los puntos A, B, y Cen el
orden indicado, tal que
AC+BC=10. Calcular MC, si
M es el punto medio de AB.
a.5
b.6
c.7
d.8
e.9
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17. A, B, C, D y E son puntos
colineales y consecutivos de
tal manera que B, C y D son
puntos medios de AC, AE y
BE respectivamente. Calcular
AE, si CD=2
a.12 b.14 c.16 d.18 e.20
18. Sobre una recta se ubican 3
puntos consecutivos A, B y C
tal que la distancia entre los
puntos medios de AB y AC es
36. Calcular BC.
a.70 b.72 c.74 d.78 e.80
19. En una recta se ubican los
puntos consecutivos A, B y C
de modo que Ac=30.
Determinar la distancia entre
los puntos medios de AB y
BC.
a.10 b.15 c.20 d.25 e.30
20. En una recta se ubican los
puntos consecutivos A, B y C
de modo que AC=10 y
BD=12. Determinar la
distancia entre los puntos
medios de AB y CD.
a.11 b.12 c.13 d.14 e.16
Tema Nº2: ÁNGULOS
Desde la invención del ángulo
geométrico, fue posible representar y
comprender los objetos de la
naturaleza mediante gráficas. Por
ejemplo, el equilibrio de las
estructuras es explicado a partir de
las fuerzas que se producen al interior
de los cuerpos. Mediante la valiosa
ayuda de la Geometría
se
establecieron las primeras relaciones
entre ángulos segmentos y fuerzas.
Un desarrollo ulterior de la geometría
es la trigonometría.
DEFINICIÓN
Ángulo es la unión de dos rayos
que tienen un origen común.
ELEMENTOS
– Lados: Son los rayos y
– Vértice: Es el origen común "B"
Notación:
En general los ángulos se
designan con tres letras mayúsculas;
la letra central corresponde al vértice.
Algunas veces, cuando no hay
lugar a confusión un ángulo se
nombra con la letra del vértice.
?
?ABC, ABC
El símbolo ? se
lee "ángulo"
MEDIDA DE UN ÁNGULO
Los ángulos se miden en grados
sexagesimales.Para encontrar la
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medida de un ángulo se utiliza un
instrumento llamado transportador.
Cuando no se conoce la medida, se
representa mediante una letra griega
en la abertura.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es el rayo que partiendo del
vértice, divide al ángulo en dos
ángulos congruentes.
divide al ?A0B en
dos ángulos.
? ?
A0P y P0B que son
congruentes por tener la
misma medida "?" luego.
es bisectriz de ?A0B
CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA
a. Ángulo Nulo
Cuando sus dos lados coinciden
midiendo de esta manera 0º.
¡
. m?A0B = 0º.
b. Ángulo Agudo
Es el ángulo cuya medida es
menor que 90º y mayor que 0º.
. 0º < m?A0B < 90º.
c. Ángulo Recto
Es el ángulo cuya medida es
igual a 90º.
. m?A0B = 90º.
d. Ángulo Obtuso
Es el ángulo cuya medida es
menor que 180º pero mayor que 90º.
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. 90 < m?A0B < 180º.
e. Ángulo Llano
30
Es aquel cuya medida es 180º.
(Sus lados se encuentran extendidos
en direcciones opuestas)
. m?A0B = 180º.
f.
Ángulo de una Vuelta
Es el ángulo cuya medida es
360º
. m?A0B = 360º.
CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN
a. Ángulo Consecutivo
Son los que tienen lados en
común y el mismo vértice
b. Ángulo Opuestos por el
Vértice
Son dos ángulos que tienen el
mismo vértice y sus lados son
opuestos (tienen la misma medida)
CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS SEGÚN LA
COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS
a. Ángulos Complementarios
Dos ángulos son
complementarios si la suma de sus
medidas es 90º.
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.? + ? = 90º .
b. Ángulos Suplementarios
Dos ángulos son suplementarios
si la suma de sus medidas es 180º
.? + ? = 180º.
TEOREMAS FUNDAMENTALES
Teorema I
La suma de las medidas de los
ángulos consecutivos formados
alrededor de un mismo vértice y a un
mismo lado de una recta es 180º
.? + ? + ? + ? = 180º.
Teorema II
La suma de las medidas de los
ángulos consecutivos formados
alrededor de un punto en un plano es
360º.
.? + ? + ? + ? + ? = 360º.
1. Enontrar el complemento de
un ángulo que mide 25º más
el suplemento de otro ángulo
que mide 105º.
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a.120º b.130º c. 140º d. 150º
e. 160º
2. Encontrar la medida de un
ángulo, si es igual a ocho
veces su suplemento.
a.150º b.160º c.170º d.180º
e.185º
3. Encontrar la medida de un
ángulo, sabiendo que su
complemento es igual a 2/5
de su suplemento.
a.10º
b.20º
c.30º
d.40º
e.50º
4. Encontrar la medida de un
ángulo "x" , sabiendo que
SC(x)+SSS(2x)+CC(3x)=390º
a.40º b.50º c.60º d.70º e.80º
5. Las medidas de dos ángulos
suplementarios son entre sí
como 4 es a 5. ¿Cuánto mide
el mayor de los dos ángulos?
a.100º b.120º c.130º d.140º
e.150º
6. La medida de un ángulo es
"x", el suplemento del
complemento del triple de "x"
es igual al complemento de
"x" aumentado en 20º.
Calcular "x".
a.3º
b.4º
c.5º
d.6º
e.7º
7. Si a la medida de un ángulo
se le resta su complemento,
resulta igual a la cuarta parte
de su suplemento. Hallar la
medida del ángulo.
a.40º b.50º c.60º d.70º e.80º
8. Si a uno de dos ángulos
suplementarios se le
disminuye 30º y al otro se le
aumenta 30º, lo que queda
del segundo es igual a 17
veces lo que queda del
primero. Hallar la diferencia
de las medidas de dichos
ángulos.
a.100º b.110º c.120º d.140º
e.145º
9. El complemento de la
diferencia que existe entre el
suplemento y el complemento
de la medida de un ángulo es
igual al duplo del
complemento de dicho
ángulo. Calcular la medida de
dicho ángulo.
a.80º b.60º c.120º d. 90º
e.135º
10. Si al suplemento del
complemento de la medida de
un ángulo se le aumenta el
complemento del suplemento
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de la medida de dicho ángulo,
resulta 90º más el
suplemento de la medida de
dicho ángulo. Hallar la
medida del ángulo.
b.80º
c.75º d. 90º
a.60º
e.45º
11. La medida de un ángulo es
"x", si SC(x)=120º, encontrar
E=SSSSCCC(x).
a.60º b.45º c.90º d.30º e.75º
12. La suma de las medidas de
dos ángulos es igual a 80º, el
complemento del primer
ángulo es el doble del
segundo. Hallar la diferencia
de las medidas de dichos
ángulos.
a.70º b.60º c.40º d.50º e.35º
13. Determinar la medida de un
ángulo, si la suma del
suplemento y el complemento
de dicho ángulo es igual a
160º.
a.45º b.50º c.55º d.60º e.65º
14. Dado los ángulos
consecutivos AOB; BOC y
COD, tal que la suma de
medidas de los ángulos AOC
y BOD es 100º. Calcular la
medida del ángulo AOD, si la
¡
suma de las medidas de los
ángulos AOB y COD es 50º.
a.60º b.65º c.75º d.80º e.85º
15. Sean los ángulos AOB, BOC
y COD tres ángulos
consecutivos. Si mAOC +
mBOD=140º, determinar la
medida del ángulo formado
por las bisectrices de los
ángulos AOB y COD.
a.70º b.75º c.80º d.85º e.90º
TAREA ACADÉMICA
16. El suplemento del
complemento del doble de un
ángulo excede en 42º a los
dos tercios del complemento
del ángulo. Calcular el valor
de dicho ángulo.
a.4,5º
b.5,5º
c.6,5º
d.7,5º
e.8,5º
17. Calcular el valor de un ángulo
sabiendo que los ¾ del
suplemento de su
complemento es igual a un
ángulo recto.
a.10º b.20º c.30º d.40º e.50º
18. Calcular un ángulo si el
complemento de la cuarta
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parte del suplemento del
complemento del ángulo es
igual al complemento del
doble del ángulo más 16º.
a.11º b.22º c.33º d.44º e.55º
19. La medida de un ángulo es
"x". Si la diferencia entre los
5/6 del suplemento de "x" y el
complemento de x/2 excede
en x/15 el doble del
complemento de "x". Calcular
el suplemento del
complemento de "x".
a.150º b.160º c.165º d.170º
e.175º
20. En los ángulos consecutivos
AOB, BOC, COD se cumple
que: mBOD – 3mAOB=60º,
mCOD=3mAOC. Hallar
mBOC.
a.10º b.12º c.14º d.15º e.16º
Tema Nº3: TRIÁNGULOS
CONCEPTO
Es un polígono que tiene tres lados
CLASIFICACIÓN
Según la Medida de sus Lados
Según la Medida de sus Ángulos
PROPIEDADES BÁSICAS
1. La suma de los ángulos interiores
en un triángulo es 180º
.? + ? + ? = 180º.
2. Un ángulo exterior cualquiera es
siempre igual a la suma de los
ángulos interiores no adyacentes
a él.
a.a.a.
A
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.? = ? + ?.
CLASIFICACIÓN
1. Según sus ángulos:
Acuntángulo, sus tres ángulos
interiores son agudos.
un
Obstusángulo, tiene
ángulo interior obstuso.
Rectángulo, tiene un ángulo
interior recto, los lados que
forman al ángulo recto se
llaman catetos, el tercer lado
se llama hipotenusa.
2. Según sus lados:
Equilátero, sus tres lados
son congruentes, cada uno
de los ángulos interiores mide
60º.
Isósceles, dos de sus lados
son congruentes, al lado no
congruente se le llama base,
los ángulos adyacentes a la
base son congruentes,
pueden ser: triángulo
acutángulo isósceles,
triángulo obstusángulo
¡
isósceles, triángulo
rectángulo isósceles.
Escaleno, sus lados no son
congruentes.
1.
PROBLEMAS
Hallar x si ??+?? = ????°
??
n
?
? m
m+n
??
x
B
A) 30 B) 40 C) 60 D) 80 E) 45
2. Calcule "x" .Si AB=BC=CD
B
C
40
x
20
A) 40° B) 50° C) 60°D D) 70°
E) 80°
3. En un triangulo isósceles ABC
(AB=BC), se traza la ceviana interior
a.??=
d.??=
e.??=
c.??=
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???? en cuya prolongación se ubica el
punto P tal que AB=PC y
m?BCP=60° .si m?ABC=40°, calcule
la medida del ángulo determinado por
??????????.
a. 60° b.50° c.80° d.90° e.100°
4. En un triangulo ABC, AB= BC, ????
es una ceviana interior, tal que
R????=24°. La bisectriz del ángulo
ARC corta a ???? en el punto Q. Hallar
la m?AQR.
a.72°
b.56°
c.76°
d.78° e. 82°
a.10° b.20°
c.15°
d.30°
e.18°
6.- En un ABC, recto en B se traza
la altura ???? , la cual es cortada en los
puntos Q y M por las bisectrices
interiores ?????????? , respectivamente.
Hallar MQ, si BE=7 y BD=7.
a.3
b.1,5
c.2
d.6
e.4
7.-En un triangulo PQR, PQ=6, se
traza la ceviana interior ???? , tal que
?????? = 3?? y QF=4, si ?? = 2??. Hallar
FR
a.12
b.10
c.8
d. 11
e.9
8.-Dado un triangulo ABC, en la
región relativa a los lados AB y BC se
ubican los puntos N y Q
respectivamente tal que: N, C y Q son
colineales.m?BAQ=m?QAC
2m?BCQ+m?ABC=100;
m?ACN=3m?BCQ Calcule:
m?AQN
a.50° b.100° c.90° d.110° e.120°
9.-En un triangulo dos lados miden 7
y 9cm.Calcular el perímetro del
triangulo si le tercer lado mide el
doble de uno de los otros.
a.20
b.25
c.35
d.30
e.40
10.-Se tiene un triangulo isósceles
ABC (AB=BC) .Se toman los puntos
G, M y F en los lados AB, BC y AC
respectivamente tal que el triangulo
FMG es equilátero SI m?GFA=??
y m?=FMC=??;
además m?BGM=??
se cumple:
?? +??
2
?? +??
2
?? -??
2
?? -??
2
b.??=
?? -2 ??
2
11.-En un triangulo ABC, se trazan las
cevianas BE y AD de manera que
AB=AE=BD, DE=DC y m?BAE=60.
Calcule m?EDC
30°
A
B
C
5. Hallar "a", si AB=BE=BD=CD
E
a
D
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a.80º b.90º c.100º d.110º e.120º
12.- En un triangulo ABC,
m?BAC=2m?BCA, se ubica D
exterior al triangulo relativo al lado BC
.Si ???? ? ???? y m?DBC+m?BCA=60,
entonces m?BCD es:
a.10º
b.15º
c.20º
d.30º e.60º
13.-
En la figura mostrada,
a.18
b.21
c.24
d.27
e.30
14. Los lados de un triángulo miden
12; 2x+5; x-2, encontrar su perímetro,
sí "x" es un número entero.
a.27
b.28
c.29
d.30
e.31
15. En un triángulo ABC, AB=9, por el
vértice B se traza una recta paralela
al lado AC, la cual corta a la
prolongación de la bisectríz interior
del ángulo A en el punto D. Calcular
BD.
a. 7
b.8
c. 9
d.10
e.12
TAREA ACADÉMICA
16. Dado un triángulo ABC, con
AB=12 y BC=15, por el vértice B se
traza una recta L paralela al lado AC,
la prolongación de la bisectríz interior
AD corta a la recta L en "F" y la
bisectríz exterior del ángulo C corta a
la recta L en "E". Hallar FE.
a.2
b.3
c.4
d.5
e.6
17. En el triángulo rectángulo ABC
recto en B se traza la altura BH.
Calcular la medida del ángulo
formado por las bisectrices de los
ángulos BAC y HBC al cortarse.
a.70º b.80º c.82º d.85º
e.90º
18. En el triángulo rectángulo ABC
recto en B, la altura BH y la bisectríz
interior AF se cortan en el punto E.
Hallar BE, si BF=5
a.3
b.4
c.5
d.6
e.7
19.dado un triángulo ABC, en el cual
se traza su bisectríz interior AD, luego
por D se traza una recta paralela al
lado AC la cual corta al lado AB en el
punto E. Calcular AB, si: DE=3 y
AB=3BE.
a.4,5
b.4,6
c.4,7
d.4,8
e.4,9
20. Se construye el triángulo ABC,
cuyos lados mide: a, b, c, por la parte
del lado BC exterior al triángulo se
toma un punto F. Hallar el mayor valor
A
C
F
BE=EF=EC;m?BAF=2m?BEF.Calcul
e m?BCA
E
B
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