Ejercicios prácticos de geometría (página 2)

Partes: 1, 2

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¡
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SAN MARCOS
¡Tú eres el próximo

entero que puede tomar FC, si
a+c=11, FA=5, FB=4.
a.11
b.12
c.13
d.14
e.15
Tema Nº4: CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN
Dos triángulos son
congruentes, si tienen sus tres
lados congruentes y sus tres
ángulos congruentes
respectivamente.
?

1.

2.
?ABC = ?PQR

CASOS DE CONGRUENCIA EN
TRIÁNGULOS

Caso (L.A.L.)

Caso (A.L.A.)
3.

4.
CASO (L.L.L.)

Caso (L.L.A.)
? : Opuesto al mayor lado

PROPIEDADES EN
CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS

1. De la Bisectriz
Todo punto situado en la bisectriz
siempre equidista de los lados del
ángulo.

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.
PA ? PB
0A ? 0B
.
2. De la Mediatriz
Todo
punto
situado
en
la
mediatriz e un segmento, siempre
equidista de los extremos de
dicho segmento.
3. De
la
Base
Media
de
un
Triángulo
El segmento que une los puntos
medios de dos lados de un
triángulo, es paralelo al tercer
lado y mide la mitad de lo que
mide el tercer lado.
Si:
//
. BN = NC .
4. De la Mediana Relativa a la
Hipotenusa
La
mediana
relativa
a
la
hipotenusa siempre mide la mitad
de lo que mide la hipotenusa.
PROBLEMAS

Si: M y N son puntos medios

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Tema Nº5: CUADRILÁTEROS
El objetivo de estudiar a los
cuadriláteros es aprender
areconocerlos, las características de
los paralelogramos, trapecios y
trapezoides.

CUADRILÁTERO: Es el polígono que
tiene 4 lados, dos diagonales y la
suma de las medidas de sus ángulos
interiores es 360º, pueden ser
convexos, no convexos, cruzados,
completo.

DEFINICION.-

Es aquel polígono que tiene 4 lados,
teniendo dos a dos un extremo
común.
1)
LADOS?AB, BC, CD y DA?
Son los segmentos rectilíneos
que lo limitan. Los lados que no
tiene vértice común recibe el
nombre de lados opuestos.
Ejm:
AB
y
CD, son
lados
opuestos como
BC y DA.
2)

3)

4)
VERTICES: (A, B, C y D)
Son las intersecciones de dos
lados consecutivos. En todo
cuadrilátero, el número de lados
es igual al número de vértices.

ÁNGULOS INTERIORES (?1, ?2,
?3 y ?4)
Son los ángulos que se forman
por dos lados consecutivos, la
suma de ángulos interiores en
un cuadrilátero es = 360°. Se
cumple que:

?1 + ?2 + ?3 + ?4 = 360°

ÁNGULOS EXTERIORES (B1, B2,
B3 y B4)
Son los ángulos formados en un
vértice por un lado y la
prolongación del lado consecutivo.
son
Los ángulos exteriores
adyacentes a los interiores.
La suma de sus ángulos exteriores
en un cuadrilátero es igual a 360°
5)
B1 + B2 + B3 + B4 = 360°
DIAGONALES?AC y BD?
Son los segmentos de recta
que unen
dos vértices no
consecutivos.
A
C
D

ELEMENTOS.-
B4
B3
B1
?1
B
?2 B2
?3
?4

AB ? BC; AD ? CD
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A
C
m
m
CLASIFICACIÓN DE LOS
CUADRILÁTEROS
Por la forma de su contorno
Convexos.-
Son aquellos
Cóncava.- Son aquellos cuadriláteros
en los que existe al menos una
secante que determina más de dos
puntos de corte.
CLASIFICACIÓN DE LOS
CUADRILÁTEROS CONVEXOS

De acuerdo al paralelismo de sus
lados los cuadriláteros se dividen en:
Trapecio
y
Trapezoide,
Paralelogramo.
A. Trapezoides.-
Son aquellos
cuadriláteros que no tienen lados
opuestos, ningún lado paralelo al
otro paralelo.
a. Simétrico.- Es aquel en el
que una de sus diagonales es
mediatriz de la otra.

Propiedades:

B
Línea de Simetría
? ?
^ ^
^ ^
L : mediatriz
de BD

D
L
ABD ? DBC ? ?
ADB ? BDC ? ?

b. Asimétrico: Es aquel
que no tiene ninguna
simetría. También
llamado trapezoide
irregular.
?
?
a
b
c
d
A
D
cuadriláteros en los que cualquier
recta secante, determina 2 puntos de
corte.

B
C
1
2
1
4
3
2

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BASES:
BC; AD

BC // MN// AD
MN:
Mediana del trapecio. Es el
CH :
segmento que une los puntos
medios de los lados no paralelos.
Se le conoce también como
"base media".

Altura del trapecio. Es la
distancia entre sus dos bases.

PROBLEMAS
1. En un paralelogramo ABCD,
una recta secante paralela a
la diagonal BD corta a CD en
Q, a BC en N, a las
prolongaciones de AB y AD
en M y R. Calcular MQ, si
NR=6.
a.4
b.5
c.6
d.7
e.8
2. En un paralelogramo ABCD,
AB=4, las bisectrices
interiores de los ángulos B y

CURSO: GEOMETRIA
¡

C se cortan en un punto del
lado AD. Hallar el perímetro
del paralelogramo.
b.22
c.23
d.24
a.21
e.25
3. Calcular la base mayor de un
trapecio, los lados no
paralelos miden 5 y 7, las
bisectrices interiores de los
ángulos adyacentes a la base
menor se cortan en un punto
de la base mayor.
b.11
c.12
d.13
a.10
e.14
4. En un cuadrilátero convexo
ABCD, AB=6, CD=10. Hallar
el perímetro del cuadrilátero
que se forma al unir los
puntos medios de BC, AC,
BD y AD.
b.15
c.16
d.17
a.14
e.18
5. En un rombo ABCD cuyo lado
mide 12, se toma el punto
medio M del lado BC, por el
punto medio de BM se traza
una recta paralela al lado AB
que corta a BD en P y a AM
en Q. Hallar PQ.
a.2
b.3
c.4
d.5
e.6
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B. Trapecios.- Es el cuadrilátero
que solo tiene dos lados paralelos
denominados bases.
B C
H
l
m
N

m

D
M

l

A

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6. En un paralelogramo ABCD,
se marcan los puntos medios
M de AB, N de AD, sobre el
lado CD se toma un punto Q
de modo que: DQ=CD/4,
MC=8. Hallar NQ.
a.4
b.5
c.6
d.7
e.8
7. En un triángulo ABC,
encontrar la distancia del
punto medio de la mediana
AM a una recta exterior que
pasa por el vértice C, si las
distancias de los vértices A y
B a la recta exterior son 2 y 8.
a.1
b.2
c.3
d.4
e.5
8. En un rombo ABCD,
encontrar la medida del
ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos
BAC y BDC.
a.15º
b.30º
c.45º d.60º
e.75º

9. En un trapecio recto el menor
lado no paralelo mide 8, el
menor ángulo interior mide
53º. Hallar el segmento que
une los puntos medios de las
diagonales.
a.2
b.3
c.4
d.5
e.6
¡

10. En un cuadrado ABCD,
calcular la distancia de su
centro a una recta exterior
que pasa por el vértice B, la
proyección de la diagonal AC
sobre la recta exterior mide
14.
a.5
b.6
c.7
d.8
e.9
11. En un cuadrilátero convexo
ABCD, BD=20. Encontrar la
distancia entre los baricentros
de los triángulos ABC y ACD.

a.20/3 b.22/3 c.25/3 d.26/3
e.29/3
12. En un paralelogramo ABCD,
AB=6, AD=9, las bisectrices
interiores de los ángulos A y
B se cortan en el punto F.
Hallar la distancia de F al
centro del paralelogramo.
a.1, 2
b1,3
c.1,4
d.1,5
e.1,6
13. En un cuadrilátero convexo
ABCD, mB=mD=90º, se
toman los puntos medios M
de AC, N de BD, F de BM.
Calcular NF.
a.2
b.3
c.4
d.5
e.6
14. En un romboide ABCD,
AB=6, BC=2, las bisectrices
exteriores de los ángulos C y

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D se cortan en el punto F, de
modo que mABF=90º. Hallar
BF.
a.3
b.4
c.5
d.6
e.9
15. En un cuadrilátero ABCD,
mBAC=mCAD=22º,
mACB=23º, mACD=38ª,
BC=12. Calcular CD.

a.4 6 b. 5 6 c. 6 6 d. 7 6
e. 8 6
TAREA ACADÉMICA

16. En un trapecio ABCD
(BC//AD), las bisectrices de
los ángulos interiores B y C
se intersecan en un punto de
AD. Si: AB=7 y CD=10,
calcular AD.

a.15 b.16 c.17 d.18 e.19

17. En un trapecio
ABCD,mB=2mD, BC//AD,
AB=6 y BC=4. Calcular la
longitud de la mediana.
a.5
b.7
c.8
d.9 e.4
18. En un trapezoide ABCD,
AB=CD, mA=80º, mD=40º; M
y N son puntos medios de BC
y AD respectivamente.
Calcular el ángulo ANM.

a.50º b.60º c.70º d.80º e.90º

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¡

19. En un trapecio ABCD
(BC//AD), se traza la altura
BH. Si además AH=2, HD=9,
BC=3 y mA=2mD. Calcule el
valor de AB.
a.3
b.4
c.5
d.6
e.7
20. Calcula el valor del ángulo
que forman las diagonales de
un trapecio isósceles ABCD
(BC//AD), donde: AC=BC+AD
a.15º
b.30º
c.45º
d.60º
e.70º

Tema Nº6: POLÍGONOS

POLÍGONO: Es la figura plana que se
encuentra formada por la unión de un
conjunto finito de segmentos de recta
que se llaman lados, que se unen por
sus extremos y que se llaman
vértices.

Se denomina diagonal al segmento
que une dos vértices no consecutivos.

El conjunto de los lados forman el
contorno o frontera, la suma de sus
longitudes se llama perímetro.

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N° de lados = N° de vértices = N° de
s internos.

ELEMENTOS:
A, B, C, D, E
Vértice

Lados
:

:
AB, BC, CD, DE, EA
m
internos :
?, ?, ?, ?, ?
m
externos :
x, y, z, .
POLIGONO CONVEXO
Es cuando tienen todos sus ángulos
internos convexos. Es decir mayores
que cero y menores que 180.
POLIGONO NO CONVEXO O
CONCAVO

Cuando algunos de sus ángulos
internos son mayores de 180 y
menores que 360.
CLASIFICACIÓN DE LOS
POLIGONOS CONVEXOS
1.
Polígono Equiángulo.-
Cuando tienen todos sus
ángulos internos (congruentes)
iguales.
Ejm:
2.
Polígono Equilátero.-
Cuando tienen todos sus lados
(congruentes) iguales.

Ejm:
Interno
)
Externo
)
A
C
E
D
?
?
Diagonal
Z
B

y°
x°
?

?

?, ?, ?? 180°
°
°
°
°
°
120° 120°
120° 120°
120° 120°

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3.
?
Cuando sus lados son
(iguales) y sus ángulos son ?
(iguales).

Ejms:
S
int = 180 (n – 2)
2da Propiedad.- Suma de las medidas
de los ángulos externos.
S
ext = 360
a
a

a
a

a

Pentágono no convexo equilátero

Polígono Regular.-
60°
a

60°
a

60°
a
Triángulo
equilátero

CURSO: GEOMETRIA
Cuadrado

108°
108°
108°

108° 108°

PROPIEDADES

* Para todo polígono convexo.- Si
"n" es el número de lados de un
polígono convexo, se cumple que:

1ra Propiedad.- Suma de las medidas
de los ángulos internos

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3ra Propiedad.- Número total de
diagonales.
n?n ?3?
2
DT ?
4ta Propiedad.- Número de
diagonales desde un solo vértice.

D1 = (n – 3)
5ta Propiedad.- Número de
diagonales medias
n?n?1?
2
Dn ?
6ta Propiedad.- Medida del
interior
(?)
180?n ?2?
n
? ?
7ma Propiedad.- Medida del
exterior (B)
360
n
B ?
¡

8va Propiedad.- Medida del
central (?)
360
n
? ?
PROBLEMAS

1. El número de diagonales de
un polígono es igual a doce
veces su número de
lados.¿Cuántos lados tiene el
polígono?
a.22
b.24 c.25 d. 27 d.29
2. En un polígono regular, la
medida de su ángulo exterior
más la medida de su ángulo
interior más la suma de las
medidas de sus ángulos
interiores es 720º. Hallar el
número de lados.
a.5 b.6 c.7 d.8 e.12

3. Los números de lados de dos
polígonos regulares son dos
números consecutivos.
Calcular el número de lados
del polígono de mayor ángulo
exterior, si la diferencia de las
medidas de sus ángulos
exteriores es 12º.
a.7 b.6 c.5 d.9 e. 11

4. Hallar el número de lados de
un polígono regular, si la

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medida de su ángulo interior
es igual al triple de la medida
de su ángulo central.
a.6
b.7
c.8
d.9
e.10
5. ¿Cuál es el polígono, cuyo
número de diagonales excede
al número de vértices en 18º?
a.7
b.8
c.9
d.10
e.13
6. Si el número de lados de un
polígono se duplica, la suma
de las medidas de sus
ángulos interiores se
cuadriplica. Encontrar el
número de lados.
a.3
b.4
c.5
d.6
e.7
7. La diferencia entre el número
de diagonales y el número de
ángulos rectos que contiene
la suma de las medidas de
los ángulos interiores de un
polígono es igual a 13. Hallar
el número de lados.
a.7
b.8
c.9
d.10
e.11
8. Los ángulos interiores B, C, D
de un polígono convexo
ABCDE miden 170º, 160º,
150º. Hallar la medida del
menor ángulo formado por las
prolongaciones de los lados
AB y DE.
¡

a.30º b.45º c.60º d. 75º e.90º

9. En un polígono, el número de
diagonales más el número de
triángulos que se forman al
unir un vértice con los otros
vértices más el número de
ángulos rectos que contiene
la suma de las medidas de su
ángulos interiores es igual a
14. Encontrar el número de
lados.
a.5
b.6
c.8
d.9
e.13
10. En dos polígonos regulares
(1 y 2) se cumple que:
mi1+mi2=210º. Halleme1+me2
(mi, me son las medidas de
los ángulos interior y exterior)

a.110º b.120º c.130º d.140º
e.150º

11. En un hexágono equiángulo
ABCDEF, AB=2, BC=6,
CD=4, AF=9. Calcular EF.
a.1
b.2
c.3
d.4
e.5
12. En un hexágono convexo, la
suma de las medidas de
cuatro ángulos consecutivos
es igual a 490º. Encontrar la
medida del ángulo formado
por las bisectrices interiores
de los otros dos ángulos.

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a.45º b.55º c.65º d.75º e.85º

13. Los segmentos AB, BC, CD,
DE son cuatro lados
consecutivos de un icoságono
regular ABCDEF.Hallar la
medida del ángulo formado
por las prolongaciones de los
lados AB y ED.
a.122º b.124º c.125º d.126º
e.128º
14. Cuándo el número de lados
de un polígono regular
disminuye en dos, su número
de diagonales disminuye en
15. Encontrar la medida de su
ángulo central.

a.32º b.34º c.35º d.36º e.37º
15. Cuando a un polígono
convexo se le aumenta un
lado, su número de
diagonales aumenta en 6.
¿Cuál es el número de
diagonales si se le disminuye
un lado?

a.9 b.10 c.11 d.12 e.13

TAREA ACADÉMICA

16. Calcualr el número de lados
de un polígono convexo, si su
número de diagonales es
mayor que el número de
lados en 150º.
¡

a.15 b.20 c.24 d.28 e.30

17. En un polígono convexo,
desde (n-6)
vértices
consecutivos, se trazan 25
diagonales. Encontrar la
suma de las medidas de los
ángulos internos de dicho
polígono.
c.1460º
a.1440º
d.1470º
b.1450º
e.1480º
18. En un polígono equiángulo
ABCDEF. cuyo número de
lados es "n", las
prolongaciones de AB y ED
se intersecan en L de modo
que el ángulo ALE es
obstuso. Calcule el mínimo
valor de "n".
a.11
b.12
c.13
d.14
e.15

19. ¿En qué polígono regular se
cumple que al aumentar 30º
la medida de su ángulo
externo, se obtiene otro
polígono regular en el cual su
ángulo externo es a su ángulo
interno como 2 es a 7? Dar el
número de lados.

a.31 b.33 c.35 d.36 e.38

20. En un polígono convexo
ABCDE. se trazan dos
diagonales de tal forma que

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de los cuatro polígonos
parciales que se determinan,
tres sean triángulos y la suma
del número de diagonales
totales del polígono inicial y
del polígono parcial que no es
un triángulo es igual a 23,
calcular la suma de las
medidas de los ángulos
internos del polígono parcial.

a.700º b.800º c.900º d.600º
e.500º

Tema Nº7: CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓN.-

Es la figura geométrica que está
formado por todos los puntos de un
mismo plano que se encuentran a
una misma distancia de otro punto de
ese mismo plano denominado centro.

A la distancia constante de estos
puntos al centro de le denomina radio
de la circunferencia.
Se denomina círculo a la región
interior del plano limitada por una
circunferencia.
ELEMENTOS:
–
CENTRO (O): Punto equidistante
de todos los puntos de
circunferencia. Dos o más
circunferencias con el mismo
centro se
dice
que
son
–

–

–

–

–
concéntricas.
RADIO ?OA?: Segmento que
une el centro de la circunferencia
con un punto cualquiera de la
misma.
CUERDA ?BC?: Segmento que
une dos puntos de una misma
circunferencia.
DIAMETRO ?DE?: Es la cuerda
de mayor longitud que pasa por el
centro de la circunferencia
dividiéndola en partes iguales.
SECANTE ?FG?: Es toda recta
en el plano de la circunferencia
en dos puntos. Cabe notar que la
secante contiene a la cuerda.
TANGENTE ?HI?: Es toda recta
en el plano de la circunferencia
que tiene solo un punto común
con este (T), el cual recibe el
nombre de "punto de tangencia"
A
B
C
D
E
F
G
H
I
T
R
M
N
O
Tangente
Secante

M
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–

–
FLECHA ?MN?: Segmento
levantado perpendicularmente del
punto medio de una cuerda al
arco. La prolongación de la flecha
siempre pasa por el centro.
ARCO ?AN?: Es la porción de
circunferencia limitada por los
extremos de una cuerda. En
particular, una semicircunferencia
es un arco limitado por los
extremos de un diámetro.
2da Propiedad.- El segmento que une
el centro de una circunferencia es
perpendicular a la cuerda. Esta divide
a los arcos que subtiene en dos
partes congruentes.

3raPropiedad.- En toda
circunferencia, a arcos congruentes
corresponden cuerdas congruentes.

4ta Propiedad.- En una misma
circunferencia los arcos
comprendidos entre paralelas son
congruentes.
de
dos
PROPIEDADES:

1ra Propiedad.- Toda recta tangente
a una circunferencia es perpendicular
al radio trazado por el punto de
contacto.

L1
T (PuntodeTangencia)
B
O

E
A
5ta Propiedad.-

B

? ? B

Posiciones Relativas
circunferencias.
B
O
D
A

a
C

a
A
B
C
D
N
M

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Dos circunferencias situadas en un
mismo plano, con centros O y O' y
radios R y r respectivamente, pueden
tener las siguientes posiciones
relativas:Si AB? CD ?
b) Tangentes Exteriormente.-
Cuando tiene un punto común y
los demás puntos de una son
exteriores a la otra. En este caso,
sus centros están a lados
opuestos de la tangente común y
la distancia entre ellos es igual a
la suma de los radios.
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c)
d) Secantes.-
Cuando tienen dos
puntos comunes. La distancia entre
sus centros es menor que la suma
de los radios, pero mayor que su
diferencia.
son interiores a la otra. Sus
centros están al mismo lado de la
tangente común y la distancia
entre ello es igual a la diferencia
de los radios.

PROBLEMAS

1. En la figura: M, N y P: puntos
de tangencia AC = 15.
Calcular AB + BC.
O
O´
R
r
mAB ? mCD

a) Exteriores.- Cuando todos los
puntos de una son exteriores a la
otra. La distancia entre sus
centros es mayor que la suma de
los radios.

P
Q
E
F
d
d
r
O´
O
B

AB: Cuerda

Común

OO' ? AB

e) Tangentes Interiormente.-
Cuando tienen un punto común y
todos los puntos de una de ellas
R – r ? d ? R+r

A
R
d
R

O
r
O´

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a. 33
b.30 c. 32 d.34 e. 3
2. En la figura: R, S T y P: puntos
de tangencia: si AB = 6, BC = 8 y
CD = 10. Calcular AD.
a.6
b.9 c.7
d.8 e.10
3. En la figura (L1 // L2) A y B: puntos
de tangencia. Calcular m POQ,
además "O" centro
a.4 b.3 c.2 d.1 e.5

5. En la figura, la circunferencia
a.100º
b.110º
c.120º
d.130º
e.140º
6. En la figura "O" es centro.
m
Calcular x si m TOC = 2
TCO.
C
B

r
M
N
P
8
A
S

P
B

R

A
C

T

D
P
L1
L2
O

Q

a.70° b.80° c.90° d.100° e.120°
O
R
S
P
2
¡Tú eres el próximo
¡

4. En la figura R y S: puntos de
tangencia. Calcular RS.

6
A
es tangente a los 3 lados. Si m
B = 40. Calcular x.

B
C
x°

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a.30° b.40° c.35° d.45°
e.50°
7. En la figura: S, M y T: son puntos
de tangencia. Calcular "x".
a.80º b.70 c.75º d.95º e.85º

8. En la figura: A, B son puntos de
tangencias. Calcular 2x.
a.150º b.170º c.160º d.180ºe.190º

9. En la figura T, P y Q son
puntos de tangencia. Calcular:
m TOP + m BOC.

Nota: B, O, P no son colineales
a.230º
b.240º c.220º
d.260º
e.250º
10. En la figura M, N, P, Q son
puntos de tangencia,
AB + CD = 20, AD = 12, Calcular
MC.
a.2 b.6 c.5 d.3
e.4
11. Hallar AT, si AB = 7, BC = 8 y
AC = 9.
O
C
T
x
x°
20°
S
r
T
M
20
A
x°

B
O
Q
B
A
C
P
T
40°
B
A
C
D
P
Q
N
M

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a.6 b.5 c.4 d. 2
e.3

12. Hallar "x" en el sgte. gráfico.
13. En la figura, Calcular "x" si P
y S son centros.
a.90º b.40º c.80º d.50º
e.70º
14. Si "O" es centro, T es punto
de tangencia y la m OAT =
a.50° b.90° c.80° d.70° e.60°

15. En un triángulo ABC: AB = 8, BC
= 10 y AC = 12. Si la
circunferencia inscrita determina
sobre ACel punto M. Calcular
AM.
a.3 b.4 c.5 d.6 e.2

Tema Nº8: RELACIONES
MÉTRICAS
A)RELACIONES MÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULORECTÁNGULO
de
un
triángulo
Elementos
Rectángulo.
a y b = Son las longitudes de los
catetos
BC y AC .
c
= Es
la
longitud
de
la
Hipotenusa
AB
C
B
P
A
T
Q
40°

d.60° e.30°
B
A

x

C

a.70° b.50° c.40°
P
40°
x°
S
Q
R
T
P
20. Calcular la m PTA.

A
O

a = m. c
b =n.c
h =m.n
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2
2
h
= Es la altura relativa a la
Hipotenusa.
m
= Es
la
longitud
de
la
n
proyección del cateto
sobre la hipotenusa.

= Es la longitud de
proyección del cateto
BC

la
AC
sobre la hipotenusa.

– Los siguientes teoremas nos
describen las principales relaciones
que hay entre las longitudes de los
lados, altura y proyecciones de un
triángulo rectángulo.

TEOREMA 1

"En todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de un cateto es igual al
producto de su proyección por la
hipotenusa".

En la figura se cumple que:
TEOREMA2(TeoremadePitágoras)

"En todo triángulo rectángulo, la suma
de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa".

En la figura se cumple que:
TEOREMA 3

"En todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la altura relativa a la
hipotenusa es igual al producto de las
proyecciones de los catetos sobre la
misma"En la figura se cumple que

2

c < a + b2
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+
1
a2
1 = 1
b2 h2
< 90o
2 2
TEOREMA 4

En todo triángulo rectángulo, el
producto de catetos es igual al
producto de la hipotenusa por su
altura relativa

En la figura se cumple que:
TEOREMA 5

"En todo triángulo rectángulo la suma
de las inversas de los cuadrados de
los catetos es igual a la inversa del
cuadrado de la altura relativa a la
hipotenusa".En la figura se cumple
que

B. RELACIONES MÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO

1)TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
Los triángulos que no son
rectángulos, son oblicuángulos,
luego un triángulo oblicuángulo
puede ser acutángulo u
obtusángulo.

2)COMO RECONOCER SI UN
TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO U
OBTUSÁNGULO
Se aplican
las
siguientes
propiedades:

– Es Acutángulo: Si el cuadrado de
un lado que se opone a un ángulo
agudo siempre es MENOR que la
suma de los cuadrados de los otros
dos.
NOTA:
Todos los ángulos
del
triángulo son menores que 90.

– Es Obtusángulo: Si el cuadrado de
un lado que se opone a un ángulo
obtuso siempre es MAYOR que la
suma de los cuadrados de los otros
dos.

NOTA: Un ángulo de los tres ángulos
del triángulo es mayor que 90.

c > a + b2
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> 90o
2 2
LADO
3)PROYECCIÓN DE UN
SOBRE OTRO LADO
En
el
triángulo
es
importante
conocer la proyección de un lado
sobre otro, para ello siempre se
traza una altura

– En el triángulo acutángulo: En el
triángulo acutángulo, la proyección
de un lado sobre otro esta
contenido en este último.
– En el triángulo obtusángulo: En
el triángulo obtusángulo, para
encontrar la proyección de un lado
sobre uno de los lados adyacentes
al ángulo obtuso, se debe prolongar
este último.

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4)TEOREMA DE EUCLIDES

TEOREMA 1

"En todo triángulo, el cuadrado de
un lado que se opone a un ángulo
Agudo es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos, menos
el doble producto de uno de ellos
por la proyección del otro sobre
aquel".

Si: ?< 90º
TEOREMA 2

"En todo triángulo, el cuadrado del
lado que se opone a un ángulo
obtuso es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos, más el
doble producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre aquel"

Si ?> 90º

5)TEOREMA DE LA MEDIANA

"En todo triángulo la suma de los
cuadrados de los lados laterales a
una mediana es igual al doble del
cuadrado de la mediana más la
mitad del cuadrado del lado donde
cae la mediana".

Así en la figura

c
P
M
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A
B
C
M
c
mc
A
C
b
a

B
x
c
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"mC" ? es la mediana relativa al
lado "c".

Entonces:
2

2
2
a2 ?b2 ? 2mC ?
TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE
LA MEDIANA

En todo triángulo, se cumple lo
siguiente:
S i "x" es la proyección de la mediana
CM , entonces:
¡

PROBLEMAS
01. En un triángulo rectángulo las
proyecciones de los catetos
sobre la hipotenusa están en la
relación 2:1. El cateto mayor
mide 4 6 cm. ¿Cuánto mide la
hipotenusa?
a) 10 cm b) 12 cm c) 9 cm

d) 11 cm e) 13 cm

02. La hipotenusa de un triángulo
rectángulo mide 10cm y uno de
los catetos mide 8 cm. ¿Cuánto
mide la proyección del cateto
menor sobre la hipotenusa?
c) 3
a) 6,4

d) 3,6
b) 2,8

e) 5
03. En un rectángulo ABCD: AB = 6 cm
BC = 8 cm, calcular la longitud
BC
de la proyección del lado
AC .
sobreladiagonal
c) 5
a) 5,4

d) 6
b) 6,4

e) 3,6
BC
04. Sobre el lado
de un
rectángulo ABCD se toma un
punto P tal que el ángulo APD es
recto. SI BP = 3, PC = 12. Hallar
el perímetro de dicho rectángulo.

a
? 2 ?
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A
B
C
4
x
7
D
C
P
4
H
Q
2
A
B
C
H
x
D
A
B
C
P
R
Q
D
a) 40
b) 44
c) 42
d) 46
e) 38
5.
Los catetos de un triángulo
rectángulo miden a y b, si:
1
144
1
2
1
b
Calcular la altura relativa a la
hipotenusa.
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
6.
es
un
En la figura ABCD
cuadrado. Hallar "x".
a) 9
b) 8
c) 7
d) 5
e) 6
7.
SI ABCD es un cuadrado, hallar
RH.
B
a) 3,6
b) 4
c) 4,8
d) 5,2
e) 5
8.
En la figura AB = 3, BC = 4, AD
= 7, hallar "x".
a) 1 b)
2
2 c)
3
2
3
3 d) 1 e) 2
9.
En la figura PQR es un triángulo
equilátero y ABCD es un
cuadrado si PC = 10. Hallar el
área del cuadrado.

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a)
2 2
b)
17
c)
7
400 3
d)
300
7?2 3
e)
10. En un triángulo rectángulo ABC,
rectoenB,AB=8,BC=6; se traza
la mediana
CM ; calcular la
longitud de la proyección de
CM sobre AC .
c) 5
a) 1,2

d) 6,8
b) 3,4

e) 7,9
11. Las bases de un trapecio
isósceles miden 2 y 8 m
respectivamente, y cada lado no
paralelo mide 6 m. Hallar la
longitud de una de las
diagonales.
a)
26 b) 8
c) 7
d) 2 13 e) 6
12. En el interior de un cuadrado
ABCD se toma un punto P, tal
que la mediana del ángulo APD
= 90, AP = 4, PD = 3. Calcular la
longitud de la proyección de BP
sobre

a) 1
AP .

b) 2
c) 3
d) 0,5
e)
2
13. Los lados de un triángulo miden
7,6 y 97 . Calcular la longitud
de la mediana relativa al menor
lado.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
14. Se tiene un cuadrado abad
sobre CD y AD se toman los
puntos P y Q respectivamente tal
que AP = 8, PQ = 4, AQ = 6. Una
de las diagonales del cuadrado
mide:
c) 8,5
a)

d)
7 2 b) 9

8 2 e) 9 2
15. Las bases de un trapecio
miden 2 y 12 metros
respectivamente. Hallar la altura
del trapecio.
c) 4,8
a) 5

d) 5,2
b) 4

e) 5,6