V (p) = V
V (q) = V
p: Un puente está bien construido
q: resiste a un terremoto de mayor escala
Por consiguiente: V (p ? q) = V
Su tabla de verdad es:
La proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdade-
ras.
La proposición bicondicional, también se forma por la conjunción de una proposición condicional y su
recíproca, simbólicamente tememos:
p ? q = p ? q ?q? p
Ejemplo:
Oscar viajará a la ciudad de Cuenca si y sólo si obtiene un préstamo en el Banco de Loja;
Simbólicamente tenemos:
q ? p
Equivale a decir: Si Oscarviaja a la ciudad de Cuenca, entonces obtiene un préstamo en el Banco de
Loja, y si obtiene un préstamo en el Banco de Loja viajará a la ciudad de Cuenca. Simbólicamente tene-
mos:
= p ? q ?q? p
Por lo tanto la primera y segunda proposición son iguales:
p ? q = p ? q ?q? p
SESIÓN 2
III.- SIGNOS DE PUNTUACIÓN, AGRUPACIÓN Y ORDEN DE LOS OPERADORES O CONECTIVOS
LÓGICOS
Los signos de agrupación más conocidos tenemos: el paréntesis, corchete y llaves( ); [ ] ; ??
Estos signos reemplazan a los signos gramaticales: punto (.), la coma (,), el punto y como (;), y los dos
puntos (:).
Los signos de agrupación se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más comple-
jos con el fin de evitar la ambigüedad de las fórmulas:
Si las proposiciones tienen el mismo tipo de operador o conectivo lógico, se debe colocar los paréntesis
de izquierda a derecha así:
p ? q ? r = (p ? q) ?r
p ? q ?r ?s = [(p ? q) ?r ]? s
Si no hay signos de puntuación ni paréntesis se debe considerar el siguiente orden demenor a mayor
jerarquía de los operadores y de izquierda a derecha, para ubicar los paréntesis.
Ejemplos:
p ? q? r = (p ? q) ? r
p ? q ? r v s = (p ? q) ? (r v s )
p ? q? r ? s = (p ? q) ? (r ? s)
Si la proposición compuesta está escrita con paréntesis, la ubicación de éstos nos
indicará cual es el operador predominante:
Ejercicios
p ? q ? r = (p ? q) v r Es un esquema disyuntivo
p ? q ? r v s = (p ? q) ? ( r v s ) Es un esquema condicional
p ? q? r ? s = (p ? q) ? (r ? s ) Es un esquema bicondicional.
4. Si un esquema molecular no lleva los signos de agrupación, se puede indicar cual esel operador pre-
dominante así:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Conjunción
Condicional
Condicional
Condicional
Conjunción
Disyunción
Disyunción
Disyunción
Disyunción
Condicional
p ? r ? s
p ? q ? s
p ? q ? r
r ? p ? q
r ? p ? q
r ? q ? t
q ? p ? s
q ? p ? s
q ? r ?? s
q ? r ?? s
(p ? r) ? s
———————–
———————–
———————–
————————-
————————-
—————–
——————
—————–
—————–
11)
12)
13)
Negación
Condicional
Negación
? p ? r—————–
? p ? r——————
? t ? s ————————–
Dadas las siguientes proposiciones matemáticas, incluir los paréntesis.
Disyunción
condicional
condicional
x ? 0 ? x > y ?y = z
x = 0 ? x > y ?y? z
x = 0 ? x ? 0 ? y?z
x ? 0 ? ( x > y ?y = z)
——————————–
——————————–
condicional
conjunción
condicional
conjunción
x > y ? x ? y ?y> z
x = 0 ? x > 0 ? y= 0
x = y ?y = z ? x= z
x = y ?y = z ? y ? z
——————————–
——————————–
——————————–
——————————–
En la proposición compuesta: p? ( q ? r ) el conector principal es ?.
En la proposición compuesta: p ? q el conector principal es ?
En la proposición compuesta: p ? ( p ? r) el conector principal es ?
En la proposición compuesta: [ ( p ? q) ? (r ? s)] el conector principal es ?
Como podemos darnos cuenta, que los signos de puntuación permiten, entre otras cosas, identificar en
una proposición compuesta el CONECTOR DOMINANTE OCONECTOR PRINCIPAL O EL DE MAYOR
JERARQUÍA
IV.-CÁLCULO PROPOSICIONAL
Hay dos formas de establecer los valores de verdad:
4.1. POR MEDIO DE LAS TABLAS DE VERDAD
Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende
de las proposiciones simples y de los operadores que contengan. Es posible que no se conozca un valor
de verdad específico para cada proposición; es este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que
nos indique todas las diferentes combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las po-
sibilidades de combinar valores de verdad dependen del número de proposiciones dadas.
1
2
3
n
Ejemplo: dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores de verdad:
Pasos para construir la tabla:
(? p ? q) ? (p ??r)
3
Determinamos las combinaciones:
Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada una de la variables sus
valores de verdad :
( ? p
(p
?
?
q )
? r)
4.
5.
6.
Aplicamos la conjunción de:
Aplicamos la condicional
Aplicamos la bicondicional
( ? p
?
q )
?
(p
?
? r)
El operador de mayor jerarquía es el que determina los valores de verdad del esquema molecular.
Ejercicios:
Sabiendo que p es falsa, q es verdadera y r es falso, hallar el valor de verdad de las siguientes proposi-
ciones compuestas por medio de la tabla de verdad.
? (p ??q) ? (p ? q)
p ? (q ? r)
? q ? (?p ? q)
(? p ?? q) ? (p ? r)
(? q ?) ? (q ??r)
(r ?? r) ? r
4.2.- POR MEDIO DEL DIAGRAMA DE ÁRBOL.-
Es un procedimiento corto y fácil, se necesita conocer los valores de verdad de cada variable y aplicar
las tablas de certeza lógica:
Ejemplos:
a.
Sabiendo que p es falsa, q es verdadera y r es verdadera. Cuál es el valor de verdad de la pro-
posición q ? (p ? r).
Solución:
Tenemos:
q?(p? r)
V
F
V
F
F
Luego la proposición: q ? (p ? r), es falsa.
b. Dado el siguiente esquema molecular:( ? p ? q) ? (p ?? r)
Si: “p” es falsa “q” es verdadera y “r” es verdadera. El conector dominante es el bicon
dicional encontrar el valor de verdad del esquema por medio del diagrama del árbol:
Solución:
( ? p ? q )?( p ?? r)
V VF F
V
V
V
Luego la proposición: ( ? p ? q) ? (p ?? r) es verdadera
Ejercicios
1. Si el valor de verdad de la proposición: q?? p, es falsa, ¿Cuál será el valor de verdad de: ?q??p.
2. Completar con V o F, cada una de las siguientes proposiciones, justificar la respuesta:
Se sabe que p ? q es verdadera. Por lo tanto el valor de verdad de ? p ? q es:
———————–
Se sabe que ? p ? q es falsa. Por lo tanto, el valor de verdad de p ?? q es:
———————–
Se sabe que ? p ? q es falsa. Por lo tanto, el valor de vedad de p ? q es:
———————–
Se sabe que p es falsa y ? p ? q es verdadera. Por lo tanto, p ?? q es:
———————–
Se sabe que q y ? r es verdadera. Por lo tanto q ? ( p ? r) es:
————————
3.
Escribir simbólicamente las proposiciones siguientes y encontrar el valor de verdad por el dia-
grama del árbol:
4) 2 es número par y 21 es múltiplo de 3, ó 5 es la raíz cuadrada de 10
Si el m.c.m. de 12 y 15 es 60 y 3 es el cuadrado de 9, entonces, estudio o juego ajedrez.
V.-CONTINGENTES, TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES
Los esquemas moleculares se clasifican según el resultado que se obtenga en el operador de mayor
jerarquía, pueden ser:
5.1.- CONTINGENTES
Cuando en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad Ejemplo: dado el siguiente esque-
ma:
( ? p ? q) ? (p ?? r)
El esquema es contingente
5.2.- TAUTOLOGÍA
Es una proposición que siempre es verdadera, independientemente del valor lógico de las proposiciones
simples que la componen..
Se puede decir también que un esquema es un tautológico cuando los valores de verdad del operador
principal son todos verdaderos.
Ejemplo
Si p y q son proporciones simples distintas, demuestre mediante tablas de certeza que el siguiente es-
quema proposicional es una tautología.
(p ? q) ? (p ? q)
Es un esquema tautológico
5.3.- CONTRADICCIÓN
Es cuando en el resultado todos los valores de verdad son falsos o Un esquema A es una contradicción
si “no A” ( ? A), es una contradicción cuando todos los valores del operador de mayor jerarquía son
falsos.
Indeterminación: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.
Ejemplo:
Dado el siguiente esquema molecular:
?( ? p ? q) ?? r ?? [ r ?? ( p ?? q )?,
determinar si se trata de una contradicción:
Podemos observar en el ejemplo anterior que no se trata de una contradicción; pero si es un es un es-
quema contingente.
OBSERVACIÓN:
Ala tautología se la simboliza con la letra T
A la idea de tautología se la relaciona con el conjunto universal
A la contradicción se la simboliza con la letra C
A la contradicción se la relaciona con el conjunto vacío.
La negación de una tautología es una contradicción
La negación de una contradicción es una tautología.
Ejercicios
1.-¿Cuáles de las siguientes proposiciones compuestas son tautológicas?
(p ? ~q) ? (~p ? q)
(q ? ~p) ? (p ? ~q)
(~q ? p) ? (q? ~ p)
2.-De las siguientes proposiciones
(p ? q) ? (p? ~q)
(p ? q) ? (~p ? q)
[(p ? ~q) ? q] ? ~p
[(p ? q) ? q)] ? [(q ? p) ? q]
Son contingencias:
3.-Comprobar por medio de una tabla de verdad que las siguientes
esquemas compuestas son tautologías, contingentes o contradictorios
p ??p
(p ? q) ? ( q ? p)
?( p ? q ) ? ( q ? r )] ? ( p ? r)
[p ? ( p ? q )?? q
( p ? q) ? ( ? q ??p)
VI.-INFERENCIA LÓGICA
Se clasifican en:
6.1.- IMPLICACIONES LÓGICAS
Se lo representa por el símbolo “?”, no es un conectivo lógico, es un signo de relación .
Se dice que un esquema A implica a otro esquema B, cuando al unirlos por la condicional nos da una
tautología. Simbólicamente se lo representa así: A ? B.
Si la proposición compuesta A implica a la proposición compuesta B, entonces B se deduce necesaria-
mente de A, o también se dice que B se infiere lógicamente de A.
Ejemplo:
Demostrar que el esquema A implica a B
A: p ? q
B: p? q
Luego unimos con la condicional y construimos la tabla: p ? q ? p ? q
Como el resultado es una tautología, se ha demostrado que A implica a B.
Nota: la relación de implicación no es recíproca.
6.2.- EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Se lo representa por “?” pero no es un operador lógico.
Decimos que dos proposiciones compuestas P y Q son equivalente, sí al unir las dos con la bicondicio-
nal nos da una tautología, es decir que P y Q tienen los mismos valores de verdad en su operador prin-
cipal. Simbólicamente se escribe así:
P ? Q ó P ? Q Se lee P es equivalente a Q ó Q es equivalente a P.
Si no son equivalentes se los escribe así: P ? Q
Si P y Q son equivalentes, entonces Q se deduce válidamente a partir P, y a la vez también P se deduce
necesariamente a partir de Q.
Para demostrar que una proposición compuesta es equivalente a otra, se lo puede hacer por medio de
las tablas de verdad o por medio de las leyes y reglas de inferencia que veremos a continuación.
A los esquemas moleculares compuestos se los representa con las letras mayúsculas A, B, C,.. etc. ó
con P, Q, R, etc.
Ejemplos:
Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes, por medio de la tabla de verdad:
A : Si Laisa aprobó el curso preuniversitario, entonces ingresó a la UCV.
Simbólicamente: p ? q
B: No es el caso que: Laisa apruebe el curso preuniversitario y no ingrese a la UCV
Simbólicamente : ? ( p ? q )
Luego demostramos que: p ? q ?? ( p ? q )
Seguidamente para demostrar que estos dos esquemas son equivalentes, los unimos con la bicondicio-
nal así: ( p ? q ) ?? ( p ?? q ) y construimos una tabla de verdad:
Dado que el resultado de la tabla es una tautología, las proposiciones A y B son equivalentes.
Otro Ejemplo:
P: q??p ; Q: ? ( q ??p )
Aquí observamos que la columna 1 y 3 de los operadores principales de las proposiciones P y Q son
iguales, por lo tanto son equivalentes.
También las proposiciones P y Q son equivalentes porque al unirlas con la bicondicional nos dio una
tautología.
Ejercicios:
Demostrar que los siguientes esquemas moleculares son equivalentes
a)
b)
c)
[ p ? ( q ? r ) ] ? [ ( p ? q ) ? ( p ? r )?
? p ? ( q ? r ) ] ?? ( p ? q ) ? ( p ? r )?
( p ? ( q ? r) ?(p ? q ) ? r
d)
e)
f)
(p ? (q ? r) ? (p ? q) ? r
? ( p ? q ) ? ( ? p ?? q )
? ( p ? q ) ?( ? p ?? q )
VII.-LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
En lógica, las tautologías son conocidas con el nombre de leyes o principios lógicos. A continuación ano-
tamos las principales leyes que vamos a utilizarlos en el futuro y que usted de familiarizarse:
7.1.-
LEYES
L- 1: LEYES DE IDEMPOTENCIA
PARA ? Y PARA ?
Si p es una proposición simple o compuesta, entonces:
(p ? p) ? p
(p ? p) ? p
Según estas leyes, las proporciones ( p ? p) o (p ? p) pueden sustituirse por p.
L – 2: LEYES DE IDENTIDAD
PARA ? Y PARA ?
Si p es una proposición simple o compuesta, entonces:
p ? ( V ) ? ( V );
es decir, cuando formamos la disyunción de una proporción p, cuyo valor de verdad es des-
conocido, con otra cuyo valor de verdad de ( V ), el resultado es ( V ), ya que la disyunción es
( V ) cuando al menos una de las proposiciones dadas es verdadera.
p ? ( F ) ? p;
es decir, el valor de verdad de la disyunción de una proposición p, cuyo valor de verdad no
conocemos, con otra cuyo valor de verdad es ( F ), depende del valor de p.
p ? ( V ) ? p;
en este caso el análisis es similar a la parte b), teniendo en cuenta que aquí el conector es
p ? ( F ) ? ( F );
el análisis es similar al de la parte a), teniendo encuenta aquí que el conector es ?
L- 3:
LEYES CONMUTATIVAS
? Y PARA ?
Si p y q son proposiciones, entonces:
(p ? q) ? (q ? p)
(p ? q ) ? (q ? p), es decir, dos proporciones conectadas con ?? pueden escribirse
en cualquier orden.
L – 4: LEYES ASOCIATIVAS
Si p, q, , son proposiciones cualesquiera, entonces:
a)
( p ? ( q ? r) ? (p ? q ) ? r
b)(p ? (q ? r) ? (p ? q) ? r
L– 5:
LEYES DISTRIBUTIVAS:
Si p, q, r son proposiciones cualesquiera, entonces.
a)
b)
[ p ? ( q ? r ) ] ? [ ( p ? q ) ? ( p ? r )?
? p ? ( q ? r ) ] ?? ( p ? q ) ? ( p ? r )?
Estas leyes son similares a las que conocemos en el álgebra para la suma y la multiplicación. Recorde-
mos que:
4( x + y ) = (4x) + ( 4y)
L – 6: LEY DE LA DOBLE NEGACIÓN:
Si p es una proposición simple cualquiera, entonces:? ( ? p ) ? p
Al negar dos veces una proposición obtenemos una afirmación.
L – 7: LEY DEL TERCER EXCLUIDO:
Si p es una proposición cualesquiera, entonces:( p ?? p) ? ( V )
Esta propiedad establece que independientemente del valor de verdad que tenga p, la proposición:
(p ?? p) siempre es verdadera. Por tanto, en un esquema lógico complejo podemos reemplazar
(p ?? p), (q ?? q), (r ?? r), (a ? b) ?? (a ? b), etc., por (?).
L – 8: LEY DE CONTRADICCIÓN:
Si p es una proposición cualesquiera, entonces:( p ??p ) ? ( F )
Esquemas como (p ?? p), (q ?? q), (r ?? r) pueden remplazarse por (F)
L – 9: LEYES DE DE MORGAN:
Si p, q son proposiciones simples o compuestas, entonces:
? ( p ? q ) ? ( ? p ?? q )
? ( p ? q ) ? ( ? p ?? q )
Estas leyes nos indican cómo negar una disyunción y una conjunción. La parte: a) establece que para
negar una conjunción es necesario cambiar la conjunción por disyunción (? por ?) y negar las proposi-
ciones dadas.
La parte b) establece que para negar una disyunción debemos cambiar la disyunción por la conjunción
(la ?por?) y negar las proposiciones dadas.
Ejemplo:
Negar la proposición: “7 es un número primo y 30 es divisible por 5”.
Solución:
Cambiamos “y” por “o” y negamos las proposiciones simples que forman elenunciado, así:
“7 no es un número primo o 30 no es divisible por 5”.
L– 10: LEY DE LA CONDICIONAL:
Usando tablas de verdad podemos verificar que: p ? q equivale a ? p ? q .
La proposición p ? q es una abreviación de la proposición ? p ? q; es decir:
( p ? q ) ? ( ? p ? q)
NOTA: Son muchos los esquemas lógicos que ofrecen alguna complejidad y pueden simplificarse utili-
zando esta definición alterna del condicional.
Ejemplo 1:
Escribamos sin condicional las proposiciones siguientes:
a)
b)
c)
( p ? q) ? r
p ? ( ? q ?? )
? p ?? q
SOLUCIÓN:
a.
b.
c.
(p ? q ) ? r ] ?? ( p ? q ) ? r
? p ? ( ? q ?? r ) ] ?? p ? ( ? q ?? r )
( ? p ?? q ) ?? ( ? p ) ??q ? p ? ( ? q )
Ejemplo 2:
Escribamos una proposición equivalente a:“Si X es ingeniero entonces X tiene una constructora”
SOLUCIÓN:
Usando la definición alterna de la implicación tenemos:“X no es ingeniero o X no tiene una constructora”
Ejemplo 3:
Comprobemos que ( p ? q) ? ( ? p ? q)
SOLUCIÓN:
Elaboramos la tabla de verdad:
L- 11.- LEY DE LA BICONDICIONAL
p ? q
? (p ? q) ? (q ? p)
L- 12.- CONJUNCIÓN NEGATIVA.-
p ? q ?? p ?? q
L-13.- DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.-
p ? q ? ( p ? q ) ?? ( p ? q )
Ejercicios: Demuestre las leyes mediante el uso de las tablas de verdad.
7.2.- APLICACIONES DE LAS LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL
Las leyes nos pueden servir para demostrar que un esquema es equivalente a otro, también podemos
utilizar en la simplificación de proposiciones etc.
Ejemplo 1:Probemos que ? ( p ? q ) ?? p ?? q )]
SOLUCIÓN:
? ( P ? Q ) ???( p )?? q ?
Definición alterna de implicación
?? (? p) ?? ( q )
Ley de De Morgan para ?
? p ? (? q)
Ley de la Doble Negación
Luego: ? ( p ? q ) ?? p ? (?q)?
Ejemplo 2:Probemos que la proposición ( p ? q) ? p es una tautología.
SOLUCIÓN:
? ( p ? q ) ? p ] ?? ( p ? q ) ? p
Definición alterna de ?
? ( ? p ?? q) ? p
Ley de De Morgan para ?
? ( ? p ?p ) ? ( ? q)Ley Asociativa de la ?
? (V) ? ( ? q)
Ley del Tercer excluido
? ( V ) Ley Idéntica de la ?
Por lo tanto, al ser ?( p ? q ) ? p??( V ), concluimos que es una tautología.
Ejercicios
1)
2)
Probemos que la proposición [ ( p ? q) ? ( ? q)] ? ( ? p) es una tautología.
Probemos que la siguiente proposición es una contradicción:
? [??? p ? q ) ? ( ? p ? q ) ] ?? [ ? ( ? p ? q ) ??? ( ? p ? q )
3)
Elaborar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones y decir en cada caso si se trata de
una tautología, una contradicción o una determinación.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
4)
? ( p ?? q) ? ( p ? q )
( p ?? q) ? ( ? p ? q)
p ? (q ? r)
?p ? ( ? p ? q)
( ? p ?? q ) ? ( p ? q)
( p ? q ) ?? p
( ? q ? r ) ? ( q ?? r)
( r ??r ) ? r
Los siguientes ejercicios deben resolverse aplicando las Leyes del Álgebra proposicional y no
por tablas de verdad.-
Probar que las proposiciones siguientes son tautologías:
a)
b)
c)
d)
e)
5)
a.
b.
c.
d.
e.
[? q ? ( p ? q ) ] ? ( ? p )
[ ( p ? q ) ?? q ] ? (? p )
[(p ? (q ? r)] ? [(p ? q) ? r]
[? p ? ( p ? q ) ] ? q
p ? (p ? q)
Simplificar las siguientes proposición utilizando leyes:
? p ?? q ) ? (? p ? q )
p ? ( p ?? q )
? m ? (? m ?? n )
? [t ? (m ? t) ?
?? ( p ? q ) ? ( ? p ? q ) ]
7.2.- INFERENCIA LÓGICA:
La inferencia es el paso de un conjunto de premisas a la conclusión.
Simbólicamente se lo representa así:
P1
P2
P3
.
.
.
Pn
______
?C
Al unir cada una de las premisas por el operador conjuntivo y estas a la vez con la conclusión por medio
del condicional, se obtiene la siguiente fórmula inferencial:
P1? P2? P3? ……?Pn? C
Como las premisas y la conclusión están constituidas por proposiciones, podemos decir que la inferencia
es una estructura de proposiciones, donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se
obtiene otra proposición llamada conclusión:
Ejemplos:
1. Vicente viajará al norte del país o se quedará en la capital. Por lo tanto, Si Vicente viaja al norte del
país entonces no se quedará en la capital.
2.Si Mateo gana el concurso de poesía entonces obtendrá una beca. Mateo ganó el concurso de poesía.
Luego Mateoobtendrá una beca.
La conclusión se puede distinguir de sus premisas porque generalmente van precedidas por alguno de
los términos como “por lo tanto”, “luego”, en consecuencia”, “de ahí que”, etc. y las premisas podemos
distinguirlas casi siempre por los signos de puntuación comoel punto seguido o por el sentido que tiene
el enunciado.
7.3.- VALIDEZ Y VERDAD
La validez se refiere a la forma de pensamiento, mientras que la verdad se obtiene del análisis del con-
tenido del pensamiento. En todo razonamiento o inferencia hay que distinguir su validez de su verdad.
El razonamiento o la inferencia son válidos cuando la conjunción de premisas implica a la conclusión; y,
si esto no sucede, la inferencia es inválida.
La validez o invalidez de una inferencia depende únicamente de su forma lógica, y la forma lógica de-
pende de la función que desempeñan las conectivas en la estructura del enunciado inferencial.
Si una inferencia válida tiene su premisa o conjunto de premisas verdaderas, entonces se puede asegu-
rar que la conclusión es necesariamente verdadera; pero si la premisas o conjunto de premisas no son
verdaderas, así la inferencia sea válida, lógicamente no se puede saber la verdad o falsedad de la con-
clusión. Entonces, el único caso que se puede saber la verdad de la conclusión es cuando la inferencia
es válida y tiene premisas verdaderas.
7.4.- MÉTODOS PARA DETERMINAR LA VALIDEZ DE UNA INFERENCIA LÓGICA
Analizar la validez o invalidez de una inferencia consiste en decidir si la fórmula de la inferencia es válida
o no, para esto conocemos dos métodos:
7.4.1. POR LA TABLA DE VALORES
Se sugiere seguir los siguientes pasos:
a.
b.
c.
Simbolizar las premisas y la conclusión:
Obtener la formula inferencial
Aplicar la tabla de valores.Si el resultado es tautológico, la conjunción de premisas implica a la
conclusión, y por tanto la inferencia es válida, pero si el resultado no es tautológico, la inferencia no es
válida.
Ejemplos:
Vicente viaja al norte
1. Vicente viajará al norte del país o se quedará en la capital. Por lo tanto, Si
del país entonces no se quedará en la capital.
a. Simbolizamos:
p ? q
?
_____________
p ?? q
b. Obtenemos la formula inferencial:
( p ? q ) ? ( p ?? q )
b.
Elaboramos la tabla de valores:
El esquema no es tautológico, luego la premisa no implica a la conclusión y la inferencia no es válida,
2. Si Mateo gana el concurso de poesía entonces obtendrá una beca. Mateo ganó el concurso de poes-
ía. Luego Mateo obtendrá una beca.
a. Simbolizando tenemos:
p ? q
p
__________
? q
b. Obtenemos la formula inferencial:
[( p ? q )
? p ] ? q
c. Elaboramos la tabla de valores:
El esquema es tautológico, luego la conjunción de premisas implica a la conclusión y la inferencia es
válida.
7.4.2. POR EL MÉTODO ABREVIADO
Es un procedimiento que evita estar construyendo la tabla de valores de verdad para determinar la vali-
dez de la inferencia.
Este método consiste en suponer la conjunción de premisas verdaderas y la conclusión falsa, única po-
sibilidad que invalidad la implicación.
P1? P2? P3? ……?Pn? C
V
VVV
F
Ejemplo:
1. Vicente viajará al norte del país o se quedará en la capital. Por lo tanto, Si Vicente viaja al norte del
país entonces no se quedará en la capital.
a. Simbolizamos:
p ? q
_____________
? p ?? q
b. Obtenemos la formula inferencial:
( p ? q ) ? ( p ?? q )
c.
Suponemos valores, a las premisas verdaderas y la conclusión falsa
( p ? q ) ? ( p ?? q )
V
F
Como cada una de las variables(p, q), cumplen una sola función veritativa, decidimos que la inferencia
no es válida. Esto es, se ha demostrado que la premisa es verdadera y la conclusión es falsa.
2. Si Juan gana el concurso de poesía entonces obtendrá una beca. Juan ganó el concurso de poesía.
Luego Juan obtendrá una beca.
Simbolizando tenemos:
p ? q
p
__________
? q
b. Obtenemos la formula inferencial:[(p ? q) ? p] ? q
c. Suponemos valores, a las premisas verdaderas y la conclusión falsa:
[(p ? q)
? p] ? q
V
c.
VF
Comprobamos:
[( p ? q )
? p ] ? q
F
F
V
V
F
Como la variable p tiene dos valores: verdadero y falso a la vez. Por lo tanto, hay implicación y la infe-
rencia es válida.
7.5.-Reglas de inferencia:
Para inferir un razonamiento a partir de otros se requiere de un proceso en el que se aplican propiedades
o leyes fijadas de antemano y que no hayan sido obtenidas de casos particulares o para casos particula-
res.
Estas leyes dan la certeza de que solo es posible obtener conclusiones ciertas de premisas ciertas.
7.5.1.- MODUS PONENDO PONENS
( REGLA DE SEPARACIÓN):
Su abreviatura es PP.
Simbólicamente tenemos:
p ? q (1)
p
(1)
_______
? q (1)
Su fórmula inferencial es:[ ( p ? q ) ? p ?? q
Si una proposición condicional es verdadera y si verdadero el antecedente, entonces necesariamente
será verdadero el consecuente.
Ejemplo:
Premisa 1: Si él está en el partido de fútbol, entonces él está en el estadio.
Premisa 2: El está en el partido de fútbol
Conclusión: El está en el estadio.
Se simboliza de la siguiente manera el ejercicio anterior
p ?q
(1)
p
(1)
_______
? q
(1)
Ejercicios:
A. ¿Qué conclusión se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas?
Es decir ¿qué proposición lógica se sigue de las premisas?
Si usted está en Madrid, entonces su reloj señala lamisa hora que en Barcelona. Usted está en Madrid.
Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No nos despedimos ahora.
Si vivo en la capital del Ecuador, entonces no vivo en ninguno de las 21 provincias del Ecuador. Vivo en
la capital del Ecuador.
Utilizando Modus PonendoPonens sacar una conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas si-
guientes. Escribir la conclusión en la línea (3)
p ? q ? r
p ? q
? p ?? r
?p
Poner una C junto a cada ejemplo en el que la conclusión es correcta según el Modus
Poniendo Ponens. Poner una I junto a cada conclusión incorrecta.
Premisas: s y s ? t: conclusión: t
Premisas: t ? v y t: conclusión v
Premisas: p ? q y q: conclusión r
Premisas: s y r ? s
Premisas: r y r ? s
7.5.2. DOBLE NEGACIÓN.
La reglade doble negación es una regla simple que permitepasar de una
premisa única a la conclusión.
Simbólicamente tenemos:
(1)
?? p (1)
________
?p (1)
p
_______
??? p (1)
Ejemplo:
No ocurre que María no es estudiante
Simbolizando el ejemplo anterior tenemos:
?? p (1)
________
?p (1)
La conclusión es que María es estudiante.
Ejercicios:
A. Qué conclusión podemos sacar de cada una de las proposiciones siguientes por la doble negación:
1. Todos los mamíferos son animales de sangre caliente
2. El granito es un tipo de mineral ígneo
3. No ocurre que un quinto no es el veinte por cierto
B. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas:
1. Demostrar: ?? t
(1) s ? t
(2) s
(3)
(4)
2. Demostrar: b
(1) ? a
(2) ? a ??? b
(3)
(4)
7.5.3.- MODUS TOLLENDO TOLLENS.
Su abreviatura es TT.
Simbólicamente tenemos:
(1)
(1)
? p
(1)
Su fórmula es: [ ( p ? q ) ?? q ] ?? p
Si una proposición condicional es verdadera y si es verdadera la negación del consecuente, entonces
necesariamente será verdadera la negación del antecedente.
Ejemplo:
Premisa 1: Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella
Premisa 2: El astro no es una estrella.
Conclusión: Por tanto no tiene luz propia
Se simboliza de la siguiente manera el ejercicio anterior
P
P
TT 1, 2
?p
Ejercicios:
1)
¿Qué conclusión se puede deducir de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes utilizan-
do TT? Escribir las conclusiones es castellano.
2)
Si la luz fuera simplemente un movimiento ondulatorio continuo, entonces la luz más brillante
dará lugar siempre a una emisión de electrones con mayor energía que los originados por luz más tenue.
La luz más brillante no siempre emite electrones con mayor energía que los originados.
3)
Si un ángulo de un triángulo es mayor de 90 grados, entonces la suma de los otros dos ángulos
es menor de 90 grados. La sima de los otros dos ángulos no es menor de 90 grados.
4)
Si el arriendo se mantiene válido, entonces el dueño es responsable de las reparaciones. El
dueño no es responsable de las reptaciones.
5)
Deducir una conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes, aplicando la regla
del Modus TollendoTollens.
1. (1) q ? r
2. (1) q ?? r
3. (1) ( p ? q) ? r
(2) ? r
(2) ?? r
(2) ? r
(3)(3)
(3)
p ? q
?q
p ? q
? q
Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas. Indicar la demostración
completa.
Demostrar:
(1) f
Demostrar: c
(1) ? b
(2) a ? b (2) q
Demostrar: r ? s
(1) p ? q
(2) ? e ?? f
(3) ? a ? c (3) ? p ? r ? s
7.5.4.- MODUS TOLLENDO PONENS.
Su abreviatura es: MTP
Simbólicamente tenemos:
(1)
(1)
q
(1)
(1)
(1)
p
(1)
Sus fórmulas son:
? (p ? q ) ?? p ?? q
? (p ? q ) ?? q ?? p
Si una proposición disyuntiva es verdadera y si es verdadera la negación de una de sus componentes,
entonces necesariamente será verdadera la otra componente de la disyunción.
Ejemplo:
1.- Supóngase que se tiene como premisa:
O esta sustancia contiene hidrógeno o contiene oxígeno
La segunda premisa dice:
Esta sustancia no contiene oxígeno
Por medio del Modus TollendoPonens se puede concluir:
p ? q
? p
p ? q
? q
q
TP 1, 2
Ejercicios:
1.-¿Qué conclusión, en forma de proposición escrita en castellano, se puede deducir de cada uno de los
conjuntos de premisas siguientes utilizando la regla TP?
2.-Este hombre o es un abogado o es un político. No es un abogado.
Juan o ha terminado el libro o no ha ido a devolverlo hoy a la biblioteca.
Juan no ha terminado el libro.
B. Deducir una conclusión de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas
usando el Modus TollendoPonens.
(1) ? q ? r
(2) ? r
P
P
(1) t ? ( p ? q)
(2) ? t P
(1) (s ? t) ? r
(2) ? (s ? t)
P
C. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas en los
Ejercicios que siguen. Dar una demostración completa.
1) Demostrar: p
2) Demostrar a ? b
3) Demostrar: p
(1) p ? q
P
(1) ? a ? b
P
(1) t ? p ? q
P
(2) ? t
P
(2)
? a ? e
P
(2)?? t
P
(3) q ? t
P
(3)
? e
P
(3) ? q
P
7.5.5.-TAUTOLOGÍA SIMPLIFICATIVA
Simbólicamente tenemos:
p? q
p
Esta sustancia contiene oxígeno
2.- Para aclarar la forma de esta inferencia, se puede simbolizar el ejemplo:
p: Esta sustancia contiene hidrógeno
q: Esta sustancia contiene oxígeno
La demostración de la conclusión es:
p ? q P
? p P
p? q
Q
Su fórmula es:
(p ? q) ? p
(p ? q) ? q
Si una conjunción de proposiciones es verdadera entonces necesariamente será verdadera cada una de
sus componentes.
Ejemplo:
Apruebo los talleres y apruebo el módulo 2
Premisa 1: apruebo los talleres
Premisa 2: apruebo el módulo 2
Conclusión: 1) apruebo los talleres
Conclusión: 2) apruebo el módulo 2
7.5.6.- TAUTOLOGÍA ADJUNCIÓN
Simbólicamente tenemos:
P
Q
p ? q
Su fórmula es:? ( p ) ? ( q ) ?? ( p ? q)
Si dos proporciones cualesquiera son verdaderas, entonces necesariamente será verdadera la conjun-
ción que con dichas proposiciones se forme.
Ejemplo:
Salí bien en el examen y tengo 10
p: salí bien en el examen
q: tengo 10
( p ? q ) : salí bien en el examen y tengo 10
7.5.7. TAUTOLOGÍA ADICIÓN
Simbólicamente tenemos:
P
p ? q
Su fórmula es:
p ??p? q]
Si una proposición cualesquiera es verdadera, entonces necesariamente será verdadera
la disyunción que se forme con dicha proposición y cualquier otra.
Ejemplo:
Estudio con responsabilidad o pierdo el módulo
p: estudio con responsabilidad
q: pierdo el módulo
p ? q: estudio con responsabilidad o pierdo el módulo.
7.5.8. SILOGISMO HIPOTÉTICO
(LEY TRANSITIVA).
Su abreviatura es HS
Simbólicamente tenemos:
p? q
q ? r
p ? r
Su fórmula es:?( p ? q ) ? ( r ? s ) ? ( p ? r )?? (q ? s)
Si una proposición condicional es verdadera y si es verdadera otra condicional que tenga como antece-
dente el consecuente de la primera, entonces necesariamente será verdadera otra condicional que tenga
por antecedente el de la primea y por consecuente el consecuente de la segunda.
Ejemplo:
(1) Si hace calor, entonces Juana va a nadar
(2) Si Juana va a nadar, entonces arregla la casa después de comer.
Se puede concluir:
(3) Si hace calor, entonces arregla la casa después de comer.
Ejercicios:
En los ejemplos siguientes de la ley del silogismo hipotético obsérvese que algunos de los antecedentes
y consecuentes son proposiciones moleculares. La forma, sin embargo es la misma.
a. (1) ? p ?? q
P
(2) ? q ?? r
(3) ? p ?? r
P
HS 1,2
b. (1) (p ? q) ? r
P
(2) r ? (q ? t )
P
(3) (p ? q) ? ( q ? t ) HS 1,2
A. ¿Qué conclusiones se puede sacar, si se puede sacar alguna, por la ley de silogismo hipotético de
los conjuntos de proposiciones siguientes?
Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales. Si las moléculasforman cristales, entonces
el agua aumenta de volumen.
Si un haz fino de fotones penetran en un gas en una cámara de niebla, entonces los fotones expulsan
electrones de lo s átomos del gas. Si los fotones expulsan electrones de átomos de gas, entonces la
energía de la luz se convierte en energía cinética de los electrones.
B.
Traducir los razonamientos del ejercicio A en símbolos lógicos y demostrar que su conclusión es
consecuencia lógica de las premisas.
Utilizar la ley del silogismo hipotético y obtener una conclusión del siguiente conjunto de premi-
C.
sas.
1. (1) q ?? p
(2) ? p ? r
2. (1) s ? t ? r ? q
(2) r ? q ??p
D.
Indicar una deducción formal de las siguientes conclusiones a partir de las premisas dadas.
2. Demostrar: q
(1) ? r ? s
(2) s ? p ? q
(3) r ? t
(4) ? t
1. Demostrar: ? t
(1) ( q ? r) ? p
(2) r ? t
(3) ( q ? r ) ?? t
7.5.9.- SILOGISMO DISYUNTIVO
(LEY DEL DILEMA).
Su abreviatura es DS
Simbólicamente tenemos:
p ? q
r ? s
p ? r
q ? s
Su fórmula es:?(p ? q) ? (r ? s ) ? (p ? q)?? (q ? s)
Si dos proposiciones condicionales son verdaderas y si es verdadera la disyunción que se forme con los
antecedentes de dichas condicionales, entonces necesariamente será verdadera la disyunción que se
forme con los consecuentes.
Ejemplo:
O llueve o el campo está seco
Si llueve, entonces jugaremos dentro.
Si el campo está seco, entonces jugaremos al baloncesto
¿Qué conclusión se puede sacar de estas proposiciones? La conclusión es que o jugaremos dentro o
jugaremos el baloncesto. La conclusión es otra disyunción.
Simbolizamos:
r:
d:
p:
b:
llueve
el campo está seco
jugaremos dentro
jugaremos al baloncesto
Esto se simboliza así:
(1) r ? d
P
(2) r ? p
P
(3) d ? b
(4) p ? b
P
D S1, 2, y 3
Ejercicios:
A. ¿Qué conclusión se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas,por la ley del
silogismo disyuntivo? Dar como conclusión una proposición en lenguaje corriente.
O Juan tiene mayoría o Pedro tiene mayoría. Si Juan tiene mayoría. Pedro será el tesorero. Si Pedro
tiene mayoría, entonces Juan será el tesorero.
O la planta es un aplanta verde o es una planta no verde. Si es una planta verde, entonces fabrica su
propio elemento. Si es una planta no verde, entonces depende de las materias de otras plantas para su
alimento.
B.
Simbolizar los razonamientos de los ejemplos anteriores y demostrar que las conclusiones son
consecuencia lógica de las premisas.
C. Utilizar la ley del silogismo disyuntivo (DS) para obtener una conclusión de cada uno de los siguientes
conjuntos de premisas.
1. (1) p ?? q
(2) ? q ? r
(3) p ?? s
2. (1) ? t ?? s
(2) ? s ? p
(3) ?t ? q
Dar una deducción completamente formal de las siguientes conclusiones a partir de las premisas dadas.
1. Demostrar: r ? (p ? q )
2. Demostrar: ? q ? s
(1) p ? q
(1) s ?? r
(2) q ? r
(3) p ? t
(4) ? t
7.5.10. CONMUTATIVA
Simbólicamente tenemos:
p ? q
_______
(2) r ?? t
(3) q ? t
p ? q
______
q ? p
q ? p
(p ? q) ? ( q ? p)
Su fórmula es:
(p ? q ) ? (q ? p)
Ejemplo:
p ? q
Pedro trabaja y estudia
Por lo tanto:
Pedro estudia y trabaja
q ? p
7.5.11. SIMPLIFICACION DISYUNTIVA:
Simbólicamente tenemos:
p?p
(p ? p) ? p
________
p
Su fórmula es:
Ejemplo:
p ?p
Pedro es ingeniero o Pedro es ingeniero
Se concluye: que Pedro es ingeniero
7.5. 12.LAS LEYES DE DE MORGAN:
Simbólicamente tenemos:
a) ? (p ? q)
________
b)? p ?? q
________
? (p? q)
? p ?? q
Ejemplos:
? (p ? q)
a) No ocurre a la vez que: hace calor o que hace frío
Se puede también expresar:
No hace calor y no hace frío
b) No llueve y no hace sol
Se puede también expresar:
No ocurre que: llueve o haga sol
? p ?? q
? p ?? q
? (p ? q)
Ejercicios:
A. ¿Qué se puede concluir de las premisas siguientes utilizando las leyes de De Morgan?
1. O los estudiantes no son ingenieros o no tienen tiempo
2. No ocurre que o el aire es un buen conductor del calor o el agua es un buenconductor del calor.
3. No ocurre que los puentes son cementos o que los edificios son calles
B. Aplicar las leyes de De Morgan para deducir conclusiones:
1.
2.
3.
C.
? ( p ? q)
? r ?? t
? (? r ?? s)
4. ??g ?? h
Indicar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos simbolizados
siguientes:
1. Demostrar: ? s
(1) ? (p ? q)
(2) ? q ? t
2. Demostrar: r ? q
(1) ? s ?? ( p ?? t)
(2) t ? (q ? r)
(3) ? p ? t
(3) ? s
(4) s ?? t
D.-Dar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos siguientes:
1. Demostrar: x = 1
(1) ? (z ? 3) ? ( x ? y) ? y = 2
(2) x ? y ? x = 1
(3) x ? z ? x ? y
(4) x ? z ? x ? y
7.5.13.- REGLA DE LA BICONDICIONAL.
Su abreviatura es LB
Simbólicamente tenemos:
p ? q
___________________
(p ? q ) ? (q ? p)
p ? q
q ? p
____________
p ? q
Ejercicios:
A. Simbolizar las siguientes proposiciones y dar una deducción formal:
1. Esta ley será aprobada en esta sesión si y solo si es apoyada por la mayoría. O es apoyada por la
mayoría o el gobernador se opone a ella. Si el gobernador se opone a ella, entonces será pospuesta en
las deliberaciones del comité. Por tanto o esta ley será aprobada en esta sesión o será pospuesta en la
deliberación del comité.
2.3 x 5 = 12 ? 5 +5 +5 = 12
4 x 4 ? 13
5 +5 +5 = 12 ? 4 x 4 = 13
Por lo tanto: 3 x 5 ? 12
B. Dar una demostración formal completa de cada uno de los razonamientos siguientes:
1. Demostrar: 2 x 5 = 5 + 5 ? 2 x 4 = 4 + 4
(1) 2 x 4 = 4 + 4 ? 2 x 5 = 5 + 5
2. Demostrar: x = 4 ? 3x + 2 = 14
(1) 3x + 2 = 14 ? 3x = 12
(2) 3x = 12 ? x = 4
7.5.14. CONJUNCIÓN NEGATIVA
Simbólicamente:
p ? q
_________
? p ?? q
Su fórmula es:
(p ? q) ? (? p ?? q)
? p ?? q
Ejemplo:
Ni Luis estudia ni Juan trabaja p ? q
Se concluye que:
Luis no estudia y Juan no trabaja.
7.5.15. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Simbólicamente:
pvq
_____________
(p ? q ) ?? ( p ? q)
Ejemplo:
Inés es hija de Pedro o hija de Luis
pvq
Se concluye:
Inés es hija de Pedro o Inés es hija de Luis y no es cierto que: Inés es hija de Pedro y de Luis
SESIÓN 3
VIII.-PROCESOS DE DEDUCCIÓN
De un conjunto de premisas dadas, que se puede deducir:
1. Determinar el valor de verdad de las premisas. Si alguna de ellas es falsa no es posible inferir nada
de ellas.
Ejemplo: que se puede deducir de:
2+3=5 ? 3=3
4 + 2 = 7 ? 9 + 2 = 11
4+2=7 ? 2=2
Determinamos el valor de verdad
2+3=5 ? 3=3
4 + 2 = 7 ? 9 + 2 = 11
4+2=7 ? 2=2
V
V
F
De este conjunto de premisas no se puede concluir nada.
2. Determinar si las premisas son inconsistentes o no.
a. Si las premisas no son consistentes (inconsistentes) no se puede inferir nada de ellas.
b. Si las premisas son consistentes es posible deducir una conclusión utilizando las reglas de infe-
rencia.
Ejemplo: Que se deduce de:
Si 3 + 2 = 5, 6 – 4 = 2
Si 6 – 4 = 2, 6 = 3 + 3
1.
2.
Determinamos el valor de verdad de las premisas:
3+2=5 ? 6 – 4=2 V
6 – 4=2 ? 6=3+3 V
Determinamos la conclusión:
3+2=5 ? 6=3+3
Ejemplo: Considerando que las premisas son verdaderas, que se
puede deducir de:
p ? q
? r ? p
q ? r
p ? q
? r ? p P2
q ? r
P1
P3
? r
C1 de P2
(Regla de la simplificación)
? q
? p
C2 de P3 y C1 (M T.T)
C3 de P1 y C2 (M. T.T)
p
C4 de P2
(Regla de la simplificación)
?p ?p C5 de C3 y C4 (Regla de adjunción)
Las premisas son inconsistentes, en consecuencia nada se puede deducir de ellas
Ejercicios:
Que se puede deducir de:
1.
3.
4+3=7 ? 2=2
3+2=6 ? 4+3=7
3+2 ? 6 ? 2 ? 2
q vr
? q ? p
? r ? ( s ? t)
2.
? p ? q
4.
p ? q
? q ?? s ? (r ? p) ?
?? p
s ? q
MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
Los métodos de demostración pueden ser: directo, condicional e indirecto. La demostración de una pro-
posición tiene por objeto establecer que es verdad, infiriéndola de verdades conocidas o ya demostra-
das.
MÉTODO DIRECTO:
Consiste en inferir una conclusión, partiendo únicamente de un conjunto de premisas.
Ejemplo:
Demostrar: s; de
P1
p ? s
p ? q
p ? s
q ? s
p ? q
q ? s
P2
P3
s ?
C1; de P1, P2 y P3
(Regla del SilogismoDisy.)
s
C; de C1
(Simplificación Disyuntiva)
IX.-CIRCUITOS LÓGICOS
El valor de verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico
controlado por un interruptor.
En efecto, para representar un interruptor mediante una proposición p, se tiene:
p
Circuito cerrado
p
Circuito abierto
Es decir, el interruptor está cerrado (pasa corriente) si V(p) = V, y está abierto (no pasa corriente) si
V(p)=F. De aquí establecemos una identificación entre las proposiciones y los interruptores de un circuito
eléctrico. Las operaciones proposicionales (conjunción, disyunción, etc.) pueden representarse mediante
circuitos con tantos interruptores como proposiciones componentes. Considerando las clases de instala-
ciones: en serie y en paralelo, es factible diseñar esquemas de circuitos eléctricos para representar a
proposiciones compuestas o viceversa.
Circuitos en serie:
Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie:
p
q
Se observa que este circuito admite poso de corriente cuando los dos (interruptores p y q están cerrados,
en cualquier otro caso no hay paso de corriente. De aquí tenemos el comportamiento de la conjunción de
las proposiciones p ? q. Por tanto:
a) p ? q: representa un circuito cerrado en serie, que deja posar corriente solo si losinterruptores p y q
están cerrados a la vez. Diremos que solo en este estado p?q es verdadera.
b) ¬ p ?¬ q: representa un circuito abierto en serie que deja pasar corriente. Diremos entonces que en
este estado ¬ p ?¬ q es falsa.
q
? q
p
p ? q
? p
? p ?? q
Circuitos en paralelo:
Consideremos ahora dos interruptores instalados en paralelo:
p
q
Se observa en el circuito que hay paso de corriente cuando uno de los interruptores o ambos están ce-
rrados; no hay paso de corriente cuando los dos interruptores están abiertos. Tenemos, entonces, el
comportamiento de la disyunción de las proposiciones p y q. La falsedad de p?q, es decir, el hecho de
que no pase corriente, solo se verifica en el caso de la falsedad simultánea de p ? q; Por tanto:
p ? q: representa un circuito cerrado en paralelo que deja pasar corriente si por lo menos uno de los in-
terruptores eléctricos está cerrado. Diremos que solo en esteestado p ? q es verdadero
b) ¬ p ? ¬ q: representa un circuito abierto en paralelo que no deja pasar corriente, polo que en este es-
tado ¬ p ?¬ q es falsa.
p¬p
q
¬q
p ? q
? p ?? q
Las representaciones anteriores nos permiten diseñar o simbolizar redes de circuitos eléctricos conecta-
dos en serie y en paralelo, o también simplificar circuitos muy complicados haciendo uso de las ya cono-
cidas equivalencias notables.
Ejemplo:
Disertar circuitos lógicos de las siguientes proposiciones:
b) p ? q
c) p ? q
a) (p?q) ? r
Solución:
a)
Vemos que (p ?q) ?r es la conjunción de p?q y r, que deben estar conectados en serie:
p ? q
r
Pero, p? q se representa por:(1)
p
q
Luego sustituyendo en (1), tendremos la representación pedida, esto es:
p
r
q
b) Según la condicional: p ? q ? ¬ p ?q
Luego, la representación de p ? q, es la disyunción (conexión en paralelo) de ¬ p?q. Esto es:
? p
q
c) De la equivalencia: p ? q? (p ?q) ?(q ?p)
?(¬ p ?q )?(¬ q?p)
Entonces, la representación de p ? q es conjunción (conexión en serie) de
(¬ p v q ) y (¬ q ? p), esto es:
¬ p?q¬ q?p
Pero ¬p?q y ¬ q ? p, se representan, respectivamente, por: (2)
¬p
¬q
p
q
Sustituyendo en (2) se tiene:
? p
?q
qp
Pero, según la equivalencia:p ? q ? ( p ? q ) ? (¬ p ?¬ q)
Representando la disyunción de p ? q y ¬ p ?¬ q, tendremos:
p?q
p
q
¬ p ??q
¬p
¬q
Los circuitos (3) y (4) son representaciones de p ? q; se dice entonces que (3) y (4) son circuitos equiva-
lentes.
Ejercicios:
¿Si el costo de cada llave de Instalación del circuito E de la figura adjunta es $10, cuánto
se ahorraría si se reemplaza éste por un circuito lógico más simple equivalente?
1. Describir simbólicamente el circuito:
r
p
¬q
q
¬r
2.. Determinar el circuito equivalente al circuito:
q
?q
p
¬p
¬q
p
p
q
?q
q¬ p
p
q
3. Construir el circuito lógico equivalente del esquema:
¬p
q
4.
¿La proposición p ? q (Disyunción exclusiva) a cuáles de los siguientes circuitos esequivalente?
p
? q
?p
?ppq
q
q?p
q?p
p
p
? q
?q
?q?p
5.Qué representa el circuito equivalente a:
p
¬p
q
¬q
p
¬p
q
¬q
6. Hallar la menor expresión que representa el circuito:
p
r
¬q
q
q
¬r
¬r
q
r
¬q
7. Sea A el circuito lógico más simple correspondiente a la proposición:
??p?q???p?r?????p?s???p??s??y B el circuito lógico más simple equivalente a:
q
¬p
¬q
¬p
q
q
Construir el circuito lógico correspondiente a: A ?B
8.
Hallar la proposición x de manera que sea una tautología el circuito simplificadosiguiente:
¬p ¬q
p
? q
? p
pqq
pq
?q
p
¬p
??q
¬r
9. Construir el circuito lógico más simple equivalente a:
p
? q
? p
?p
r
s
t
r
s
t
r
s
t
CAPÍTULO II: TEORIA DE CONJUNTOS
SESIÓN 4
I.- TEORIA DE CONJUNTOS
NOCIÓN: Se entiende por conjunto, que se trata de una colección, agrupación o reunión de elementos
de una misma especie.
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Por comprensión o forma constructiva: Es cuando se enuncia una propiedad común, que reúne a
todos los elementos con una misma condición.
Ejemplos.
A ??x/ x?Z ? ?3? x ? 9?
B ??2x/ x?Z ? ?4 ? x ?10?
Por extensión o forma tabular: Es cuando se enuncia a todos y cada uno de los elementos que con-
forman el conjunto.
De los ejemplos anteriores
?p
r
s
p
q
A = {4; 5; 6; 7; 8; 9}
B = { 8; 10; 12; 14; 16; 18}
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Inclusión o (subconjunto)
Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, si todo elemento del conjunto A es también
elemento del conjunto B.
A? B ? x?A? x?B
Ejemplo:
{1; {2}}? A
1?A
{2} ?A
A = {1; {2}; 3}
{1} ? A
{{2}}?A
Conjuntos iguales
Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos
A? B ? A? B?B ? A
Conjuntos comparables
Dos conjuntos A y B son comparables, cuando por lo menos uno de ellos se encuentra incluido en el
otro.
ACB? BCA
Acomp.B ?
CONJUNTOS NOTABLES
Conjunto vació o nulo
Carece de elementos: Está incluido en todo conjunto
Notación:
? ;{}
OBSERVACIÓN:
? ? A; ?A
Conjunto universal (U)
Es aquel conjunto que reúne a todos los elementos de una misma especie, se usa para el estudio de una
situación particular.
Conjunto unitario:
Llamado también singletón, es aquel que tiene un solo elemento
(Cualquiera de las dos)
Luego: n[P(A)] = 2 = 8 es decir:P(A) = {{1}; {2}; {3}; {1;2}; {1;3}; {2;3}; {1; 2; 3};
A = { 1} B = {? }
C = {2} D = {a}
Conjunto potencia [P(A)].
n
donde n representa el número de elementos de A.
Por ejemplo:Sea el conjunto: A = {1; 2; 3}
n(A) = 3 (número de elementos del conjunto A)
(o también cardinal de A)
3
? }
Conjunto producto cartesiano:
Conjunto formado por pares ordenados donde las primeras componentes son del primer conjunto y las
segundas componentes, son del segundo conjunto.
Es decir:
A x B = {(x;y)/x ?A ? y ?B}
Ejemplo: A = {a; b; c} B = {2;4}
AxB = {(a;2); (a; 4); (b; 2); (b; 4); (c; 2); (c; 4)}
Ejercicios
? +
conjunto de los enteros positivos?
A) 12?A
B) 10? A
C) 8?AD) 2? A
E) 5? A
2.-Determinar la suma de los elementos de:B = {x? Z/ – 12< x+6< 20}
A) 62
B) – 62
C) – 66D) 91
E) – 91
2
A) 10
B) 20
C) 25
D) 30
E) 32
4.-Dado: A = {2, {4, 5}, 4}, ¿qué afirmación es incorrecta?
A) 2?A
B) {2}?A
C) {4,5}?AD) 4?A
E) 0?A
5.-Sabiendo que: A = {{4; 5}; {6; 7; 8}; {9}}; ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son correctas?
14.-Si: {(3
{5} ?A
{9} ?A
{5; 6} ?A
{{4; 5}} ?A
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2
A) 7
B) 14
C) 19
D) 26
E) 37
7.- ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?A = {{3; 4; {5; 7; 8}}}
A) 5
B) 2
C) 3
D) 1
E) 0
8.-Dado el conjunto: E ??(x?5)/ x?Z ??5? x ? 5? ¿cuántos subconjuntos tiene E?
A) 32
B) 64
C) 1024
D) 2 048
E) 512
9.-Dado el conjunto A = ?x?N /3x ?10? ; ¿cuál de las siguientes relaciones es correcta si N es el
conjunto de los números naturales?
A) – 2? A
B) 4?AC) 2?A
D) 0?A
E) 3?A
10.-¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, sabiendo que tiene 480 subconjuntos más que el conjutno
B, el cual posee 5 elementos?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
11.-El conjunto A tiene 15 subconjuntos propios. Calcular el cardinal de A.
A) 1
B) 2
C) 4
D) 16
E) 24
12.-Si los conjuntos G = {2a; 6} y E= {4; 4b} son unitarios, ¿cuántos elementos tiene:
A = {3a – 1; 7b; 2a+1; ab; a+b}?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2 3 4
A) 28
B) 72
C) 96
D) 258
E) 117
a+2
; 83} = {3
b+2
+2; 27} Hallar: a.b
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
b a
A) 36
B) 16
C) 64
D) 12
E) 18
2
A) 8
B) 5
C) 6
D) 4
E) 10
2 2
A) 80
B) 74
C) 104 D) 90
E) 39
?N ? x ?17}
3x ?1
2
18.-Determinar el cardinal de: S ?{x ?1/
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
II.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Reunión o Unión (?): Resulta de la unión de los elementos de dos o más conjun-
tos(A?B) ? x/ x? A y/ox?B}
PROPIEDADES
A?A = A
A?B = B ? A
A?(B?C) = (A?B) ? C
A?U =U
A? ? = A
Si A y B son conjuntos disjuntos: n(A?B) = n(A) + n(B)
Para dos conjuntos A y B se cumple: n(A?B) = n(A) + n(B) – n(A ? B)
Intersección (?): Resulta de aquellos elementos comunes a ambos conjuntos
(A?B) ??x/ x? A? x?B?
?A?B?
A
B
A
B
B
A
?A?B?
?A?B?
A
B
?A?B?? A
A
B
?A?B??? ?
?A?B?
A
B
PROPIEDADES
A ?A = A
A ?B = B ?A
A?(B?C) = (A?B) ? C
A?U=A
A? ? =?
A?B =? (Si A y B son disjuntos)
A?(B?C) = (A?B)? (A? C)
A? (B?C) = (A?B) ? (A?C)
Diferencia: Resulta de aquellos elementos que pertenecen al conjunto A, pero no al Conjunto B
(A? B) ??x/ x? A? x?B?
PROPIEDADES
A – A= ?
A – ? =A
A – B? B – A
1. Diferencia Simétrica (?): Resulta de aquellos elementos que pertenecen al conjunto (A? B) pero
no al conjunto (A?B)
?A?B??{x/ x?(A? B)? x?(B? A)}
(A?B) = (A – B) ? (B – A)
(A?B) = (A?B) –(A?B)
PROPIEDADES
A?B = B?A
(A?B) ?C = A?(B?C)
A?A =?
A? ? = A
A?B = ? ?A = B
A
B
?A? B?
A
B
?A? B?
?A? B?
A
B
B
A
?A?B?
A
B
?A?B?
?A?B?
A
B
A – B = A?B
U =?
C
A? A’ =?
? ’ = U
C
PROPIEDAD
(A’)’ = A
A’?A= U
Ejercicios
01.
En una ciudad a la cuarta parte de la población no le gusta la carne ni el pescado; a la 1/2 le
gusta la carne y a los 5/12 le gusta el pescado. ¿Qué fracción de la población gusta carne y pescado?
A) 1/6 B) 5/6 C) 1/3 D) 1/12 E) 5/12
02. De una muestra recogida a 92 turistas, se determinó lo siguiente: 30 eran africanos; 40 europeos y
50 eran músicos. De estos últimos 24 eran africanos y 16 eran europeos. ¿Cuántos de los que no son
europeos, no eran africanos, ni músicos?
A) 10
B) 12
C) 9
D) 11
E) 8
03. De 160 personas que gustan de los jugos de fresa; manzana y piña se sabe que 60 gustan de un
jugo solamente; 70 gustan exactamente de 2 de estos jugos y 20 de otros pero no los mencionados
¿Cuántos gustan de los tres a la vez?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 15
E) 25
04. En uno de los salones del ciclo anual respecto a los alumnos que lo conforman, se sabe que: a 20
varones no les gusta la cumbia; a 25 mujeres si les gusta dicho ritmo musical; a los varones que les
agrada dicho género son 30 y son a su vez el doble de las mujeres a las que no les gusta.
¿Cuántos son en el salón?
A) 70
B) 80
C) 60
D) 100 E) 90
05. De 60 estudiantes en un instituto de idiomas 20 estudian sólo inglés; 10 estudian inglés y francés; 25
estudian francés solamente. ¿Cuántos estudian otros idiomas, pero no los mencionados?
A) 7
B) 5
C) 6
D) 10
E) 12
06. De un grupo de 60 personas se sabe que 25 de ellas no estudian ni trabajan; 20 personas estudian
y 9 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades?
2. Complementación: Son aquellos elementos que pertenecen al conjunto universal, pero no al conjun-
to A
NOTACIÓN:
C
C
U
A
A’
A) 32
B) 28
C) 24
D) 30
E) 26
07. De 32 personas se conoce:
* 4 mujeres tienen 16 años
* 12 mujeres no tienen 17 años
* 14 mujeres no tienen 16 años
* 9 varones no tienen 16 ni 17 años
¿Cuántos varones tienen 17 ó 16 años?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 4
E) 8
08. De 180 alumnos que les gustan los cursos de Aritmética: Álgebra y Física. Se supo que 34 gustan
Aritmética pero no de Álgebra; 18 gustan de Álgebra pero no de Física; 56 gustan de Física pero no de
Aritmética. ¿A cuántos le gusta los tres cursos mencionados?
A) 92
B) 82
C) 72
D) 62
E) 64
09.
En el primer día de visita a la muñeca gigante “Camila” asistieron 200 niños peruanos; 150
adultos extranjeros; 250 niños extranjeros; 100 ancianos peruanos; los adultos peruanos son el doble de
los niños peruanos y los ancianos extranjeros son el triple de los ancianos peruanos. Si son todos los
asistentes. ¿cuántos fueron?
A) 1 200
B) 1 300
C) 1 400
D) 1 100E)1 500
10. En un salón de clase de 65 alumnos se observó:
* 30 son hombres
* 40 son del ciclo semestral
* Hay 10 mujeres que no son del ciclo semestral.
¿Cuántos hombres no estudian en el ciclo semestral?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 40
11. De un grupo de 55 personas; 25 hablan inglés; 32 hablan francés; 33 hablan alemán y 5 los tres
idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo dos idiomas, si todos hablan al menos uno de los
idiomas mencionados?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 22
E) 27
12. De una muestra recogida a 200 transeúntes se determinó que:
60 eran mudos; 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos. De estos últimos 20 eran mudos y 30
eran cantantes. ¿Cuántos de los que no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos?
A) 22
B) 24
C) 28
D) 26
E) 30
13. De un grupo de deportistas se sabe que todos los que practican tenis practican fútbol; pero no todos
los que practican básket practican fútbol. Solamente fútbol practican 20; tenis y fútbol pero no básket
son 10; 30 tenis y básket; 10 básket y fútbol pero no tenis; 40 sólo básket y 50 otros deportes pero no los
mencionados. ¿Cuántos son los componentes de dicho grupo?
A) 170
B) 180
C) 200 D) 160
E) 190
14. En el primer día de visita a la muñeca gigante “Camila” asistieron 200 niños peruanos; 150 adultos
extranjeros; 250 niños extranjeros; 100 ancianos peruanos; los adultos peruanos son el doble de los
niños peruanos y los ancianos extranjeros son el triple de los ancianos peruanos. Si son todos los
asistentes. ¿Cuántos fueron?
A) 1 200
B) 1 300
C) 1 400
D) 1 100 E) 1 500
15. De 32 personas se conoce :
* 4 mujeres tienen 16 años
* 12 mujeres no tienen 17 años
* 14 mujeres no tienen 16 años
* 9 varones no tienen 16 ni 17 años
¿Cuántos varones tienen 17 ó 18 años?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 4 E) 8
16. De 180 alumnos que les gustan los cursos de Aritmética; Álgebra y Física, se supo que 34 gustan
Aritmética pero no de Álgebra; 18 gustan de Álgebra pero no de Física; 56 gustan de Física pero no de
Aritmética. ¿A cuántos les gusta los tres cursos mencionados?
A) 92
B) 82
C) 72
D) 62
E) 64
17. De 60 estudiantes en un instituto de idiomas 20 estudian sólo inglés; 10 estudian inglés y francés; 25
estudian francés solamente. ¿Cuántos estudian otros idiomas, pero no los mencionados?
A) 7
B) 5
C) 6
D) 10 E) 12
18. En una ciudad a la cuarta parte de la población no le gusta la carne ni el pescado; a la 1/2 le gusta la
carne y a los 5/12 le gusta de pescado. ¿Qué fracción de la población gusta carne y pescado?
A) 1/6
B) 5/6
C) 1/3
D) 1/12
E) 5/12
19. De una muestra recogida a 200 transeúntes se determinó que :60 eran mudos; 70 eran cantantes
callejeros y 90 eran ciegos. De éstos últimos 20 eran mudos y 30 eran cantantes. ¿Cuántos de los que
no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos?
A) 22
B) 24
C) 28
D) 26
E) 30
20. En un salón de clase de 65 alumnos se observó:
* 30 son hombres
* 40 son del ciclo semestral
* Hay 10 mujeres que no son del ciclo semestral.
¿Cuántos hombres no estudian en el ciclo semestral?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 40
21. De un grupo de 55 personas; 25 hablan inglés; 32 hablan francés; 33 hablan alemán y 5 los tres
idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo dos idiomas, si todos hablan al menos uno de los
idiomas mencionados?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 22
E) 27
CAPÍTULO III: PROPORCIONALIDAD
SESIÓN 5
I.- PROPORCIONALIDAD
INTRODUCCIÓN
Tanto en la vida diaria como en las operaciones comerciales es necesario comparar cosas, ya que algu-
nos enunciados que involucran números, tienen un significado muy restringido si no se comparan con
otros o con otras cantidades.
Ejemplo:
Que a un inversionista le pagan medio millón de dólares por concepto de intereses que ha ganado su
inversión a plazo fijo, y que otro ha ganado $550 mil pesos por su inversión en casa de bolsa, no puede
decirse cuál de los dos resultó mayormente beneficiado porque se tendría que conocerse el capital que
cada uno tiene invertido aún en el supuesto de que en los dos casos, el plazo de la inversión sea el
mismo.
RAZÓN
Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden
compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una la otra, es decir, restándolas, o hallando
cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones:
razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.
En este curso nos centraremos en la razón geométrica, es decir, en la comparación por cociente.
Ejemplo:
Alejandro que está en el ciclo alfa de la UCV, LLEVA precalculo, ha realizado 15 exámenes, de éstos
aprobó 12. Esto nos indica lo siguiente:
Reprobó 3 exámenes
Los exámenes aprobados representan 12/15? 4/5?0.80, o sea 80% del total de exámenes presenta-
dos *.
Los exámenes reprobados representan 3/5?1/5?0.20, o sea 20% del total de exámenes presenta-
dos *
Ejercicios resueltos: Interpreta los siguientes enunciados. Realiza razones geométricas.
Adriana en este inicio de semestre gastó $600 soles en papelería (cuadernos, plástico para forrar, tije-
ras, plumas, lapiceros, etc.), mientras que Marco gastó $450 pesos por el mismo concepto.
600
450
R ?
?1,33 es decir, el valor que canceló Adriana es 1,33 veces mayor que el que canceló Marco.
El matrimonio Sánchez Aguilar tiene 3 hijos: 2 niños y una niña. Mientras que el matrimonio Guerrero
Fontes tiene 4 hijos: 3 niñas y 1 niño.
2
1
? 2
R(niños) ?
Por cada 2 niños que tiene la familia Sánchez, la familia Guerrero tiene 1 niño
1
3
R(niñas) ?
Por cada 1 niña que tiene el primer matrimonio, el segundo tiene 3 (no tiene sentido realizar
la división ya que estamos hablando de cantidad de personas)
RAZÓN: Resultado de comparar dos cantidades, por diferencia o por división.
A – B=K
Razón
Antecedente Consecuente
Razón Aritmética: Cuando su comparación es por medio de la sustracción.
Ejemplos:
La razón aritmética de 12 y 3 es 9 porque: 12 – 3 = 9
La razón aritmética de 8 y 2 es……………porque:…………………..
1.2. Razón Geométrica.- Cuando su comparación se realiza por medio de la división o cociente.
Ejercicios propuestos
“La taza”
Una taza llena al ras contiene 150g de harina y tiene 240g de azúcar.
¿Cuál es la razón entre la cantidad de harina y azúcar que puede contener la taza?
¿Cuál es la razón entre la cantidad de harina y azúcar que pueden contener 2 tazas? Y tres tazas?
“Los chocolates”
Romina compró 4 chocolates en $1200, si Julio compró 5 de los mismos chocolates
¿Cuánto pagó por ellos?
¿Qué relaciones encontraste?
¿Cómo resolviste el problema?
“La receta para el panadero”
A
B
? K
Razón
Consecuente
Antecedente
La mamá de Pedro acostumbra a preparar 5 panecillos dulces con 1/2 kilo de harina, para la once fami-
liar de cada día domingo. El panadero del barrio pidió la receta a la mamá de Pedro para elaborar sus
panecillos y ofrecerlos a su clientela.
La demanda semanal por los panecillos obedeció a la siguiente tabla
¿Qué cantidad de harina usó el panadero cada día?
¿Cuánta harina ocupó en la semana?
Observaciones:
Se acostumbra llamar al primer término de la razón como antecedente, al segundo término como conse-
cuente y al resultado de la división entre antecedente y consecuente como valor de la razón.
En una fracción numerador y denominador son números enteros, en cambio en una razón antecedente y
consecuente no necesariamente con números enteros.
PROPORCIONES
Una PROPORCIÓN es una igualdad entre dos razones. Si las razones son a:b y c:d que forman una
proporción, entonces se escribe esta proporción como
a
a:b=c:d ó b
?
c
d Que se lee " aes ab como c es a d"
A los números a y d se les llamaextremos y a los números b y c se les llama medios
Teorema fundamental de las Proporciones:
En una proporción se cumple SIEMPRE que el producto de los extremos es igual al de los medios.
c
d
a
b
? ad ?bc
?
Si
c
d
a
b
?
, entonces:
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:
d
c
?
a) Alternar Extremos:
b
a
b
d
?
a
b) Alternar Medios: c
b)
Permutar:
a
b
c
d
?
d)
Invertir:
? …….?
e x a ?c?e?…..
d
c
b
a
?
e) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:
?
a?b
b
c?d
c
?
c?d a?b
d a
Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:
?
a?b
b
c?d
c
?
c?d a?b
d a
Componer y descomponer a la vez:
c?d
c?d
?
f)
a?b
a?b
x
y
c
d
i)
a
b
?
Serie de Razones:
?
f y b?d ? f ?…..
?
?
Cuando aplicamos proporciones a la solución de problemas observamos que la relación entre dos canti-
dades variables producen una de dos tipos de proporciones: directa o inversa.
PROPORCIÓN DIRECTA.- Una relación directamente proporcional es aquella que a mayor cantidad
de una variable, mayor cantidad de la otra, lo que es equivalente a menor cantidad de una, menor la
cantidad de la otra.
Por ejemplo:
Mientras más pan compro, más dinero pago por él.
Mientras menos estudio, menos aprendo.
Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:
k se denomina la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están
sobre una recta que pasa por el origen.
Ejemplos: Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencina consu-
mirá en un viaje de 192 km?
Como estas variables se relacionan en forma directa (ya que más kilometraje implica que se gastará
más bencina), entonces su cociente es constante.
192
16
?12
?
?16* x ?192*1? x ?
1 litro
x
16 km
192 km
Respuesta: en un viaje de 192 kilómetros el vehículo consumirá 12 litros de bencina.
Una bandeja de 30 huevos cuesta $2.500 . ¿Cuánto costará una docena?
12 * 2.500
30
30
12
?1.000
?
? x ?
2.500
x
Respuesta: Una docena de huevos cuesta $1.000 .
Sin embargo, hay situaciones que no guardan una proporción directa. Por ejemplo, en un centro de re-
producción fotostática a mayor número de fotocopiadoras menor el tiempo que tomará para fotocopiar, o
en una construcción es de esperar que a menor el número de trabajadores mayor el tiempo que tomará
completarla. Este tipo de relación entre variables establece una proporción inversa.
PROPORCIÓN INVERSA
Las proporciones inversas se caracterizan porque al disminuir una varia-
ble, la otra aumenta.
Por ejemplo:
Mientras más rápido viajo, menos tiempo me demoro.
Mientras menos contamino el aire, más limpio estará.
Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:
k se denomina la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están
sobre una hipérbola.
Ejemplos: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?
Por estar en proporcionalidad inversa (ya que más obreros tardaran menos tiempo en hacer la zanja) el
producto entre las variables: número de obreros – tiempo, es constante (por esto debo tener que 3 * 5 es
constante y para eso se invierten las variables completas):
Si hay mayor cantidad de obreros se morarán menos días en hacer el trabajo. Al ser proporción inversa
invertimos el segundo término (el que no tiene incógnita)
4 obreros
3obreros
3 obreros
4obreros
5* 3
4
5 días
xdías
5 días
xdías
? 3,75
? x ?
?
? P.I ?
?
Respuesta: Se demoran aproximadamente 4 días en terminar la obra los 4 obreros (o demoran 3 días y
18 horas)
PROPORCIÓN COMPUESTA.- En la proporcionalidad compuesta hay variables que se relacionan me-
diante proporcionalidad directa y otras a través de proporcionalidad inversa. Para resolver los ejercicios
de este tema, en primer lugar se debe dilucidar qué tipo de proporcionalidad existe entre cada par de
variables.
Ejemplos:
1.- Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros se necesi-
tan para pavimentar 5 km en 10 días?
?
?
?
? x ? 25 ? x
500
20
? 20* 25 ? x* 20 ?
20
25
20
x
2*10
5*5
20
x
Respuesta: Se necesitan 25 obreros para pavimentar 5 km en 10 días.
2.- En construirun puente, trabajan 4 ingenieros con una carga de 6 horas diarias durante 5 días, han
realizado 240 m. ¿Cuántos días necesitarán trabajar 3 ingenieros si trabajan 8 horas diarias para realizar
300 m?
Datos:
4 ingenieros,
Pregunta:
6 horas diarias,
3 ingenieros,
240 m, 5 días
8 horas diarias,
300 m, x días.
Se relaciona cada variable con la incógnita:
ingenieros- días: más ingenieros trabajando se demoran menos días: proporción inversa. 3 ? 5
4 x
Horas – días: más horas trabajando se demoran menos días: proporción inversa. 8 ? 5
6 x
Casos – días: más metros se demoran mas días: proporción directa: 240 ? 5
300 x
Finalmente: 5 ? 3*8*240 ? 5 ? 5760 ?5*7200?5760*x? x ?6,25
x 4 6 300 x 7200
Respuesta: se demoran 6 días y 6 horas (un cuarto de día) los tres ingenieros trabajando 8 horas diarias
en resolver los 300 m.
Ejercicios
1.-Un padre tiene 42 años y su hijo 18 años. ¿En qué razón están las edades del hijo y del padre?
2.-Las masas de dos personas están en la razón 2: 3. Si una de ellas tiene 23 kilogramos más de masa
que la otra, ¿cuál es la masa de la más liviana?
3.-Dos ángulos suplementarios están en la razón 3: 5. ¿Cuál es la diferencia positiva entre sus medidas?
4.-Un kilógramo de una cierta clase de queso cuesta $3.600. ¿Cuánto se debe pagar por 125 gramos de
este queso?
5.-En un mapa a centímetros corresponden a 3.000 metros. ¿A cuántos metros corresponden b centíme-
tros del mapa?
6.-En un liceo mixto de 1540 alumnos, 880 son varones. ¿Cuál es la razón entre el número de damas y
el de varones?
7.-Dos números enteros están en la razón 2: 7. Si la suma de ellos es -36, ¿cuáles son los números?
8.-Sean a, b y c números enteros tales que c es la quinta parte de a y a es el doble de b. ¿Cuál es la
relación correcta entre b y c?
9.-En un estante, los tarros de salsa de tomate con champiñones y los de salsa de tomate con carne
están en la razón 9: 10. Si se retiran del estante 38 tarros de salsa con carne, la razón se invierte. Enton-
ces, los tarros de salsa de tomate con carne que había en el estante, antes del retiro, ¿cuántos eran?
10.-¿Qué número debe restarse de 9 y al mismo tiempo sumarse a 5, para obtener dos números que
estén en la razón 3: 4?
11.-Elisa y Alvarito tienen estampillas cuyas cantidades se encuentran en la razón a: b. Si Alvarito tiene
15 estampillas más de las que tiene Elisa, y esta tiene a estampillas, entonces ¿cuál es la cantidad de
estampillas que tiene Alvarito?
12.-Un pintor emplea 8 horas en pintar una habitación. ¿Cuánto tiempo emplearán 2 pintores?
13.-Un curso de 36 estudiantes va de paseo a la playa y antes de ir deciden recoger la basura. Si 9 estu-
diantes limpian la playa en 2 horas, ¿cuánto demorarían si cooperara en esta tarea todo el curso?
14.-Transportar 4 toneladas a 250 km de distancia cuesta $72.000. ¿Cuánto costaría transportar 10 tone-
ladas a doble de distancia?
Propiedad fundamental:
“En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios”.
C
D
A
B
?
entonces A x D = B x C
A.-
Hallar el término desconocido (x):
1.
2.
x
10
5
15
?
?
4
5
x
3
6.
7.
6
3
4
5
8 3
x
x
2 5
?
?
3.
6
9
?
2
x
8.
0, 4
x
5
?
(1?1/5)2
2
4.
6
x
3
5
?
9.
4
8
2
?
4
x
5.
2
? 3
1
12
x
5
4
10.
4
3 5
5 ? 4
3 5 x
4
11.-Sabemos que a = 12; b = 4x; c = 5a – 6 y d = 20x – 18. Hallar el valor de x si
c
d
a
b
?
A) 7
B) 9
C) 8
D) 10
E) 6
12.-Si la relación entre dos números es como 5 es a 3, calcular el valor del mayor, sabiendo que su su-
ma es igual a 40.
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
13.-La suma de dos números es 27. Si su razón aritmética es 11, el número menor es:
A) 8
B) 7
C) 4
D) 5
E) 2
14.- El consecuente de una razón geométrica es 6; si sumamos 6 a ambos términos de la razón, ésta es
igual a la anterior más 1/3. Hallar el antecedente de dicha razón.
A) 8
B) 6
C) 4
D) –2
E) –3
15.-Carla tiene 49 años y Sandra 13. ¿En cuántos años más la relación entre las edades será de 16 a
7?
A) 10
B) 15
C) 12
D) 16
E) 20
16.-La suma de los términos de una razón geométrica es 80. Calcula su diferencia si la razón es
2,333….
A) 25
B) 30
C) 34
D) 26
E) 32
17.-Dos números cuya suma es 120 están en una relación de 3 a 5. Hallar la diferencia de dichos núme-
ros.
A) 42
B) 54
C) 66
D) 72
E) 78
18.- Si
15
11
?
A
B
y A? B ? 60. Hallar A.
A) 224 B) 225 C) 215 D) 220 E) 235
19.-Si
3
11
?
A
B
y A? B ? 210 . Hallar A.B
A) 7925
B) 7835
C) 7415
D) 7425
E) 7325
20.- Un número excede a otro en 91; si ambos están en una relación de 6 a 13; hallar el número mayor.
A) 184
B) 182
C) 186 D) 169
E) 172
21.- A una fiesta asisten 180 personas entre hombres y mujeres. Por cada 4 mujeres hay 5 hombres. Si
se retiran 20 parejas, ¿cuál es la razón entre el número de mujeres y número de hombres que quedan en
la fiesta?
A) 3/2 B) 4/5 C) 3/4 D) 7/8 E) 1
22.- En una serie de cuatro razones geométricas equivalentes la suma de los antecedentes es 87. Si los
consecuentes son: 4; 5; 8 y 12. Hallar el mayor antecedente.
A) 24
B) 36
C) 48
D) 60
E) 72
23.- El número de niños y niñas en una fiesta infantil está en la relación de 2 a 3, pero si se aumentan 9
parejas, entonces el número de niños y niñas estarían en la relación de 3 a 4. Hallar el número de niños.
A) 27
B) 36
C) 18
D) 54
E) 30
24.- Se tienen 200 fichas de las cuales 60 son negras y las restantes son blancas ¿Cuántas blancas se
debe quitar para que por 2 fichas blancas hayan 3 fichas negras?
A) 100 B) 120 C) 140 D) 60
E) 30
25.- La suma y la diferencia de dos números están en la misma relación que los números 153 y 63.
Hallar la razón de los números.
A) 5:17 B) 5:12
C) 3:11 D) 3:17 E) 8:15
26.
En un terreno, el área construida es de 120 metros cuadrados y el área libre es de 80 metros
cuadrados. ¿Cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total?
27.
28.
Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género?
Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 se-
gundos, si mantiene su rapidez constante?
29.
Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos
metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones?
30.
31.
Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000?
Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas demoran
60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?
32.
La rapidez de un automóvil es de 70 km/hrs y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia.
¿Cuántas horas demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez de 80 km/hrs?
33.
18 operarios se demoran 12 días en realizar un determinado servicio. ¿Cuántos días se demoran
24 trabajadores en realizar el mismo servicio?
34.
El año pasado se limpió un canal en 28 días con 60 hombres. Este año se quiere efectuar el
mismo trabajo en sólo 14 días. ¿Cuántos hombres hay que contratar?
35. En un estanque de cultivo de lenguado se necesita tener una densidad de 3 peces por litro. Si el
estanque tiene una capacidad de 500 litros. Calcular cuántos lenguados se deben cultivar.
36.
6 obreros hacen una zanja de 20 metros de longitud. ¿Cuántos metros hacen, en el mismo tiem-
po, 42 obreros en las mismas condiciones?
37.
Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros. ¿Cuál es la capacidad de los 3/8 del mismo
estanque?.
38.
5 metros de una plancha de zinc de 2 metros de ancho vale $ 6.000, ¿Cuánto valen 4 metros de
la misma plancha de zinc, pero de 3 metros de ancho?
39.
Juan gana un sueldo base de $ 164.000. La empresa en la que trabaja estimula a sus trabajado-
res multiplicando el sueldo base por una constante. Juan recibió $ 213.200. ¿Cuál es la constante de
estímulo?, ¿Cuánto debe recibir Pedro cuyo sueldo base es de $ 175.000?
40.
Un obrero hace un trabajo en 28 días con jornada normal de trabajo (8 hrs.). ¿Cuántas horas
diarias deberá trabajar , si debe hacer el mismo trabajo en 16 días?
41.
bres?
42.
4 hombres deben hacer una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer la obra 6 hom-
Para reunir un capital 6 socios, aportan $ 200.000 cada uno. ¿Cuánto deben aportar 15 socios
para reunir el mismo capital?
43.
Durante un año determinado. Las exportaciones de harina de pescado de dos pesqueras es en
total 320.000 toneladas, las cuales están en la razón de 13: 7 ¿Cuántas toneladas exporta cada una de
ellas respectivamente?
44.
En un sector de una pesquera se trabaja desde las 8:00 hrs. hasta las 20:00 hrs. El proceso
para maximizar la producción es el siguiente:
1
3
del tiempo se destina a reparar motores.
1
4
de la jor-
nada, para reparación de otrosinstrumentos.
1
2
del tiempo que se ocupa para la reparación de motores,
se utiliza para construir accesorios.
1
3
del tiempo destinado a reparación de otrosinstrumentos, se utiliza
para afinar detalles.
1
2
del tiempo utilizado para los accesorios se destina para almorzar. El resto de la
jornada se destina para actividades recreativas. ¿ Cuántas horas se destinan a cada actividad respecti-
vamente?
II.-REGLA DE TRES
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Observemos el siguiente ejemplo:
# obreros
a
Obras
120
(a + 5)
100
Luego:
3
4
?
a
a ? 5
4a = 3a + 15
? a = 15
EJERCICIOS RESUELTOS
+
+
n-
tos litros contenía el depósito?
Sol:
¡UBIQUEMOS LAS MAGNITUDES!
Litros
Costo
150
275
150
x
x ?85
?
x=
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Veamos el siguiente ejemplo:
# obreros
x
(x + 6)
Son inversamente proporcional
Luego:
x . 20 = (x + 6)
20 x =
+ 90
x=
Otro ejemplo:
Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 69 tripulantes diga cuanto puede dura un viaje de 33 tripulan-
tes.
1º
2º
Ubiquemos las magnitudes.
Analicemos dichas magnitudes.
# tripulantes
# días
x
( )
( )
Formemos la proporción
geométrica.
Obras
20
+
15
–
69
33
22
x
Luego:
x=
. 22
33
x=
Según el siguiente esquema. Marque si es D.P. o I.P. según convenga.
Mag. A
a
Mag. B
c
b
a) D.P.
x
b) I.P.
Coloca D.P. ó I.P. según sea el caso.
Mag. A
x
y
a) D.P.
Mag. B
z
w
b) I.P.
Ejercicios
1.- En una panadería han pagado 42 € por 70 barras de pan. ¿ Cuánto tendrían que haber
pagado si hubiesen comprado 85 barras?
Barras de pan
Euros
2.- Si 3 dólares son 4 € ¿ Cuántos euros son 4,5 dólares?
Dólares
Euros
3.- Si una persona recorre 20 km. en 40 minutos en bicicleta, ¿cuánto recorrerá en 1 hora (60
minutos)?
Kilómetro
Tiempo
–
+
+
–
–
–
4.- Si el AVE tarda 2 horas en llegar desde Madrid a Córdoba, que distan 400 kilómetros,
cuánto recorrerá en 3 horas?
Kilómetro
Tiempo
5.- Un paquete de 5 chicles cuesta 0,75 €. ¿Cuánto cuestan 3 paquetes? ¿Cuántos paquetes
te puedes comprar con 3 €?
Paquetes
Euros
6.- Un grupo de excursionistas tenían víveres para 24 días. Si cuatro de ellos no pueden realizar la ex-
cursión entonces los víveres alcanzaran para seis días más. ¿Cuántas personas realizarán la excur-
sión?
a) 20
b) 16
c) 14
d) 12
e) 98
7.- Si 135 obreros construyen 30 metros de pista, 63 obreros, ¿Cuántos metros construirán en igual
tiempo?
a) 30
b) 50
c) 60
d) 75
e) 76
8.-Si 8 chocolates cuestan 145. ¿Cuál será el precio de 6 docenas de ellos?
a) 1300
b) 1450
c) 1305
d) 1500
e) 45
9.- 24 carpinteros hacen una casa en 30 días el triple de carpinteros. ¿Qué tiempo tomarán para hacer la
misma obra?
a) 30
b) 20
c) 10
d) 5
e) 40
10.- Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m. de lado un peón cobra 200 soles. ¿Cuánto cobrará por
sembrar otro terreno cuadrado de 12m de lado?
a) 108
b) 109
c) 110
d) 111
e) 107
8 mm en una madera. ¿Cuántas vueltas más debe
11.- Si un tornillo cuando da 40 vueltas penetra
dar para que penetre 50 mm?
a) 200
b) 250
c) 120
d) 210
e) 65
12.-Un grupo de 24 náufragos llegan a una isla y tienen víveres para 40 días. Si luego de 13 días seis
náufragos fallece, ¿Cuántos días más podrán durar los víveres para los restantes?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
13.- Un buey atado a una cuerda de 2,5 m de longitud puede comer la hierba que esta a su alcance en 3
días. ¿Cuántos días emplearía si la longitud de la cuerda fuera 5m?
a) 12
b) 5
c) 7
d) 15
e) 90
14.- Si por pintar un cubo me cobran 30 soles. ¿Cuánto me cobran por pintar otro cubo cuyo volumen es
8 veces el anterior?
a) 50
b) 90
c) 360
d) 240
e) 56
SESIÓN 6
III.-REGLA DE TRES COMPUESTA
Ejercicios
1.- Por trabajar 8 horas diarias durante 20 días un peón ha ganado S/.120. ¿Cuántas horas diarias habrá
trabajado en la misma obra si por 30 días le han pagado S/.225?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
2.- Si con 120 kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 días. ¿Cuántos kilogramos de pasto se
necesitará para alimentar 9 caballos en 3 días?
A) 116 B) 148 C) 100 D) 162 E) 140
3.- 14 obreros emplearon 28 días para hacer 140 m de obra. ¿Cuánto hicieron 18 obreros en 35 días?
A) 225 B) 250 C) 135 D) 125 E) 140
4.- Una cuadrilla de 15 obreros trabajando 6 horas diarias terminan una obra en 38 días. ¿Cuántos días
tardarían para hacer la misma obra, 19 obreros trabajando 3 horas diarias más que los anteriores?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
2
2
A) 270 B) 2900
C) 260
D) 360
E) 280
6.- Con 12 obreros se puede hacer una obra en 30 días. Con 10 obreros el triple de rápidos que los ante-
riores, en cuantos días harán una obra ocho veces difíciles que la obra anterior?
A) 40días
B) 88días
C) 75días
D) 64días
E) 96días
7.- 20 obreros, en 14 días de 8 horas; han realizado un trabajo de 120 m de largo. ¿Cuántos días de 7
horas emplearán 24 obreros para hacer 90 m del mismo trabajo?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
8.- Se proyectó hacer una obra, si el número de obreros se aumenta en los 2/5, la jornada de trabajo se
disminuye en 1/3 y la dificultad de la obra varía a los 2/5 de lo normal. Entonces el tiempo requerido:
A) aumentó 4/3
B) aumentó 2 veces
C) disminuyó 2 veces
D) aumentó 5/9
E) disminuyó 4/7
9.- Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5
obreros. ¿Cuántos días tardarían en terminar el trabajo los obreros que quedan?
A) 90
B) 39
C) 30
D) 28
E) 40
SEGUNDA UNIDAD
I. COMPETENCIA Desarrolla habilidades lógico matemáticas para identificar y plantear problemas
de la realidad, y tomar decisiones para su resolución, desenvolviéndose con responsabilidad y
actitud proactiva.
II. CAPACIDADES
9. Resuelve problemas de su entorno mediante las ecuaciones.
10.-Grafica funciones lineales y cuadráticas en el plano cartesiano.
11. Grafica funciones Reales: Polinomiales, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas
identificando sus principales elementos y propiedades.
12. Grafica funciones reales utilizando técnicas especiales y haciendo uso del Software Matemá-
tico.
13.-Resuelve problemas de su entorno mediante los modelos matemáticos.
.
SESIÓN 07
TEMÁTICA: ECUACION DE PRIMER GRADO, ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO,
SESIÓN 08
TEMÁTICA: INECUACIONES DE PRIMER GRADO, INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
SESIÓN 09
TEMÁTICA: INECUACIONES FRACCIONARIAS,
SESIÓN 10
TEMÁTICA: FUNCIONES, FUNCIONES II
SESIÓN 11
TEMÁTICA: EVALUACIÓN DE SEGUNA UNIDAD
SESIÓN 7
CAPÍTULO III: ECUACIONES E INECUACIONES
I.-ECUACION DE PRIMER GRADO
ab ? c ? a ? ;si:b ? 0
FORMA GENERAL
ax + b = 0
Análisis de su raíz
b
a
? ?
si:a? 0?b?R?x
solución única(Compatible determinada)
Si:
a ? 0?b?0?0x?0“x” admite cualquier solución (Compatible indeterminada)
Si: a? 0?b?0?0x??bno existe ningún valor “x” que multiplicado por cero de cómo resultado “-b”
(Incompatible ó absurda)
Teoremas de Transposición:
Si:
* a?b ?c ?a ?c?b
*
c
b
*
? c ? a ? bc;si:b ? 0
a
b
Teoremas de Cancelación:
Si:
* a?c ?b?c ?a ?b;si:c?R
*
ac ?bc ?a ?b;si:c ? 0
*
?
? a ? b;si:c ? 0
b
c
a
c
PROBLEMAS RESUELTOS
Resolver:
? 40
?
?
9x
15
3x
5
2x
3
Solución:
Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de los denominadores: 15
?2x? ?3x? ?9x?
? 3 ? ? 5 ? ?15?
?5(2x)?3(3x) ?9x?600
10x?9x ?9x?600
eliminando 9x:10x ?600? x ?60
Resolver:
?1?
1
x?3
1
x ?3
Solución:
? 2
? 2
? 2
? 2
x ?4
? 2
x ?4
? 2
x ?4
x?4 ?12 ?2 x?1? x?1
Tener presente que el denominador es diferente de cero.
Es decir:
x?3? 0? x ?3…….(1)
Reduciendo la ecuación:
?
1
x?3
1? x ?3
x ?3
Cancelando (x – 3):
1? x ?3?1
x ? 3……………….(2)
De (1) y (2) se observa una contradicción.
Concluimos: la ecuación no t
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