INECUACIONES
? Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o
algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad?, ?, ?, ?.
? Inecuaciones de primer grado con dos variables: son aquellas en las que las variables
que intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad.
? Expresión general: son de la forma ax ?by ? c
y todas sus equivalentes
ax ?by ? c , o
ax ?by ? c, etc. …
? Representan zonas del plano, o dividen al plano en zonas.
? Método de resolución: se trata en el fondo de ecuaciones de rectas o parábolas que
debemos resolver y luego analizar las zonas del plano en que se cumple la desigualdad inicial.
? Para
las inecuaciones de la forma
ax ?by ? c , pasamos primero a la ecuación lineal
y ? mx ?b, despejando de modo adecuado. Ésta no es más que la ecuación de una recta en
el plano, la cual divide al mismo en dos semiplanos. Uno de esos semiplanos contiene los
puntos tales que y ? mx ?b y el otro los puntos tales que y ? mx ?b. Se trata pues de
determinar qué puntos son los que cumplen la desigualdad o inecuación previa. Para ello:
? Dibujamos la recta, una vez dibujada tomamos un punto x del eje de abscisas cualquiera y
trazamos la perpendicular por el mismo. El punto en que ésta corta a la recta es tal que
y ? mx ?b, prolongando la perpendicular encontraremos los puntos tales que y ? mx ?b, y
por debajo estarán los que cumplen que
y ? mx ?b.
? Ejemplo_1: sea la inecuación 2x ? y ? 4. Pasamos a la ecuación de la recta
y ? ?2x ?4, la cual dibujamos dando valores a x e y.
x y
? 0 4 con estos dos puntos es suficiente, ya que por dos puntos pasa una y solo una recta.
2 0
? Trazamos una recta vertical por un punto cualquiera del eje de abscisas. El punto en que
ésta corta a la recta la ordenada y cumple la ecuación de la misma, es decir y = r, un punto por
encima es mayor y uno por debajo es menor. Como nuestra inecuación, despejada la y, es
y ? ?2x ?4, los puntos que la cumplen son los del semiplano sombreado. La recta no está
incluida por ser la desigualdad estricta.
y>r
y=r
y< r
?a2x ? b2y ? c2
? Ejemplo_2: 2x ? y ? 4, es similar al anterior, solo cambia el sentido de la desigualdad y el
hecho de que ahora no es estricta. Pasamos a la ecuación y ? ?2x ?4, igual que antes.
Damos valores a x e y para dibujarla:
x y
? 0 4 la dibujamos y procedemos como antes. Ahora la recta está incluida en la solución.
2 0
? Sistemas de inecuaciones mixtas con dos variables: son sistemas formados por una
inecuación de primer grado y dos variables con otra de primer grado, también con dos
variables. O bien ambas de segundo grado. O bien una de cada.
? Sistemas de dos ecuaciones y dos variables de primer grado: son de la forma
?a1x ? b1y ? c1
?
, o cualquiera de sus variaciones.
? Método de resolución: dibujamos ambas rectas por separado. Buscamos los semiplanos
que cada recta produce en el plano, y por último buscamos las zonas de intersección de
ambos, o los puntos del plano que cumplen ambas desigualdades simultáneamente.
Ejemplo 1
y>r
y=r
y< r
?x ? y ? 5
?2x ? y ? ?2
Solución
Está incluida
No está incluida
Grásfica_1
?4x ? y ? 20
?
?x ? 2y ?12
?
?4x ?3y ?12
? Ejemplo_3: ?x ? y ? 5
?
??y ? 0
Activida
des
de
aplicació
n.
P1.- Resolver las siguientes inecuaciones con dos incógnitas:
a) x ?2y ? 5 ? b) ? ? c) 3x ?2y?5 ? 0 ?
2 3
d) 3x ?2y ? 2 ? e) 2x ?3y ? 0 ? f) ?x ?3???x ?1?? y ?
?3x ?3y ? 9
?y ? 2x ? 4
?x ?1? y
d) ?2x ? y?3 ? 0 ?
e) ?x ? y ? 0
f) ?4x ? y ? 20 ?
?x ? 2y ? 6
? ?
?x ? 0
?2x ?3y ?12
?3? x ? 2?5x
?x ?1 x ?3
? ? x
? 3 2
4x ?2 x ?1
? ? x
y ? x
y ? 2? x
m) ?2x ? y ?3 ? 0 ?
n) ?x ? y ? 0
?y ? 4
p?2x? y?3? 0 ?
q) ?x?2y?3? 0 ? r)
?2x?3y ? 0
g)
?x ?1???x ?2?? y ?
h)
x2 ?4x ?3 ? y ?
i)
?x ?2 ? ?y ?
P2.- Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:
a)
?
?x ? y ? 3
?
b)
?
?x ? y ? 3y?8
?
?
?x ? y? 2 ? 0
c) ?
?
?x ?3y? 2 ? 0
?
?x ? 4y?12 ? 0
?
?
?x ? y
?
?2x ? y? 2 ? 0
?
?y ? 8
?
?x ? 2y ?12
?
?
?4x ?3y ?12
g) ?x ? y ? 5
?
?y ? 0
?
?
?x ? 0
?y ? 0
h) ?
?4x ?9y ? 30
i)
?
?1? x ? 2?3x
?
?
?
j) ?
?
?? 4 3
?
?x ? 0
?y ? 0
k) ?
?
?x ? 2y ?12
?
?
?x ? 0
?y ? 0
l) ?
?
?y ? x ?1
?
?x ?3y? 2 ? 0
?
?x ? 4y ?12 ? 0
?
?x ? y
?
?2x ? y ? 2 ? 0
?
? o)
?
??2 ? x ? 2
?
?x ? y?1? 0
?
?x?3y?2 ? 0
?
?x?2y?4 ? 0
?
?x?2y?3? 0
?
??3x? y?3? 0
?
?
?x?2y?7 ? 0
?
?2x? y?4? 0
?
Transposic ión
Origen
? Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o
algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,?, ?, ?, ?
? Por ejemplo:
? 4?6?10 ; ?x?1???x?2??0 ; 1?4?8, etc. …
? Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los
ejemplos:
? la primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x, y la tercera es
verdadera.
? Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecuaciones.
? Propiedades de las desigualdades:
? Se denominan también transformaciones de equivalencia.
? Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma expresión
o cantidad, la desigualdad no varía:
? a ? b ? a ?c ? b?c
? Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una misma
cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembros desaparezca del
mismo y aparezca en el otro miembro:
? ?? ?c?a?b?b ? c?b? ?? ?b
a? ?b ? ? a ? ?c? ?
??a ? b?a ? ?b, yaque?2?3? 2? ?3
? ?
?7?a 7?b
??
? ?x????,
? ?
? Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una cantidad positiva,
la desigualdad no varia, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la
desigualdad:
? a ? b ? ?a ? ?b, al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la
desigualdad.
? a ? b, c ?0?a?c ? b?c, si la cantidad es positiva se conserva el sentido original de la
desigualdad.
? Simplificación: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no
negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:
? a?c ? b?c, y c ?0? ? ?a ? b
c c
? ?
?7 ?7
?
?a ? b? ?7?a ? 7?b? ? ? a ? ?b
?, si el divisor es negativo entonces
cambia el sentido de la desigualdad.
? Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de
los miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.
? Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables.
? Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones de la
misma.
? Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los cuales la
desigualdad es verdadera.
? Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones.
? Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia:
? Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o
expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.
? Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma
cantidad positiva y no nula, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.
? Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma
cantidad negativa, la inecuación que resulta es de sentido contrario a la dada.
? Ejemplos:
? x?2 ? 3x?5? x?2?x?5 ? 3x?5?x?5?3? 2x , es una inecuación
equivalente a la primera.
?
2 3 ?2 ? ? 3?
que es equivalente a la dada, y por último ?9x?6 ? ?12x ?8?12x?9x ? 8?6, y de ahí
pasaríamos a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso
14
3
3x ?14 ? x ?
, que es la solución, es decir, todos los valores de la variable menores que
catorce tercios.
? Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que las variables que intervienen están
elevadas a un exponente igual a la unidad.
? Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por expresión general
ax ?b ? 0 , y todas sus equivalentes.
ax ?b ? 0 ; ax ?b ? 0 ; ax ?b ? 0.
? Ejemplos:
?
?
99 ?
109??
10
99
? E1.- 99x ?109 ? 0 ? x ?
, es decir, se cumple para todo valor
de la variable x menor o igual que noventa y nueve cientonueveavos.
? ?x??
,?? , es decir, se cumple para todo valor de la
? ?x????,
?, la solución son todos los valores de
-8
?a2x ? b2
?a2x ? b2
?a2x ? b2
3
-8
14/3
?
?
?15
?17
15
17
? E2.- 17x ?15 ? 0 ? x ?
variable estrictamente mayor que quince diecisieteavos.
? Luego para resolver una inecuación se sigue un proceso similar al de resolver ecuaciones.
? Método analítico:
? Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar a
er
los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculo en general:
? Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del producto
respecto a la suma.
? Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a común
denominador.
? Reducir términos semejantes en ambos miembros.
? Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la
contengan, y volver a reducir términos. (Aplicar los principios de equivalencia de
inecuaciones)
? Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modo que la
er
? IMPORTANTE: si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar
por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, así:
? 36?46x ? 378x?315? ?46x?378x ? ?36?315? 424x ? 351ya que hemos
tenido que multiplicar por –1 ambos miembros por ser éstos negativos, luego proseguiríamos
de modo normal.
? Ejemplos:
? E1.- 4x ?7 ? x ?2 ? 4x ?x ? 2?7 ?3x ? 9 ? x ? 3??x????,3?, la solución
son todos los valores de la variable menores estrictamente que 3.
? E2.- ? ? ? 9x ?12x ? ?8?6, como nos queda la
2 3 6 6
variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por –1, así
?
?
14?
3 ?
14
3
?3x ? ?14 ? 3x ?14 ? x ?
la variable estrictamente menores que catorce tercios.
? Modo de dar las soluciones:
? Por intervalos, como en los ejemplos anteriores.
? Gráficamente, por su representación en la recta real.
? En los casos anteriores sería:
? E1.-
? E2.-
? Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita: son aquellos en los que
la única variable que interviene en todas las ecuaciones está elevada a un exponente igual a la
unidad.
? Sistemas de dos ecuaciones, tienen por expresión general:
?a1x ? b1
? ?
, y todas sus equivalentes
?a1x ? b1
?
,
?a1x ? b1
?
, etc. …
? Técnicas de resolución: no existe más que un modo de resolverlos, independientemente
del número de inecuaciones que compongan el sistema, se resuelve cada inecuación por
separado, y al final se busca la solución en la intersección de todas ellas, es decir, el intervalo
de solución común a todas.
?3x ? 2x ?6 ?x ? 6
? ?ax ? b ? c
? ???ax ? b? ? c
? ?
,
? ax ?b ? c por definición ?
?ax ? b ? c
?ax ? b ? ?c
, recuerda que al multiplicar los
dos miembros de una desigualdad por una cantidad, negativa, cambia el sentido de la
desigualdad.
? Ejemplos:
? Ejemplos:
?x ? 2 ?1 ?x ? ?1
?2x ?5 ? x ? 4 ?x ? 9
???,9? para la segunda. Luego la solución común a ambas está en la intersección de ambos,
es decir, en ??1,9?, gráficamente tal vez se vea mejor.
?1
9
? E2.- Sea x el largo de un rectángulo de 3 cm. de ancho, el lado de un triángulo equilátero y
el lado de un cuadrado. Determinar su valor para que el perímetro de rectángulo sea superior al
del triángulo e inferior al del cuadrado.
? El planteamiento nos lleva a 3x ? 2x ?6 ? 4x. Esta es una inecuación de primer grado
que no podemos resolver directamente. Debemos pasar al sistema ? ? ?
?2x ?6 ? 4x ?x ? 3
la primera tiene por solución el intervalo ???,6?, y la segunda ?3,??, luego la solución
común es la intersección de ambos, es decir ?3,6?. Ver la solución gráfica.
? Inecuaciones en valor absoluto: son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda
ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma.
3
6
? Expresión general: ax ?b ? c , o todas sus equivalentes ax ?b ? c , o ax ?b ? c ,
etc. …
? Método de resolución: aplicamos la definición de valor absoluto de una cantidad y
pasamos a un sistema de dos ecuaciones cuya solución es la solución de la inecuación.
?
, luego es ???, ? .
1 y ?x ?3? a la derecha de?3, así:
? ?
? 3
?
? E1.- 2x ?1 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 , para la primera la
?2x ?1? ?2
?? 2
solución es el intervalo???,32? y para la segunda??12,?? , la solución de la inecuación
? ?1 3?
inicial será la intersección de ambos, es decir, el intervalo ? , ?.
? 2 2?
?
3
, la solución de la
x ?2
?? 7
primera es???,113? y la de la segunda???,97? , la solución de la inecuación inicial es la
intersección de ambas, ten en cuenta que
9 11
7 3
? 9?
? 7?
? Inecuaciones factorizadas o de grado mayor que 1: son inecuaciones en las que la
variable está elevada a un exponente mayor que la unidad.
? Expresión general: son todas del tipo ax2 ?bx ?c ? 0 , o bien cualquier otro polinomio
de grado mayor y distinta desigualdad, por ejemplo mayor que u otra.
? Método de resolución: descomponer factorialmente el polinomio, aplicando Ruffini,
complitud de cuadrados, etc. … el método que consideres más apropiado o que mejor te
resulte.
? Ejemplos:
? E1.- 2×2 ? 3?5x , pasamos todos los término a un único miembro, el que más te interese,
en este caso lo haremos al primero, así:
? 2×2 ?5x ?3? 0, ahora descomponemos el polinomio que nos resulte, en este caso
? 1
2
4
inecuación 2??x ? 12???x ?3? ? 0, que podemos leer como, ¿Cuándo el producto de dos
números es negativo?. Digo dos ya que el signo del factor 2 es siempre el mismo y positivo, no
va a influir en el resultado final. La respuesta es cuando ambos tienen signos contrarios.
¿Cómo averiguar el signo de un binomio?.
? Una expresión de primer grado en x no es más que la ecuación de una recta, en este caso
se trata de dos rectas
1
2
r 1 ? y ? x ?
,y
r2 ? y ? x ?3. Sabemos, o deberíamos saber que si
la pendiente de la recta es positiva ésta toma valores positivos a la derecha del punto de corte
con el eje de abscisas, y negativos a su izquierda. En nuestro caso ambas tienen pendiente po-
sitiva, ¿Porqué?. Porque el coeficiente de la x es precisamente la pendiente de la recta y
ambos son positivos. Los puntos de corte con el eje de abscisas son los valores de x que
2 2
derecha de
2
x ? 2
? Ejemplos:
?1? ?1? 0 ,
resulte. Una vez descompuestos nunca
simplificar ya que podríamos perder
soluciones. Posteriormente se procede como
con las inecuaciones de grado mayor que
descompuestos en factores, solo hay que construir la tabla de los signos, así:
Al tratarse de una desigualdad estricta no se incluyen los límites o extremos de los intervalos
en la misma, así pues la solución será ??2,0???1,??.
? E2.-
x ?1 x ?1
x ?1 x ?1
ojo, si pasamos multiplicando
1
2
1
x ?
?3
—
—
+
2
x?3 —
Producto +
No es solución
? E1.-
x??x ?1?
uno, ya que se trata en el fondo de averiguar
+ + el signo final que va a tener un cociente de
— + productos de binomios.
Solución No es solución
? 0, en este caso ya tenemos el numerador y el denominador
0
2
x
x?1
x?2
Producto
?1
—
—
—
—
—
+
—
+
+
+
—
—
+
+
+
+
Solución No es solución Solución No es solución
miembro estaríamos cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x ?1? x ?1 y
compara los resultados. Para nuestro caso, operando
Luego la solución será el intervalo indicado, donde el signo del producto es negativo.
Como la desigualdad es estricta, el intervalo será abierto
? E2.- x3 ?2×2 ? ?x2 ?2x ? x3 ?x2 ?2x ? 0, descomponiendo factorialmente
x3 ?x2 ?2x ? x??x2 ?x ?2? ? x??x ?1???x ?2?, y pasamos a la inecuación
x??x ?1???x ?2? ? 0. En este caso tenemos tres factores, y por lo tanto, tres rectas a
estudio. Haciendo lo mismo de antes:
Ahora la solución, además de los intervalos, por no ser una desigualdad estricta, debemos
incluir los extremos de los mismos, así, la solución será
???,?1???0,2?.
? Inecuaciones fraccionarias: son inecuaciones en las que tenemos una fracción algebraica
formando parte de la misma.
ax ? b ax ? b
? 0, o
cx ?d cx ?d
ax ? b
?2 0 1
mayores que uno.
— + + +
x?1 — — — +
descomponer factorialmente los
polinomios numerador y
No es solución Solución No es solución Solución
denominador, aplicando Ruffini,
complitud de cuadrados, etc. … el método que consideres más apropiado o que mejor te
3x ?3 4x ?8
?
?3x ?
g) 2??3? x??
8? x
?3x ?
? 4 ?
? 2 ?
??3x ? 2??
3x ?1 1 3
Actividades de aplicación.
P1.- Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado:
a) 3?x ? 2?5x ? b) 1? x ? 2?3x ? c)
d) 3??3?2x?? 2??3? x?? e) 2??x ?3??3??x ?1?? 2??x ?2??
?
3
?
j) ? ?
i)
4??1? x?
3
x ?1 1?5 x
h)
2 3
2 x ?3
x ?1
4 3 15
+ —
+ —
f) ?
5 2
?1
x?1 —
x?1 —
1?x +
Producto +
Solución
x
4
1
+ +
+ +
Solución No es solución
xc
xc
? ? 0, y todo se reduce a averiguar cuál es el signo del
x ?1 x ?1 x ?1
denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en ???,1?.
? E3.- Debemos andar con mucho cuidado a la hora de crear la tabla de signos, fijarnos bien
en la pendiente real de las rectas, así, sea la inecuación ? 0 ? ? 0 ,
x ?1 ?x ?1?
recuerda, no simplificar.
Como el segundo factor del numerador tiene la pendiente negativa cambian los signos respecto
al punto de corte, así en este caso es todo al revés de antes, a la derecha negativa y a la
izquierda positiva. La solución, por tratarse de una desigualdad no estricta, es ???,1?.
? Observación: en la siguiente gráfica tienes indicados los signos que toman los valores de
las rectas según sea su pendiente en función de la distancia al punto de corte con el eje de
abscisas.
y ? mx?b
m>0
m< 0
b
b
negativa
negativa
positiva
positiva
3x ?
1?
3?? ?
? x??
2?
? x?? ?
c) x??x ?5?? 2x ?
h)2???x ?1? ? ?2×2 ?3?
1?x ???x ?9?? 0 ?
j)
? 0 ?
x ?4
3x ?2
g) ?x ?1? ? 9 ?
?x ?9???x ?1?? 0 ?
i)
k) ?x?4???x?2???1?x? ? 0?
?3x ? 2
? x ?1
x? ? x ?1
?
2x ?4
m) ? ? 2? ?? ? ???
n) x ?5x ?6x ? 0 ? o) ?x ?1???x ?4x ?3?? 0 ?
? ? ? 0 ?
?3x ?1???x2 ?2x ?8? ? 0 ?
?x ?4???x ?2???1? x? ? 0 ?
?x2 ?4???x ?5? ? 0 ?
? 0 ?
? 0 ?
?x ?3???x ?3??x ? 0 ?
?3x ?7 ? x ?1
? ?3 ? 5 ? 8
? ?
? 5
?2x ?3 ? 3x ?7
?
?
? ? 3 ?
?x ?1 x ?3
d) ?
?4x ?2 ? x ?1 ? x
??x ?1?2 ??x ?3?2 ? 0
?x ?3??x ?1?? 3
k)
5
2 ?
2
3
x
3 ? x ?
1
2
3?
3?
l)
??
??
??x ?2???x ?3??
? x ?3
? 2
3
2
? x ?2
? 4
P2.- Resolver las siguientes inecuaciones de grado mayor que uno o fraccionarias:
b)
d)
e)
? 0 ?
a) ?5×2 ?3x ?8 ? 0 ?
2
f) ?81?x???4?x?? x ?11?
2
2 2
25×2 ?101x ?102 ? 0 ?
2 x ?5 ?5 x ?6
2
2
?x?3???x?1?
l) ? 4 ?
?
x?
2?
2
x ?3 ? 2 ? ? 3 2? ? 3
3 2 2
p)
?
?x
?1??x2 ?1?? 0 ?
2
q)
x3 ?x2 ?4x?4?0?
r)
? 0 ?
x2 ?1
x ?3
s)
?x?1?3??x?1?2 ??x?2??0?
t)
? 0 ?
x2 ?9
x ?1
? ?
u)
w)
y)
?x2 ?9???2?5x???x ?1?
?x ?3???x ?1?
x??x ?1???x ?3?
v)
x)
z)
?x ?3???x ? 2?
? 5?
4? x
x2 ?3x ? 2
6? x2 ? x
?2? x???x ?1?
P3.- Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:
?
?2x ?3 ? x ?2
a) ?
?
?
?x x
b) ?
x 4 x
?2 9
?
?
c) ?2x x 2
?? 5 4 3
?
? 4 3
? x
2
?
? e) ?