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Lógica






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2 Salustiano Fernández Viejo LÓGICA — PARTE 1ª — LÓGICA PROPOSICIONAL O LÓGICA DE ENUNCIADOS 1.- LOS SIGNOS Signo es todo aquello que, para alguien, representa o evoca otra cosa distinta de sí misma. Ejemplos: señales de tráfico, palabras, la danza de las abejas, el humo… Para que algo pueda ser considerado signo, es necesario, en primer lugar, que tenga significado para alguien. Una primera clasificación de los signos distingue entre aquellos que poseen un solo significado (son llamados señales), y aquellos que poseen significaciones múltiples (símbolos). Ahora bien, si tenemos en cuenta el tipo de relación que los signos mantienen con su significado, éstos se clasifican en: ? Vestigios o índices: La relación que este tipo de signos mantiene con su significado es de carácter natural. Por ejemplo: el humo es «índice» o «vestigio» del fuego, una huella en la arena lo es del animal correspondiente, etc. ? Imágenes o iconos: La relación que este tipo de signos mantiene con su significado es una relación de semejanza o parecido. Por ejemplo: algunas señales de tráfico, las fotografías, las pinturas realistas, etc. ? Símbolos: son aquel tipo de signos que mantienen con su significado una relación puramente arbitraria o convencional. Por ejemplo: las palabras del lenguaje natural humano, los números, las pinturas abstractas, las banderas o los signos de la lógica… Filosofía – 1º Bachillerato

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3 Salustiano Fernández Viejo La ciencia que estudia los signos se llama SEMIÓTICA. Ésta, a su vez, se divide en tres partes, que constituyen tres maneras de estudiar los signos: 1. Sintaxis: estudia los signos teniendo únicamente en cuenta las diversas relaciones que se establecen entre ellos con independencia de su significado. Este es el tipo de estudio que realizan todas las Gramáticas. 2. Semántica: estudia los signos teniendo en cuenta la relación que mantienen con su significado o referencia, es decir, con las cosas de la realidad representada por ellos. Este es el tipo de estudio que hacen los Diccionarios o las Etimologías. 3. Pragmática: estudia los signos teniendo en cuenta la relación que existe entre ellos y las personas que los utilizan para comunicarse o representar algo. Este es el tipo de estudio que realizan los investigadores de las jergas o argots profesionales, étnicos, regionales, de pandillas… SEMÁNTICA SINTAXIS cosas PRAGMÁTICA signos personas Filosofía – 1º Bachillerato

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4 Salustiano Fernández Viejo 2. COMUNICACIÓN, LENGUAJE Y METALENGUAJE La comunicación es un fenómeno natural basado en la capacidad que poseen todas las especies animales de transmitirse mediante signos de muy diverso tipo: sonoros, visuales, olfativos, etc. Esta capacidad la encontramos especialmente desarrollada en el lenguaje humano. Pues aunque los animales pueden transmitir información mediante signos unívocos (señales: así, por ejemplo, que un perro gruña y te enseñe los dientes es señal indudable de que te puede morder), el lenguaje humano está compuesto principalmente de signos multívocos (símbolos), y además posee la capacidad referirse a sí mismo. Es decir, puede convertirse en un Metalenguaje: es el lenguaje usado para hablar del propio lenguaje, es decir, de sí mismo. Ejemplo: La frase «“Gato” tiene cuatro letras» es una frase en la que el lenguaje habla de sí mismo y, por tanto, pertenece al «metalenguaje». A diferencia de la frase «El gato de mi casa es gris», en la cual el lenguaje se usa para referirse a la realidad, siendo el uso habitual que le damos al lenguaje. 3. LENGUAJE NATURAL Se entiende por Lenguaje Natural al lenguaje (=conjunto de símbolos) utilizado por una sociedad para comunicarse. Hay que precisar que el lenguaje que usamos para comunicarnos y referirnos a la realidad no es ‘natural’ en sentido estricto, sino que lo aprendemos en sociedad, a diferencia de lo que ocurre con los demás animales cuyo lenguaje es natural o innato, es decir, lo desarrollan naturalmente aunque no estén en contacto con individuos de su misma especie. Al lenguaje que aprendemos en sociedad y que usamos para comunicarnos y referirnos a las cosas que nos rodean, lo llamamos Lenguaje Cotidiano o Lenguaje Ordinario o Lenguaje Natural Filosofía – 1º Bachillerato

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5 Salustiano Fernández Viejo 3.1 ELEMENTOS DEL LENGUAJE NATURAL: SÍMBOLOS Y REGLAS El Lenguaje Natural humano consta de un conjunto finito de símbolos (palabras y signos lingüísticos, que forman el Vocabulario) y un número finito también de reglas (constituyen la Sintaxis), las cuales determinan cómo combinar correctamente los símbolos del vocabulario, es decir, establecen cómo formar correctamente oraciones en ese lenguaje. 3.2. ¿QUÉ ES UNA ORACIÓN? Es una expresión lingüística sintácticamente correcta (=está bien construida de acuerdo con las reglas) y que posee sentido completo. Llamamos «expresión lingüística» a cualquier combinación de símbolos de un lenguaje. Ejemplos: “El cuarzo es un mineral”, “¿Qué hora es?”, “Cierra la puerta”,… Por el contrario, expresiones como “Vivir con cuando”, “Lloviendo noche estaba aquella”, etc. no son oraciones porque o bien no tienen sentido completo o son sintácticamente defectuosas. 3.3. ¿QUÉ ES UNA ORACIÓN ENUNCIATIVA O ENUNCIADO? Es una expresión lingüística que tiene sentido completo y que puede ser verdadera o falsa. De los anteriores ejemplos de oraciones, sólo el primero (“El cuarzo es un mineral”) es un enunciado, pues dice algo que puede ser verdadero o falso, mientras que los otros dos ejemplos (“¿Qué hora es?”, “¡Cierra la puerta!”) no lo son porque no cabe preguntarse si es verdadero o falso lo que ‘dicen o expresan’. Desde Aristóteles se denomina “uso apofántico” del lenguaje a la utilización de éste para formular oraciones cuyo contenido puede ser verdadero o falso; estas oraciones reciben el nombre de enunciados. Son oraciones que se refieren a algún hecho de la realidad y que, por tanto, si lo ‘expresan’ bien, son verdaderas, y si no, falsas. 3.4. INSUFICIENCIAS DEL LENGUAJE NATURAL Dada la multivocidad (=riqueza significativa) que lo caracteriza, el Lenguaje Natural resulta insuficiente para las exigencias de exactitud de la ciencia o para la formulación precisa de razonamientos complejos (aunque esa riqueza expresiva lo convierta en el Filosofía – 1º Bachillerato

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6 Salustiano Fernández Viejo mejor aliado del poeta, el novelista o el orador). Las insuficiencias del Lenguaje Natural con respecto a la precisión de sus expresiones son consecuencia de: a) Ambigüedades semánticas: en el Lenguaje Natural hay muchas palabras y expresiones cuyo significado no es preciso, sino ambiguo; rebosa de términos polisémicos (es decir, palabras que tienen más de un significado). Ejemplo: “Pedro alquiló una casa” (no sabemos si la casa que Pedro alquila es de su propiedad y se la alquila a otra persona, o si Pedro la alquiló para habitarla él), “Llevaba el gato en el coche”, “Te sigo”,… b) Deficiencias sintácticas: las reglas sintácticas que determinan cómo combinar correctamente las palabras del lenguaje natural carecen de criterios rigurosos que permitan evitar oraciones sin sentido. Ejemplos: “Los martillos cerrados paladean locamente”, “Allí donde los libros bordean las ásperas playas se alza el fondo de planicie más elevado”,… 4. LENGUAJE ARTIFICIAL Tratando de superar las citadas limitaciones del Lenguaje Natural, para proporcionarle a las ciencias un lenguaje exacto y riguroso, se han ido construyendo los Lenguajes Artificiales, esto es, lenguajes bien definidos que poseen una estructura operativa más eficaz. En líneas generales puede decirse que todas las ciencias, en especial las ciencias de la naturaleza, emplean Lenguajes Artificiales y que ésta ha sido una de las condiciones para su progreso. Por ejemplo, los símbolos de la Química, la Física, la Biología, pero también los de la Economía, la Lingüística, etc., constituyen tipos de lenguaje artificial. 4.1. ELEMENTOS QUE INTEGRAN UN LENGUAJE ARTIFICIAL Básicamente consta de los mismos elementos que cualquier lenguaje natural (un conjunto se signos y una serie de reglas sintácticas), pero se le exige además: Filosofía – 1º Bachillerato

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7 Salustiano Fernández Viejo a) Que los signos estén bien definidos, para que no quepan ambigüedades; b) Que el conjunto de las reglas para la formación de expresiones, impida la construcción de expresiones carentes de sentido y permita saber, en cualquier momento, si una determinada combinación de signos es una expresión bien formada del Lenguaje; c) Y que posea, además, un conjunto de reglas operativas o de transformación de expresiones, que permita deducir a partir de unas expresiones correctas del Lenguaje otras que también lo sean, para de ese modo construir rigurosas y complejas cadenas deductivas. ELEMENTOS DE UN LENGUAJE SIGNOS De formación de expresiones ARTIFICIAL REGLAS De transformación operativa La Lógica y las Matemáticas son ejemplos de Lenguajes Artificiales. Filosofía – 1º Bachillerato

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8 Salustiano Fernández Viejo 5. LENGUAJE FORMAL Se denomina Lenguaje Formal a un Lenguaje Artificial cuyos signos son formales (es decir, carecen de significado) y cuyas reglas sintácticas permiten operar con dichos signos como en un cálculo. La Lógica y las Matemáticas son Lenguajes Artificiales y, además, Formales. ¿Qué significa que los signos de un Lenguaje Formal carecen de significado? Pues que tales signos no se refieren en absoluto a la realidad. Así, por ejemplo, el signo matemático ‘2’ no se refiere a dos cosas concretas, como dos manzanas o dos peras; y lo mismo le ocurre a los signos lógicos ‘p’, ‘q’, ‘r’, que no se refieren a ninguna proposición determinada. ¿Qué significa que las reglas de un Lenguaje Formal poseen la eficacia de un cálculo? - Que mediante tales reglas siempre podremos saber si una expresión (es decir, un conjunto de signos) está bien formada en ese lenguaje. - Y que mediante la aplicación de dichas reglas podremos transformar expresiones bien formadas en dicho lenguaje en otras expresiones que también lo estén, y que por algún motivo nos interesen. Filosofía – 1º Bachillerato

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- - 9 Salustiano Fernández Viejo 6. LA LÓGICA COMO LENGUAJE FORMAL La Lógica puede definirse como aquella ciencia o reflexión sistemática que estudia las condiciones o leyes que debe cumplir todo razonamiento para ser formalmente válido. 6.1. ¿QUÉ ES UN RAZONAMIENTO? Un razonamiento es un proceso mental que se caracteriza porque en él se produce el paso de ciertas afirmaciones (las PREMISAS) a otra afirmación (la CONCLUSIÓN) que se deriva, deduce o infiere de aquéllas. {Una pequeña aclaración: todo razonamiento es pensamiento (es decir, es una actividad mental), pero no todo pensamiento es razonamiento, pues podemos pensar (en un árbol, en una isla o en un triangulo, por ejemplo), sin pretender sacar conclusión alguna acerca de lo pensado, es decir, sin integrarlo en un razonamiento.} 6.2. CONDICIONES QUE DEBE REUNIR UN RAZONAMIENTO PARA SER FORMALMENTE VÁLIDO Un razonamiento es formalmente válido, es decir, posee una estructura lógica correcta, cuando existe una conexión entre sus afirmaciones tal que la conclusión se deduce necesariamente de las premisas. Hemos de distinguir entre verdad y validez: La verdad es una propiedad de los enunciados. Un enunciado será verdadero o falso si lo que él afirma ocurre o no en la realidad. Por ejemplo, “los gatos son animales con alas” o “está lloviendo”, son enunciados verdaderos si lo que afirman puede ser observado en la realidad. Los razonamientos, sin embargo, son válidos no porque los enunciados que lo integren sean verdaderos, pues es posible construir razonamientos perfectamente válidos con enunciados falsos, sino que un razonamiento es válido únicamente si la conclusión se deduce necesariamente de las premisas. Filosofía – 1º Bachillerato

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? Salustiano Fernández Viejo Veamos el siguiente ejemplo que nos permite distinguir verdad de validez: Premisas Los perros (A) son reptiles (B) Los gatos (C) son perros (A) Los gatos (C) son reptiles (B) Este razonamiento es válido formalmente, aunque sus premisas y su conclusión sean falsas. Conclusión Pues si prescindimos de su contenido y tenemos sólo en cuenta la forma en que están conectadas sus afirmaciones, comprobamos que la conclusión se deduce necesariamente de las premisas. A es B C es A C es B VERDAD Ser verdadero o falso es una cualidad de los: Enunciados Que consiste en que expresen bien/adecuadamente la… Realidad 10 VALIDEZ (O CORRECCIÓN) Ser válido o no (correcto o incorrecto) es una cualidad de los: Razonamientos Que consiste en que en ellos haya una… Conexión adecuada y necesaria entre enunciados Filosofía – 1º Bachillerato

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“ Salustiano Fernández Viejo 7. LA LÓGICA PROPOSICIONAL O LÓGICA DE ENUNCIADOS La Lógica proposicional o de enunciados es el apartado más elemental y básico de la Lógica. Es el más elemental porque es el más sencillo. Es básico, porque sirve de base al resto del edificio de la Lógica. La tarea de la Lógica proposicional consiste en ocuparse de estudiar la validez formal de los razonamientos tomando en bloque las proposiciones que los forman, es decir, sin hacer un análisis de tales proposiciones. Una proposición es tomada en bloque cuando no se tienen en cuenta los elementos que la integran, pasando a ser considerada como un todo o unidad lingüística básica. Por ejemplo: una proposición como “Los gatos son mamíferos” puede ser simbolizada en Lógica de los siguientes modos: “p” [ Se lee «p» ] => LÓGICA PROPOSICIONAL “S -A- P” [Se lee «Todos los S son P» ] => LÓGICA SILOGÍSTICA ?x (Gx ? Mx)” [ Se lee «Para todo ‘x’, si ‘x’ es ‘G’, entonces ‘x’ es ‘M’»]=> LÓGICA DE PREDICADOS Una proposición es simple si no puede descomponerse en partes que a su vez sean proposiciones. También se la denomina proposición atómica. Ejemplos: “Los gatos son mamíferos”, “Pedro viene con Luis”. Una proposición es compleja si está compuesta por proposiciones simples unidas. También puede ser llamada molecular. Ejemplos: “Los gatos son mamíferos, pero a mí me gustan más los pájaros exóticos”, “Si Pedro viene con Luis y trae comida, nos iremos todos al campo”. 11 Filosofía – 1º Bachillerato

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a) p b) Salustiano Fernández Viejo 7.1. LOS SIGNOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Variables proposicionales: para simbolizar las proposiciones simples se utilizan las letras minúsculas del alfabeto a partir de la “p” (p, q, r, s, t, u, a, b, c…). Estas letras se denominan variables proposicionales porque se utilizan para representar a cualquier proposición del Lenguaje Natural. Por ejemplo: la proposición simple “Los gatos son mamíferos” la simbolizamos con una “p”. Y la proposición compleja “Los gatos son mamíferos y les gusta cazar ratones” la simbolizamos como ‘p y q’. Admitimos que cualquier proposición simple es o bien verdadera o bien falsa, pero no ambas cosas a la vez. Éste es el Principio de Bivalencia: las proposiciones simples sólo pueden tener dos valores de verdad: o son verdaderas o son falsas. cualquier proposición 1 0 verdadera falsa Símbolos auxiliares: en lógica se utilizan paréntesis, corchetes y llaves para agrupar ordenadamente las proposiciones. ( ), [ ], { } 12 Filosofía – 1º Bachillerato

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c) Salustiano Fernández Viejo Conectivas o constantes lógicas: se denominan conectivas a aquellos signos lógicos que sirven para unir a las proposiciones entre sí. Las conectivas que manejaremos son las siguientes: ? NEGADOR (¬): ¬ …se lee “no” ¬ p …se lee “ no p” ¬ q …se lee “no q” Las expresiones siguientes: “No podremos ir de excursión a la Sierra de Gredos”, “Pedro ni siquiera me escuchó”, las simbolizamos ‘¬ p’. El negador es aquella conectiva que al aplicarse a una proposición cualquiera, sea simple o compleja, la convierte en falsa si es verdadera y en verdadera si es falsa. => Tabla de verdad del negador: p 1 0 13 ¬p 0 1 Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo ? CONJUNTOR ( ? ): ? …se lee “y” p ? q …se lee “p y q” Las expresiones siguientes: “Hoy estamos alegres y nos iremos a bailar”, “Pedro es buena persona, aunque debería ducharse más”, “El sol se nubló, pero seguimos caminando”, las simbolizamos en lógica proposicional ‘p ? q’. El conjuntor es aquella conectiva que sólo es verdadera si las dos proposiciones que une son ambas verdaderas, y que es falsa en los demás casos. => Tabla de verdad del conjuntor: (Las combinaciones posibles de los valores de verdad de 2 proposiciones (p, q), cada una de las cuales puede ser verdadera o falsa, son cuatro: que las dos sean verdaderas, que una sea verdadera y la otra falsa, que una sea falsa y la otra verdadera, y que las dos sean falsas. Para un número ‘n’ de proposiciones las combinaciones de sus valores de verdad serán 2n.) p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 0 p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 p ? q 1 1 0 0 0 0 0 0 (p ? q) ? r 1 0 0 0 0 0 0 0 Ejemplos: ¬ p ? q …se lee “no p y q”, y su tabla de verdad sería: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬p ? q 0 0 1 0 14 Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo p ? ¬ q …se lee “p y no q”, y su tabla de verdad es: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬q 0 1 0 1 p ? ¬q 0 1 0 0 ¬ (p ? q)…se lee “no es cierto que p y q”, y su tabla de verdad es: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 0 ¬ (p ? q) 0 1 1 1 ¬ p ? ¬ q…se lee “no p y no q”, y su tabla de verdad es p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬q 0 1 0 1 ¬p ? ¬q 0 0 0 1 ? DISYUNTOR ( ? ): ? …se lee “o” p ? q …se lee “p o q” Las expresiones siguientes: “Pedro vendrá el lunes o el martes”, “O bien me quedo en casa o bien voy al cine”, “Tal vez escuche esa canción o tal vez me vaya a pasear al río , las simbolizamos ‘p ? q’. El disyuntor es aquella conectiva que sólo es falsa si las dos proposiciones que une son ambas falsas, y verdadera en los demás casos. La tabla de verdad del disyuntor es: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 1 1 0 15 Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo Ejemplos: ¬ p ? q …se lee “no p o q”, y su tabla de verdad es p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬p ? q 1 0 1 1 ¬ (¬ p ? q) …se lee “no es cierto que no p o q”, y su tabla de verdad es p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬p ? q 1 0 1 1 ¬ (¬ p ? q) 0 1 0 0 ¬ (p ? q) ? ¬p …se lee “no es cierto que p y q, o no p”, y su tabla de verdad es p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 0 ¬ (p ? q) 0 1 1 1 ¬p 0 0 1 1 ¬ (p ? q) ? ¬ p 0 1 1 1 p ? (¬ q ? ¬ p) …se lee “p, o, no q y no p”, y su tabla de verdad, haciendo una presentación abreviada, es: p ? (¬ q ? ¬ p) 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 16 Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo ? CONDICIONAL ( ? ): ? …se lee “Si…, entonces…” p ? q…se lee “Si p, entonces q” (‘p’ es el antecedente, y ‘q’ es el consecuente) Las expresiones “Si llueve, las calles se mojan”, “Si vienes mañana, iremos a casa de Luis”, “Si supieras lo que me ha dicho Pedro, quedarías perplejo”, las simbolizamos como ‘p ? q’. El condicional es aquella conectiva que sólo es falsa cuando, siendo el antecedente verdadero, el consecuente sea falso, y verdadera en los demás casos. Llamamos ‘antecedente’ del condicional a la proposición que se halla a su izquierda, y ‘consecuente’ a la que está a su derecha. La tabla de verdad del condicional es: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 1 1 Ejemplos: ¬ p ? q …se lee “Si no p, entonces q”, y su tabla de verdad es ¬ p ? q 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 17 Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo ¬ (p ? ¬ q) …se lee “No es cierto que si p, entonces no q”, y su tabla de verdad es: ¬ (p ? ¬ q) 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 ? BICONDICIONAL ( ? ): ? …se lee “Sólo si…” p ? q …se lee “p sólo si q” o “Sólo si p, entonces q” Las expresiones “Sólo si llueve, me quedaré en casa”, “Sólo en el caso de que sepas la primera pregunta, deberás responder también a la segunda”, “Te contestaré sólo si tu respuesta me satisface”, las simbolizamos ‘p ? q’. El bicondicional es aquella conectiva que sólo es verdadera si las dos proposiciones unidas por ella tienen ambas el mismo valor de verdad, es decir, son ambas verdaderas o falsas a la vez. La tabla de verdad del bicondicional es: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 1 Ejemplo: p ? ¬ q …se lee “Sólo si p, entonces no q” o también “p sólo si no q” y su tabla de verdad es: p ? ¬ q 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 18 Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo 7.2. TABLA DE VERDAD DE CUALQUIER FÓRMULA Para hallar la tabla de verdad de cualquier fórmula hay que dar los siguientes pasos: 1) En primer lugar, se asignan los valores 1 y 0 a las proposiciones simples que componen la fórmula, combinando de todos los modos posibles tales valores. Recordemos que para una fórmula con dos proposiciones distintas, las combinaciones posibles de sus valores de verdad son 22 = 4 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 Para una fórmula con tres proposiciones distintas, las combinaciones posibles de sus valores de verdad son 23 = 8. Con cuatro proposiciones son 24 = 16. Etc. p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 p 1 1 1 1 1 1 1 1 q 1 1 1 1 0 0 0 0 r 1 1 0 0 1 1 0 0 s 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 El modo más fácil de combinar los valores de verdad de las proposiciones que integran cual- quier fórmula, consiste en asignarle a la 1ª pro- posición por orden alfabético la mitad de 1 y la mitad de 0. A la siguiente proposición, la mitad de la mitad de 1, la mitad de la mitad de 0, 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 hasta completar el número de las combinacio- nes que admita la fórmula… Y a la última pro- posición de la fórmula siempre se le asignará 1 y 0 alternativamente hasta completar las com- binaciones posibles de la fórmula. 19 Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo 2) Y en segundo lugar, se hallan los valores de verdad de las conectivas existentes en la fórmula, empezando por las menos dominantes (es decir, por las que afectan a menor parte de la fórmula) y terminando por la conectiva dominante (es decir, por aquella que afecta a toda la fórmula y cuya tabla de verdad, por tanto, será la tabla de verdad de la fórmula completa). Ejemplos: Tabla de verdad de la fórmula: ¬ p ? (r ? ¬ q) …se lee “Si no p, entonces r y no q”. La conectiva dominante es el ‘?’. p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 ¬q 0 0 1 1 0 0 1 1 r ? ¬q 0 0 1 0 0 0 1 0 ¬p 0 0 0 0 1 1 1 1 ¬ p ? (r ? ¬ q) 1 1 1 1 0 0 1 0 De manera más abreviada, la anterior tabla de verdad también se podría escribir así: ¬ p ? (r ? ¬ q) 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 Tabla de verdad de la fórmula: ¬ [ p ? (q ? p) ] …se lee “No es cierto que sólo si p, entonces q o p” o también “No es cierto que p sólo si q o p”. La conectiva dominante es el ‘¬’. ¬ [p ? (q ? p)] 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 20 Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo 8. ¿CÓMO FORMALIZAR EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL CUALQUIER EXPRESIÓN DEL LENGUAJE NATURAL? Formalizar una expresión del lenguaje natural consiste en destacar la «forma» en que se relacionan las proposiciones de esa expresión, prescindiendo del contenido o significado de éstas. Dicho de otro modo: consiste en “traducir” al lenguaje artificial de la lógica las expresiones del lenguaje natural. Ejemplos: - La comida no le supo bien: ¬p - Mañana es sábado y nos iremos a la playa: p ? q - Aunque tú no me quieras, yo te amo: - O bien te lo comes o no verás la tele: ¬p ? q p ? ¬q - O lo recoges todo o no vas de excursión y no te regalo el vestido: p ? (¬q ? ¬r) - Si vienes, no te lo olvides en casa: p ? ¬q - Si no estuvo aquí el asesino, entonces no llegó a verle o lo supo demasiado tarde: ¬p ? (¬q ? r) - No por mucho madrugar amanece más temprano: ¬ ( p? q ) - Sólo si baja la Bolsa 15 puntos, deberás vender el 10% de las acciones de la empresa y no comunicarlo al Consejo: p ? (q ? ¬r) - Sólo en el caso de que no sepas hacer el dibujo y haya dos preguntas en la 2ª casilla del examen, deberás contestar únicamente a la primera de ellas: (¬p ? q) ? r - Si Pedro sabe hablar inglés, entonces no habla francés, aunque si no supiese hablar inglés, tampoco hablaría francés: (p ? ¬q) ? (¬p ? ¬q) - Si llegas después de las 10, te encontrarás con la puerta cerrada y no podrás cenar: p ? (q ? ¬r) - Juan abrirá la puerta y saldrá a la calle, sólo en el caso de que, si viene María con el coche, no venga con ella Pedro: ( p ? q ) ? ( r ? ¬ s ) - No es verdad que si Antonio estudia, entonces María no trabaje: ¬(p ? ¬q) - Sólo si tú no lo has matado, te dejaremos libre: 21 ¬p ? q Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo - Si no crees que lo que te digo ni lo que te dice Juan, nunca sabrás lo que pasó: (¬ p ? ¬ q ) ? ¬ r - No es cierto que Fernando esté en Madrid y Juan no esté en Ávila: ¬(p ? ¬q) - Si eres licenciado, no puede ser cierto que no sepas leer ni escribir: p ? ¬ (¬ q ? ¬ r ) - Sólo si conoces Oviedo, podrás disfrutar a fondo leyendo La Regenta y no perderte entre sus tumultuosas páginas: p ? ( q ? ¬ r ) 9. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN E INDETERMINACIÓN Al hacer la tabla de verdad de cualquier fórmula nos podemos encontrar con tres casos: que la tabla de verdad de la fórmula sólo tenga 1, que sólo tenga 0, y que tenga 1 y 0. ? TAUTOLOGÍA: Es una fórmula siempre válida, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran. Es decir, es una fórmula cuya tabla de verdad final sólo tiene unos ( 1 ). ? CONTRADICCIÓN: Es una fórmula no válida nunca, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran. Es decir, es una fórmula cuya tabla de verdad final sólo tiene ceros ( 0 ). ? INDETERMINACIÓN O CONTINGENCIA: Es una fórmula que puede ser válida o no, en función de los valores de verdad de las proposiciones que la integran. Es decir, es una fórmula cuya tabla de verdad final tiene unos ( 1 ) y ceros ( 0 ) no importa en qué proporción. 22 Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo Ejemplos: CONTRADICCIÓN p ? ¬ p Se lee “p y no p” p ? ¬p ( p ? q ) ? ¬ ( p ? q ) Se lee “Si, entonces q, y no es cierto que si p, entonces q” 1 0 0 1 (p ? q) ? ¬ (p ? q) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 TAUTOLOGÍA: p ? ¬ p Se lee “p o no q” p ? ¬p 1 1 0 1 p ? ( p ? q ) Se lee “Si p, entonces p o q” p ? (p ? q) 0 1 1 0 1 1 1 1 1 INDETERMINACIÓN: 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 p ? ¬ (p ? q) 1 0 0 1 1 1 Se lee: “Si p, entonces no es cierto que p o q” 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 23 Filosofía – 1º Bachillerato

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• Salustiano Fernández Viejo Ejemplos de tautología: (p ? q) ? (q ? p) [( p ? q ) ? ¬ q ] ? ¬ p (p ? q) ? (q ? p) (p ? q) ? (q ? p) 10. LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Las fórmulas que son tautologías constituyen esquemas válidos de inferencia o razonamientos formalmente válidos, y son llamadas por ello leyes lógicas. PRINCIPIOS A las llamadas leyes lógicas hay que anteponerles tres Principios básicos y fundamentales del pensar humano: los principios de la Lógica. 1º) Principio de identidad: p ? p 2º) Principio de no contradicción: ¬ ( p ? ¬ p ) 3º) Principio de tercio excluso (tertium non datur): p ? ¬ p • LEYES 1ª) Ley de la Doble Negación: ¬ ¬ p ? p 2ª) Leyes de la Simplificación: ( p ? q ) ? p (p ? q) ? q 3ª) Leyes de la idempotencia: ( p ? p ) ? p (p ? p) ? p 4ª) Ley de la adición: p ? ( p ? q ) 5ª) Leyes del silogismo disyuntivo: 24 [( p ? q ) ? ¬ q ] ? p [( p ? q ) ? ¬ p ] ? q Filosofía – 1º Bachillerato

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Salustiano Fernández Viejo 6ª) Leyes de De Morgan: ¬ ( p ? q ) ? ( ¬ p ? ¬ q ) ¬(p ? q) ? (¬p ? ¬q) 7ª) Ley del Modus Ponendo Ponens: 8ª) Ley del Modus Tollendo Tollens: [( p ? q ) ? p ] ? q [( p ? q ) ? ¬ q ] ? ¬ p 9ª) Ley de la Transitividad del Condicional: [( p ? q ) ? ( q ? r )] ? ( p ? r ) 10ª) Leyes del Bicondicional: ( p ? q ) ? ( p ? q ) (p ? q) ? (q ? p) ( p ? q ) ? [( p ? q ) ? ( q ? p )] 11ª) Leyes Conmutativas: a) Del conjuntor: b) Del disyuntor: (p ? q) ? (q ? p) (p ? q) ? (q ? p) c) Del bicondicional: ( p ? q ) ? ( q ? p ) 12ª) Leyes asociativas: [( p ? q ) ? r ] ? [ p ? ( q ? r )] [( p ? q ) ? r ] ? [ p ? ( q ? r )] 25 Filosofía – 1º Bachillerato

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