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Lógica proposicional



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    1 ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 –
    FEBRERO DE 2009 “LÓGICA PROPOSICIONAL”
    AUTORÍA SILVIA BORREGO DEL PINO TEMÁTICA
    MATEMÁTICAS. LÓGICA ETAPA UNIVERSITARIA Resumen La
    lógica forma parte de la filosofía, en la que se
    distinguen dos dimensiones, la dimensión teórica y
    la práctica, la lógica pertenece a la
    dimensión práctica, que se ocupa del conocimiento
    de la realidad. La lógica es la ciencia que estudia los
    principios y métodos para distinguir un razonamiento
    correcto de otro incorrecto. La lógica investiga la
    relación de consecuencia que se da entre una serie de
    premisas y la conclusión de un argumento correcto. Se dice
    que un argumento es correcto (válido) si su
    conclusión se sigue o es consecuencia de sus premisas; de
    otra forma es incorrecto. La lógica proposicional es una
    rama de la lógica clásica que estudia las
    proposiciones o sentencias lógicas, sus posibles
    evaluaciones de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de
    verdad. Palabras clave Lógica proposicional Proposiciones
    Conectores Tablas de verdad 1. INTRODUCCIÓN Para resolver
    multitud de problemas en la vida diaria y para sacar conclusiones
    o realizar demostraciones en la científica, aplicamos
    continuamente el razonamiento lógico. El primer estudio
    sistemático del razonamiento lógico se encuentra en
    Aristóteles. En el “Organon”,
    Aristóteles trata las reglas del razonamiento
    silogístico. La lógica aristotélica enuncia
    las fórmulas lógicas con palabras del lenguaje
    ordinario. Más tarde, se abstrajo del lenguaje ordinario,
    caracterizándose por unas reglas sintácticas
    diferenciadas y unas funciones semánticas especiales. C/
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    FEBRERO DE 2009 Posteriormente, se impuso el uso de un lenguaje
    artificial en el que los signos y palabras estaban regidos por
    una sintaxis exacta y tenían semántica
    estrechamente delimitada y definida también exactamente.
    Durante la Edad Media, los escolásticos trabajaron con
    este tipo de lógica, que sería posteriormente
    simplificada por matemáticos como Anauld, Leibnitz o
    Euler. Ya en el siglo XIX, Boole y De Morgan hicieron
    aportaciones decisivas relacionadas con esta disciplina. George
    Boole creó un sistema de lógica matemática
    en su obra “” The Mathematical Analisis of
    Logic”. Boole aproximó la lógica en una nueva
    dirección reduciéndola a un álgebra simple,
    incorporando la lógica en las matemáticas.
    Agudizó la analogía entre los símbolos
    algebraicos y aquellos que representan formas lógicas. Su
    álgebra consiste en un método para resolver
    problemas de lógica que recurre solamente a los valores
    binarios 1 y 0 y a tres operadores: AND (y), OR (o) y NOT (no).
    Tras la importante obra de Boole, Peano, Cantor y Hilbert
    hicieron diversas aportaciones que motivaron el interés
    por la lógica matemática de Russel y Whitehead, que
    entre 1910 y 1913 publicaron los “Principia
    Mathematica”, formalizando de este modo refinadas
    técnicas de la lógica matemática
    contemporánea. En su obra, intentaron trasladar las
    matemáticas al área de la filosofía
    lógica y dotarlas de un marco científico preciso.
    Russel y Whitehead muestran que la lógica tradicional, que
    se apoya en el Organon de Aristóteles, no es más
    que un simple fragmento de todo un conjunto y que, definiendo los
    números en términos de clases (noción
    eminentemente lógica), resulta posible deducir las
    matemáticas de la lógica formal de tal manera que
    entre las dos no hay solución de continuidad, sino todo un
    sistema. Por último, hay que destacar las aportaciones de
    Kart Gödel a esta disciplina, demostrando la consistencia de
    la hipótesis del continuo de Cantor y enunciando el
    teorema que establece la existencia de enunciados y teoremas
    indecidibles en cualquier sistema lógico. El tradicional
    desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de
    interés en la forma de argumentar, mientras que la actual
    lógica matemática lo centra en un estudio
    combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a nivel
    sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de
    símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa
    compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones
    ejecutables por una máquina), como a un nivel
    semántico, construyendo modelos apropiados (teoría
    de modelos). La lógica proposicional es una rama de la
    lógica clásica que estudia las proposiciones o
    sentencias lógicas, sus posibles evaluaciones de verdad y
    en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad. 2. ÁLGEBRA
    DE BOOLE DE LAS PROPOSICIONES 2.1. Definiciones y operaciones
    Comencemos en primer lugar definiendo los siguientes conceptos:
    Término es cada parte constitutiva de una
    expresión, enunciado o discurso. Podemos clasificarlos en
    categoremáticos, que son aquellos que tienen significado
    propio e independiente, y en C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA
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    FEBRERO DE 2009 sincategoremáticos, que son aquellos que
    no tienen significado propio y se utilizan para modificar o
    enlazar términos categoremáticos.
    Proposición lógica es toda agrupación de
    términos de la que se pueda afirmar si su contenido es
    cierto o falso. Podemos clasificarlas en atómicas, que son
    aquellas que no se pueden descomponer en partes que sean a su vez
    proposiciones, y carecen del término “no”, y
    moleculares, si están formadas por proposiciones
    atómicas enlazadas o modificadas por determinados
    términos sincategoremáticos. Las proposiciones
    atómicas se pueden sustituir por símbolos que
    suelen ser letras minúsculas comenzando por la p; p, q, r,
    s… Dichos símbolos reciben el nombre de variables
    proposicionales. Conectores proposicionales son términos
    sincategoremáticos que se usan para modificar o enlazar
    proposiciones. Los más utilizados son: Negación:
    representa la partícula lingüística no o
    cualquier otra partícula que incluya la idea de
    negación. Este conector cambia el valor de la verdad de la
    proposición que conecta. Conjunción: Representa la
    partícula lingüística y o cualquier otra que
    indique la idea de unión, como también, igualmente,
    pero. Este conector da lugar a una proposición verdadera
    si las proposiciones que enlaza son verdaderas y falsa en los
    restantes casos. Disyunción no exclusiva: Equivale a y/o,
    o sea, que incluye la verdad de los dos enunciados de la
    disyunción o bien sólo la de uno de los dos. Al
    componer dos proposiciones da lugar a una proposición
    falsa si ambas son falsas, y verdadera en los restantes casos.
    Disyunción exclusiva: Expresa la idea que la verdad de un
    miembro es incompatible con la verdad del otro: o uno o el otro,
    pero no los dos. Al componer dos proposiciones da lugar a una
    proposición falsa si ambas tienen igual valoración
    y a una proposición verdadera en caso contrario. Se le
    llama también adición booleana. Condicional:
    Representa las partículas lingüísticas
    si… entonces… o cualquiera otros que indiquen la idea de
    condición, como cuando… entonces…, entonces o una
    simple "coma". La partícula entonces o equivalente separa
    el antecedente del consecuente. Al componer dos proposiciones,
    llamadas antecedente y consecuente, da lugar a una
    proposición falsa si el antecedente es verdadero y el
    consecuente es falso, y a una proposición verdadera en los
    restantes casos. Bicondicional: Representa las partículas
    lingüísticas si y sólo si… o cualquier
    otra que indique doble condición, como equivale, cuando y
    sólo cuando, únicamente. Se trata de una
    condición necesaria y suficiente. Al componer dos
    proposiciones da lugar a una proposición verdadera si
    ambas tienen la misma valoración y falsa en los restantes
    casos. El conector negación se llama gonádico y los
    demás diádicos. Los conectores proposicionales
    también se pueden sustituir por símbolos, que
    reciben el nombre de signos conectivos o constantes
    lógicas. Así, C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA
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    T1 T4 T5 T6 4 ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15
    – FEBRERO DE 2009 Negación: ¬ Conjunción:
    ? Disyunción no exclusiva: ?? Disyunción exclusiva:
    _ Condicional: ? Bicondicional: ? La simbolización de las
    proposiciones moleculares se obtiene simbolizando las
    proposiciones atómicas que la forman y los conectores que
    las enlazan o modifican. Así, la formalización de
    "Si llueve, entonces la tierra se moja", con p simbolizando
    "Llueve" y q, "La tierra se moja", será p ??q. Se llama
    fórmula lógica a la expresión
    simbólica que sustituye a una proposición
    molecular. Se suelen utilizar para ellas las letras
    mayúsculas como P, Q, R… Operaciones lógicas
    son transformaciones o enlaces de proposiciones con conectores.
    Los casos que se pueden presentar son: -Composición de una
    proposición atómica con el conector gonádico
    no: ¬ p – Composición de dos proposiciones
    atómicas con los conectores diádicos: p ??q, p ? q,
    p _ q, p ? q, p ? q. -Composición de proposiciones con
    más de un conector, como por ejemplo: (p ? q) ? p.
    Llamamos proposición contradictoria o contradicción
    a una proposición compuesta que es falsa en todos los
    casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones
    simples componentes. La proposición contradictoria es
    siempre verdadera por su forma lógica. Llamamos
    proposición tautológica o tautología a una
    proposición compuesta que es verdadera en todos los casos,
    cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones
    simples componentes. La proposición tautológica es
    siempre verdadera por su forma lógica. La representamos
    por ?. Implicación lógica es una proposición
    condicional tautológica. Se expresa con el símbolo
    ?, que se lee implica. Algunas de las tautologías
    más utilizadas e interesantes son: ¬ (p ??¬ p) –
    Principio de no contradicción T2 T3 p ??¬ p p ? p (p
    ??q) ? p (p ??q) ? q p ? (p ??q) – Principio del tercio excluso
    (tercero excluido) – Identidad – Eliminación del conjuntor
    – Eliminación del conjuntor – Introducción del
    disyuntor C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA 18005 Granada

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    T7 T8 T9 5 ISSN 1988-6047 q ? (p ??q) [(p ? q) ??p] ? q [(p ? q)
    ??¬ q] ? ¬ p DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 –
    FEBRERO DE 2009 – Introducción del disyuntor – Ley del
    modus ponens (o eliminación del implicador) –
    Contrarrecíproco o modus tollens T10 ¬ (¬ p) ? p –
    Eliminación de la negación Una proposición
    indeterminada o contingente es una proposición compuesta
    que es verdadera en algunos casos y falsa en otros, dependiendo
    del valor de verdad de sus proposiciones simples componentes. Dos
    fórmulas lógicas P y Q y sus respectivas
    proposiciones son lógicamente equivalentes si y
    sólo si la bicondicional P ? Q es tautológica. 2.2.
    Álgebra de Boole de las proposiciones Si F es el conjunto
    de todas las proposiciones se verifican las siguientes
    propiedades: 1. Idempotente: 2. Asociativa: 3. Conmutativa: 4.
    Simplificativa: 5. Complementario: 6. Distributiva: p ??p = p (p
    ??q) ??r = p ???q ??r) p ??q = q ??p (p ??q) ??p = p p ??¬ p
    = T (p ??q) ? r = (p ??r) ??(q ? r) p ??p = p (p ? q) ? r = p ?
    (q ? r) p ? q=q ? p (p ??q) ??p = p p ??¬ p = K (p ???q) ??r
    = (p ??r) ??(q ??r) de donde (F, ????) es un álgebra de
    Boole, llamada álgebra de Boole de las proposiciones. Por
    supuesto, al ser un álgebra de Boole, se verifican
    también: 7. Elementos absorbentes: 8. Elementos neutros:
    9. Leyes de De Morgan: 10. De involución: p ??T = T p ??K
    = p ¬ (p ??q) = ¬ p ??¬ q ¬ (¬ p) = p p ??K =
    K p ??T = T ¬ (p ??q) = ¬ p ??¬ q 3. TABLAS DE
    VERDAD. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES LÓGICAS La tabla de
    valores de verdad, también conocida como tabla de verdad,
    es una herramienta desarrollada por Charles Peirce en los
    años 1880, siendo sin embargo más popular el
    formato que Ludwig Wittgenstein desarrolló en su Tractatus
    logico-philosophicus, publicado en 1918 por Bertrand Russell. C/
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    FEBRERO DE 2009 Se emplean en lógica para determinar los
    posibles valores de verdad de una expresión o
    proposición molecular. O si un esquema de inferencia, como
    argumento, es formalmente válido mostrando que,
    efectivamente, es una tautología. Se suele simbolizar por
    V o por 1 si la proposición es verdadera y por F o por 0
    si es falsa. Considerando dos proposiciones A y B, cada una como
    un todo (sea como proposición atómica o molecular)
    y asimismo cada una con sus dos posibles valores de verdad V
    (Verdadero) y F (Falso), y considerando su relación "$"
    como variable de cualquier relación sintáctica
    posible que defina un conector, podrían suceder los casos
    siguientes: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A B A$B A$B
    A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B V V V V F
    V F V V F F V V V V F V V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F
    F F F V V V F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F
    F Las dos primeras columnas de la tabla nos muestran los cuatro
    casos de combinación posibles según el valor de
    verdad de A y de B. Tenemos por tanto 4 líneas, y 16
    columnas que representan todos los posibles valores que pueden
    darse según se defina un conector cualquiera. Para cada
    conector definido con anterioridad tenemos una tabla de verdad.
    Así tenemos: Negación (¬) Conjunción (??
    A V F ¬A F V A B A ??? V V V C/ Recogidas Nº 45 –
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    FEBRERO DE 2009 Disyunción (??? V F F F V F F F F A B A
    ??? Disyunción exclusiva (_) V V F F V F V F V V V F A B
    A_B Condicional (?) V V F F A V F V F B F V V F A ? B C/
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    FEBRERO DE 2009 Bicondicional (?, si y sólo si) V V F F A
    V V F F V F V F B V F V F V F V V A ??? V F F V Las tablas nos
    manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier
    proposición molecular, así como el análisis
    de la misma en función de las proposiciones que la
    integran, encontrándonos con los siguientes casos,
    definidos anteriormente: Verdad Indeterminada Sea el caso: A ? (B
    ? C). Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:
    Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse
    según el valor V o F de cada una de las proposiciones A,
    B, C. Una columna en la que se establecen los valores de B ? C
    según la definición del disyuntor. Una columna en
    la que se establecen los valores de la conjunción de la
    columna en la que están los valores de A con valores de la
    columna B ? C, aplicando la definición del conjuntor a los
    valores, que representarán los valores de la
    proposición completa A ? (B ? C). A B C B ? C A ? (B?C) C/
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    FEBRERO DE 2009 V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F V
    V V F V V V F V V V F F F F F Donde podemos comprobar
    cuándo y por qué la proposición A ? (B ? C)
    es V y cuándo es F Contradicción Sea el caso: [(A ?
    B) ? ¬(A ? B)] ? C Aplicamos la definición de
    conjuntor a los valores de A y B. Después aplicamos la
    definición de disyuntor a los valores de A y B. Aplicamos
    en la columna siguiente el negador a los valores de la columna
    anterior. Aplicamos el conjuntor a los valores de la columna (A ?
    B) con los de la columna ¬( A ? B). Por último
    aplicamos el conjuntor a los valores de la columna de C con la
    columna última cuyo resultado nos da los valores de [(A ?
    B) ?¬( A ? B)]/C A B C A ? B A ? B ¬(A ? B) (A ? B) ?
    ¬(A ? B) [(A ? B) ? ¬(A ? B)] ? C V V V V V F V F V V F F
    F V V F V F F F V V V F F F F F V V V V V V F F F F F F F V F F F
    F F F F F F F F F F F C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA 18005
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    – – – – 10 ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15
    – FEBRERO DE 2009 F F F F F V F F Tautologías Sea el
    caso: [(A?B)?(B?C)] ?(A?C) Siguiendo la mecánica
    algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de
    verdad: A B C A?B B?C (A?B) ? (B?C) (A?C) [(A?B) ? (B?C)] ? (A?C)
    V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F V V F F V V V V V
    F V V V F V V V F F F V F V V V F V F V V V V V V V V V V V V Por
    otro lado, a partir de los conectores negación y
    disyunción no exclusiva podemos definir: Conector
    conjunción: p ? q = ¬ (¬ p ? ¬ q) Conector
    condicional: p ? q = ¬ p ? q Conector disyunción
    exclusiva: p _ q = ¬ [¬ (p?q) ? ¬ (¬ p ? ¬
    q)] Conector bicondicional: p ? q = ¬ [¬ (¬ p ? q) ?
    ¬ (¬ q ? p)] 4. APLICACIONES AL RAZONAMIENTO
    MATEMÁTICO 4.1. Formalizaciones de la teoría
    matemática En Matemáticas hay tres procesos
    fundamentales: construir objetos matemáticos (modelos
    abstractos de objetos físicos más o menos
    complicados o visibles), formar relaciones entre objetos
    (aserciones que pueden enunciarse relativas a esos objetos) y
    demostrar que algunas de estas C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA
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    FEBRERO DE 2009 relaciones son verdaderas (sucesión de
    silogismos por los que a partir de un pequeño
    número de axiomas puede deducirse de manera lógica
    una relación dada). Una teoría matemática es
    un conjunto de proposiciones que se siguen según un
    esquema de deducción lógica a partir de unas
    afirmaciones que admitimos sin demostración. En primer
    lugar han de introducirse unos conceptos primitivos no
    susceptibles de definición. Junto a ellos se establecen
    unos postulados o axiomas, proposiciones primeras, que se aceptan
    sin demostración y que enuncian propiedades de los
    conceptos primeros. En una misma disciplina pueden darse diversos
    sistemas de axiomas equivalentes, debido a la arbitrariedad de
    elección, por lo que no tiene sentido preguntarse si una
    proposición puede o no demostrarse si no se especifica el
    sistema de axiomas de la teoría a la que se refiere. Un
    sistema de axiomas ha de ser compatible (sin encerrar
    contradicción) e independiente (ninguno de los axiomas, ni
    una parte de ellos, puede ser deducido de los demás).
    Podemos definir demostración, prueba, razonamiento o
    deducción como el proceso o paso lógico por el cual
    de las premisas se llega a la conclusión. La
    demostración se dice válida cuando las premisas y
    la conclusión son verdaderas. En caso contrario se dice
    que es una falacia. Términos primitivos son los que se
    introducen con sólo enunciarse, es decir, sin
    definición. Términos definidos son los que se
    introducen dando sus propiedades características. Un
    axioma o postulado es una proposición cuya veracidad se
    establece por convenio. Un teorema es una proposición en
    la que la conclusión o tesis (T) resulta como consecuencia
    lógica de las premisas o hipótesis (H). El paso de
    H a T es la demostración. En Matemáticas se dan
    tres tipos fundamentales de demostraciones: Demostraciones
    directas. Son las más frecuentes. Consisten en
    razonamientos por los cuales se puede pasar de la
    hipótesis a la tesis mediante la consideración de
    definiciones, axiomas y proposiciones anteriormente establecidas,
    combinadas según las reglas de inferencia de los
    silogismos. Los teoremas que así se demuestran se llaman
    directos. Si la demostración es válida se dice que
    son ciertos y que: H es condición suficiente para que se
    cumpla T. T es condición necesaria para que se cumpla H.
    También se escribe H ? T. Un teorema se dice
    recíproco de otro dado si sus hipótesis H1 y tesis
    T1 coinciden con las tesis T e hipótesis H del dado, es
    decir, H1 = T y T1 = H. Si la demostración del teorema
    recíproco es válida se dice que es cierto y que: H
    es condición necesaria para que se cumpla T. T es
    condición suficiente para que se cumpla H. Es decir, T ?
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    FEBRERO DE 2009 La certeza de un teorema no implica la de su
    recíproco, pero en caso de ser ciertos los dos se puede
    poner que: H (o T) es condición necesaria y suficiente de
    T (o H), es decir: H ? T (o T? H). Un teorema se dice contrario
    de otro dado si tiene por hipótesis (H2) y tesis (T2) la
    negación de las hipótesis del dado. O sea, H2 =
    ¬ H, T2 = ¬ T. Un teorema se dice contrarrecíproco
    de otro dado si tiene por hipótesis (H3) y tesis (T3) la
    negación de las tesis e hipótesis del primero. O
    sea, H3 = ¬ T, T3 = ¬ H. Los teoremas contrario y
    recíproco son mutuamente contrarrecíprocos. Si
    construimos las respectivas tablas de verdad observaremos que: (p
    ? q) ? (¬ q ? ¬ p) (q ? p) ? (¬ p ? ¬ q) Es
    decir, podemos concluir que los teoremas contrarrecíprocos
    son equivalentes, es decir, son ciertos o falsos
    simultáneamente. Demostraciones indirectas o por
    reducción al absurdo. Se fundan precisamente en la
    equivalencia de dos teoremas contrarrecíprocos y en las
    reglas de inferencia. Si se trata de demostrar un teorema de la
    forma H ? T, se parte de suponer H y ¬ T, y se trata de
    llegar a una contradicción, es decir una
    proposición de la forma (A ? ¬ A). Esto permite
    inferir ¬ (¬ T) y de ahí el teorema.
    Demostración por recurrencia o inducción completa.
    Se fundan en el siguiente principio lógico, llamado de
    inducción completa o de recurrencia que consiste en: a)
    Comprobar que una ley es cierta para un primer valor de n. b)
    Demostrar que si es cierta para un valor cualquiera de n, lo es
    también para el siguiente, n + 1. 4.2. Cuantificadores y
    funciones proposicionales Una función proposicional de una
    variable es una expresión p(x) que se convierte en una
    proposición cuando se sustituye x por un valor particular
    arbitrario, elemento del espacio considerado. La operación
    E. El conjunto de valores de x para los que p(x) es una
    proposición verdadera se designa por el símbolo
    Exp(x) o por {x|p(x)}. Por definición de operación
    E, la condición necesaria y suficiente para que el
    elemento pertenezca al conjunto E xp(x) es que p(x) sea
    verdadera, o sea: ?a, a? Exp(x) ? p(a) C/ Recogidas Nº 45 –
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    13 ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 –
    FEBRERO DE 2009 Propiedades 1. Ex[p(x) ? q(x)] = Exp(x) ? Exq(x)
    2. Ex[p(x) ? q(x)] = Exp(x) ? Exq(x) 3. Ex[p(x) ? ¬ q(x)] =
    Exp(x) – Exq(x) 4. Ex(¬ p(x)) = (Exp(x))’
    Consideremos ahora las dos operaciones siguientes entre funciones
    proposicionales: (?x)p(x), que se lee “existe algún
    x que satisface p(x)”, y (?x)p(x), que se lee “todo x
    satisface p(x)”. Estas operaciones transforman las
    funciones proposicionales en proposiciones. Los símbolos
    de estas operaciones se llaman cuantificadores existencial y
    universal, respectivamente. Propiedades 1. [(?x)p(x) ? (?x)q(x)]
    ? (?x) [p(x) ? q(x)] 2. (?x) [p(x) ? q(x)] ? [(?x)p(x) ?
    (?x)q(x)] 3. [(?x)p(x) ? (?x)q(x)] ? (?x) [p(x) ? q(x)] 4.
    [(?x)p(x) ? (?x)q(x)] ? (?x) [p(x) ? q(x)] 5. (?x)p(x) ? (?x)p(x)
    6. ¬ [(?x)p(x)] ? (?x)( ¬ p(x)) 7. ¬ [(?x)p(x)] ?
    (?x)( ¬ p(x)) Una función proposicional de dos
    variables sobre los espacios X e Y es lo mismo que una
    función proposicional de una variable sobre el producto
    cartesiano XxY. Sea p(x,y) una función proposicional de
    dos variables. Entonces ?y p(x,y) y ?y p(x,y) serán
    funciones de una sola variable, en este caso la x. Propiedades 1.
    (?x)(?y)p(x,y) ? (?y)(?x)p(x,y) 2. (?x)(?y)p(x,y) ?
    (?y)(?x)p(x,y) 3. (?x)( ?y)p(x,y) ? (?y)(?x)p(x,y) En el caso
    particular de coincidir los espacios X e Y, resulta: 4.
    (?x,y)p(x,y) ? (?x)p(x,x) ? (?x)p(x,x) ? (?x,y)p(x,y) Los
    anteriores razonamientos pueden generalizarse al caso en que haya
    más de dos variables, hablándose
    análogamente de funciones proposicionales de n variables
    definidas sobre uno o varios espacios. C/ Recogidas Nº 45 –
    6ºA 18005 Granada

    Monografias.com
    14 ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 –
    FEBRERO DE 2009 5. CONCLUSIÓN Cuando se formulan sistemas
    o modelos matemáticos se pretende realizar una
    representación abstracta de determinados fenómenos
    reales. El desarrollo formal matemático comienza por la
    identificación de determinados conceptos con los
    fenómenos o situaciones particulares que se pretenden
    estudiar. Partiendo de esos conceptos o nociones iniciales, se
    enuncian un sistema de axiomas relacionados con ellos. Dichos
    axiomas son enunciados admitidos como ciertos y que no pueden
    demostrarse dentro del sistema. A partir del sistema de axiomas
    pueden deducirse diferentes teoremas, consecuencias
    lógicas del sistema de axiomas. La lógica
    matemática eleva a grado de máximo la
    abstracción matemática. De este modo, estudia los
    sistemas lógicos y proposicionales sin tener en cuenta su
    posible representación de fenómenos de naturaleza
    real. Es interesante reflejar que la última
    Revolución Lógica” incorpora la
    fusión entre matemáticas y computación. Las
    computadoras tienden a explorar datos inteligentemente,
    transfiriendo información de las bases de datos a las
    bases de conocimiento interconectadas a través de la Red a
    escala infinitesimal. La lógica evoluciona pues como un
    gen hacia la culminación del conocimiento libre que nace
    del rigor formal de la Matemática griega, emerge
    renovadamente de etapas de persecución tan oscuras como la
    Edad Media y otros intentos más recientes hasta el
    intercambio constante y continuo de datos en la moderna era de
    estructura de redes que Internet proporciona a modo neuronal a la
    Humanidad. 6. BIBLIOGRAFÍA Burgos, A. (1983).
    Iniciación a la lógica matemática. Madrid:
    Selecciones científicas. Ferrater Mora, J. (1975).
    Lógica matemática. México: Fondo de cultura
    económica. Garrido, M. (1998). Lógica
    simbólica. Madrid: Tecnos. Grimaldi, R. (1998).
    Matemática discreta y combinatoria. México:
    Addison- Wesley. Lipschutz, S. (1985). Teoría de conjuntos
    y temas afines. México: Mc. Graw Hill. Serie de Compendios
    Schaum Autoría ? Nombre y Apellidos: SILVIA BORREGO DEL
    PINO ? Centro, localidad, provincia: I.E.S. ÁNGEL DE
    SAAVEDRA. CÓRDOBA. CÓRDOBA ? E-mail: C/ Recogidas
    Nº 45 – 6ºA 18005 Granada

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