1 ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 –
FEBRERO DE 2009 “LÓGICA PROPOSICIONAL”
AUTORÍA SILVIA BORREGO DEL PINO TEMÁTICA
MATEMÁTICAS. LÓGICA ETAPA UNIVERSITARIA Resumen La
lógica forma parte de la filosofía, en la que se
distinguen dos dimensiones, la dimensión teórica y
la práctica, la lógica pertenece a la
dimensión práctica, que se ocupa del conocimiento
de la realidad. La lógica es la ciencia que estudia los
principios y métodos para distinguir un razonamiento
correcto de otro incorrecto. La lógica investiga la
relación de consecuencia que se da entre una serie de
premisas y la conclusión de un argumento correcto. Se dice
que un argumento es correcto (válido) si su
conclusión se sigue o es consecuencia de sus premisas; de
otra forma es incorrecto. La lógica proposicional es una
rama de la lógica clásica que estudia las
proposiciones o sentencias lógicas, sus posibles
evaluaciones de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de
verdad. Palabras clave Lógica proposicional Proposiciones
Conectores Tablas de verdad 1. INTRODUCCIÓN Para resolver
multitud de problemas en la vida diaria y para sacar conclusiones
o realizar demostraciones en la científica, aplicamos
continuamente el razonamiento lógico. El primer estudio
sistemático del razonamiento lógico se encuentra en
Aristóteles. En el “Organon”,
Aristóteles trata las reglas del razonamiento
silogístico. La lógica aristotélica enuncia
las fórmulas lógicas con palabras del lenguaje
ordinario. Más tarde, se abstrajo del lenguaje ordinario,
caracterizándose por unas reglas sintácticas
diferenciadas y unas funciones semánticas especiales. C/
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FEBRERO DE 2009 Posteriormente, se impuso el uso de un lenguaje
artificial en el que los signos y palabras estaban regidos por
una sintaxis exacta y tenían semántica
estrechamente delimitada y definida también exactamente.
Durante la Edad Media, los escolásticos trabajaron con
este tipo de lógica, que sería posteriormente
simplificada por matemáticos como Anauld, Leibnitz o
Euler. Ya en el siglo XIX, Boole y De Morgan hicieron
aportaciones decisivas relacionadas con esta disciplina. George
Boole creó un sistema de lógica matemática
en su obra “” The Mathematical Analisis of
Logic”. Boole aproximó la lógica en una nueva
dirección reduciéndola a un álgebra simple,
incorporando la lógica en las matemáticas.
Agudizó la analogía entre los símbolos
algebraicos y aquellos que representan formas lógicas. Su
álgebra consiste en un método para resolver
problemas de lógica que recurre solamente a los valores
binarios 1 y 0 y a tres operadores: AND (y), OR (o) y NOT (no).
Tras la importante obra de Boole, Peano, Cantor y Hilbert
hicieron diversas aportaciones que motivaron el interés
por la lógica matemática de Russel y Whitehead, que
entre 1910 y 1913 publicaron los “Principia
Mathematica”, formalizando de este modo refinadas
técnicas de la lógica matemática
contemporánea. En su obra, intentaron trasladar las
matemáticas al área de la filosofía
lógica y dotarlas de un marco científico preciso.
Russel y Whitehead muestran que la lógica tradicional, que
se apoya en el Organon de Aristóteles, no es más
que un simple fragmento de todo un conjunto y que, definiendo los
números en términos de clases (noción
eminentemente lógica), resulta posible deducir las
matemáticas de la lógica formal de tal manera que
entre las dos no hay solución de continuidad, sino todo un
sistema. Por último, hay que destacar las aportaciones de
Kart Gödel a esta disciplina, demostrando la consistencia de
la hipótesis del continuo de Cantor y enunciando el
teorema que establece la existencia de enunciados y teoremas
indecidibles en cualquier sistema lógico. El tradicional
desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de
interés en la forma de argumentar, mientras que la actual
lógica matemática lo centra en un estudio
combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a nivel
sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de
símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa
compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones
ejecutables por una máquina), como a un nivel
semántico, construyendo modelos apropiados (teoría
de modelos). La lógica proposicional es una rama de la
lógica clásica que estudia las proposiciones o
sentencias lógicas, sus posibles evaluaciones de verdad y
en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad. 2. ÁLGEBRA
DE BOOLE DE LAS PROPOSICIONES 2.1. Definiciones y operaciones
Comencemos en primer lugar definiendo los siguientes conceptos:
Término es cada parte constitutiva de una
expresión, enunciado o discurso. Podemos clasificarlos en
categoremáticos, que son aquellos que tienen significado
propio e independiente, y en C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA
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FEBRERO DE 2009 sincategoremáticos, que son aquellos que
no tienen significado propio y se utilizan para modificar o
enlazar términos categoremáticos.
Proposición lógica es toda agrupación de
términos de la que se pueda afirmar si su contenido es
cierto o falso. Podemos clasificarlas en atómicas, que son
aquellas que no se pueden descomponer en partes que sean a su vez
proposiciones, y carecen del término “no”, y
moleculares, si están formadas por proposiciones
atómicas enlazadas o modificadas por determinados
términos sincategoremáticos. Las proposiciones
atómicas se pueden sustituir por símbolos que
suelen ser letras minúsculas comenzando por la p; p, q, r,
s… Dichos símbolos reciben el nombre de variables
proposicionales. Conectores proposicionales son términos
sincategoremáticos que se usan para modificar o enlazar
proposiciones. Los más utilizados son: Negación:
representa la partícula lingüística no o
cualquier otra partícula que incluya la idea de
negación. Este conector cambia el valor de la verdad de la
proposición que conecta. Conjunción: Representa la
partícula lingüística y o cualquier otra que
indique la idea de unión, como también, igualmente,
pero. Este conector da lugar a una proposición verdadera
si las proposiciones que enlaza son verdaderas y falsa en los
restantes casos. Disyunción no exclusiva: Equivale a y/o,
o sea, que incluye la verdad de los dos enunciados de la
disyunción o bien sólo la de uno de los dos. Al
componer dos proposiciones da lugar a una proposición
falsa si ambas son falsas, y verdadera en los restantes casos.
Disyunción exclusiva: Expresa la idea que la verdad de un
miembro es incompatible con la verdad del otro: o uno o el otro,
pero no los dos. Al componer dos proposiciones da lugar a una
proposición falsa si ambas tienen igual valoración
y a una proposición verdadera en caso contrario. Se le
llama también adición booleana. Condicional:
Representa las partículas lingüísticas
si… entonces… o cualquiera otros que indiquen la idea de
condición, como cuando… entonces…, entonces o una
simple "coma". La partícula entonces o equivalente separa
el antecedente del consecuente. Al componer dos proposiciones,
llamadas antecedente y consecuente, da lugar a una
proposición falsa si el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso, y a una proposición verdadera en los
restantes casos. Bicondicional: Representa las partículas
lingüísticas si y sólo si… o cualquier
otra que indique doble condición, como equivale, cuando y
sólo cuando, únicamente. Se trata de una
condición necesaria y suficiente. Al componer dos
proposiciones da lugar a una proposición verdadera si
ambas tienen la misma valoración y falsa en los restantes
casos. El conector negación se llama gonádico y los
demás diádicos. Los conectores proposicionales
también se pueden sustituir por símbolos, que
reciben el nombre de signos conectivos o constantes
lógicas. Así, C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA
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T1 T4 T5 T6 4 ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15
– FEBRERO DE 2009 Negación: ¬ Conjunción:
? Disyunción no exclusiva: ?? Disyunción exclusiva:
_ Condicional: ? Bicondicional: ? La simbolización de las
proposiciones moleculares se obtiene simbolizando las
proposiciones atómicas que la forman y los conectores que
las enlazan o modifican. Así, la formalización de
"Si llueve, entonces la tierra se moja", con p simbolizando
"Llueve" y q, "La tierra se moja", será p ??q. Se llama
fórmula lógica a la expresión
simbólica que sustituye a una proposición
molecular. Se suelen utilizar para ellas las letras
mayúsculas como P, Q, R… Operaciones lógicas
son transformaciones o enlaces de proposiciones con conectores.
Los casos que se pueden presentar son: -Composición de una
proposición atómica con el conector gonádico
no: ¬ p – Composición de dos proposiciones
atómicas con los conectores diádicos: p ??q, p ? q,
p _ q, p ? q, p ? q. -Composición de proposiciones con
más de un conector, como por ejemplo: (p ? q) ? p.
Llamamos proposición contradictoria o contradicción
a una proposición compuesta que es falsa en todos los
casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones
simples componentes. La proposición contradictoria es
siempre verdadera por su forma lógica. Llamamos
proposición tautológica o tautología a una
proposición compuesta que es verdadera en todos los casos,
cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones
simples componentes. La proposición tautológica es
siempre verdadera por su forma lógica. La representamos
por ?. Implicación lógica es una proposición
condicional tautológica. Se expresa con el símbolo
?, que se lee implica. Algunas de las tautologías
más utilizadas e interesantes son: ¬ (p ??¬ p) –
Principio de no contradicción T2 T3 p ??¬ p p ? p (p
??q) ? p (p ??q) ? q p ? (p ??q) – Principio del tercio excluso
(tercero excluido) – Identidad – Eliminación del conjuntor
– Eliminación del conjuntor – Introducción del
disyuntor C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA 18005 Granada
T7 T8 T9 5 ISSN 1988-6047 q ? (p ??q) [(p ? q) ??p] ? q [(p ? q)
??¬ q] ? ¬ p DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 –
FEBRERO DE 2009 – Introducción del disyuntor – Ley del
modus ponens (o eliminación del implicador) –
Contrarrecíproco o modus tollens T10 ¬ (¬ p) ? p –
Eliminación de la negación Una proposición
indeterminada o contingente es una proposición compuesta
que es verdadera en algunos casos y falsa en otros, dependiendo
del valor de verdad de sus proposiciones simples componentes. Dos
fórmulas lógicas P y Q y sus respectivas
proposiciones son lógicamente equivalentes si y
sólo si la bicondicional P ? Q es tautológica. 2.2.
Álgebra de Boole de las proposiciones Si F es el conjunto
de todas las proposiciones se verifican las siguientes
propiedades: 1. Idempotente: 2. Asociativa: 3. Conmutativa: 4.
Simplificativa: 5. Complementario: 6. Distributiva: p ??p = p (p
??q) ??r = p ???q ??r) p ??q = q ??p (p ??q) ??p = p p ??¬ p
= T (p ??q) ? r = (p ??r) ??(q ? r) p ??p = p (p ? q) ? r = p ?
(q ? r) p ? q=q ? p (p ??q) ??p = p p ??¬ p = K (p ???q) ??r
= (p ??r) ??(q ??r) de donde (F, ????) es un álgebra de
Boole, llamada álgebra de Boole de las proposiciones. Por
supuesto, al ser un álgebra de Boole, se verifican
también: 7. Elementos absorbentes: 8. Elementos neutros:
9. Leyes de De Morgan: 10. De involución: p ??T = T p ??K
= p ¬ (p ??q) = ¬ p ??¬ q ¬ (¬ p) = p p ??K =
K p ??T = T ¬ (p ??q) = ¬ p ??¬ q 3. TABLAS DE
VERDAD. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES LÓGICAS La tabla de
valores de verdad, también conocida como tabla de verdad,
es una herramienta desarrollada por Charles Peirce en los
años 1880, siendo sin embargo más popular el
formato que Ludwig Wittgenstein desarrolló en su Tractatus
logico-philosophicus, publicado en 1918 por Bertrand Russell. C/
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FEBRERO DE 2009 Se emplean en lógica para determinar los
posibles valores de verdad de una expresión o
proposición molecular. O si un esquema de inferencia, como
argumento, es formalmente válido mostrando que,
efectivamente, es una tautología. Se suele simbolizar por
V o por 1 si la proposición es verdadera y por F o por 0
si es falsa. Considerando dos proposiciones A y B, cada una como
un todo (sea como proposición atómica o molecular)
y asimismo cada una con sus dos posibles valores de verdad V
(Verdadero) y F (Falso), y considerando su relación "$"
como variable de cualquier relación sintáctica
posible que defina un conector, podrían suceder los casos
siguientes: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A B A$B A$B
A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B A$B V V V V F
V F V V F F V V V V F V V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F
F F F V V V F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F
F Las dos primeras columnas de la tabla nos muestran los cuatro
casos de combinación posibles según el valor de
verdad de A y de B. Tenemos por tanto 4 líneas, y 16
columnas que representan todos los posibles valores que pueden
darse según se defina un conector cualquiera. Para cada
conector definido con anterioridad tenemos una tabla de verdad.
Así tenemos: Negación (¬) Conjunción (??
A V F ¬A F V A B A ??? V V V C/ Recogidas Nº 45 –
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FEBRERO DE 2009 Disyunción (??? V F F F V F F F F A B A
??? Disyunción exclusiva (_) V V F F V F V F V V V F A B
A_B Condicional (?) V V F F A V F V F B F V V F A ? B C/
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FEBRERO DE 2009 Bicondicional (?, si y sólo si) V V F F A
V V F F V F V F B V F V F V F V V A ??? V F F V Las tablas nos
manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier
proposición molecular, así como el análisis
de la misma en función de las proposiciones que la
integran, encontrándonos con los siguientes casos,
definidos anteriormente: Verdad Indeterminada Sea el caso: A ? (B
? C). Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:
Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse
según el valor V o F de cada una de las proposiciones A,
B, C. Una columna en la que se establecen los valores de B ? C
según la definición del disyuntor. Una columna en
la que se establecen los valores de la conjunción de la
columna en la que están los valores de A con valores de la
columna B ? C, aplicando la definición del conjuntor a los
valores, que representarán los valores de la
proposición completa A ? (B ? C). A B C B ? C A ? (B?C) C/
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FEBRERO DE 2009 V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F V
V V F V V V F V V V F F F F F Donde podemos comprobar
cuándo y por qué la proposición A ? (B ? C)
es V y cuándo es F Contradicción Sea el caso: [(A ?
B) ? ¬(A ? B)] ? C Aplicamos la definición de
conjuntor a los valores de A y B. Después aplicamos la
definición de disyuntor a los valores de A y B. Aplicamos
en la columna siguiente el negador a los valores de la columna
anterior. Aplicamos el conjuntor a los valores de la columna (A ?
B) con los de la columna ¬( A ? B). Por último
aplicamos el conjuntor a los valores de la columna de C con la
columna última cuyo resultado nos da los valores de [(A ?
B) ?¬( A ? B)]/C A B C A ? B A ? B ¬(A ? B) (A ? B) ?
¬(A ? B) [(A ? B) ? ¬(A ? B)] ? C V V V V V F V F V V F F
F V V F V F F F V V V F F F F F V V V V V V F F F F F F F V F F F
F F F F F F F F F F F C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA 18005
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– FEBRERO DE 2009 F F F F F V F F Tautologías Sea el
caso: [(A?B)?(B?C)] ?(A?C) Siguiendo la mecánica
algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de
verdad: A B C A?B B?C (A?B) ? (B?C) (A?C) [(A?B) ? (B?C)] ? (A?C)
V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F V V F F V V V V V
F V V V F V V V F F F V F V V V F V F V V V V V V V V V V V V Por
otro lado, a partir de los conectores negación y
disyunción no exclusiva podemos definir: Conector
conjunción: p ? q = ¬ (¬ p ? ¬ q) Conector
condicional: p ? q = ¬ p ? q Conector disyunción
exclusiva: p _ q = ¬ [¬ (p?q) ? ¬ (¬ p ? ¬
q)] Conector bicondicional: p ? q = ¬ [¬ (¬ p ? q) ?
¬ (¬ q ? p)] 4. APLICACIONES AL RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 4.1. Formalizaciones de la teoría
matemática En Matemáticas hay tres procesos
fundamentales: construir objetos matemáticos (modelos
abstractos de objetos físicos más o menos
complicados o visibles), formar relaciones entre objetos
(aserciones que pueden enunciarse relativas a esos objetos) y
demostrar que algunas de estas C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA
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FEBRERO DE 2009 relaciones son verdaderas (sucesión de
silogismos por los que a partir de un pequeño
número de axiomas puede deducirse de manera lógica
una relación dada). Una teoría matemática es
un conjunto de proposiciones que se siguen según un
esquema de deducción lógica a partir de unas
afirmaciones que admitimos sin demostración. En primer
lugar han de introducirse unos conceptos primitivos no
susceptibles de definición. Junto a ellos se establecen
unos postulados o axiomas, proposiciones primeras, que se aceptan
sin demostración y que enuncian propiedades de los
conceptos primeros. En una misma disciplina pueden darse diversos
sistemas de axiomas equivalentes, debido a la arbitrariedad de
elección, por lo que no tiene sentido preguntarse si una
proposición puede o no demostrarse si no se especifica el
sistema de axiomas de la teoría a la que se refiere. Un
sistema de axiomas ha de ser compatible (sin encerrar
contradicción) e independiente (ninguno de los axiomas, ni
una parte de ellos, puede ser deducido de los demás).
Podemos definir demostración, prueba, razonamiento o
deducción como el proceso o paso lógico por el cual
de las premisas se llega a la conclusión. La
demostración se dice válida cuando las premisas y
la conclusión son verdaderas. En caso contrario se dice
que es una falacia. Términos primitivos son los que se
introducen con sólo enunciarse, es decir, sin
definición. Términos definidos son los que se
introducen dando sus propiedades características. Un
axioma o postulado es una proposición cuya veracidad se
establece por convenio. Un teorema es una proposición en
la que la conclusión o tesis (T) resulta como consecuencia
lógica de las premisas o hipótesis (H). El paso de
H a T es la demostración. En Matemáticas se dan
tres tipos fundamentales de demostraciones: Demostraciones
directas. Son las más frecuentes. Consisten en
razonamientos por los cuales se puede pasar de la
hipótesis a la tesis mediante la consideración de
definiciones, axiomas y proposiciones anteriormente establecidas,
combinadas según las reglas de inferencia de los
silogismos. Los teoremas que así se demuestran se llaman
directos. Si la demostración es válida se dice que
son ciertos y que: H es condición suficiente para que se
cumpla T. T es condición necesaria para que se cumpla H.
También se escribe H ? T. Un teorema se dice
recíproco de otro dado si sus hipótesis H1 y tesis
T1 coinciden con las tesis T e hipótesis H del dado, es
decir, H1 = T y T1 = H. Si la demostración del teorema
recíproco es válida se dice que es cierto y que: H
es condición necesaria para que se cumpla T. T es
condición suficiente para que se cumpla H. Es decir, T ?
H. C/ Recogidas Nº 45 – 6ºA 18005 Granada
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FEBRERO DE 2009 La certeza de un teorema no implica la de su
recíproco, pero en caso de ser ciertos los dos se puede
poner que: H (o T) es condición necesaria y suficiente de
T (o H), es decir: H ? T (o T? H). Un teorema se dice contrario
de otro dado si tiene por hipótesis (H2) y tesis (T2) la
negación de las hipótesis del dado. O sea, H2 =
¬ H, T2 = ¬ T. Un teorema se dice contrarrecíproco
de otro dado si tiene por hipótesis (H3) y tesis (T3) la
negación de las tesis e hipótesis del primero. O
sea, H3 = ¬ T, T3 = ¬ H. Los teoremas contrario y
recíproco son mutuamente contrarrecíprocos. Si
construimos las respectivas tablas de verdad observaremos que: (p
? q) ? (¬ q ? ¬ p) (q ? p) ? (¬ p ? ¬ q) Es
decir, podemos concluir que los teoremas contrarrecíprocos
son equivalentes, es decir, son ciertos o falsos
simultáneamente. Demostraciones indirectas o por
reducción al absurdo. Se fundan precisamente en la
equivalencia de dos teoremas contrarrecíprocos y en las
reglas de inferencia. Si se trata de demostrar un teorema de la
forma H ? T, se parte de suponer H y ¬ T, y se trata de
llegar a una contradicción, es decir una
proposición de la forma (A ? ¬ A). Esto permite
inferir ¬ (¬ T) y de ahí el teorema.
Demostración por recurrencia o inducción completa.
Se fundan en el siguiente principio lógico, llamado de
inducción completa o de recurrencia que consiste en: a)
Comprobar que una ley es cierta para un primer valor de n. b)
Demostrar que si es cierta para un valor cualquiera de n, lo es
también para el siguiente, n + 1. 4.2. Cuantificadores y
funciones proposicionales Una función proposicional de una
variable es una expresión p(x) que se convierte en una
proposición cuando se sustituye x por un valor particular
arbitrario, elemento del espacio considerado. La operación
E. El conjunto de valores de x para los que p(x) es una
proposición verdadera se designa por el símbolo
Exp(x) o por {x|p(x)}. Por definición de operación
E, la condición necesaria y suficiente para que el
elemento pertenezca al conjunto E xp(x) es que p(x) sea
verdadera, o sea: ?a, a? Exp(x) ? p(a) C/ Recogidas Nº 45 –
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FEBRERO DE 2009 Propiedades 1. Ex[p(x) ? q(x)] = Exp(x) ? Exq(x)
2. Ex[p(x) ? q(x)] = Exp(x) ? Exq(x) 3. Ex[p(x) ? ¬ q(x)] =
Exp(x) – Exq(x) 4. Ex(¬ p(x)) = (Exp(x))’
Consideremos ahora las dos operaciones siguientes entre funciones
proposicionales: (?x)p(x), que se lee “existe algún
x que satisface p(x)”, y (?x)p(x), que se lee “todo x
satisface p(x)”. Estas operaciones transforman las
funciones proposicionales en proposiciones. Los símbolos
de estas operaciones se llaman cuantificadores existencial y
universal, respectivamente. Propiedades 1. [(?x)p(x) ? (?x)q(x)]
? (?x) [p(x) ? q(x)] 2. (?x) [p(x) ? q(x)] ? [(?x)p(x) ?
(?x)q(x)] 3. [(?x)p(x) ? (?x)q(x)] ? (?x) [p(x) ? q(x)] 4.
[(?x)p(x) ? (?x)q(x)] ? (?x) [p(x) ? q(x)] 5. (?x)p(x) ? (?x)p(x)
6. ¬ [(?x)p(x)] ? (?x)( ¬ p(x)) 7. ¬ [(?x)p(x)] ?
(?x)( ¬ p(x)) Una función proposicional de dos
variables sobre los espacios X e Y es lo mismo que una
función proposicional de una variable sobre el producto
cartesiano XxY. Sea p(x,y) una función proposicional de
dos variables. Entonces ?y p(x,y) y ?y p(x,y) serán
funciones de una sola variable, en este caso la x. Propiedades 1.
(?x)(?y)p(x,y) ? (?y)(?x)p(x,y) 2. (?x)(?y)p(x,y) ?
(?y)(?x)p(x,y) 3. (?x)( ?y)p(x,y) ? (?y)(?x)p(x,y) En el caso
particular de coincidir los espacios X e Y, resulta: 4.
(?x,y)p(x,y) ? (?x)p(x,x) ? (?x)p(x,x) ? (?x,y)p(x,y) Los
anteriores razonamientos pueden generalizarse al caso en que haya
más de dos variables, hablándose
análogamente de funciones proposicionales de n variables
definidas sobre uno o varios espacios. C/ Recogidas Nº 45 –
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FEBRERO DE 2009 5. CONCLUSIÓN Cuando se formulan sistemas
o modelos matemáticos se pretende realizar una
representación abstracta de determinados fenómenos
reales. El desarrollo formal matemático comienza por la
identificación de determinados conceptos con los
fenómenos o situaciones particulares que se pretenden
estudiar. Partiendo de esos conceptos o nociones iniciales, se
enuncian un sistema de axiomas relacionados con ellos. Dichos
axiomas son enunciados admitidos como ciertos y que no pueden
demostrarse dentro del sistema. A partir del sistema de axiomas
pueden deducirse diferentes teoremas, consecuencias
lógicas del sistema de axiomas. La lógica
matemática eleva a grado de máximo la
abstracción matemática. De este modo, estudia los
sistemas lógicos y proposicionales sin tener en cuenta su
posible representación de fenómenos de naturaleza
real. Es interesante reflejar que la última
“Revolución Lógica” incorpora la
fusión entre matemáticas y computación. Las
computadoras tienden a explorar datos inteligentemente,
transfiriendo información de las bases de datos a las
bases de conocimiento interconectadas a través de la Red a
escala infinitesimal. La lógica evoluciona pues como un
gen hacia la culminación del conocimiento libre que nace
del rigor formal de la Matemática griega, emerge
renovadamente de etapas de persecución tan oscuras como la
Edad Media y otros intentos más recientes hasta el
intercambio constante y continuo de datos en la moderna era de
estructura de redes que Internet proporciona a modo neuronal a la
Humanidad. 6. BIBLIOGRAFÍA Burgos, A. (1983).
Iniciación a la lógica matemática. Madrid:
Selecciones científicas. Ferrater Mora, J. (1975).
Lógica matemática. México: Fondo de cultura
económica. Garrido, M. (1998). Lógica
simbólica. Madrid: Tecnos. Grimaldi, R. (1998).
Matemática discreta y combinatoria. México:
Addison- Wesley. Lipschutz, S. (1985). Teoría de conjuntos
y temas afines. México: Mc. Graw Hill. Serie de Compendios
Schaum Autoría ? Nombre y Apellidos: SILVIA BORREGO DEL
PINO ? Centro, localidad, provincia: I.E.S. ÁNGEL DE
SAAVEDRA. CÓRDOBA. CÓRDOBA ? E-mail: C/ Recogidas
Nº 45 – 6ºA 18005 Granada