La lógica proposicional

2. LA
LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional se ocupa de
proposiciones. Con «proposición» entendemos
una frase sobre la cual es sensato preguntar si es verdadera o
falsa. Ordinariamente las proposiciones están expresadas
en modo indicativo. Las frases interrogativas, dubitativas,
imperativas o exclamativas no son consideradas como
proposiciones. La relación que hay entre frases y
proposiciones es tal que entre muchas frases sólo un grupo
determinado vale como un conjunto de proposiciones, es decir,
aquel que comprende frases que describiendo afirman algo. Casi es
más fácil enumerar cuales frases no son
proposiciones. Esto vale para las siguientes:

1. frases interrogativas, dubitativas,
imperativas

2. frases modales: frases con los
términos «posible»,
«necesario»,
«incondicionado», etc.

3. frases no bien formuladas:
«entonces y así hizo»

4. frases sin sentido: «los libros
lloran rocas emplumadas»

5. formas proposicionales: «la
empresa de la limpieza utiliza x para limpiar los
paños».

Con las frases no bien formuladas y sin sentido no
podemos hacer nada. Las formas proposicionales, al
contrario, se transforman inmediatamente en proposiciones tan
pronto como se sustituya la variable «x» —que
es desconocida. No trataremos la particularidad de 1) mientras
que sobre 2) volveremos más tarde.

Ejercicio 2

¿Cuáles de las siguientes frases son
proposiciones? Exponed porqué no son proposiciones cuando
no las consideréis tales.

1. La leche es ácida.

2. ¿Tienes cinco minutos para
mí?

3. El sábado Juan está
siempre ocupado.

4. 2 + 2 = 7

5. ¡Cómprate un
Volvo!

6. La ciudad x es famosa por el
Coliseo.

7. Habla continuamente sobre la crisis del
dólar.

8. 42.

9. David venció a Goliat con una
honda.

10. Probablemente el barco a vapor
es.

11. ¡Menos mal que ha dejado de
llover!

12. Hasta el siglo XVII se creyó en
una relación entre las fases lunares y las
enfermedades.

13. El inicio de la escuela es a mitad de
septiembre.

14. La balanza es imprecisa.

15. ¿Un hombre trabaja cuando
piensa?

16. Llueve.

17. Es imposible obtener sangre de las
zanahorias.

18. Tú bajas desde las
estrellas.

2.1 La
formalización de las proposiciones

Como tendremos que trabajar continuamente con
proposiciones, podría resultar ventajoso utilizar una
abreviación, o bien, como dicen los lógicos, llevar
a cabo una formalización. Los matemáticos expresan
sus incógnitas con «x», «y», etc.
Análogamente nosotros representaremos con «p»,
«q», etc. no los números y, ni siquiera,
vocablos individuales, sino frases enteras, o mejor:
proposiciones. Ya que las letras toman el puesto de las
proposiciones, las llamamos variables proposicionales.
Si tratamos una proposición concreta, la podemos
simbolizar como constante con una letra mayúscula. Viene
privilegiada la letra inicial del sustantivo o del verbo, o bien,
del adjetivo. Por ejemplo:

El gallo está enfermo
simbólicamente: G La proposición es por lo tanto
representada por la letra «G». La
elección de las letras es algo sin
importancia: se podría haber escrito sin ningún
problema «A». Importa, sin embargo, que cada
proposición sea representada por una sola
letra, y esto indiferentemente si la expresión
lingüística es larga o breve. Por lo tanto una
inofensiva «G» puede significar:

G El gallo canta

G El gallo canta pronto por la
mañana

G El gallo canta pronto por la
mañana sin pausa haciendo que se pongan de mal humor todos
los vecinos.

Está prohibido sin embargo representar dos
proposiciones diversas con la misma letra dentro del mismo
contexto. Por tanto:

El gallo canta y Gregorio se
despierta

G y G falso

G y D justo

Una proposición que se puede representar con una
sola letra se llama frase atómica. También
la negación de una proposición atómica es
una proposición atómica. Frases que no son
proposiciones en nuestro sentido no vienen ni siquiera
simbolizadas.

Ejercicio 2.1

Formaliza cuanto sigue:

1. Othmar es organista.

2. El viernes comeremos pescado.

3. ¡Al fin llega la
primavera!

4. Las piedras preciosas se han
ofendido.

5. Se esfuerza siempre con los
ejercicios.

6. Antes de ayer la encontré
nuevamente en la estación.

7. ¿Debo repetirlo otra
vez?

8. A la tercera copa se puso a cantar en
medio de la fiesta.

9. La dirección es del todo
ilegible.

10. El último verano
tiene.

11. No hay rosa sin espina.

12. ¡Qué bueno que el
tío Nando haya encontrado una nueva mujer!

13. Alicia está disgustada porque
los espaguetis están recocidos.

14. ¡Todo está
perdido!

15. Ferrero tiene un problema
crónico de dinero.

16. «Toalla» se dice en
italiano «asciugamano».

17. ¡Atención a la
puerta!

18. ¿Quieres apostar si el Alcalde
tendrá un discurso?

19. El Códice 914 de St. Gallen es
la fuente más importante para las ediciones
críticas de la Regla benedictina.

2.2 La
formalización de los conectivos entre las
proposiciones

En el lenguaje ordinario parece haber dos tipos de
vocablos, aquellos que significan algo, como por ejemplo
«elefante», «mermelada»,
«orar», «prestar», etc., y
aquellos desprovistos de significado como
«pero», «también»,
«porque», «así», etc. El medioevo
ha llamado a los vocablos del último tipo
«sincategoremáticos». Entre estos es necesario
distinguir dos grupos:

1) «entre»,
«mientras», «ahora», etc.

2) «y», «o»,
«ninguno», etc.

No es siempre evidente por qué los vocablos
sincategoremáticos del primer grupo deberían
distinguirse de los del segundo grupo. La diferencia, sin
embargo, es muy significativa. El segundo grupo tiene una
estrecha relación con el problema de la verdad de las
frases mientras que el primero es máximamente neutral,
razón por la cual no requiere mayor
atención.

Del segundo grupo elegiremos cinco
sincategoremáticos. Se les llama también functores,
más exactamente functores de los valores de
verdad en tanto que determinan la verdad global de las
proposiciones atómicas unidas.

Quisiéramos comenzar la exposición con el
negador. Corresponde bastante exactamente al ordinario
«no». Como abreviación elegimos
«¬». Con este signo de negación, que viene
puesto delante de las proposiciones, representamos el negador. Se
trata de un functor a un solo puesto, llamado también
monádico. Esto significa que se aplica a una sola
proposición, aquella que lo sigue
inmediatamente. Si "P" significa «La Pascua en 1995 fue en
abril», "¬P" significaría algo parecido a
«La Pascua en 1995 no fue en abril». La
negación niega la proposición que va a
continuación.

Para los functores a dos puestos, o
diádicos,, iniciamos con la «y», que
simbólicamente es «?». Este functor es a dos
puestos porque antes y después del
símbolo debe aparecer una proposición para
satisfacer el requisito de correcta formación de las
proposiciones.

El segundo de los functores a dos puestos es
«o», que viene expresado simbólicamente con
«?».

Como tercer functor del grupo a dos puestos se encuentra
la implicación, que se escribe como una flecha:
«?». La implicación corresponde
grosso modo a la expresión «si…
entonces» del lenguaje ordinario —nótese que
en el lenguaje ordinario frecuentemente se omite el
«entonces»: también nosotros lo
omitiremos a veces para no hacer más pesada la forma de
los ejemplos.

El cuarto functor a dos puestos, que se
puede expresar con el signo «?», lo
interpretamos como «si y sólo
si…».

Reunamos a continuación los cinco
símbolos:

¬ no

? y

? o

? si… entonces

? si y sólo si…

Los functores son constantes lógicas. Sirven para
unir proposiciones o variables proposicionales. Una
conexión entre proposiciones constituye una frase
molecular. Todo functor a dos posiciones transforma frases
atómicas en frases moleculares. El conjunto de las
fórmulas está por lo tanto constituido de las
frases atómicas y de las frases moleculares.

Ahora podemos familiarizarnos con la
formalización de los nexos entre proposiciones. Lo haremos
valiéndonos de dos proposiciones: «el sol
resplandece» y «Guillermo va a la
montaña». La simbolización procede
así:

S El sol resplandece

G Guillermo va a la
montaña

¬ S El sol no resplandece

¬ G Guillermo no va a la
montaña

Correspondientemente, en el caso con los
functores a dos posiciones: S ? G El sol resplandece y Guillermo
va a la montaña

S ? G El sol resplandece o Guillermo va a
la montaña

S ? G Si el sol resplandece, entonces
Guillermo va a la montaña

S ? G Si y sólo si el sol
resplandece, Guillermo va a la montaña.

Ejercicio 2.2

1) Formaliza cuanto sigue:

1. Herodoto no era un
músico.

2. Fumar es nocivo para la salud y el
chocolate engorda.

3. Si los bomberos llegan a tiempo,
entonces el viejo edificio se salvará.

4. Paga los impuestos anticipadamente si y
sólo si lo multan.

5. Se queda en casa o su mujer no juega al
Bridge.

6. Si el perro no se siente bien, entonces
no mueve la cola.

El principio de la formalización es extremamente
simple: las proposiciones deben ser unidas usando el functor
apropiado. Es verdad que en práctica aparecen a veces
dificultades que pueden ser provocadas por la riqueza del
lenguaje ordinario, dado que por una expresión particular,
que nosotros representamos con un functor particular, se utilizan
más vocablos. Citaremos, por lo tanto, algunas de las
dificultades de formalización que se presentan en este
caso.

2.2.1 La conjunción
«y»

«El sol resplandece y Guillermo va a la
montaña» es una conjunción entre
proposiciones que no presenta ningún problema. Entre las
dos proposiciones se inserta una «y», quedando
así ya resuelto el problema de la conjunción.
Desgraciadamente no todas las conjunciones son así de
evidentes. Veamos algunos ejemplos.

(1) El juego del ajedrez es excitante y
trabajoso.

El argumento a izquierda de la
«y» es sin duda una proposición.

«Trabajoso», sin embargo, es aparentemente
un vocablo aislado y, por tanto, no es una proposición. En
realidad el lenguaje ordinario aprovecha la circunstancia que, en
aquellos casos en los que a una única cosa le son
atribuidas dos o tres o más cualidades, no hay necesidad
de repetir cada vez el nombre de la misma cosa. En el caso del
ejemplo se trata efectivamente de dos proposiciones que se
podrían expresar explícitamente de este
modo:

«El juego del ajedrez es excitante y el juego del
ajedrez es trabajoso». Reconocemos inmediatamente que
también aquella que aparece como una única palabra
es en realidad una proposición, abreviada sí, pero
correcta; así la formalización queda
del modo siguiente: (1) E ? T

El lenguaje ordinario —y esto vale igualmente
también para el así llamado lenguaje
científico de tipo especializado— no se puede
transponer inmediatamente en símbolos. Antes de comenzar a
formalizar es necesario comprender las estructuras
sintácticas lógicamente relevantes. Este tipo de
comprensión no coincide con el aprendizaje de un contenido
aunque constituya una condición esencial del mismo.
Nuestra familiaridad con el lenguaje ordinario es tal que las
igualdades y las diferencias de estructura vienen reconocidas
también aunque no sean manifestadas por las mismas letras.
Se trata de las siguientes e irritantes
circunstancias:

• la «y» no indica siempre
una conjunción entre proposiciones;

• de vez en cuando nos encontramos en
presencia de una conjunción entre proposiciones sin que
exista una «y» que nos la señale;

• el uso de la conjunción no es
unívoco.

Veamos un poco más de cerca estas
tres situaciones. a) Presunta conjunción

Algunas lenguas europeas conocen al menos dos
conjunciones aparentes. Una es un simple estilo retórico
mientras que la otra es un caso por el análisis
tradicional del lenguaje.

Si el estilo viene repetido de modo concentrado llega a
ser fácilmente analizable, como en la traducción
del Evangelio de Marcos. En la italiana a veces —y en
aquella alemana de Zuinglio siempre— aparece al inicio de
los primeros siete capítulos la palabra introductiva
«y», quizá con la intención de
restablecer lo más fielmente posible el texto griego. De
todas maneras esta «y» no tiene evidentemente
ningún significado de conjunción sino que sirve
como mero enlace retórico a cuanto se ha dicho
anteriormente. Así este tipo de «y» forma
parte de la primera clase de los sincategoremáticos. De
aquí sacamos la sorprendente conclusión que
también los términos sincategoremáticos
pueden ser polivalentes incluso estando desprovistos de
significado.

El segundo caso es más significativo para los
lógicos. Partamos de las dos frases siguientes:

(1) Francisco y Antonio son cantantes. (2)
Francisco y Antonio son vecinos.

Las dos conjunciones parecen presentar la misma
naturaleza gramatical. En realidad la frase (1) adscribe a dos
seres humanos una cualidad que atribuye a ambos. En este caso,
como se ha visto, el lenguaje cotidiano permite una
abreviación. Representada explícitamente, la frase
(1) significa lo siguiente: «Francisco es un cantante y
Antonio es un cantante». La (2), sin embargo, no se puede
interpretar en este sentido; en efecto, «Francisco es un
vecino» es una frase no bien formulada; debería
sonar más bien:

«Francisco es un vecino de Antonio», o, al
menos, debería ser completada implícitamente:
«Francisco es el vecino de alguien». Lo que tenemos
aquí no es una conjunción de dos
proposiciones simples sino más bien una relación
elemental. De la teoría de las relaciones, que
afrontaremos más adelante, emerge, sin embargo, que, bajo
la condición expresada de la frase (2), también
Antonio es un vecino de Francisco. Se trata, por tanto, de una
sola proposición y por eso la (1) y la (2) deberían
formalizarse así:

(1) F ? A (2) V

Está claro que la (2) podría
también representarse con una «F», siempre y
cuando se aclare que esta «F» no sería
idéntica a aquella de la frase (1). Por tanto es
aconsejable recurrir a otra letra para formalizar la
(2).

b) Conjunciones entre proposiciones sin la
«y»

Una formalización es siempre una
abstracción. En el caso de nuestras formalizaciones se
omiten aquellos matices que están privados de relevancia
lógica. El lenguaje ordinario utiliza efectivamente un
rico espectro de palabras para expresar, más allá
de la conjunción en sí, otras acentuaciones.
Así se dice, por ejemplo: «Viene a comer pero no se
queda». Aquí se trata de dos proposiciones que no
están unidas por una «y» sino por un
«pero».En el «pero» está contenido
una ligera contraposición, un matiz que no se encuentra
presente en la «y». Pero como el vocablo tiene
sólo un valor retórico que no concierne al valor de
verdad de las proposiciones, el lógico, que mira a la
verdad, puede permitirse renunciar a ello sin problemas. Se
encuentran muchos tipos de estos matices.

Así también el «pero» puede
sustituirse por un «mas», un «sin
embargo», un «no obstante», etc. El lenguaje
escrito tiene también la posibilidad de expresar la
función «y» por medio de una coma, por
ejemplo: «Se ha esforzado para conseguir esto largamente,
intensamente y con gran éxito». Además, la
«y» puede incluso desaparecer de la
representación lingüística evidente si la
conjunción viene negada.

La negación de una conjunción constituida
por una «y» puede ser expresada de modos diversos.
Aunque resulte inusual, se entiende si digo:

(3) Hoy Francisco no va a la piscina, y hoy
Antonio no va a la piscina

Pero en lugar de (3) se dirá
mejor:

(4) Hoy Francisco y Antonio no van a la
piscina o bien:

(5) Hoy no van a la piscina ni Francisco ni
Antonio

Sin duda la (3) es tan desaliñada que no viene
pronunciada nunca en español. En lugar de la (4), se puede
utilizar siempre la (5), en la cual la
«y», a primera vista, ha desaparecido, mientras
que, realizando un análisis más detallado, se la
encuentra en el «ni… ni» de la
negación.

c) Diversidad en el uso de la
conjunción

La conjunción es conmutativa. Con esto se
entiende que la proposición antes de la «y»
puede intercambiarse con aquella sucesiva a la «y».
«Cojo una carta y voy a correos» es por lo tanto
equivalente a «Voy a correos y cojo una carta». Pero
a veces las circunstancias, por ejemplo la sucesión
temporal, impiden la conmutatividad.

(6) Francis Bacon, experimentando con
pollos congelados, se resfrió y murió.

La riqueza de la lengua hablada hace así que se
encuentren muchos matices diversos también en la
utilización de los functores ordinarios. Darse cuenta de
ellos es una de las mayores dificultades para quien está
comenzando a adentrarse en el camino de la formalización,
en tanto que el hablante medio sabe como utilizar su lengua madre
sin necesidad de conocer explícitamente sus estructuras
lógicas. Con un poco de atención y de ejercicio se
puede mejorar mucho. Más velozmente que en el caso de
la «y» trataremos de prestar
atención a algunas de las dificultades presentes en el uso
de los otros functores.

2.2.2 Los otros functores

La negación: «La cavidad es
insuficiente» debe significar lo mismo que: «La
cavidad no es suficiente». En particulares contextos
lingüísticos la proposición «El
pequeño Marcos no ha mentido nunca» puede significar
lo mismo que: «El pequeño Marcos no ha
mentido».

Negamos la verdad de un enunciado afirmando su
negación. La negación recoge el uso de la
partícula "no" del castellano (o cualquiera de sus
equivalentes; "no es cierto que", "no es verdad que", "nunca",
"jamás").

La disyunción: la «o» se
emplea con tres significados diversos, aunque uno de ellos puede
ser ignorado debido a que se encuentra en raras ocasiones. A los
otros dos casos los llamamos la disyunción inclusiva y la
disyunción exclusiva. Las diferencias entre ambas las
veremos más tarde. Para la formalización la
«o» presenta menores dificultades que la
«y» ya que nuestra lengua hablada conoce pocas
formulaciones de la «o». Con frecuencia nos sentimos
engañados por algunas formulaciones típicas del
lenguaje ordinario como «Los niños y los ancianos
pagan la mitad». Aquí está claro que la
«y» ha de entenderse como una «o». En la
formalización del cálculo proposicional se pierde
la dependencia de las dos proposiciones conectadas por la
conjunción: sin embargo, el sucesivo cálculo
de predicados pone a la luz el contexto en el que
«y» se cambia por «o». Normalmente se
expresa mediante "o", "a menos que", "a no ser que",
"y/o".

La implicación: en lugar de
«si… entonces…» en la lengua hablada
pueden utilizarse sustitutos, como «en el caso en
que…», «si p, q», «q, si p»,
«p es condición suficiente para q», «q
es condición necesaria para p»,
«sólo si q, p» etc. Lo que importa es
constatar que el «porque», a pesar de la semejanza
aparente, no es una expresión adecuada en esta
situación, ya que ha de desempeñar una
función esencialmente diversa. De este modo la
implicación condicional no es una función de
verdad: «Si Hitler hubiese muerto en 1935, Austria no
habría sido sometida». Esta frase irreal no debe
valer como función de verdad de la
implicación.

Debe llamarse también la atención sobre la
función asimétrica de la implicación. El
argumento antes del símbolo de implicación lo
llamamos «antecedente» mientras que el
que lo sigue lo llamamos «consecuente». Antecedente y
consecuente son los dos argumentos de la implicación. La
asimetría tiene como consecuencia que antecedente y
consecuente no pueden intercambiarse. En el caso de
los otros functores este cambio está permitido en base a
una regla que conoceremos sucesivamente.

Si en el caso de la implicación intercambiamos
antecedente y consecuente, provocamos un cambio de sentido. El
cambio lo utilizamos para expresar con el mismo functor otro
enlace entre proposiciones. El intercambio entre antecedente y
consecuente corresponde a la expresión del habla
«sólo si… entonces». Podemos clarificar
este punto con algunos ejemplos:

(7) Si el sol resplandece, entonces
Guillermo va a la montaña S ? M (8) Sólo si el sol
resplandece, Guillermo va a la montaña M ? S

Podemos hacer plausible —en el plano del
contenido—, esta situación, si (8) significa lo
mismo que «si Guillermo va la montaña, entonces
resplandece el sol». Este «sólo si…
entonces» es expresado en el lenguaje cotidiano de formas
diversas: «… es una condición necesaria
de…», «puesto que…
entonces…», «en la medida en
que…», etc.

La equivalencia: también la equivalencia
puede presentarse de modos distintos en el lenguaje de cada
día. Tiene el mismo significado que «si p,
entonces q y si q, entonces p», así que
escribimos "p ? q". Esta expresión significa
lo mismo que: «p es una condición necesaria y
suficiente de q». La forma fundamental de la equivalencia
es entonces «si y sólo si…
entonces…». En lugar de esta expresión inusual se
puede utilizar también más brevemente la palabra
«deber»: «si un leopardo es negro entonces debe
ser una pantera». Se trata de una forma más
corriente que la siguiente: «si y sólo
si un leopardo es negro, es una pantera», aunque esta
última sea más correcta.

Ejercicio 2.2.2

1) Formaliza las siguientes
frases:

1. Andrea estudia biología o
química.

2. En el principio creó Dios el
cielo y la tierra.

3. La cerveza es bebible pero no
está fría.

4. Si el concierto es público, el
solista toca bien.

5. Sólo si el concierto es
público, el solista toca bien.

6. Ni Napoleón, ni De Gaulle eran
ingleses.

7. La subida más empinada del ferrocarril del
Gottardo es del 27 por mil mientras que la del ferrocarril de
Engelberg es del 246 por mil.

8. Sólo si un número es impar
no se puede dividir por 2.

9. Ana y Bruno se casaron el 14 de julio,
aunque no son franceses.

10. La puerta o está abierta o
está cerrada.

11. El millonario tiene miedo que su
patrimonio se reduzca, el filósofo que se acreciente su
indigencia.

12. El gato captura pájaros en lugar
de ratones.

13. No es suficiente que venga Aldo para
que Berta permanezca.

14. Va a la Ópera siempre y cuando
no sea de Wagner.

15. Carlos toca el piano y el
órgano, Práxedes sin embargo, el piano y el
arpa.

16. Un chiste eficaz debe tener un golpe
final.

2) Completa la
formalización:

1. No p sino q

2. Ni p ni q

3. p, si q

4. Sólo p, si q

5. p es una condición suficiente de
q

6. p es una condición necesaria de
q

3) Traduce los siguientes conectivos
proposicionales haciendo uso de este vocabulario:

T = la temperatura sube

P = ha llovido

C = el cerezo florece

1. (T ? P) ? C

2. (T ? P) ? (¬ T ? P)

3. ¬ (C ? P)

4. ¬ T ? (C ? P)

5. T ? ¬ C

6. C ? (P ? ¬ T)

4) «"p ? q" debe significar:
"Sócrates es el filósofo que ha bebido el
veneno"». [E. WALTHER, Kleiner Abriß der
Mathematischen Logik, Ke- vealer, 1950: citado por J. v.
KEMPSKI, „Max Bense als Philosoph", Ar- chiv für
Philsophie 4 (1952): 280]. ¿Cómo juzgas esta
afirmación?

2.3 Regla de los
paréntesis

Como pueden unirse no sólo dos proposiciones sino
también un número arbitrario de las mismas, si no
se presta atención pueden nacer equívocos como en
el caso siguiente:

(1) A ? B ? C

Esta expresión puede interpretarse
de dos modos distintos: (1ª) (A ? B) ? C o bien

(1b) A ? (B ? C)

(1ª) Si Alberto o Bárbara van
al cine, entonces Claudia se queda en casa. (1b) Alberto va al
cine, o bien si Bárbara va al cine, entonces Claudia
se queda en casa.

Evidentemente la (1ª) y la (1b) no son
idénticas. Más adelante estudiaremos un
método para expresar exactamente la diferencia entre las
dos.

También la negación requiere
una cierta atención: (2) No es el caso que Emilio fuma o
beba.

La negación se refiere aquí a todo el
conectivo proposicional, así que se impone la siguiente
formalización:

(2ª) ¬ ( F ? B)

Si se ignoraran los paréntesis, la
negación se limitaría a la primera
constante:

(2b) ¬ F ? B

lo cual correspondería a la siguiente
aserción singular: «Emilio no fuma o bien
bebe». La singularidad depende, sin embargo, sólo
del contenido específico del ejemplo elegido. La
estructura de la (2b) puede ser interpretada de un modo
totalmente sensato así:

(3) Emilio no se marcha o bien coge el coche

Lo cual significa: tiene intención de quedarse;
sin embargo, si debiera decidirse diversamente, cogería el
coche.

(3ª) ¬ M ? C

Si no están presentes los
paréntesis vale la convención de que
«?» y «?» unen más
estrechamente que «?» y que «?».
Correspondientemente a esta regla, la (1)
debería ser interpretada como (1ª). Sin embargo, para
facilitar las cosas, también en el caso (1ª)
dejaremos los paréntesis, si bien, en sentido estricto,
sean innecesarios. Si, por el contrario, la convención no
es suficiente, como en el caso (1b), entonces los
paréntesis no se pueden eliminar. Por esto la
expresión "A ? B ? C" no está bien formulada;
en efecto significa cosas diversas dependiendo de si
es interpretada como "(A ? B) ? C" o como "A ? (B ?
C)".

Ejercicio 2.3

Formaliza lo que sigue:

1. O vamos a nadar o si no vamos a nadar
tocamos cualquier instrumento.

2. Es valiente sólo si está
en la taberna sin la mujer cerca.

3. No podemos tener ambas cosas

4. No ha bebido vino, o bien si lo ha
bebido no conduce el automóvil.

5. No se da el caso que él haya
bebido vino y conduzca el coche.

6. Si el director se equivoca en el ataque
o el pianista pasa dos páginas a la vez, entonces no hay
armonía.

7. La asamblea tiene poder decisivo, o, si
no lo tiene, la disolvemos.

8. El seguro paga en el caso de rotura,
incendio o robo pero no en el caso de granizo

9. El seguro paga sólo en caso de
rotura e incendio pero no en caso de robo

10. El ordenador no interrumpe a los
alumnos a no ser que lo haga para mostrar errores o
bien para anunciar una interrupción de la
corriente.

11. El cliente se ha ido sin pagar la cuenta, o bien ha
ido a dar un paseo y vuelve de un momento a otro)

12. Si Aida no toca ni un instrumento de cuerda o de
percusión sino que seguramente canta, entonces toca un
instrumento de madera o bien el órgano y
compone.

Una observación sobre la multiplicidad de los
símbolos de la lógica. Frecuentemente las
diferencias pueden ignorarse, como cuando la conjunción se
indica con «·» o con «&». Una
sola forma de escritura es una excepción y por esto debe
ser estudiada aparte: se trata de la notación polaca.
Tiene el valor de no utilizar paréntesis y de permanecer
incluso siempre unívoca. Desde este punto de vista es
superior a todas las otras formas de escritura simbólica.
La afrontaremos más adelante.

Síntesis de algunas expresiones
especializadas:

La formalización no siempre resulta fácil
sobre todo en el caso del condicional, que funciona como lo hacen
las leyes: marca unas circunstancias y estipula lo que en ellas
debe suceder. Por consiguiente, actuamos conforme a la ley (no la
infringimos) cuando, o bien las circunstancias marcadas no se
producen o cuando hacemos lo que la ley prescribe:

1. Tenemos cuatro cartas sobre la mesa. Sabemos que
todas ellas tienen una letra por un lado y un número por
el otro. Queremos comprobar que la siguiente ley se cumple para
todas las cartas: «Si hay una vocal por una cara, por la
otra hay un número par» ¿A cuántas
cartas tengo que darle la vuelta para estar completamente seguro
de que la ley se cumple?