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´
e
Introducción a Matlab y Simulink
Regulación Automatica
Ingeniero en Electr´nica. Curso 2006/2007.
Javier Aracil y Fabio G´mez–Estern
1.
Introducción
Matlab es un programa de gran aceptación en ingeniera destinado realizar calculos
tecnicos cientificos y de proposito general. En ´l se integran operaciones de calculo,
visualización y programación, donde la interacción con el usuario emplea una notación
matematica clasica.
Los usos y aplicaciones ipicos de Matlab son:
Matematicas y calculo.
Desarrollo de algoritmos.
Adquisición de datos.
Modelado, simulación y prototipado.
Analisis y procesado de datos.
Graficos cientificos y de ingenieraia.
Desarrollo de aplicaciones.
El tipo basico de variable con el que trabaja Matlab es una matriz que no requiere
ser dimensionada previamente en la declaración. Una de las caracteraisticas mas intere-
santes consiste en que el algebra vectorial y matricial se expresa con la misma sintaxis
que las operaciones aritmaticas escalares. Por ejemplo, en lenguaje C, para realizar la
suma de dos variables enteras o reales b y c, escribiremos:
a=b+c;
Mientras que en Matlab, emplearemos la misma sentencia tanto si b y c son enteros,
reales, vectores o matrices.
1
2.
a
ia
a a
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a
a
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o
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o
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n ia
Componentes de Matlab
Matlab consta de cinco partes fundamentales:
1. Entorno de desarrollo. Se trata de un conjunto de utilidades que permiten el
uso de funciones Matlab y ficheros en general. Muchas de estas utilidades son
interfaces graficas de usuario. Incluye el espacio de trabajo Matlab y la ventana
de comandos.
2. La libreria de funciones matematicas Matlab. Se trata de un amplio conjunto de algoritmos de calculo, comprendiendo las funciones mas elementales
como la suma, senos y cosenos o la aritmatica compleja, hasta funciones mas
sofisticadas como la inversion de matrices, el calculo de autovalores, funciones de
Bessel y transformadas rapidas de Fourier.
3. Graficos. Matlab dispone de un conjunto de utilidades destinadas a visualizar
vectores y matrices en forma de graficos. Existe una gran cantidad de posibilidades para ajustar el aspecto de los graficos, destacando la visualización tridimensional con opciones de iluminación y sombreado, y la posibilidad de crear
animaciones.
4. El interfaz de aplicación de Matlab (API). Consiste en una libreria que
permite escribir programas ejecutables independientes en C y otros lenguajes,
accediendo, mediante DLLs, a las utilidades de calculo matricial de Matlab.
De estos cuatro puntos, en este cap´itulo trataremos, de forma somera, los dos
primeros.
Los ejemplos que se presentan en este texto, se han desarrollado para la version de
Matlab 7.0. ellos no impide que puedan funcionar con otras versiones del programa.
Concretamente, para la version 6.5 y posteriores esta practicamente garantizado el
funcionamiento.
Sin embargo, hay que señalar que algunos complementos de Matlab no aparecen
incluidos en la instalación basica del mismo, por tanto un programa que funciona en
un ordenador con la version 7.0 instalada, puede fallar en otro ordenador con la misma
version.
La gestion de complementos de Matlab se realiza mediante lo que se denominan
toolboxes (paquetes de herramientas). Un Toolbox de Matlab es un conjunto de fun-
ciones y algoritmos de calculo especializados en un area de conocimiento: ?nanzas,
tratamiento de señales, teor´ de sistemas, etc. Para el desarrollo del curso es necesario
2
a
4.
o
f´
n
o
o
ia
o
o
l´
o
l´
a ´ ´
o
l´
tener instalado, aparte del sistema basico de Matlab, el denominado Control System
Toolbox.
3.
Simulink
Simulink es una aplicación que permite construir y simular modelos de sistemas
isicos y sistemas de control mediante diagramas de bloques. El comportamiento de
dichos sistemas se de?ne mediante funciones de transferencia, operaciones matematicas,
elementos de Matlab y señales predefinidas de todo tipo.
Simulink dispone de una serie de utilidades que facilitan la visualización, anali-
sis y guardado de los resultados de simulación. Simulink se emplea profusamente en
ingeniera de control.
En el presente curso trabajaremos con la version 6.0, que viene incluida en el paquete
de Matlab 7.0. Su instalación es opcional, por tanto debemos seleccionar la opción
correspondiente al instalar el programa
El entorno de trabajo de Matlab
4.1.
Ayuda en inea
Si se ha seleccionado la la opción correspondiente en la instalación de Matlab, po-
dremos acceder a la ayuda en inea en todo momento pulsando la tecla F1. Dicha
documentación esta organizada con un indice en forma de arbol y mediante herramien-
tas de navegación como hiperv´inculos. Es sumamente recomendable su uso, tanto a
modo de introducción como de referencia para temas especificos. Si se desea conocer
la documentación especifica asociada a un comando de Matlab, entonces se teclear´
>> doc nombre_comando
en la inea de comandos de Matlab.
3
o
4.3.
a
no es mas que una matriz 1 × 1. En la l´
o
l´ u
l´
a l´
o
o
4.2.
Organización de ventanas
La figura 1 muestra la organización por defecto de ventanas que nos encontramos
cuando arrancamos Matlab por primera vez. Las ventanas que en ella aparecen, de
arriba a abajo son: en la parte izquierda, la estructura del directorio donde nos encon-
tramos, y debajo de ella la historia de los comandos que se han tecleado en el pasado; en
la mitad derecha nos encontramos, arriba, la ventana de edición de programas Matlab
(que se escriben en un lenguaje propio de Matlab y se almacenan en ficheros .m), y
debajo la inea de comandos, donde se sit´a el cursor para teclear comandos de Matlab.
Figura 1: Entorno de trabajo Matlab.
Inicialmente trabajaremos con la inea de comandos de Matlab.
Operaciones basicas en inea de comandos
Como se ha dicho previamente, en Matlab todos los objetos son matrices. Un escalar
inea de comandos, podemos asignar un nombre
simb´lico para identi?car una matriz.
>> a=[10; 20; -15];
% Asignacion
Esto es una asignación de un vector de columna que llevar´ el nombre a. A su
derecha aparece un comentario, que tiene su utilidad cuando redactemos programas en
4
o
o
u
e
l´
a
Matlab.
Los objetos pueden crearse en cualquier momento. Para ello basta con asignarles
un valor mediante una asignación, como en el ejemplo previo. Los identi?cadores em-
pleados para designar matrices son de libre elección, con la salvedad de que no pueden
comenzar por un n´mero, ni contener espacios en blanco.
Una vez creado un objeto de Matlab, ´ste pasa a formar parte del espacio de
trabajo ocupando una porción la memoria. Por tanto, a veces, tras horas de trabajo
con Matlab, necesitaremos eliminar los objetos que ya no se utilicen. Para ello se emplea
el comando clear.
>> clear a; % Borra a de la memoria
>> clear; % Borra todos los objetos del espacio de trabajo
En las sentencias previas, aparece el signo ‘;’ al ?nal de cada comando. Este s´imbo-
lo sirve para separar unos comandos de otros. Por ejemplo, cuando escribimos var-
ios comandos en una sola inea, estos deben aparecer separados por punto y coma.
Ademas, si escribimos un comando aislado (sin ‘;’) y pulsamos ENTER, Matlab pro-
porcionar´ siempre una salida en respuesta al comando:
>> a=[10;20;-15]
a =
10
20
-15
Sin embargo, si escribimos el comando seguido de ‘;’, no se mostrar´ en pantalla la
respuesta. Cuando los comandos forman parte de un programa es conveniente emplear
‘;’ para evitar desbordar la pantalla con información innecesaria.
4.4.
Sintaxis de vectores y matrices
Las matrices (y vectores como caso particular de las mismas) se expresan en Matlab
empleando corchetes ([ ]); separando las ?las por espacios o comas (,) y las columnas
por ‘;’. De este modo, se puede crear un objeto matriz del siguiente modo:
>> mat=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
5
reales o complejos. En este ultimo caso se
´
Los elementos de las matrices pueden serv
e
a e a
e
a a
mat =
1
4
7
2
5
8
3
6
9
Cuando se trata de un escalar, podemos prescindir de los corchetes
>> rad=3.1415;
emplea la letra i para representar el valor -1. Como ejemplo crearemos el vector ?la
v = [2 + 3i, -5i, 3].
>> v=[2+3i, -5i, 3]
v =
2.0000 + 3.0000i
0 – 5.0000i
3.0000
El acceso a elementos de una matriz previamente definida puede realizarse especif-
icando la ?la y columna del elemento que nos interesa entre par´ntesis
>> mat(2,3)
ans =
6
Ademas, dentro de estos par´ntesis podemos indicar variables u operaciones mas com-
plejas, lo que da una gran potencia al desarrollo de algoritmos.
Una vez definidos los objetos con sus identi?cadores, podemos realizar operaciones
aritmaticas entre ello con total simplicidad. Para las operaciones vectoriales y matri-
ciales, Matlab veri?car´ la coherencia de las dimensiones de los operandos y si no hay
producir´ error producir´ un resultado con las dimensiones adecuadas.
>> v1=[2+3i, -5i, 3];
>> v2=[0, 1, 7];
>> v3=v1+2*v2+[1, 1, 1]
v3=
3.0000 + 3.0000i
3.0000 – 5.0000i
6
18.0000
a
+
*
a e o
o o
e
e
o e
o
^
<
>
=
==
~=
&
|
~
u
o
o
o
o
o
o
o
o
o
e o
l´
i a
i
4.5.
Operaciones basicas con Matlab
La siguiente tabla ilustra las basicas aritmaticas y logicas que podemos realizar con
Matlab.
Expresion en Matlab Operación
Suma aritmatica
Resta aritmatica o cambio de signo
Multiplicación aritmatica
/
Division
Elevar un n´mero a una potencia
Relación "menor que"
Relación "mayor que"
Relación "menor o igual que"
Relación "mayor o igual que"
Relación "igual que"
Relación "distinto que"
producto logico (operación ‘‘y’’)
suma logica (operación .o")
negación (operación "no")
Cuadro 1: Operaciones aritmaticas y logicas de en Matlab.
Todas estas operaciones se aplican indistintamente a escalares, vectores y matrices,
y se pueden emplear de dos modos diferentes: en primer lugar, Matlab funciona directa-
mente como una calculadora, para lo cual tecleamos expresiones en inea de comandos
para obtener inmediatamente el resultado de las mismas:
>> 12*24.8
ans =
297.6000
As´ mismo se pueden emplear las operaciones dentro de otras expresiones mas amplias,
logrando as´ escribir expresiones matematicas de cualquier complejidad.
>> x1=-b+sqrt(b^2-4*a*c)/(2*a);
4.6.
Funciones en Matlab
Buena parte de las operaciones que se realizan con Matlab, son llamadas a funciones.
Las funciones procesan información, por lo que poseen datos de entrada y de salida,
7
e
o iz
´
a
´
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
iz
que pueden ser matriciales. Los datos de entrada se especi?can entre par´ntesis, y si son
varios separados por comas. Por ejemplo, la siguiente función calcula la ra´ cuadrada
de su unico valor de entrada, que es el vector ?la [4, 2].
>> sqrt([4 2])
ans =
2.0000
1.4142
Las funciones son programas escritos por el usuario o incorporados en el paquete basico
de Matlab. Entre estas ultimas destacan las siguientes funciones:
Nombre
sin
sinh
cos
cosh
tan
tanh
cot
coth
sec
sech
csc
csch
asin
asinh
acos
acosh
atan
atan2
Función
Seno
Seno hiperb´lico
Coseno
Coseno hiperb´lico
Tangente
Tangente hiperb´lica
Cotangente
Cotangente hiperb´lica
Secante
Secante hiperb´lica
Cosecante
Cosecante hiperb´lica
Arcoseno (inversa del seno)
Inversa del seno hiperb´lico
Arcocoseno (inversa del coseno)
Inversa del coseno hiperb´lico
Arcotangente (inversa de la tangente)
Arcotangente de cuatro cuadrantes
Cuadro 2: Funciones elementales de Matlab: Trigonometr´ia.
Nombre Función
exp
log
log2
log10
sqrt
Exponencial
Logaritmo natural (base e)
Logaritmo en base 2
Logaritmo en base 10
Ra´ cuadrada
Cuadro 3: Funciones elementales de Matlab: Exponenciales.
8
o
’
eye
zeros
ones
a
a
o o
o
o
u
u
u
o
e
u
o
o
Nombre Función
fix
floor
ceil
round
mod
rem
Nombre
inv
det
eig
length
size
Redondear hacia cero
Redondear hacia menos in?nito
Redondear hacia mas in?nito
Redondear hacia el entero mas cercano
Modulo de la division entera
Resto de la division entera
Cuadro 4: Funciones elementales de Matlab: Ajuste y redondeo.
Función
Matriz inversa
Determinante
Autovalores
Matriz traspuesta
Crear una matriz identidad dado el n´mero de ?las/columnas
Crear una matriz de ceros dado el n´mero de ?las/columnas
Crear una matriz de unos dado el n´mero de ?las/columnas
Longitud de un vector
Dimensiones de una matriz
Cuadro 5: Funciones elementales de Matlab: Operaciones matriciales.
4.7.
Operaciones logicas
Algunas de las operaciones y funciones presentadas no devuelven un valor num´rico
o matricial como resultado. En su lugar, eval´an si cierta condición es verdadera o
falsa. En estos casos, el valor devuelto por la función equivaldr´ a 1 si la condición se
cumple, y 0 si no.
A modo de ejemplo comprobaremos si una variable x se encuentra en un intervalo
determinado
>> x=5
>> (x>=0)&(x> (x>7)&(x> a=1:10
a =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
En general, para secuencias no enteras o no crecientes la sintaxis del operador de rango
es
valor_minimo : incremento : valor_maximo
Por ejemplo, para generar todos los n´meros entre 1 y 2 en incrementos de 0.2 es-
cribiremos
>> a=1:0.2:2
a =
1.0000
1.2000
1.4000
1.6000
1.8000
2.0000
Una segunda aplicación del operador de rango es el acceso a submatrices o subvec-
tores. Supongamos que hemos definido la matriz mat anteriormente mencionada:
>> mat=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
Para acceder a la submatriz comprendida entre los elementos (2, 1) y (3, 2) bastar´ con
escribir
10
a
´
o
a a u
save
o
´
o
t´ o
>> mat(2:3,1:2)
ans =
4
7
5
8
Ademas, se puede prescindir de alguno de los extremos de este operador cuando se
emplea en el acceso a vectores y matrices. Por ejemplo, si se desea mostrar todos los
elementos menos los 3 primeros de un vector:
>> a(4:)
>> a(4:end)
Por otro lado, si lo que deseamos es obtener los 3 ultimos elementos del vector a,
escribiremos
>> a((length(a)-2):end)
4.9.
Almacenamiento en archivos
Matlab permite almacenar en el disco las variables del espacio de trabajo. De este
modo es posible parar una sesion de trabajo y continuar en otro momento sin volver a
repetir calculos. La orden mas com´n para almacenar datos es save, que puede usarse
de varias maneras. En la tabla siguiente se presenta un resumen.
Orden
save nombrearchivo
Operación realizada.
Crea el archivo de nombre matlab.mat en la
carpeta actual. Dicho archivo contiene todas
las variables que existen en ese momento en
entorno Matlab.
Crea el archivo de nombre en nombrearchi vo.mat en la carpeta actual. Dicho archivo
contiene todas las variables que existen en
ese momento en el entorno Matlab.
save nombrearchivo x y z Crea el archivo de nombre nombrearchi vo.mat en la carpeta actual. Dicho archivo
contiene unicamente las variables x, y y z.
Para recuperar las variables almacenadas en un fichero previamente creado em-
plearemos principalmente la función load. La siguiente tabla ilustra tres operaciones
ipicas de recuperación de datos.
11
load
o
a o
´
a
a
o
l´
a a
o
a
n
a a n
a o
a e
e
Orden
load nombrearchivo
Operación realizada.
Lee toda las variables del archivo de nombre
matlab.mat de la carpeta actual. Si alguna
de las variables del disco tiene nombre co-
incidente con otra que previamente existe en
Matlab se producir´ la destrucción de la vari-
able existente para dejar su sitio a la variable
del disco.
Igual que en el caso anterior, pero leyendo
del archivo nombrearchivo.mat de la carpeta
actual.
load nombrearchivo x y z Igual que el anterior pero leyendo unicamente
las variables x, y y z.
4.10.
Graficas en Matlab
Las posibilidades de Matlab a la hora de crear graficos de todo tipo son vast´isimas.
Para tener una vision general de ellas se recomienda al lector un recorrido por la ayuda
en inea partir del comando
>> doc plot
En este punto veremos los pasos basicos para crear una grafica a partir de una tabla
de valores (x, y). Concretamente, trazaremos la par´bola de ecuación
y = 2×2 + 3x – 1
en el intervalo [-3, 3].
Toda grafica de Matlab ha de ser creada a partir de una nube de puntos, que en el
caso bidimensional consiste en una serie de valores de las coordenadas x y otra serie
del mismo tamaño de valores de y. Cada pareja (x,y) formada a partir de ambas series
sera un punto de la grafica. Para ello crearemos dos vectores de igual tamaño n. El
primer vector sera x, para las coordenadas de los puntos, a partir de una division
su?cientemente ?na del eje de abcisas:
>> x=-3:0.1:3;
y a continuación creamos el vector y, sabiendo que en el grafico el elemento i-´simo del
dicho vector formar´ un punto (x, y) con el elemento i-´simo del vector x. Por tanto,
12
Ejey
u o
i
>>
>>
>>
>>
o
e e
i
a
a
a
l´
se ha de crear un vector y de n componentes, seg´n la f´rmula
yi = 2×2 + 3xi – 1
i = 1 …n
Esto se obtiene en Matlab con un s´lo comando, sin necesidad de bucles:
>> y=2x.^2+3x-1;
Obs´rvese el ‘.’ antes de la exponenciación. Esto evita que el t´rmino x^2, al ser x un
vector, se calcule como el producto escalar de x por s´ mismo. Finalmente, creados los
vectores, creamos la grafica y la etiquetamos con los siguientes comandos:
plot(x,y); % El orden de los parametros es importante
grid; % Visualizar una malla
xlabel(’Eje x’); % Etiqueta eje x
ylabel(’Eje y’); % Etiqueta eje y
Obteniendo el grafico de la figura:
30
25
20
15
10
5
0
-5
-3
-2
-1
0
Eje x
1
2
3
Figura 2: Grafico resultante.
Es muy recomendable consultar la ayuda para conocer las opciones en cuanto a
tipos y colores de inea, tratamiento de ejes (comando axis), etiquetado (comandos
xlabel, legend, text), etc.
13
5.
o
n
o
´
e a
o
s + 2s + 1
s + 5s + 40
o
transferencia en Matlab necesitamos dos vectores. A partir de ellos, con la función tf
o
o
o o
o
a
o
o
,
Control System Toolbox
El Control System Toolbox es un componente opcional en la instalación de Matlab
que consta de una serie de funciones, objetos, bloques Simulink y herramientas destina-
dos a la asistencia en el analisis y diseño de sistemas de control. El objeto fundamental
con el que trabajaremos es la función de transferencia. Para ilustrar sus propiedades
y el algebra asociada, estudiaremos un ejemplo sencillo de control.
Consid´rese el sistema realimentado de la figura 3. Dicho sistema esta formado por
tres bloques independientes: G1 (s), que representa el controlador, G2 (s), que corre-
sponde a la planta a controlar, y G3 (s), la función de transferencia del sensor con el
que se mide la salida del sistema. Los valores de las tres funciones son:
G1 (s) =
1
s + 0,5
3
G2 (s) = 2
40
G3 (s) = 2
Supongamos que deseamos calcular la función de transferencia en bucle cerrado de
dicho sistema, y a continuación trazar su diagrama de Bode. Lo primero que debemos
conocer es como definir una función de transferencia en el entorno Matlab.
Un polinomio en s se representa en Matlab como un vector cuyos elementos son los
coe?cientes del polinomio por orden de exponente descendente: por ejemplo, s2 – 2s + 1
se de?ne en Matlab como el vector [1 – 2 1]. Por tanto, para definir una función de
construiremos las función de transferencia del ejemplo:
>> G1=tf([1],[1 0.5]);
>> G2=tf([3],[1 2 1]);
>> G3=tf([40],[1 5 40]);
Lo mas interesante de esos objetos es la posibilidad de realizar operaciones matematicas
entre ellos. Para ilustrar esto, calcularemos la función de transferencia del sistema
realimentado en bucle cerrado, desde la referencia hasta la salida. Sabiendo que dicha
función tiene la forma
Gbc (s) =
Y (s)
R(s)
=
G1 (s)G2 (s)
1 + G1 (s)G2 (s)G3 (s)
teclearemos en Matlab simplemente
14
o
a
o o
e
d
d
– T m
d d
>>
>>
>>
>>
>>
ia
o
a ia
e
>> Gbc=G1*G2/(1+G1*G2*G3)
Transfer function:
3s^5+22.5s^4+163.5s^3+331.5s^2+247.5s+60
—————————————————————-
s^8+10s^7+75.25s^6+262.3s^5+471.5s^4+594.5s^3+570.3s^2+321.3s+70
lo que nos muestra la estructura de la función de transferencia en bucle cerrado Gbc (s),
que podr´ ser utilizada a partir de ahora en llamadas a funciones, como las que trazan
los diagramas de Bode (función bode) y Nyquist (función nyquist).
r(t) + E
E
G1 (s)
u
E
G2 (s)
y(t)
E
G3 (s)
'
Figura 3: Sistema de Control realimentado
5.1.
Operaciones con polinomios
El Control System Toolbox permite, ademas de lo explicado, realizar ciertas op-
eraciones con polinomios almacenados en forma de vector, que son muy interesantes
dentro de la teor´ del control automatico. Por ejemplo, podemos calcular el producto
de dos polinomios en s mediante la función conv y a partir de ellos calcular el producto
(cascada) de dos funciones de transferencia:
num1=[1]; den1=[1 0 0.5];
num2=[3]; den2=[1 2 1];
num_producto=conv(num1,num2);
den_producto=conv(den1,den2);
G12=tf(num_producto,den_producto)
en este caso el resultado del calculo sera igual al producto de las funciones G1 (s) y
G2 (s), que como sabemos, tambion se obtendr´ia, a partir de las definiciones anteriores,
15
5.2.
evalfr
bode
rlocus
margin
pzmap
o
e a
o
e a
o
u o
o
a o
a
o
o
a
o
a o
o
a o
G(s) = 2
a
escribiendo
>> G12=G1*G2
Por otra parte, para obtener las ra´ices de un polinomio definido en Matlab como un
vector, se emplea la función roots:
>> roots([1 2 -1 ])
ans =
-2.4142
0.4142
Herramientas num´ricas y graficas
Dada una función de transferencia, ya sea de bucle abierto o cerrado, existen en el
Control System Toolbox operaciones num´ricas y graficas de gran utilidad a la hora de
analizar la estabilidad y otras propiedades. Algunas de ellas aparecen en la siguiente
tabla
Comando Operación realizada.
Eval´a la magnitud y fase de una función de transferencia en la
frecuencia especi?cada.
Traza el diagrama logar´itmico de Bode de una función de transfer encia dada. Ademas presenta interesantes opciones de visualización
como son los m´rgenes de ganancia y fase.
nyquist Traza el diagrama de Nyquist de una función de transferencia dada.
Traza el lugar de las ra´ices al realimentar negativamente con una
ganancia K (variable) la función de transferencia dada.
Calcula, sobre el diagram de Bode, los m´rgenes de fase y ganancia
de una función de transferencia y las frecuencias de corte.
Muestra en una grafica del plano complejo la ubicación de los polos
y los ceros de una función de transferencia dada.
Como ejemplo, se obtendr´ el diagrama de Bode de la función de transferencia
(estable)
1
s + 0,1s + 0,5
y se calcular´n los m´rgenes de fase y ganancia. Para ello tecleamos
16
Magnitude(dB)
Phase(deg)
40
0
´ o
i
>> G1=tf([1],[1 0.1 0.5])
>> bode(G1);
>> margin(G1);
y el resultado aparece representado en la figura 4.
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 7.02 deg (at 1.22 rad/sec)
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-45
-90
-135
-180
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Figura 4: Diagrama logar´itmico de Bode.
Por ultimo, volveremos a la función Gb c(s) calculada para analizar su estabilidad.
Para ello extraemos su denominador tecleando
>> pol=Gbc.den{1}
pol =
1.0000 10.0000 75.2500 262.2500 471.5000 594.5000 570.2500 321.2500 70.0000
y a partir de ah´ evaluamos sus ra´ices mediante
>> roots(pol)
ans =
-2.5301 + 5.8437i
-2.5301 – 5.8437i
-2.3763
17
ImaginaryAxis
+
+
o
6.
o
o a
a
a ´ o a
a o a
o o
o
-0.0317
-0.0317
-1.0000
-1.0000
1.2049i
1.2049i
0.0000i
0.0000i
-0.5000
Al estar todas las ra´ices en el semiplano izquierdo, deducimos que el sistema en bucle
cerrado es estable. Otro modo de veri?car esto es trazando el diagrama polo–cero de
Gbc , mediante la instrucción pzmap(Gbc). El resultado se muestra en la figura 5.
6
0.4
Pole-Zero Map
0.28
0.2
0.14
0.09
0.04
6
5
4
2
0.56
0.8
4
3
2
1
0
1
-2
-4
0.8
0.56
2
3
4
-6
-3
0.4
-2.5
-2
0.28
-1.5
0.2
-1
0.14
0.09
-0.5
0.04
5
6 0
Real Axis
Figura 5: Diagrama polo–cero de la función de transferencia en bucle cerrado Gbc (s).
El entorno de trabajo de Simulink
Simulink es una herramienta de gran utilidad para la simulación de sistemas din´mi-
cos. Principalmente, se trata de un entorno de trabajo grafico, en el que se especi?can
las partes de un sistema y su interconexion en forma de diagrama de bloques. De nuevo,
se trata de una herramienta ampl´isima que ademas se complementa con numerosos el-
ementos opcionales. Por tanto, nos limitaremos a dar unas pinceladas de los elementos
mas utiles en Regulación Automatica.
Ademas de las capacidades de simulación de las que esta dotado Simulink, con-
viene destacar que contiene comodas utilidades de visualización y almacenamiento de
resultados de simulación.
18
o l´
o
o
a o o
ia
o ´
´ a
´
o
o
´
u
´
6.1.
Uso de Simulink
En primer lugar, lanzaremos la aplicación escribiendo simulink en la inea de co-
mandos de Matlab, o abriendo desde el Explorador de Windows cualquier fichero con
extension .mdl. En el primero de los casos se abrir´ la ventana de la figura 6. Esta
Figura 6: Ventana navegación de bloques de Simulink (Simulink Library Browser).
ventana inicial no esta destinada a crear modelos de simulación; su función principal
consiste en navegar por la enorme libreria de bloques disponibles para el modelado.
En ella distinguimos dos partes: la izquierda contiene una vision en forma de arbol
de todos los Toolboxes instalados que contienen bloques Simulink. La amplitud de
este arbol dependera de las opciones que hayamos activado al seleccionar Matlab.
De todos los nodos del arbol nos interesan, de momento, los denominados Simulink y
Control System Toolbox. Cabe mencionar ademas, por su interes, los bloques Real Time
Workshop destinados a generar automaticamente c´digo de control para determinadas
plataformas Hardware comerciales.
La parte derecha de la ventana de la figura 6 muestra los bloques Simulink con-
tenidos en el Toolbox o nodo de la parte izquierda de la ventana. Estos bloques se
deben arrastrar sobre el espacio de trabajo de Simulink para la creación de modelo a
simular.
Por ultimo, cabe indicar que en la parte superior de la ventana de inicio de Simulink
hay varias herramientas como la b´squeda de un bloque determinado a partir de su
nombre, que nos pueden resultar bastante utiles.
19
6.2.
a
o
o
o
o
o
u
o
o e
o
El espacio de trabajo de Simulink
Si pulsamos en el icono superior izquierdo de la ventana de la figura 6 (p´gina en
blanco), se abre una ventana blanca sobre la que iniciaremos la creación de un modelo
de simulación. Dicha ventana se muestra en la figura 7.
Figura 7: Espacio de trabajo de Simulink.
En el espacio de trabajo de Simulink crearemos un modelo insertando los bloques
correspondientes. Concretamente realizaremos la simulación del sistema de control rep-
resentado en la figura 3. En lugar de emplear las definiciones en Matlab de las funciones
de transferencia presentadas en el apartado anterior (empleando la función tf), creare-
mos las funciones de transferencia directamente sobre el diagrama de bloques.
En primer lugar, hemos de insertar tres bloques de tipo Función de Transferencia
en el modelo. Para ello tecleamos la palabra transfer en el campo de b´squedas en la
parte superior de la ventana de navegación y el buscador localizar´ el bloque llamado
Transfer Fcn, que cuelga del nodo Simulink, como se muestra en la figura 8.
Una vez localizado el bloque Transfer Fcn arrastraremos dicho bloque hacia el
espacio de trabajo de Simulink. El arrastre de bloques se realiza seleccionando el icono
del bloque con el boton izquierdo del raton, y manteniendo ´ste pulsado se desplazar´ el
cursor hasta la ventana del modelo.
Repetiremos la operación tres veces, para reproducir la estructura de la figura 3,
dando lugar a la ventana mostrada en la figura 9.
Una vez insertados los bloques de las funciones de transferencia, les asignamos
nombres especificos (G1,G2 y G3) editando el texto al pie de cada icono, y les damos
valores a dichas funciones, para que coincidan con los parametros de las funciones
G1 (s), G2 (s) y G3 (s) definidas anteriormente.
Con este ?n, haremos doble click sobre cada bloque de función de transferencia, y
20
o
o
i
Figura 8: Ubicación del bloque Transfer Fcn.
en la ventana que se abre en cada caso, introduciremos los vectores de coe?cientes de
los polinomios numerador y denominador de cada función de transferencia. La figura 10
muestra la ventana donde se introducen los parametros de G1 (s).
Una vez configuradas las tres funciones de transferencia las conectaremos entre
s´ con arreglo a la estructura de interconexion de bloques de la figura 3. Para ello
empleamos las siguientes operaciones:
21
o
o
o
e n
n
o
n
n
n n
i
a
o
Figura 9: Bloques de función de transferencia en Simulink.
Figura 10: Introducción de los parametros de G1 (s) = 1/(s + 0,5).
Operación
Conectar bloques (I)
Procedimiento.
Para conectar las salidas de un bloque a la entrada de
otro, hacer click con el boton izqdo. del raton en el
bloque origen. Pulsar y mantener la tecla CTRL y hacer
de nuevo click sobre el bloque destino.
Conectar bloques (II) Tambion se puede extraer un cable de señal haciendo
click en el saliente derecho del bloque origen y prolongar la señal (pulsando y manteniendo el boton izquierdo
del raton) hasta llegar a la parte izquierda del bloque
destino.
Bifurcar cables
Un cable de señal (que lleva la salida de un bloque
hacia otro bloque), puede bifurcarse para distribuir la
señal a varios bloques pulsando con el boton derecho en
cualquier punto del cable.
Sumar o restar señales Las señales procedentes de salidas de los bloques se
pueden sumar o restar entre s´ mediante el bloque
sumador, que se ubica f´cilmente tecleando Sum en la
ventana de navegación de Simuink.
22
o n
a
n
n
n
n o
n
o
n o
e o
´ o
´ o
n u
a
Tras una serie de operaciones de los tipos indicados en la tabla anterior, logramos
construir la estructura de realimentación de la figura 11. En esta figura hemos añadido
dos bloques nuevos: Step y Scope. Ambos pertenecen, respectivamente, a los nodos
Simulink/Sources y Simulink/Sinks que seran comentados en el siguiente apartado.
Figura 11: Modelo completo.
6.3.
Fuentes y sumideros de señal
Los bloques de suma y resta de señales y los de funciones de transferencia, funcionan
como procesadores de señal. Sin embargo, en las simulaciones han de existir fuentes de
señal externas, pues lo que se pretende en general es ver como responden determinados
sistemas a estimulos exteriores.
En nuestro ejemplo necesitamos una señal externa para generar una referencia a
seguir por el sistema controlado. Esta referencia debe ser, logicamente, cambiante con
el tiempo. En nuestro caso emplearemos una señal de tipo escalon, que se implementa,
con sus parametros especificos, mediante el bloque Step. Bloques como ´ste, que s´lo
tienen salidas y ninguna entrada, se localizan en el arbol de navegación de Simulink en
el nodo Simulink/Sources.
Por otro lado, existen bloques con entradas y sin ninguna salida: nodos sumidero.
Uno de ellos es el empleado en nuestro modelo para visualizar la salida del sistema:
Scope. Los bloques de este tipo se ubican en el arbol de navegación de Simulink en el
nodo Simulink/Sinks.
A modo de referencia, la tabla 7 muestra algunas fuentes de señal de uso com´n (no-
do Simulink/Sources), mientras que la tabla 8 muestra algunos de los bloques sumidero
(Simulink/Sinks) mas comunes.
23
Clock
Sin
o
n
n o
n
o ´ a
n
o
n
n
Scope
o
a n
o
a a
n
n
n
Elemento
Step
Constant
Función
con los resultados.
Señal senoidal parametrizable.
Señal en escalon
Señal de valor constante.
Marcas de tiempo de la simulación. Util para trazar graficas
Signal generator Permite elegir entre un conjunto de señales predefinidas.
Random Number Generación de ruido blanco configurable.
From Workspace Señal generada a partir de una variable del espacio de trabajo
de Matlab.
Cuadro 7: Fuentes de señal en Simulink.
Elemento
XY Graph
To Workspace
Función
Grafica 2D para visualizar las señales frente al tiempo durante
la simulación.
Grafica 2D para visualizar un grafico X-Y creado a partir de
dos señales de entrada.
Almacena las muestras de la señal de entrada en una variable
(vector) del espacio de trabajo de Matlab.
Cuadro 8: Sumideros de señal en Simulink.
24