ri = (ri – R)
vi = (vi -V) – ? × (ri – R)
ai = (ai – A) – 2 ? × (vi -V) + ? × [? × (ri – R)] – a × (ri – R)
(vi = d(ri)/dt) y (ai = d2(ri)/dt2 ) donde ri es el vector de posición de la partícula i, R
Una Mecánica Clásica Alternativa
Antonio A. Blatter
Licencia Creative Commons Atribución 3.0
(2015) Buenos Aires
Argentina
Este trabajo presenta una mecánica clásica alternativa que es invariante
bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales
y que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de
introducir las fuerzas ficticias.
Introducción
La posición inercial ri, la velocidad inercial vi y la aceleración inercial ai de una
partícula i, están dadas por:
.
.
.
. .
es el vector de posición del centro de masa del free-system y ? es el vector de velocidad
angular del free-system (ver Anexo I)
La fuerza neta Fi que actúa sobre una partícula i (mi) produce una aceleración
inercial ai, según la siguiente ecuación:
Fi = mi ai
Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas
ficticias sobre Fi.
Las magnitudes [mi, ri, vi, ai y Fi ] son invariantes bajo transformaciones entre
sistemas de referencia inerciales y no inerciales.
Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ? del free-system
respecto a S es igual a cero y además S es inercial si la aceleración A del centro de
masa del free-system respecto a S es igual a cero.
1
masa de las partícula i, mj es la masa de la partícula j y M (=
k mk) es la masa del
rij = (ri – rj)
vij = (vi – vj) – ? × (ri – rj)
aij = (ai – aj) – 2 ? × (vi – vj) + ? × [? × (ri – rj)] – a × (ri – rj)
(vij = d(rij)/dt) y (aij = d2(rij)/dt2 ) donde ri es el vector de posición de la partícula i,
Fij = mij (Fi/mi – Fj/mj) = mij (ai – aj) = mij aij
Bipartícula
Un par de partículas es una bipartícula. El sistema de partículas {a, b, c y d } puede
formar el sistema de bipartículas {ab, ac, ad, bc, bd y cd } o también el sistema de
bipartículas {ad, bd y cd }
.
La masa mij de una bipartícula ij, está dada por: mij = mi mj/M, donde mi es la
.
sistema de partículas en observación.
La posición inercial rij, la velocidad inercial vij y la aceleración inercial aij de una
bipartícula ij, están dadas por:
.
.
.
. .
rj es el vector de posición de la partícula j y ? es el vector de velocidad angular del
free-system (ver Anexo II)
La fuerza neta Fij que actúa sobre una bipartícula ij (mij) produce una aceleración
inercial aij, según la siguiente ecuación:
.
donde Fi es la fuerza neta que actúa sobre la partícula i, Fj es la fuerza neta que
actúa sobre la partícula j, mi es la masa de las partícula i, mj es la masa de la
partícula j, ai es la aceleración inercial de la partícula i y aj es la aceleración inercial
de la partícula j.
Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas
ficticias sobre Fi ni sobre Fj.
Las magnitudes [mij, rij, vij, aij y Fij ] son invariantes bajo transformaciones entre
sistemas de referencia inerciales y no inerciales.
Si la partícula j de una bipartícula ij es el centro de masa del free-system (Fj = 0 y
aj = 0) entonces de la ultima ecuación de arriba se obtiene:
´
Fi = mi ai
Por lo tanto, se puede considerar que la dinámica de la partícula es un caso especial de
la dinámica de la bipartícula.
2
PL2 = m[(v)|r|]
PL3 = m[(v)/|r|]
KL1 = 1/2 m[(v)2 ]
KL2 = 1/2 m[(v)2 (r)2 ]
KL3 = 1/2 m[(v)2/(r)2 ]
UL1 = – [( F · dr)]
UL2 = – [( F · dr)(r)2 ]
UL3 = – [( F · dr)/(r)2 ]
LL1 = KL1 – UL1
LL2 = KL2 – UL2
LL3 = KL3 – UL3
Dinámica Lineal
La dinámica lineal para una partícula m o para una bipartícula m (debiéndose agregar
el subíndice ((i)) o el subíndice ((ij)) a todas las magnitudes y en todas las ecuaciones
según sea el caso) está dada por:
Momento L1
Momento L2
Momento L3
Energía Cinética L1
Energía Cinética L2
Energía Cinética L3
Energía Potencial L1
Energía Potencial L2
Energía Potencial L3
Energía Mecánica L1
Energía Mecánica L2
Energía Mecánica L3
Lagrangiano L1
Lagrangiano L2
Lagrangiano L3
.
PL1 = m[(v)]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
EL1 = KL1 + UL1
.
EL2 = KL2 + UL2
.
EL3 = KL3 + UL3
.
.
.
Si sobre m sólo actúan fuerzas conservativas entonces EL1, EL2 y EL3 se conservan.
Del momento lineal PL1 se obtiene la fuerza lineal (FL1) más sencilla para utilizar,
.
FL1 = d(PL1)/dt = m d(v)/dt = ma = F
El momento lineal PL1 de un sistema aislado de partículas se conserva si las fuerzas
i Fi = 0)
internas del sistema obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil (
3
PR1 = m[(r · v)/|r|]
PR2 = m[(r · v)]
PR3 = m[(r · v)/(r)2 ]
KR1 = 1/2 m[(r · v)2/(r)2 ]
KR2 = 1/2 m[(r · v)2 ]
KR3 = 1/2 m[(r · v)2/(r)4 ]
UR1 = – [(
UR2 = – [(
UR3 = – [(
LR1 = KR1 – UR1
LR2 = KR2 – UR2
LR3 = KR3 – UR3
FR2 = d(PR2)/dt = m d(r · v)/dt = m(v · v + a · r) = 2
F · dr + F · r = T
= [m(v · v + a · r)] + [- 2 F · dr – F · r] se
Dinámica Radial
La dinámica radial para una partícula m o para una bipartícula m (debiéndose agregar
el subíndice ((i)) o el subíndice ((ij)) a todas las magnitudes y en todas las ecuaciones
según sea el caso) está dada por:
Momento R1
Momento R2
Momento R3
Energía Cinética R1
Energía Cinética R2
Energía Cinética R3
.
.
.
.
.
.
Energía Potencial R1
Energía Potencial R2
Energía Potencial R3
.
.
.
[2
[2
[2
F · dr + F · r] d1/2(r)2 )/(r)2 ]
F · dr + F · r] d1/2(r)2 )]
F · dr + F · r] d1/2(r)2 )/(r)4 ]
Energía Mecánica R1
Energía Mecánica R2
Energía Mecánica R3
Lagrangiano R1
Lagrangiano R2
Lagrangiano R3
.
ER1 = KR1 + UR1
.
ER2 = KR2 + UR2
.
ER3 = KR3 + UR3
.
.
.
Si sobre m sólo actúan fuerzas conservativas entonces ER1, ER2 y ER3 se conservan.
Del momento radial PR2 se obtiene la fuerza radial (FR2) más sencilla para utilizar,
.
.
La magnitud radial E
.
= K +U
.
conserva si sobre m sólo actúan fuerzas conservativas.
4
PA1 = m[(r × v)/|r|]
PA2 = m[(r × v)]
PA3 = m[(r × v)/(r)2 ]
KA1 = 1/2 m[(r × v)2/(r)2 ]
KA2 = 1/2 m[(r × v)2 ]
KA3 = 1/2 m[(r × v)2/(r)4 ]
UA1 = – [(( F · dr)(r)2 –
UA2 = – [(( F · dr)(r)2 –
UA3 = – [(( F · dr)(r)2 –
LA1 = KA1 – UA1
LA2 = KA2 – UA2
LA3 = KA3 – UA3
Dinámica Angular
La dinámica angular para una partícula m o para una bipartícula m (debiéndose agregar
el subíndice ((i)) o el subíndice ((ij)) a todas las magnitudes y en todas las ecuaciones
según sea el caso) está dada por:
Momento A1
Momento A2
Momento A3
Energía Cinética A1
Energía Cinética A2
Energía Cinética A3
.
.
.
.
.
.
[2
[2
[2
F · dr + F · r] d1/2(r)2 )/(r)2 ]
F · dr + F · r] d1/2(r)2 )]
F · dr + F · r] d1/2(r)2 )/(r)4 ]
Energía Potencial A1
Energía Potencial A2
Energía Potencial A3
Energía Mecánica A1
Energía Mecánica A2
Energía Mecánica A3
Lagrangiano A1
Lagrangiano A2
Lagrangiano A3
.
.
.
.
EA1 = KA1 + UA1
.
EA2 = KA2 + UA2
.
EA3 = KA3 + UA3
.
.
.
Si sobre m sólo actúan fuerzas conservativas entonces EA1, EA2 y EA3 se conservan.
Del momento angular PA2 se obtiene la fuerza angular (FA2) más sencilla para utilizar,
. .
El momento angular PA2 de un sistema aislado de partículas se conserva si las fuerzas
iri×Fi = 0)
internas del sistema obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte (
5
Energía Cinética 1
Energía Cinética 2
Energía Cinética 3
Energía Potencial 1
Energía Potencial 2
Energía Potencial 3
Energía Mecánica 1
Energía Mecánica 2
Energía Mecánica 3
Lagrangiano 1
Lagrangiano 2
Lagrangiano 3
Relaciones
KL1 = KR1 + KA1
KL2 = KR2 + KA2
KL3 = KR3 + KA3
UL1 = UR1 + UA1
UL2 = UR2 + UA2
UL3 = UR3 + UA3
EL1 = ER1 + EA1
EL2 = ER2 + EA2
EL3 = ER3 + EA3
LL1 = LR1 + LA1
LL2 = LR2 + LA2
LL3 = LR3 + LA3
´
Observaciones
Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de
referencia inercial o no inercial sin necesidad de introducir las fuerzas ficticias sobre Fi
ni sobre Fj.
En este trabajo, las magnitudes [mi,ri,vi,ai,Fi,Pi,Fi,Pi,Ki,Ui,Ei,Li,mij,rij,vij,
aij,Fij,Pij,Fij,Pij,Kij,Uij,Eij y Lij ] son invariantes bajo transformaciones entre
sistemas de referencia inerciales y no inerciales.
Este trabajo no contradice la dinámica de Newton. De hecho, la ecuación [Fi = mi ai ]
y la ecuación [Fij = mij aij ] son simples reformulaciones de la segunda ley de Newton.
Por ultimo, las integrales usadas en este trabajo son integrales inde?nidas. Si ninguna
fuerza actúa sobre la partícula i, sobre la partícula j o sobre la bipartícula ij entonces
las integrales dan como resultado constantes.
6
R = M-1
V = M-1
A = M-1
.
mi [|ri – R |2 1 – (ri – R) ? (ri – R)]
Anexo I
Free-System
El free-system es un sistema de N partículas que está siempre libre de fuerzas externas
e internas, que es tridimensional y que las distancias relativas entre las N partículas
permanecen siempre constantes.
La posición R, la velocidad V y la aceleración A del centro de masa del free-system
respecto a un sistema de referencia S, la velocidad angular ? y la aceleración angular a
del free-system respecto al sistema de referencia S, están dadas por:
.
M =
N
i
mi
.
.
.
N
i
N
i
N
i
mi ri
mi vi
mi ai
. ?
.
a = d(?)/dt
?
I =
.
L =
N
i
N
i
?
mi (ri – R) × (vi -V)
?
donde M es la masa del free-system, I es el tensor de inercia del free-system (respecto
a R) y L es el momento angular del free-system respecto al sistema de referencia S.
Transformaciones
.
.
.
.
.
.
7
R = M-1
V = M-1
A = M-1
.
mi [|ri – R |2 1 – (ri – R) ? (ri – R)]
Anexo II
Free-System
El free-system es un sistema de N partículas que está siempre libre de fuerzas externas
e internas, que es tridimensional y que las distancias relativas entre las N partículas
permanecen siempre constantes.
La posición R, la velocidad V y la aceleración A del centro de masa del free-system
respecto a un sistema de referencia S, la velocidad angular ? y la aceleración angular a
del free-system respecto al sistema de referencia S, están dadas por:
.
M =
N
i
mi
.
.
.
N
i
N
i
N
i
mi ri
mi vi
mi ai
. ?
.
a = d(?)/dt
?
I =
.
L =
N
i
N
i
?
mi (ri – R) × (vi -V)
?
donde M es la masa del free-system, I es el tensor de inercia del free-system (respecto
a R) y L es el momento angular del free-system respecto al sistema de referencia S.
Transformaciones
.
.
.
.
.
.
8
Anexo III
Fuerzas Cinéticas
La fuerza cinética Kaij ejercida sobre una partícula i de masa mi por otra partícula j de
masa mj, causada por la interacción entre la partícula i y la partícula j, está dada por:
Kaij = – mi mj M-1 (ai – aj)
donde ai es la aceleración inercial de la partícula i, aj es la aceleración inercial de la
partícula j y M es la masa del Universo.
La fuerza cinética Kui ejercida sobre una partícula i de masa mi por el centro de masa
del Universo, causada por la interacción entre la partícula i y el Universo, está dada por:
Kui = – mi Acm
donde Acm es la aceleración inercial del centro de masa del Universo.
De las ecuaciones anteriores se deduce que la fuerza cinética neta Ki (=
All
j
Kaij + Kui)
que actúa sobre una partícula i de masa mi, está dada por:
Ki = – mi ai
donde ai es la aceleración inercial de la partícula i.
Las fuerzas cinéticas Ka obedecen siempre la tercera ley de Newton en su forma débil.
Si todas las fuerzas no cinéticas obedecen siempre la tercera ley de Newton en su forma
débil entonces la aceleración inercial del centro de masa del Universo Acm es siempre
igual a cero.
Ahora, de la página [1] y de la página [2], se tiene:
Fi = mi ai
Fij = mij aij
O sea:
Fi – mi ai = 0 = Fi + Ki
Fij -mij aij = 0 = Fij -mij (ai-aj) = Fij + mij (Ki/mi-Kj/mj) = Fij +Kij
Por lo tanto, la fuerza total (Fi +Ki) que actúa sobre una partícula i y la fuerza total
(Fij + Kij) que actúa sobre una bipartícula ij están siempre en equilibrio.
9