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Energía undimotriz, aspectos de modelamiento matemáticos



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    1.0.La Energía Unidimotriz Es la energía producida
    por la fuerza de las olas, y consiste en el aprovechamiento de la
    energía cinética y el potencial del oleaje Olas: Se
    forman por la fricción del viento y el área
    superficial de Agua del mar. Esto da paso a la transferencia de
    energía eólica a energía undimotriz

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    a) b) c) 1.1.Obtención de energía mediante el
    principio de Arquimidez Es lo ultimo en tecnología, para
    la obtención de energía undimotriz. Consiste en una
    Boya cilíndrica que esta sujeto al lecho marino mediante
    un pedestal. Algunas características: Se sitúa
    entre 40 y 100 (m) bajo el nivel del mar, por lo que no esta
    expuesta a condiciones meteorológicas adversas. Su
    único elemento móvil es una carcasa superior llena
    de aire que actúa como flotador. Puede generar hasta 1,2
    (MW), y se dirige a la superficie por un cable submarino.

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    1.1.2.Funcionamiento Al elevarse la ola en forma de columna de
    agua, esta aumenta su Energía Potencial, y por
    consiguiente la presión del agua. La otra forma de
    obtención de energía es cuando la ola desciende el
    efecto es inverso, debido a esta presión el cilindro
    flotador desciende, cuando la ola baja el aire comprimido que se
    expande y vuelve a empujar el cilindro hacia arriba.

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    2.0.Modelado de Oleajes 2.1. Ecuación de continuidad Un
    fluido es un elemento que se deforma continuamente bajo la
    acción de fuerzas que causan deslizamiento relativo de sus
    partículas contiguas en una dirección paralela al
    plano de contacto. 2.1.1. Aspectos relevantes en la
    modelación de la ecuación de continuidad.
    Presión: Es la intensidad de la fuerza distribuida en una
    sección o superficie, esta se mide en términos de
    fuerza por unidad de área. Densidad: Se define como la
    cantidad de masa por una unidad de volumen. Velocidad: Se define
    como la razón de cambio de una trayectoria recorrida por
    una partícula, en una cantidad de tiempo
    infinitesimal.

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    La masa en cualquier región ?? circundad por ??, se define
    como: ?? = ?????? ?? Como ?? ???? mide el volumen del flujo que
    recorre un elemento de superficie en una unidad de tiempo y
    ???????? mide su masa. ?? = ???????? ?? La media de la rapidez a
    la cual el flujo de masa fluirá de ?? y recorrerá
    una sección ??. Por otra parte, el decremento por unidad
    de tiempo en la unidad de masa del fluido que esta dentro de la
    región se puede expresar ???? ???? =- ?? ???? ??
    ??????

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    ?? y ??, son respectivamente la densidad y la velocidad del
    fluido en movimiento, entonces la ecuación de continuidad
    de la dinámica de los fluidos es: ?? ???? + ???? ????
    =0

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    2 ???? 2 ?? ?? 2 2.2. Ecuación de Movimiento La
    ecuación de movimiento de un fluido según Euler:
    ???? 1 1 + ?? ?? – ?? ?? ?? ?? ?? = ?? – ??p Donde ?? es la
    fuerza externa por unidad de masa por unidad de masa que
    actúa sobre el fluido. La forma general de Bernoulli
    expresa que para un líquido incompresible ideal que se
    mueve bajo la acción de una fuerza conservativa ?? y cuyo
    flujo es uniforme, a lo largo de una línea de flujo. ?? +
    ?? 1 + ?? 2 = ?? Donde ?? es una constante y ?? = -????

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    Demostración de la ecuación de movimiento
    Segùn la segunda Ley de Newton: ?? = ???? En donde las
    fuerzas se componen en, la suma de las fuerzas superficiales y
    volumétricas en un elemento de fluido infinitesimal. ?? =
    ???????? + ???????? (1) Las fuerzas volumétricas, se
    definen como una fuerza distribuida en todo el elemento de fluido
    infinitesimal. ???????? = ???? = ?? ??

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    Las fuerzas superficiales, se definen como una fuerza tangencial
    que actúa en todo el elemento de fluido infinitesimal.
    ???????? = ?? ?? = -?? · ?? En donde: ?? = ?? ???? – ? De
    esta ecuación se desglosa que la presión es una
    magnitud escalar multiplicada por la matriz identidad, menos el
    tensor deviatorio. ?? ?? = 0 0 0 ?? 0 0 ????? 0 – ????? ?? ?????
    ????? ????? ????? ????? ????? ????? Entonces de (1): ???? ????
    ???? = ???????? + ???????? ?? ???? ???? = ???? – ?? ?? ???? – ?
    (2)

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    = ?? ?? Definiendo la razón de velocidad con respecto al
    tiempo, multiplicada por la densidad, se define como como
    derivada material temporal, esta se expresa como: ?? ???? ????
    ???? + ?? ???? = ???? ???? + ???? ?? + ???? ?? ?? ???? = ?? ??
    ???? + ?? · ?? (3) Reemplazando (3) en (2): De esto: ?? ??
    ???? + ?? · ?? ?? = ???? – ?? ?? ???? – ? ???? ???? ????
    ???? + ?? ?? · ?? ?? = ???? – ?? ?? ???? – ? + ?? ??
    · ?? ?? = ???? – ???? ???? + ??? 4)

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    Definiendo la Ley de Newton para la viscosidad ???, como: ??? =
    ???? 2 ?? + 1 3 ?? + ???? ?? ???? Donde: ??:Coefiente de
    viscosidad de corte. ???? : Coefiente de viscosidad
    volumétrica. Como se describe que es un fluido ideal,
    entonces: ?? = ???? = 0 Por lo tanto: ??? = 0 Reescribiendo 4) ??
    ???? ???? + ?? ?? · ?? ?? = ???? – ???? ???? 4)

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    ?? ?? ???? ???? 1 ?? = ?? ?? Del termino ???? ???? , se asume
    que: ???? ???? = ???? (5) Introduciendo (5) en (4): ?? ???? ????
    + ?? ?? · ?? ?? = ???? – ???? Dividiendo por ??: 1 1 + ??
    · ?? ?? = ???? – ???? Definiendo que ??, es una fuerza
    másica, que se expresa como: ?? ?? Por lo cual: ???? ????
    1 + ?? · ?? ?? = ?? – ???? (6) Para desglosar el termino
    de la ecuación ?? · ?? ??, se utiliza el doble
    producto vectorial

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    2 2 ???? 2 Este se expresa para vectores ??, ??, ??, el doble
    producto vectorial como: ?? ?? ?? ?? ?? = ?? ?? · ?? – ??
    ?? · ?? Reemplazando ?? y ??: ?? ?? ???? ?? = ?? ??
    · ?? – ?? ?? · ?? Desarrollando: 1 ?? ?? ???? ?? =
    ?? ?? – ?? ?? · ?? ?? ?? · ?? = 1 2 ?? ?? 2 – ?? ??
    ???? ?? (7) Por lo tanto, reemplazando (7) en (6): ? ???? 1 + ??
    ?? 2 – ?? ?? ???? ?? = ?? – 1 ?? ????

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    2.3. Flujo Irrotacional- Potencial de velocidad La vorticidad o
    vector vórtice es: O = ?? ?? ?? El flujo irrotacional o
    potencial, es aquel para el cual O = 0, en todas las partes. Un
    campo vectorial que tenga rotación cero, se puede expresar
    como gradiente de alguna función escalar. Si aplicamos el
    resultado al vector velocidad ?? en un flujo irrotacional, esta
    función se llama potencial de velocidad, y se expresa
    como: ?? = ??F

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    2.4.Condición de frontera Este movimiento tiene como un
    potencial de velocidad F ??, ??, ?? para un campo de velocidad ??
    ?? ??, ?? ??; ?? ??, ?? ?? . Se describe el dominio que ocupa el
    fluido en el espacio como la región: -h < ?? < ??
    ??, ??, ?? En ?? = -h suponemos que se encuentra una superficie
    solida (el fondo del océano), y se impone que no hay flujo
    de fluido. Esto quiere decir: ???? = F?? = 0 ?? = -h

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    ?? 2 2.5. Ecuación diferencial del oleaje En ?? = ?? ??,
    ??, ?? imponemos la condición de la ecuación de
    movimiento con ???, que es diferencia entre la presión
    externa y la hidrostática, dada por ??? = ??0 – ?????? ??,
    ??, ?? : F?? + 1 2 ???? ?? + ???? ??, ??, ?? + ?? = ??0 ?? ????
    ?? = ??(??, ??, ??) Donde ??, es la curvatura media de la
    superficie y ??es un parámetro físico denominado
    coeficiente de tensión superficial. La condición
    cinemática se puede expresar como: ???? + ???? , ???? , -1
    ???? = 0

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    El potencial de la velocidad en la superficie sigue la forma que
    toma la ola sobre las coordenadas en que se desplazan. En el caso
    del eje ?? toma una forma hiperbólica. La cual hace
    constante su valor y representa el cambio del nivel del agua con
    respecto al tiempo. ?? ??, ??, ?? = 1 ???? ?? ???? ???? ?? = 0
    Otra suposición importante es considerar que el movimiento
    ondulatorio puede idealizarse. Si un punto de la superficie libre
    va subiendo y bajando con una aceleración local igual.
    Esta aceleración constante ?? está dada por la
    fuerza del campo gravitatorio, la cual es constante si las
    demás no cambian. Esto se expresan. ???? ???? = ?? =
    -????

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    ?? ?? ???? ???? Analizando el parámetro ?? (Curvatura
    media). Se define como curvatura media: = -???? +
    ?????????????????? ?? = 1 2 ?? ??=1 ?? 1+ ???? ???? ????
    Según la ecuación de Laplace y Young: ??? = ?? ??
    ??=1 ?? 1+ ???? ???? ???? Donde ??? = ??0 – ??h es la diferencia
    de presión entre las superficies, ?? es la tensión
    superficial.

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    2 ?? 2.6.Solución de la ecuación diferencial de
    oleaje. La ecuación que rige el movimiento de las olas,
    viene dada por la ecuación diferencial del oleaje. 1 ??
    F?? + ???? 2 + ???? ??, ??, ?? + ?? = ??0 ?? La onda viajera con
    velocidad de propagación ?? = ???? , ???? será una
    solución de ??, ?? tal que: ?? ?? + ???? ??, ?? + ???? ??,
    ?? = ?? ??, ??, 0 ?? ?? ?? + ???? ??, ?? + ???? ??, ?? = ?? ??,
    ??, ??, 0 En el caso bidimensional (sin dependencia en
    coordenadas ?? y ?? con ???? = 0) y en ausencia de tensión
    superficial (con ?? = 0 ) la demostración de existencia de
    este tipo de onda fue abordada por Stokes.

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    1 3 2 4 + ?? 2?? – 1 ??-1 ?? 2?? En 1847 Stokes demostró
    que si es la elevación de un tren de olas que se propaga
    horizontalmente en aguas de gran profundidad puede desarrollarse
    en potencias de la amplitud a en la forma: ?? = ?? cos ???? –
    ???? + ????2 cos 2 ???? – ???? + ?? 2 ??3 cos 3 ???? – ???? + ?
    ?? ?????? ?? ???? – ???? ??2 = ???? 1 + ?? 2 ??2 + ?? 3 ??3 + ? +
    ?? ?? ???? La ecuación en derivadas parciales se trata de
    un problema de frontera libre. Es decir, donde la
    condición de contorno es una incógnita del
    problema, la función en nuestro caso. En efecto, dado que
    el fluido es el agua supondremos por simplicidad que es
    incomprensible y sin viscosidad, y además imponemos que la
    vorticidad es cero, las ecuaciones en el interior se reducen a la
    ecuación de Laplace sobre el potencial cuyo gradiente
    determina la velocidad del fluido. El fenómeno ondulatorio
    se encuentra precisamente en las condiciones de contorno, que en
    la frontera libre están determinadas por las ecuaciones de
    Euler y por tanto no son lineales. Al linearizar estas
    últimas dos ecuaciones, se obtiene:

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    Donde ??: es la frecuencia angular, ??: es el número de
    onda, h : Es la profundidad, ??: La constante de
    gravitación universal. ?? = ???? tanh ??h

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    3.0. Algunas consideraciones sobre la teoría lineal de
    ondas de gravedad Al primer orden de aproximación, la
    solución al problema de contorno que supone una onda de
    gravedad desplazándose con forma constante sobre un fondo
    de profundidad h, en un fluido sin viscosidad y con flujo
    irrotacional, viene determinado por el siguiente potencial de
    velocidades ??: ?? ??, ??, ??, ?? = ???? cosh ?? ?? + h 2?? cosh
    ??h sin ???? cos ?? + ???? sin ?? – ????

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    Siendo: ?? = ?? + h Además: ?? = ?? ?????? ?? + ????
    ?????? ?? – ???? Por lo tanto: ?? ??, ??, ??, ?? = ???? cosh ????
    2?? cos ??h sin ??

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    ??2 ?? Donde: ??: Aceleración de la gravedad equivale a
    9,81 ??: Altura de ola (distancia vertical desde la cresta al
    seno de la onda) ??: Frecuencia angular de la onda, ?? = ??:
    Periodo de la onda ?? 2?? ?????? ?? ??2 ??: Número de
    onda, ?? = 2?? ?????? ?? ?? ??: Longitud de onda ?? ??:
    Coordenada vertical. Origen en la superficie, positiva hacia
    arriba h: Profundidad del agua (distancia positiva desde la
    superficie al fondo) ??: Coordenada horizontal ?? ??: Coordenada
    horizontal ?? ??: Coordenada de tiempo ?? ??: Ángulo entre
    la dirección de propagación de la onda y el eje ??
    ?????? ??: Fase de la onda

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    2 2 A partir del potencial de velocidades ?? se pueden obtener
    todas las variables cinemáticas de la onda, en particular,
    el desplazamiento vertical de la superficie libre. Esta se modela
    como: ?? ?? ??, ??, ?? = cos ?? ?? ?? ??, ??, ?? = cos ?? ??????
    ?? + ???? ?????? ?? – ???? Componentes vectoriales de la
    velocidad de las partículas bajo la onda, se modelan como:
    ???? = ?? = ?????? cosh ???? 2?? cosh ??h cos ?? cos ??

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    8 ???? = ?? = ?????? cosh ???? 2?? cosh ??h sin ?? cos ?? ???? =
    ?? = ?????? cosh ???? 2?? cosh ??h sin ?? La expresión de
    la Energía cinética, energía potencial y
    energía total media temporal, por unidad de área
    horizontal, se formula como: ???? = ???? = 1 16 ??????2 La
    Energía total es: 1 ?? = ???? + ???? = ??????2

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    ?? 2 Donde: ??: Densidad del agua ???? ??3 ??: Altura de ola
    (distancia vertical desde la cresta al seno de la onda) ?? La
    celeridad de la onda, o velocidad de propagación de la
    forma, viene dada por la expresión: ?? = ?? ?? = ?? ?? ??
    = tanh ??h La celeridad de grupo o velocidad de
    propagación de la energía, viene dada por: ?? ????
    = 1 + 2??h sinh 2??h

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    El flujo de energía medio (temporal en el tiempo) por
    unidad de anchura, viene dado por: ?? = ?????? El desplazamiento
    vertical de la superficie del mar generado por el viento en el
    océano cambia aleatoriamente con el tiempo. Por ello, las
    olas generadas por el viento (llamadas SEA) en un punto presentan
    características (altura, período) variables
    aleatoriamente de una ola a otra. Con frecuencia se observa que
    las olas rompen cuando su peralte supera un determinado
    límite. Cuando las olas se propagan fuera del área
    de generación (fuera de la zona donde sopla el viento),
    los procesos de dispersión y disipación regularizan
    la superficie del mar (mar tendida, de fondo o SWELL).Otro cambio
    importante de la superficie del mar se observa cuando la
    profundidad disminuye y la cinemática del oleaje alcanza
    el fondo.

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    Figura 5: registro temporal indefinidos seguido por un registro
    del mismo oleaje en otro punto

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    ??2 ?? 3.1. Análisis del oleaje a corto plazo:
    descripción espectral del estado de mar Supóngase
    que se considera una onda progresiva en profundidades indefinidas
    con el sistema de coordenadas ??, ??, ?? fijo en el espacio, con
    ?? = 0 en el nivel medio y positivo hacia arriba y sea ?? el
    ángulo que forma la dirección de propagación
    con el eje ??, con sentido positivo contrario a las agujas del
    reloj. Con estos ejes, la superficie libre, h(??, ??, ??) de una
    onda propagándose en profundidades indefinidas puede ser
    descrita, en primera aproximación, por una sinusoide
    definida por: ?? ??, ??, ?? = ?? cos ?? cos ?? + ?? sin ?? – ????
    + ??

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    Asúmase ahora que la superficie libre puede ser
    interpretada como la suma de un número infinito de
    componentes sinusoidales de amplitudes, frecuencias y
    ángulos ???? , ???? ???? y aleatorios, cubriendo el rango
    0 <
    ???? < 8, 0 < ???? < 8, -?? < ???? < ??,
    respectivamente. La fase ?? es también aleatoria, con
    distribución uniforme en el rango -?? < ???? < ??
    y su magnitud depende de la frecuencia y del ángulo. De
    esta manera, se puede describir el desplazamiento vertical de la
    superficie libre del mar debido a un oleaje irregular mediante la
    sumatoria: ?? ??, ??, ?? = 8 ??=1 ???? ?????? ???? 2 ?? ?? ??????
    ???? + ?? ?????? ???? – ???? ?? + ??

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    Figura 6: modelación de un oleaje de generación por
    viento(SEA) Figura 7: Modelación del espectro de un oleaje
    en el que se combinan mar de viento mar de fondo.(SWELL)

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    ?? Como las olas en el océano no se mueven necesariamente
    en la misma dirección que el viento, la energía del
    oleaje representada en el espectro es la suma de las
    energías propagándose en muchas direcciones. Por lo
    tanto se hace necesario considerar una función de densidad
    espectral direccional ??(??, ??), que representa la
    energía total por unidad de área horizontal,
    promediada en el tiempo, existente en cada intervalo de
    frecuencia ??? y en cada intervalo de dirección ???. Si la
    energía por unidad de área total del oleaje, 1
    promediada en el tiempo, en el recinto (???, ???) se representa
    por 2 ???????? 2 , donde ???? es una variable aleatoria positiva,
    entonces se puede escribir, ignorando el factor????: ?? ??, ??
    ??? ??? = 1 2 2 ??

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    lim El promediado temporal de la energía total de las olas
    de todas las frecuencias y direcciones de un oleaje viene dado
    por: 1 ???8 2 8 2???? i=?? ??=??? ???? 2 = ?? 8 -?? 0 ?? ??, ??
    ???????? Esta última ecuación, es la base de la
    descripción estocástica del oleaje. Figura 8:
    Ejemplo de espectro direccional

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    3.2. Parámetros espectrales El espectro del oleaje
    contiene gran cantidad de información que puede ser
    representada mediante la introducción de una serie de
    parámetros que sirven para conocer las
    características principales de dicho espectro. Algunos de
    estos parámetros espectrales aparecen frecuentemente en
    las funciones de distribución estadísticas
    asociadas al oleaje. Se define el momento de orden ?? de la
    función de densidad espectral como: ???? = 8 ???? ?? ??
    ???? 0 ?? = 0,1,2,3,4, … .

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    El momento de orden cero ??0 , coincide con la varianza total de
    proceso ?? 2 . Si el proceso que se representa es la
    variación vertical de la superficie libre, la varianza
    coincide con el cuadrado del desplazamiento cuadrático
    medio, ???????? magnitud proporcional a la energía por
    unidad de área del estado de mar. El momento de orden cero
    ??0 , está relacionado con una altura de ola
    representativa del estado de mar ????0 , o altura de ola del
    momento de orden cero mediante la expresión: ????0 = 4,004
    ??0 Si el proceso es de banda estrecha y la distribución
    de altura de ola de Rayleigh, se puede demostrar que: ????0 =
    4,004???????? = ????

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    0 0 El flujo medio de energía, en lo sucesivo potencia del
    oleaje, es la magnitud que se emplea en el cálculo de la
    potencia disponible en un estado de mar. La Ecuación que
    describe el flujo de energía representa la potencia media
    en un periodo, por unidad de anchura, que atraviesa un plano
    perpendicular a la dirección de propagación que se
    extendiera desde la superficie hasta el fondo. Si dicho estado de
    mar está representado por su espectro direccional ??(??,
    ??) (que recordemos representa la energía por unidad de
    área asignada a cada componente de frecuencia ?? y
    dirección ??) el flujo de energía medio temporal
    que atraviesa un cilindro vertical de diámetro unidad,
    extendido desde la superficie hasta el fondo, viene dado, por el
    producto de la suma de todos los elemento de celeridad de
    gravedad y los flujo de energía asignados a cada
    componente: ???? = ???? 2?? 8 ???? ??, h ?? ??, ?? ????????

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    La dirección media de la potencia del oleaje viene
    definida como: ???? = arctan 2?? 8 0 0 2?? 8 0 0 ???? ??, h ????
    ??, h ?? ??, ?? sin ?? ???????? ?? ??, ?? cos ?? ????????

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    6.0. Bibliografía 1. Evaluación del potencial de la
    Energía de las olas. IDEA Instituto para la
    diversificación y ahorro de la Energía 2. Memoria
    de Titulo para la obtención del grado de Ingeniero Civil
    Eléctrico, Sobre la Energía Undimotriz.
    Nicolás Alberto Bravo Moya, Universidad de Chile 2008

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