5 FÓRMULAS MATEMÁTICAS INTRODUCCIÓN Las
fórmulas, que vamos a denominar como “PRS”
establecen: PRS1) En un polígono cuadrado, cuyo lado tenga
cualquier longitud, trazando una diagonal al mismo y dividiendo
el perímetro de dicho cuadrado por su diagonal, se obtiene
siempre como resultado el número fijo: 2,8284…,
(equivalente a la raíz cuadrada de 8). A dicho
número fijo si le añadimos más decimales
quedaría así: 2,82842712474…, y es
comparable al número fijo”pi”:
3,14159265358…, que es el resultado de dividir la longitud
de una circunferencia por su diámetro. Ambos
números son irracionales y tienen decimales infinitos.
PRS2) En un triángulo rectángulo, cuyos dos catetos
sean iguales, la hipotenusa es igual al resultado de multiplicar
un cateto por 4, y dividirlo por el número fijo, 2,8284.
PRS3) En un círculo, su área es igual a multiplicar
el área del cuadrado inscrito por el número fijo,
1,5707. PRS4) En una circunferencia, su longitud es igual al
perímetro del cuadrado inscrito multiplicado por el
número fijo 1,1107. PRS5) En un círculo y en una
circunferencia, el área del cuadrado inscrito es igual al
resultado de multiplicar el diámetro por el radio.
DESARROLLO DE LA TEORÍA FÓRMULA “PRS
1”: PRS1) En un polígono cuadrado, cuyo lado tenga
cualquier longitud, trazando una diagonal al mismo y dividiendo
el perímetro de dicho cuadrado por su diagonal, se obtiene
siempre como resultado el número fijo: 2,8284…,
(equivalente a la raíz cuadrada de 8).
6 perímetro ___ ——————– = 2,
82842712474…, = v 8 diagonal perímetro = diagonal x
2,8284 perímetro diagonal = —————— 2,8284
Observaciones: Para los ejemplos tomaremos el número,
2,8284 con cuatro decimales. Para casos donde queramos una
exactitud más precisa podemos añadir más
decimales al ser un número irracional con decimales
infinitos. DEMOSTRACIÓN FÓRMULA PRS1: Ejemplo:
Cuadrado, cuyos lados miden 5 cm. de longitud. lado = 5 cm.;
perímetro = 20 cm. ¿cual es la longitud de la
diagonal? La diagonal de acuerdo con la fórmula “PRS
1” es igual a: perímetro diagonal =
—————— 2,8284
7 perímetro = 5cm. X 4 lados = 20 cm. 20 cm. diagonal =
————– = 7, 07 cm. 2, 8284 La diagonal del cuadrado
anterior, como hemos demostrado con la fórmula PRS1, tiene
una longitud de 7,07 cm. La diagonal, como podemos apreciar,
divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos
iguales, siendo la diagonal la hipotenusa de ambos
triángulos. Vamos a hallar la hipotenusa de ambos
triángulos utilizando la fórmula del teorema de
Pitágoras, donde podremos comprobar que el resultado es el
mismo que utilizando la fórmula PRS 1. Teorema de
Pitágoras: En un triángulo rectángulo la
hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos. Hipotenusa² = Cateto 1² + Cateto 2²
Siendo los lados del cuadrado los catetos de los dos
triángulos que se forman, tendremos que: lado = 5 cm.
d² =l² + l² d ² = 5² + 5² ___ d = v
50 = 7,07 cm.
8 OBSERVACIONES: Como queda demostrado la longitud de la diagonal
nos da: 7,07 cm., el mismo resultado con el teorema de
Pitágoras que utilizando la fórmula PRS1.
9 FÓRMULA “PRS 2” PR2) En un triángulo
rectángulo, cuyos dos catetos sean iguales, la hipotenusa
es igual al resultado de multiplicar un cateto por 4 y dividirlo
por el número fijo: 2,8284. 4.l h = ————— 2,8284
DEMOSTRACION PRS2: Ejemplo: Cuadrado, cuyos lados miden 5 cm. de
longitud. lado = 5 cm. Basándonos en el cuadrado de la
figura, donde ya conocemos del ejercicio anterior, que la
diagonal divide al cuadrado en dos triángulos
rectángulos iguales y que la diagonal es la hipotenusa que
mide 7 ,07 cm. aplicamos la fórmula PRS2. Fórmula
PRS2: 4.l h = ————— 2,8284 5.4 h = ————- = 7,07
cm. 2, 8284
10 FÓRMULA “PRS 3” PRS3) En un círculo,
el área es igual a multiplicar el área del cuadrado
inscrito por el número fijo: 1,5707. Área
círculo = área cuadrado inscrito x 1,5707 R adio =
7 cm. DEMOSTRACION 1, UTILIZANDO LA FÓRMULA PRS1 PARA
HALLAR EL ÁREA DEL CUADRADO Área circulo =
área cuadrado inscrito x 1,5707 Radio = 7 cm. Diagonal =
14 cm. Lado = x Perímetro, según fórmula
PRS1 = diagonal x 2,8284 Perímetro = 14 . 2,8284 = 39,5976
cm. 39,5976 Lado = ———– = 9,8994 cm. 4 Área
cuadrado = l ² = 9,8994 ² = 97,9981 cm2 Área
circulo = área cuadrado inscrito x 1,5707 Área
circulo = 97,9981 x 1,5707 = 153,9 cm2
11 DEMOSTRACIÓN 2, UTILIZANDO EL TEOREMA DE
PITÁGORAS PARA HALLAR EL ÁREA DEL CUADRADO
INSCRITO. Área círculo = área cuadrado
inscrito x 1,5707 Radio = 7 cm. Diagonal o diámetro = 14
cm. La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos
rectángulos iguales, cuya hipotenusa es la diagonal que
mide 14 cm. Un cateto que es el lado del cuadrado medirá:
h² = l ² + l ² 14² = l ² + l ² 196
= 2. l ² 196 l ² = ———– = 98 cm² 2
Área cuadrado = l ² = 98 cm² __ l = v 98 =
9,8994 cm., lado o cateto Área circulo = área
cuadrado inscrito x 1,5707 Área círculo = 98 x
1,5707 = 153,9 cm2 DEMOSTRACION 3, UTILIZANDO EL NÚMERO PI
(FÓRMULA TRADICIONAL), PARA HALLAR EL ÁREA DEL
CÍRCULO. Área del círculo = pi x r² ? .
r ² = 3,1415 . 7² = 3,1415 . 49 = 153,9 cm2.
12 FÓRMULA “PRS 4” PRS4) En una
circunferencia, su longitud es igual al perímetro del
cuadrado inscrito multiplicado por el número fijo 1,1107.
Long. Circunf. = P x 1,1107 DEMOSTRACION : Radio de la
circunferencia = 5 cm. ______ ___ Lado del cuadrado= v 5² +
5² = v 50 = 7,0710 Perímetro del cuadrado = 7,0710 x
4 = 28,284 cm. Hemos utilizado para hallar la longitud del lado
el teorema de Pitágoras, pero igualmente podemos utilizar
la fórmula PRS1: Fórmula PRS1 perímetro =
diagonal x 2,8284 = 10 x 2,8284 = 28,284 cm. long. Circ. = p x
1,1107 = 28,284 x 1,1107 = 31,41 cm. FORMULA TRADICIONAL
UTILIZANDO EL NÚMERO PI: Long. Circunferencia = 2 .p . r =
31,41 cm.
13 FÓRMULA “PRS 5” PRS 5) El área del
cuadrado inscrito en una circunferencia o en un círculo es
igual al resultado de multiplicar el diámetro por el radio
(D x r) DEMOSTRACION : Radio = 5cm. Diámetro = 10cm.
Área cuadrado inscrito = D.r ; = 10. 5 = 50 cm²
Ejercicio siguiente: Por el teorema de Pitágoras hallamos
un lado que es igual a la raíz cuadrada de 50. Por lo
tanto como la fórmula para hallar el área del
cuadrado es igual a multiplicar un lado al cuadrado nos da como
resultado 50 cm² ______ ___ l = v 5² + 5² = v 50 =
7,0710 Si tenemos en cuenta que la diagonal del cuadrado inscrito
divide al mismo en dos triángulos rectángulos
iguales, nos encontramos con lo siguiente: Dos triángulos
iguales cuya base es la diagonal y su altura es el radio. Como el
área del triangulo es base por altura dividido por dos,
multiplicamos la diagonal por el radio y si dividimos por dos
tendremos el área del triangulo, pero como son dos
triángulos iguales no dividimos por dos y tendremos
directamente el área de los dos triángulos que es
equivalente al área del cuadrado que forman.
14 APLICACIONES DE LAS FORMULAS PRS Fórmula PRS1,
aplicación: PRS1) En un polígono cuadrado, cuyo
lado tenga cualquier longitud, trazando una diagonal al mismo y
dividiendo el perímetro de dicho cuadrado por su diagonal,
se obtiene siempre como resultado el número fijo:
2,8284…, (equivalente a la raíz cuadrada de 8). El
conocimiento y la aplicación de esta fórmula
matemática puede ser de relevado interés en
geometría. El conocer un número fijo, invariable,
que nos indica la relación entre el perímetro de un
polígono cuadrado y su diagonal, nos está dotando
de más herramientas, desconocidas hasta ahora, para
resolver problemas de geometría. Como podemos apreciar
más adelante en el desarrollo de la fórmula, dicho
número fijo nos facilita el conocer el perímetro
del cuadrado, si conocemos la diagonal, o conocer la diagonal si
conocemos el perímetro. Así mismo, pueden ser
infinitas las operaciones matemáticas que se pueden
desarrollar utilizando la diagonal como punto de partida y
conociendo de antemano el resultado de las mencionadas e
infinitas operaciones como quedará probado en las
conclusiones. perímetro ___ ——————– = 2,
82842712474…, = v 8 diagonal perímetro = diagonal x
2,8284 perímetro diagonal = ——————
2,8284
15 Fórmula PRS2, aplicación: PR2) En un
triángulo rectángulo, cuyos dos catetos sean
iguales, la hipotenusa es igual al resultado de multiplicar un
cateto por 4, y dividirlo por el número fijo, 2,8284 l.4 h
= ————— 2,8284 Se puede aplicar esta fórmula
para conocer la hipotenusa en todos los casos de
triángulos rectángulos cuyos catetos sean iguales,
sin necesidad de utilizar el teorema de Pitágoras, con una
simple multiplicación y una división.
Fórmula PRS3, aplicación: PRS3) área circulo
= área cuadrado inscrito x 1,5707 Esta fórmula es
aplicable para hallar el área del círculo.
Conociendo el radio o la diagonal del círculo formamos un
cuadrado inscrito en el mismo, hallamos su área y el
resultado lo multiplicamos por el número fijo: 1,5707. Es
una fórmula alternativa para hallar el área del
círculo sin tener que utilizar el tradicional y milenario
número pi. Fórmula PRS4, aplicación: PRS4)
En una circunferencia, su longitud es igual al perímetro
del cuadrado inscrito multiplicado por el número fijo
1,1107. Esta fórmula es aplicable para hallar la longitud
de la circunferencia. Conociendo el radio o la diagonal de la
circunferencia formamos un cuadrado inscrito, hallamos su
perímetro y lo multiplicamos por el número fijo:
1,1107. Es una fórmula alternativa para hallar la longitud
de la circunferencia sin tener que utilizar el número pi.
También con esta fórmula conocemos la
relación existente entre la curva de una circunferencia si
esta la convertimos en una línea recta.
16 Fórmula PRS5, aplicación: PRS5) El área
del cuadrado inscrito en una circunferencia o en un
círculo es igual al resultado de multiplicar el
diámetro por el radio. Esta fórmula es un atajo
más para conocer el área del cuadrado inscrito en
un círculo o en una circunferencia solamente conociendo el
radio o el diámetro.
17 CONCLUSIONES , FÓRMULA PRS 1 PRS1) En un
polígono cuadrado, cuyo lado tenga cualquier longitud,
trazando una diagonal al mismo y dividiendo el perímetro
de dicho cuadrado por su diagonal, se obtiene siempre como
resultado el número fijo: 2,8284…, (equivalente a
la raíz cuadrada de 8). Las posibilidades de la
fórmula PRS1 pueden ser infinitas. Si tenemos en cuenta
que, un espacio, de cualquier longitud, donde tracemos una
línea recta, si esta la consideramos siempre como la
diagonal de un supuesto cuadrado inscrito en un círculo,
conocemos simultáneamente lo que miden: La diagonal que
estamos formando; la hipotenusa y los lados de los dos
triángulos rectángulos que se forman a su vez; los
lados del cuadrado; los grados de todos los ángulos que se
forman; el diámetro y el radio de un círculo donde
estaría inscrito el cuadrado que se forma; el radio y
diámetro de una circunferencia; el perímetro del
cuadrado y de los dos triángulos; el área de los
dos triángulos; el área del cuadrado; el
área del círculo; la longitud de la circunferencia;
áreas y volúmenes de la esfera, etc., etc., si
además consideramos que el radio del supuesto
círculo donde está inscrito el cuadrado, y que es
el mismo radio de la esfera, podría ser también el
mismo radio de un cilindro, si consideramos que la esfera
está inscrita en un cilindro, podremos conocer
también simultáneamente áreas y
volúmenes de: Cilindro, etc., y nos estamos introduciendo
en conocer unos datos a priori inimaginables e infinitos por cada
millonésima de milímetro que avancemos con la
diagonal del cuadrado desde el cero hasta el infinito. A partir
de un punto cero, hasta el infinito, según vamos avanzando
con una línea que ya conocemos, simultáneamente
vamos conociendo todas las demás medidas Para medir
cualquier superficie es necesario conocer un largo y un ancho,
para un volumen, un largo, un ancho y un alto. Con esta
fórmula no necesitamos conocer nada, partimos del cero y
cualquier cantidad pequeña o grande, situándola
como el diámetro del cuadrado, a partir de ahí,
conocemos todo lo demás que se pueda relacionar. Las
posibilidades pueden ser infinitas, si toda la información
que ya conocemos a priori se introduce en una computadora.
18 Ejemplo de algunas posibilidades de la fórmula PRS 1
apuntadas en las conclusiones. Avanzamos con una línea
recta, por ejemplo, 10 cm. desde un punto cero.
0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10…, DIAGONAL = 10 cm., que hemos
avanzado con una línea partiendo de un punto cero. Ya
sabemos, considerando siempre que la línea recta que
trazamos es el diámetro de un cuadrado, que el cuadrado
que estamos formando tiene cuatro lados y mide cada uno:
7,0710cm.; el perímetro de dicho cuadrado es de: 28,284
cm.; la superficie es de, 50 cm2; el triángulo
rectángulo que formamos tiene una hipotenusa de 10 cm. ,
así como, que sus dos catetos mide cada uno 7,0170 cm.
cada uno; dos triángulos iguales, cuya base mide 10 cm. y
su altura 5 cm.(al ser la mitad de la diagonal de 10 cm. que
forma el cuadrado; un ángulo de 90 grados y dos de 45
grados cada triángulo; un circulo circunscrito cuyo
diámetro es de 10 cm. y cuya superficie es igual a :
78,5375 cm2; una circunferencia cuyo radio mide 5 cm., su
diagonal 10 cm. y su longitud : 31,41 cm.; una esfera,
(considerando al cuadrado inscrito en un círculo) cuyo
radio es de 10 cm. y cuya superficie es de, 4 * 3,1415 * radio al
cuadrado = 314,15 cm2; y su volumen: 4/3 * 3,1415 * radio al cubo
= 523,58 cm3. Una semiesfera, cuya superficie es de: 157, 075 cm2
y su volumen de: 261,79 cm3. Así mismo, considerando la
esfera inscrita en un cilindro conocemos áreas y
volúmenes del cilindro, etc. y cuantas variables haya
posibilidad de relacionar.
19 CONCLUSIONES PRS2 PRS2) En un triángulo
rectángulo, cuyos dos catetos sean iguales, la hipotenusa
es igual al resultado de multiplicar un cateto por 4, y dividirlo
por el número fijo, 2,8284 (v 8) . Se puede aplicar esta
fórmula para hallar la longitud de la hipotenusa cuando
los dos catetos sean iguales, sin necesidad de aplicar el teorema
de Pitágoras, siendo bastante más sencillo.
CONCLUSIONES PRS3 PRS3) En un círculo, el área es
igual a multiplicar el área del cuadrado inscrito por el
número fijo, 1,5707. Aplicando esta fórmula, como
hemos demostrado, hallamos el área del círculo
prescindiendo del milenario número “pi”.
CONCLUSIONES PRS4 PRS4) En una circunferencia, la longitud es
igual al perímetro del cuadrado inscrito multiplicado por
el número fijo 1,1107. Aplicando esta fórmula, como
hemos demostrado, hallamos la longitud de la circunferencia
prescindiendo del milenario número “pi”.
También conocemos la relación existente entre la
curva de una circunferencia si la misma la convertimos en una
línea recta. CONCLUSIONES PRS5 PRS 5) En un círculo
y en una circunferencia, el área del cuadrado inscrito es
igual al resultado de multiplicar el diámetro por el
radio. Esta fórmula es un atajo más para conocer el
área del cuadrado inscrito en un círculo o en una
circunferencia solamente conociendo el radio o el
diámetro. Copyright©Pedro Ruiz Sánchez
2010,R.P.I. nº 08/2010/009