vii
PRESENTACIÓN
La Estadística en la antigüedad era empleada en asuntos del Estado tales como en los censos de
población o bienes, organizados por el poder político con fines militares o fiscales. La Estadística en la
actualidad es utilizada en todos los campos de saber humano, así por ejemplo, en los juegos de azar se
emplea conocimientos de las probabilidades estadísticas, los investigadores utilizan conocimientos
estadísticos para probar hipótesis, los gerentes de las empresas usan gráficos estadísticos para el control
de la calidad de los servicios y productos que la empresa oferta, etc.
El objetivo del presente libro es incursionar a los lectores en la resolución de ejercicios y problemas de
aplicación de las probabilidades y de la estadística en diversos casos de la vida cotidiana de manera
manual y recurriendo al uso de Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) tales como
Excel, Winstats, Graph y GeoGebra. Se presentan ejemplos ilustrativos prácticos que han sido
cuidadosamente seleccionados y resueltos didácticamente, paso a paso, empleando un lenguaje
matemático de fácil comprensión.
En cada capítulo constan los resultados de aprendizaje que se espera que el lector sea capaz de lograr al
finalizar cada uno de los mismos, los contenidos a tratar y las tareas de interaprendizaje. Los
contenidos y las tareas de interaprendizaje se han desarrollado de manera secuencial interrelacionadas
entre sí. En el primer capítulo se desarrolla la introducción a la probabilidad (análisis combinatorio,
conceptos básicos y reglas de la probabilidad), en el segundo capítulo se desarrollan las distribuciones
de probabilidad discretas (binomial, Poisson e hipergeométrica) y continuas (exponencial, uniforme y
normal), el tercer capítulo está dedicado a la estimación de intervalos de confianza (para la media, para
la proporción y el tamaño de la muestra), en el cuarto capítulo se desarrolla la prueba de hipótesis
(Z prueba, t prueba, Razón de F Fisher y Ji cuadrado), y en el quinto capítulo se desarrollan las
aplicaciones de gráficas estadísticas en el control de la calidad (gráficas para variables y para atributos).
Al final del libro se presentan tablas de probabidades elaboradas en Excel y un formulario con ejemplos
ilustrativos resueltos sobre conocimientos estadísticos básicos tales como el cálculo del tamaño de la
muestra, regla de Esturges, medidas de tendecia central, medidas de dispersión y medidas de forma,
correlación y regresión, y series crononógicas.
Los contenidos y procesos didácticos de interaprendizaje del presente libro son el fruto de la práctica en
el aula durante algunos años de labor docente y que han sido publicados en
http://es.scribd.com/mariosuarezibujes,
https://docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591,
http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/760,
http://www.monografias.com/usuario/perfiles/mario_suarez_7/monografias, por lo que se infiere que el
mismo tendrá la aceptación por parte de los lectores y contribuirá a mejorar significativamente el
proceso de interaprendizaje de las probabilidades y de la estadística.
Convencido de que ninguna obra humana es perfecta, serán ustedes estimados lectores, los que con sus
sugerencias contribuirán a mejorar la presente propuesta de interaprendizaje.
El Autor
Mgs. Mario Suárez
Interaprendizaje de Probabilidades y Estadística empleando las TIC
Año
Año(X)
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
OBJETIVO: Verificar los resultados de aprendizaje desarrollados por l@s lectores a través del
presente cuestionario para emitir suicios de valor y tomar decisiones.
INSTRUCCIONES:
Estimado lector:
? La evaluación tiene una duración de 2 horas.
? Cada pregunta tiene una valoración de dos puntos.
? No se ortorgará valoración a una respuesta correcta que no esté acompañada de un proceso de
solución escrito.
? Use hojas adicionales y un esferográfico para resolver el presente cuestionario.
? Lea cuidadosamente el cuestionario y conteste según sus conocimientos previos.
¡Éxito!
CUESTIONARIO
1) Elabore un diagrama de caja y bigotes dada la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17
2) Calcule la moda en forma gráfica empleando un histograma con los siguientes datos:
Intervalo o Clase ??
10-19
20-29
30-39
40-49
50-59
3
7
15
12
8
3) Calcule el punto centroide con los datos de la siguiente tabla sobre la altura en centímetros (X) y los
pesos en kilogramos (Y) de una muestra de estudiantes varones tomada al azar del segundo semestre de
una universidad. Elabore las gráficas respectivas
X 152 157 162 167 173 178 182 188
Y 56 61 67 72 70 72 83 92
4) Calcule y grafique la ecuación de la parábola ?? = ??0 + ??1 ?? + ??2 ??2 por el método de los mínimos
cuadrados dada la siguiente tabla sobre la población de un país:
1960 1965197019751980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
Población (millones) 4,52 5,18 6,25 7,42 8,16 9,12 10,92 11,6212,6813,1213,97
5) Calcule la ecuación de la recta de tendencia por el método de los semipromedios, pronostique la
tendencia de ventas para el 2011, elabore el diagrama de dispersión, y grafique la recta de tendencia
con los siguientes datos sobre las ventas en millones de dólares de la Empresa D & M
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Ventas(Y) 1,5
1,8
2
1,5
2,2
2
3
2,8
2,4
2,9
3
Nota: La solución de la presente prueba se encuentra al final del libro (en el formulario)
Mgs. Mario Suárez
Interaprendizaje de Probabilidades y Estadística empleando las TIC
viii
9
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
RESULTADOS DE APRENDIZAJE DEL CAPÍTULO
Al finalizar el presente capítulo el lector podrá evidenciar que:
? Identifica las características, propiedades y aplicaciones del análisis combinatorio, de las
probabilidades y de las posibilidades.
? Utiliza algoritmos del análisis combinatorio, de las probabilidades y de las posibilidades para
resolver ejercicios y problemas de aplicación de manera manual y empleando Excel.
? Plantea y resuelve ejercicios y problemas de aplicación sobre análisis combinatorio, probabilidades
y posibilidades de manera manual y utilizando Excel.
CONTENIDOS
? Análisis Combinatorio: Factorial, Permutaciones y Combinaciones
? Conceptos básicos: Experimento, Experimento Aleatorio, Espacio Muestral, Evento o Suceso,
Probabilidad y Posibilidad.
? Reglas de la Probabilidad: Regla de la adición (para eventos no mutuamente excluyentes y para
eventos mutuamente excluyentes) y regla de la multiplicación (para eventos dependientes y para
eventos independientes)
? Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
10
1.1) ANÁLISIS COMBINATORIO
A) FACTORIAL
La factorial está relacionada con el cálculo del número de maneras en las que un conjunto de cosas
puede arreglarse en orden.
El número de maneras en el que las n cosas pueden arreglarse en orden es:
??! = ??(?? – 1)(?? – 2) … … . .1
Donde n! se llama el factorial de n y 0! se define como 1
Ejemplos ilustrativos
1) Calcular 7!
Solución:
??! = ??(?? – 1)(?? – 2) … … . .1
7! = 7(7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5)1
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
7! = 5040
En Excel se calcula de la siguiente manera:
a) Insertar función. Seleccionar la categoría Matemáticas y trigonométricas. Seleccionar la función
FACT
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
11
b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro
correspondiente a Número seleccionar la celda correspondiente al factorial a calcular (A2).
c) Clic en Aceptar
2) Calcular 3!4!
Solución:
3! 4! = (3 · 2 · 1)(4 · 3 · 2 · 1) = 144
En Excel se calcula como indica la siguiente figura:
3) Si un conjunto de 6 libros se colocan en un estante. ¿De cuántas formas es posible ordenar estos
libros?
Solución:
??! = ??(?? – 1)(?? – 2) … … . .1
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
6! = 720
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
??
=
??
12
B) PERMUTACIONES
En muchos casos se necesita saber el número de formas en las que un subconjunto de un grupo
completo de cosas puede arreglarse en orden. Cada posible arreglo es llamado permutación. Si un orden
es suficiente para construir otro subconjunto, entonces se trata de permutaciones.
El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos en orden, es decir, el
número de permutaciones de n elementos tomados r a la vez es:
????
= ??(?? – 1)(?? – 2) … (?? – ?? + 1) =
??!
(?? – ??)!
Nota: si ?? = ??, entonces la permutación se tranforma en factorial, es decir:
?????? =
??! ??!
= = ??!
(?? – ??)! 0!
Ejemplos ilustrativos:
1) Calcular 7P3
Solución:
n = 7 y r = 3, entonces aplicando la fórmula se obtiene:
????
??!
(?? – ??)!
? 7??3 =
7! 7! 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
= =
(7 – 3)! 4! 4·3·2·1
= 7 · 6 · 5 = 210
7??3
En Excel se calcula de la siguiente manera:
a) Insertar función. Seleccionar la categoría de Estadísticas. En función seleccionar la opción
PERMUTACIONES.
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
=
??
13
b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro Número
seleccionar la celda correspondiente a n (B1), en el recuadro de Tamaño seleccionar la celda
correspondiente a r (B2).
c) Clic en Aceptar
2) Si se desean ordenar 6 libros en un estante, pero sólo hay espacio para 3 libros. Calcular el número
de resultados posibles de ordenar dichos libros
Solución: Como se pide calcular 6P3, entonces,
????
??!
(?? – ??)!
? 6??3 =
6! 6! 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
= =
(6 – 3)! 3! 3·2·1
= 6 · 5 · 4 = 120
Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguientes figuras: En programa GeoGebra, en Entrada: se
escribe nPr y aparece nPr[ , ]. Se escribe los números 6 y 3, quedando nPr[ 6,3].
Enter
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
??
14
C) COMBINACIONES
En muchos situaciones no interesa el orden de los resultados, sino sólo el número de maneras en las que
r objetos pueden seleccionarse a partir de n cosas, sin consideración de orden. Si dos subconjntos se
consideran iguales debido a que simplemente se han reordenado los mismos elementos, entonces se
trata de combinaciones.
El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos, sin considerar el
orden, es decir, el número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez es:
??????
??
=( )=
??(?? – 1)(?? – 2) … (?? – ?? + 1)
??!
=
??!
??! (?? – ??)!
Ejemplos ilustrativos:
1) Calcular 7C3
Solución:
n = 7 y r = 3, entonces aplicando la fórmula se obtiene:
??????
=
??!
??! (?? – ??)!
? 7??3 =
7! 7!
=
3! (7 – 3)! 3! 4!
7??3
=
7·6·5·4·3·2·1
(3 · 2 · 1)(4 · 3 · 2 · 1)
= 7 · 5 = 35
En Excel se calcula de la siguiente manera:
a) Insertar función. Seleccionar la categoría de Matemáticas y trigonométricas. En función seleccionar
la opción COMBINAT
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
?????? = ? 6??3 = = =
15
b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro Número
seleccionar la celda correspondiente a n (B1), en el recuadro de Tamaño seleccionar la celda
correspondiente a r (B2).
c) Clic en Aceptar
2) Si se desean ordenar 6 libros en un estante, pero sólo hay espacio para 3 libros. Calcular el número
de resultados posibles de acomodar dichos libros sin importar el orden.
Solución:
Como se pide calcular 6C3 , entonces,
??! 6! 6! 6·5·4·3·2·1
??! (?? – ??)! 3! (6 – 3)! 3! 3! (3 · 2 · 1)(3 · 2 · 1)
= 5 · 4 = 20
Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente figura:
Se escribe en Entrada: Número y aparece NúmeroCombinatorio[ ,
]. Digitar el 6 y el 3, y queda NúmeroCombinatorio[ 6,3]. Enter
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
5 5
6 5 5
16
TAREA DE INTERAPRENDIZAJE N° 1
1) Realice un organizador gráfico (mapa conceptual, organigrama, mentefacto, etc.) sobre el análisis
combinatorio.
2) Resuelva de manera manual, empleando Excel y GeoGebra
2.1) 8!
40320
2.2) 10!
3628800
2.3) 8P3
336
2.4) 10P3
720
2.5) 8C3
56
2.6) (
10
3
)
120
3) En la fórmula de la permutación, ¿qué valor debe tener r para que la permutación sea igual a la
factorial?. Ilustre su respuesta con un ejemplo
n
4) Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel para que compruebe las siguientes
igualdades:
4.1) 5! = 5??5
4.2) ( ) = ( )
0 5
4.3) ( ) – ( ) = ( )
3 3 2
5) Don Albertito desea parquear 3 automóviles en su garaje. Calcular el número de resultados posibles
de parquear dichos automóviles. Realice los cálculos de manera manual y empleando GeoGebra
6
6) Se desea ordenar 4 libros en un estante. Calcular el número de resultados posibles de ordenar los
mencionados libros. Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel
24
7) Se desea ordenar 4 libros en un estante, pero solo hay espacio para 2 libros. Calcular el número de
resultados posibles de ordenar los mencionados libros. Realice los cálculos de manera manual y
empleando GeoGebra
12
8) ¿De cuántas maneras posibles se puede formar con 8 personas una comisión de 3 miembros?.
Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel
56
9) Consulte en la biblioteca o en el internet sobre la importancia de las permutaciones y combinaciones,
y presente la consulta mediante un organizador gráfico.
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
17
1.2) CONCEPTOS BÁSICOS
A) EXPERIMENTO.- Es toda acción sobre la cual vamos a realizar una medición u observación, es
decir cualquier proceso que genera un resultado definido.
B) EXPERIMENTO ALEATORIO.- Es toda actividad cuyos resultados no se determinan con
certeza. Ejemplo: lanzar una moneda al aire. No podemos determinar con toda certeza ¿cuál será el
resultado al lanzar una moneda al aire?, por lo tanto constituye un experimento aleatorio.
C) ESPACIO MUESTRAL (S).- Es un conjunto de todos los resultados posibles que se pueden
obtener al realizar un experimento aleatorio. Ejemplo: sea el experimento E: lanzar un dado y el
espacio muestral correspondiente a este experimento es: S = ?1, 2, 3, 4, 5, 6?.
D) PUNTO MUESTRAL.- Es un elemento del espacio muestral de cualquier experimento dado.
E) EVENTO O SUCESO.- Es todo subconjunto de un espacio muestral. Se denotan con letras
mayúsculas: A, B, etc. Los resultados que forman parte de este evento generalmente se conocen como
“resultados favorables”. Cada vez que se observa un resultado favorable, se dice que “ocurrió” un
evento. Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar un dado. Un posible evento podría ser que salga número
par. Definimos el evento de la siguiente manera: A = sale número par = ?2, 4, 6?, resultados favorables
n(E) = 3
Los eventos pueden ser:
i) Evento cierto.- Un evento es cierto o seguro si se realiza siempre. Ejemplo: Al introducirnos en el
mar, en condiciones normales, es seguro que nos mojaremos.
ii) Evento imposible.- Un evento es imposible si nunca se realiza. Al lanzar un dado una sola vez, es
imposible que salga un 10
iii) Evento probable o aleatorio.- Un evento es aleatorio si no se puede precisar de antemano el
resultado. Ejemplo: ¿Al lanzar un dado, saldrá el número 3?
F) PROBABILIDAD.- Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y
tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el
evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 (evento imposible) y un evento que ocurra con
certeza es de 1 (evento cierto).
La probabilidad de que ocurra un evento, siendo ésta una medida de la posibilidad de que un suceso
ocurra favorablemente, se determina principalmente de dos formas: empíricamente (de manera
experimental) o teóricamente (de forma matemática).
i) Probabilidad empírica.- Si E es un evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento,
entonces la probabilidad empírica del evento E, que a veces se le denomina definición de frecuencia
relativa de la probabilidad, está dada por la siguiente fórmula:
??(??) =
??ú???????? ???? ?????????? ?????? ???????????? ???? ???????????? ??
??ú???????? ???? ?????????? ?????? ???? ????????????ó ???? ??????????????????????
Nota: P(E), se lee probabilidad del evento E
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
=
18
Ejemplo ilustrativos
1) En el año 2010, nacieron en un hospital 100 hombres y 150 mujeres. Si una persona fue seleccionada
aleatoriamente de los registros de nacimientos de ese año, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
mujer?
Solución:
Ya que las probabilidades de que nazcan hombres o mujeres no son iguales, y por tener información
específica experimental que respalda este hecho, se calcula empleando la fórmula de la probabilidad
experimental
??(??) =
??ú???????? ???? ?????????? ?????? ???????????? ???? ???????????? ??
??ú???????? ???? ?????????? ?????? ???? ????????????ó ???? ??????????????????????
??(??????????????) =
??ú???????? ???? ?????????????????????? ???? ??????????????
??ú???????? ?????????? ???? ??????????????????????
150 150 3
= = = 0,6 = 60%
100 + 150 250 5
Nota: la respuesta puede estar expresada como fracción, como un número decimal y como un
porcentaje.
2) La siguiente tabla muestra el número de cajas y el número de artículos dañados por caja que un
comerciante recibió. Calcular la probabilidad para cada resultado individual
N° de cajas
50
40
10
N° de artículos dañados
0
2
3
Solución:
Ya que las probabilidades de defectos por caja no son iguales, y por tener información específica
experimental que respalda este hecho, se calcula empleando la definición de frecuencia relativa de la
probabilidad.
N° de cajas
50
40
10
100
N° de artículos dañados
0
2
3
P(E)
P(0) = 50/100 = 1/2 = 0,5 = 50%
P(2) = 40/100 = 2/5 = 0,4 = 40%
P(3) = 10/100 = 1/10 = 0,1 = 10%
1 = 100%
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
=
19
Nota:
La respuesta 0,5 significa que existe una probabilidad de 0,5 o del 50% de que 0 artículos en cualquier
caja dada estuviera dañado
La respuesta 0,4 significa que existe una probabilidad de 0,4 o del 40% de que 2 artículos en cualquier
caja dada estuviera dañado
La respuesta 0,1 significa que existe una probabilidad de 0,1 o del 10% de que 3 artículos en cualquier
caja dada estuviera dañado
La suma de las probabilidades individuales siempre es igual a 1 que en porcentaje es igual al 100%
ii) Probabilidad teórica.- Si todos los resultados en un espacio muestral S finito son igualmente
probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E está
dada por la siguiente fórmula, que a veces se le denomina la definición clásica de la probabilidad,
expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoría analítica de la probabilidad publicada en 1812:
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? ??(??)
=
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????? ???????????????????? ??(??)
Ejemplos ilustrativos
1) En cierta rifa de un automóvil se venden 5000 boletos. Calcular la probabilidad de ganarse el
automóvil
1.1) Si se compran 20 boletos.
1.2) Si se compran todos los boletos
1.3) Si no se compran boletos
Solución:
Ya que el espacio muestral S (5000 boletos) es finito, y los resultados de cada boleto son igualmente
probables, se calcula empleando la fórmula de la definición clásica de la probabilidad
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ????????????????????
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
=
??(??)
??(??)
20 1
1.1) ??(20) = = = 0,004 = 0,4%
5000 250
5000
1.2) ??(5000) = = 1 = 100%
5000
0
1.3) ??(0) = = 0 = 0%
5000
2) Calcular la probabilidad de obtener un número impar en el lanzamiento de un dado
Solución:
Espacio muestral = S = ?1, 2, 3, 4, 5, 6?, entonces, n(S) = 6
Resultados favorables = ?1, 3, 5?, entonces, n(E) = 3
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ????????????????????
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
??(??) 3 1
= = = 0,5 = 50%
??(??) 6 2
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
¯
¯ ¯
¯
¯
¯
20
3) En un ánfora existe 10 fichas amarillas, 6 rojas y 4 azules.
3.1) ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha amarilla en un primer intento?
3.2) ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha no roja en un primer intento?
Solución:
n(S) = 10 + 6 + 4 = 20
3.1) n(E) = 10
??(??) =
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ????????????????????
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
10 1
= = 0,5 = 50%
20 2
=
??(??)
??(??)
3.2) Si P(E) es la probabilidad de que ocurra el evento E y ??(??) la probabilidad de que no ocurra el
evento E. Debido a que la suma de las probabilidades siempre da como resultado 1, es decir,
??(??) + ??(??) = 1, por lo que se tiene: ??(??) = 1 – ??(??),
Calculando la probabilidad de sacar una ficha roja se obtiene:
n(E) = 6
??(??) =
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ????????????????????
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
6
= 0,3
20
=
??(??)
??(??)
Calculando la probabilidad de sacar una ficha no roja se obtiene:
??(??) = 1 – ??(??)
??(??) = 1 – ??(??)
??(??) = 1 – 0,3 = 0,7
4) En una urna existe 10 bolas numeradas con los números dígitos.
4.1) ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola enumerada con un número múltiplo de 3?
4.2) ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola enumerada con un número divisor de 6?
Solución:
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ????????????????????
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
=
??(??)
??(??)
Espacio muestral = S = ?0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?, entonces, n(S) = 10
4.1)
Resultados favorables = ?3, 6, 9?, entonces, n(E) = 3
??(??ú???????????? ???? 3) =
Mgs. Mario Suárez
3
10
Introducción a la Probabilidad
21
4.2)
Resultados favorables = ?1, 2, 3, 6?, entonces, n(E) = 4
??(?????????????? ???? 6) =
4 2
= = 0,4 = 40%
10 5
5) De una urna que contiene 2 bolas rojas y 3 azules
5.1) Se extrae una bola, calcular la probabilidad de que la bola sea
a) Roja
b) Azul
Solución:
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ???????????????? = ??(??) = 2 + 3 = 5
a) Roja (R)
??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? = ??(??) = 2
Remplazando valores en la fórmula de la probabilidad teórica se tiene
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ????????????????????
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
=
??(??)
??(??)
? ??(??) =
2
5
b) Azul (A)
??ú???????? ???? ???????????????????? ???????????????????? = ??(??) = 3
Remplazando valores en la fórmula de la probabilidad teórica se tiene
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ????????????????????
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
=
??(??)
??(??)
? ??(??) =
3
5
5.2) Se extraen simultáneamente dos bolas, calcular la probabilidad de que las dos sean
a) Azules
b) Rojas
c) Diferente color
Designando por ??1 , ??2 , las bolas rojas y por ??1 , ??2 , ??3 las azules se tiene el siguiente espacio
muestral:
??1 ??2 , ??1 ??1 , ??1 ??2 , ??1 ??3
??2 ??1 , ??2 ??2 , ??2 ??3
??1 ??2 , ??1 ??3
??2 ??3
Entonces, n(S) = 4 + 3+ 2+ 1 = 10
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
22
a) Azules
Resultados favorables = {??1 ??2 , ??1 ??3 , ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 3
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ????????????????????
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
=
??(??)
??(??)
??(????) =
3
10
Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:
El espacio muestral se calcula aplicando la fórmula de la combinación, es decir,
??(??) = ?????? =
??!
??! (?? – ??)!
En donde:
n = número total de bolas = 2 + 3 = 5
r = número de bolas azules motivo de probabilidad = 2
Entonces, remplazando valores en la fórmula de la combinación se obtiene:
??(??) = 5??2 =
5! 5! 5·4·3·2·1
= =
2! (5 – 2)! 2! 3! (2 · 1)(3 · 2 · 1)
= 5 · 2 = 10
El número de resultados favorables se calcula aplicando la fórmula de la combinación, es decir,
??(??) = ?????? =
??!
??! (?? – ??)!
En donde:
n = número total de bolas azules = 3
r = número de bolas azules motivo de probabilidad = 2
Entonces, remplazando valores en la fórmula de la combinación se obtiene:
??(??) = 3??2 =
3! 3! 3·2·1
= =
2! (3 – 2)! 2! 1! (2 · 1)(1 · 1)
=3
Reemplazando valores en la fórmula de la probabilidad se tiene:
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ????????????????????
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
=
??(??)
??(??)
??(????) =
??(??)
??(??)
=
3??2
5??2
=
3
10
Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
23
b) Rojas
Resultados favorables = {??1 ??2 }, entonces, n(E) = 1
??(????) =
??(??) 1
=
??(??) 10
Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:
??(????) =
??(??)
??(??)
=
2??2
5??2
=
1
10
= 0,1
Los cálculos en GeoGebra aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:
c) Diferente color
Resultados favorables = {??1 ??1 , ??1 ??2 , ??1 ??3 , ??2 ??1 , ??2 ??2 , ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 6
??(??) =
??(??) 6 3
= =
??(??) 10 5
Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:
??(??) =
??(??)
??(??)
=
2??1 · 3??1
5??2
=
6 3
=
10 5
Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:
5.3) Se extraen simultáneamente tres bolas, calcular la probabilidad de que las tres sean
a) Dos rojas y una azul
b) Una roja y dos azules
c) Tres azules
Solución:
Designando por ??1 , ??2 , las bolas rojas y por ??1 , ??2 , ??3 las azules se tiene el siguiente espacio
muestral:
??1 ??2 ??1 , ??1 ??2 ??2 , ??1 ??2 ??3
??1 ??1 ??2 , ??1 ??1 ??3
??1 ??2 ??3
??2 ??1 ??2 , ??2 ??1 ??3
??2 ??2 ??3
??1 ??2 ??3
Entonces, n(S) = 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 10
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
24
a) Dos rojas y una azul
Resultados favorables = {??1 ??2 ??1 , ??1 ??2 ??2 , ??1 ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 3
??(??) =
??(??) 3
=
??(??) 10
Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:
??(??) =
??(??)
??(??)
=
2??2 · 3??1
5??3
=
3
10
= 0,3
Los cálculos en GeoGebra aplicando NúmeroCombinatorio se muestran en la siguiente figura:
b) Una roja y dos azules
Resultados favorables = {??1 ??1 ??2 , ??1 ??1 ??3 , ??1 ??2 ??3 , ??2 ??1 ??2 , ??2 ??1 ??3 , ??2 ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 6
??(??) =
??(??) 6 3
= =
??(??) 10 5
Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:
??(??) =
??(??)
??(??)
=
2??1 · 3??2
5??3
=
6 3
=
10 5
c) Tres azules
Resultados favorables = {??1 ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 1
??(??) =
??(??) 1
=
??(??) 10
Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:
??(??) =
??(??)
??(??)
=
3??3
5??3
=
1
10
= 0,1
Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente figura:
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
25
5.4) Se extraen simultáneamente cuatro bolas, calcular la probabilidad de que las cuatro sean
a) Dos rojas y dos azules
b) Una roja y tres azules
Solución:
Designando por ??1 , ??2 , las bolas rojas y por ??1 , ??2 , ??3 las azules se tiene el siguiente espacio
muestral:
??1 ??2 ??1 ??2 , ??1 ??2 ??1 ??3 , ??1 ??2 ??2 ??3 , ??1 ??1 ??2 ??3 , ??2 ??1 ??2 ??3
Entonces, n(S) = 5
a) Dos rojas y dos azules
Resultados favorables = {??1 ??2 ??1 ??2 , ??1 ??2 ??1 ??3 , ??1 ??2 ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 3
??(??) =
??(??) 3
=
??(??) 5
Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:
??(??) =
??(??)
??(??)
=
2??2 · 3??2
5??4
=
3
5
b) Una roja y tres azules
Resultados favorables = { ??1 ??1 ??2 ??3 , ??2 ??1 ??2 ??3 }, entonces, n(E) = 2
??(??) =
??(??) 2
=
??(??) 5
Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:
??(??) =
??(??)
??(??)
=
2??1 · 3??3
5??4
=
2
5
6) De una urna que contiene 6 bolas rojas y 5 negras se extraen simultáneamente dos bolas, calcular la
probabilidad de que:
6.1) Las dos sean rojas
6.2) Las dos sean negras
6.3) De diferente color
Solución:
6.1)
??(??) =
??ú???????? ???? ???????????????????? ????????????????????
??ú???????? ?????????? ???? ???????????????????? ????????????????
=
??(??)
??(??)
Mgs. Mario Suárez
Introducción a la Probabilidad
