. .
a a
o
a a
a a
a
o
a
u o
u o
o
Una Reformulaci´n de la Mec´nica Cl´sica
Antonio A. Blatter
Licencia Creative Commons Atribuci´n 3.0
(2015) Buenos Aires
Argentina
Este trabajo presenta una reformulaci´n de la mec´nica cl´sica que es
invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y
no inerciales y que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia
sin necesidad de introducir las fuerzas ?cticias.
Introducci´n
La reformulaci´n de la mec´nica cl´sica que este trabajo presenta se desarrolla a partir de
un sistema auxiliar de part´iculas (denominado free-system) que es utilizado para obtener
magnitudes cinem´ticas (denominadas inerciales) que son invariantes bajo transformaciones
entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales.
La posici´n inercial ri , la velocidad inercial vi y la aceleraci´n inercial ai de una part´icula i,
est´n dadas por:
.
ri = (ri – R)
.
vi = (vi – V ) – ? × (ri – R)
.
ai = (ai – A) – 2 ? × (vi – V ) + ? × [ ? × (ri – R) ] – a × (ri – R)
( vi = d(ri )/dt ) y ( ai = d2 (ri )/dt2 ) donde ri es el vector de posici´n de la part´icula i, R es
el vector de posici´n del centro de masa del free-system y ? es el vector de velocidad angular
del free-system (ver Anexo I )
La fuerza neta Fi que act´a sobre una part´icula i (mi ) produce una aceleraci´n inercial ai ,
seg´n la siguiente ecuaci´n:
Fi = mi ai
Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ?cticias
sobre Fi .
Las magnitudes [ mi , ri , vi , ai y Fi ] son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de
referencia inerciales y no inerciales.
Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ? del free-system respecto a S
es igual a cero y S es adem´s inercial si la aceleraci´n A del centro de masa del free-system
respecto a S es igual a cero.
1
N
i
N
i
N
i
N
i
N
i
N
i
o
o
N
i
N
i
N
i
N
i
1
2
N
i
N
i
1
2
e
a
N
i
1
2
N
i
N
i
1
2
e
a
De?niciones
Para un sistema de N part´iculas, las siguientes de?niciones son aplicables:
Masa
.
M =
N
i
mi
Posici´n CM 1
Velocidad CM 1
Aceleraci´n CM 1
Posici´n CM 2
Velocidad CM 2
Aceleraci´n CM 2
.
Rcm = M-1
.
Vcm = M-1
.
Acm = M-1
.
Rcm = M-1
.
Vcm = M-1
.
Acm = M-1
mi ri
mi vi
mi ai
mi ri
mi vi
mi ai
Momento Lineal 1
Momento Angular 1
Momento Angular 2
Trabajo 1
Energ´ia Cin´tica 1
Energ´ia Potencial 1
.
P1 =
.
L1 =
.
L2 =
.
W1 =
.
? K1 =
.
? U1 = –
mi vi
mi ri × vi
mi (ri – Rcm ) × (vi – Vcm )
Fi · dri = ? K1
? 1/2 mi (vi )2
Fi · dri
Energ´ia Mec´nica 1
Lagrangiano 1
.
E1 = K1 + U1
.
L1 = K1 – U1
Trabajo 2
Energ´ia Cin´tica 2
Energ´ia Potencial 2
.
W2 =
.
? K2 =
.
? U2 = –
Fi · d(ri – Rcm ) = ? K2
? 1/2 mi (vi – Vcm )2
Fi · d(ri – Rcm )
Energ´ia Mec´nica 2
Lagrangiano 2
.
E2 = K2 + U2
.
L2 = K2 – U2
2
N
i
N
i
N
i
e
a
N
i
N
i
N
i
e
a
N
i
1
2
N
i
N
i
1
2
e
a
N
i
1
2
N
i
N
i
1
2
e
a
2
e
a
Trabajo 3
Energ´ia Cin´tica 3
Energ´ia Potencial 3
.
W3 =
.
? K3 =
.
? U3 = –
? 1/2 Fi · ri = ? K3
? 1/2 mi ai · ri
? 1/2 Fi · ri
Energ´ia Mec´nica 3
.
E3 = K3 + U3
Trabajo 4
Energ´ia Cin´tica 4
Energ´ia Potencial 4
.
W4 =
.
? K4 =
.
? U4 = –
? 1/2 Fi · (ri – Rcm ) = ? K4
? 1/2 mi (ai – Acm ) · (ri – Rcm )
? 1/2 Fi · (ri – Rcm )
Energ´ia Mec´nica 4
.
E4 = K4 + U4
Trabajo 5
.
W5 =
Fi · d(ri – R) + ? 1/2 Fi · (ri – R)
= ? K5
Energ´ia Cin´tica 5
Energ´ia Potencial 5
.
? K5 =
.
? U5 = –
? 1/2 mi (vi – V )2 + (ai – A) · (ri – R)
Fi · d(ri – R) + ? 1/2 Fi · (ri – R)
Energ´ia Mec´nica 5
.
E5 = K5 + U5
Trabajo 6
.
W6 =
Fi · d(ri – Rcm ) + ? 1/2 Fi · (ri – Rcm )
= ? K6
Energ´ia Cin´tica 6
Energ´ia Potencial 6
.
? K6 =
.
? U6 = –
? 1/2 mi (vi – Vcm )2 + (ai – Acm ) · (ri – Rcm )
Fi · d(ri – Rcm ) + ? 1/2 Fi · (ri – Rcm )
Energ´ia Mec´nica 6
.
E6 = K6 + U6
Relaciones
En un sistema de part´iculas, entre las energ´ias cin´ticas, las energ´ias potenciales y las energ´ias
mec´nicas, se dan siempre estas relaciones (ver Anexo II )
K1 = K2 + 1/2 M Vcm
K3 = K4 + 1/2 M Acm · Rcm
K5 = K6 + 1/2 M (Vcm – V )2 + (Acm – A) · (Rcm – R)
K5 = K1 + K3 & U5 = U1 + U3
K6 = K2 + K4 & U6 = U2 + U4
& E5 = E1 + E3
& E6 = E2 + E4
3
e
N
i
N
i
N
i
N
i
N
i
=
N
i
N
i
a
a
a
N
i
N
i
a
a
Principios
El momento lineal [ P1 ] de un sistema aislado de N part´iculas permanece constante si las
fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´bil.
P1 = constante
d(P1 )/dt =
mi ai =
Fi = 0
El momento angular [ L1 ] de un sistema aislado de N part´iculas permanece constante si las
fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte.
L1 = constante
d(L1 )/dt =
mi ri × ai
=
ri × Fi = 0
El momento angular [ L2 ] de un sistema aislado de N part´iculas permanece constante si las
fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte.
L2 = constante
d(L2 )/dt =
mi (ri – Rcm ) × (ai – Acm )
mi (ri – Rcm ) × ai
=
(ri – Rcm ) × Fi = 0
Las energ´ias mec´nicas [ E1 y E2 ] de un sistema de N part´iculas permanecen constantes si
el sistema est´ sujeto solamente a fuerzas conservativas.
E1 = constante
E2 = constante
? E1 = ? K1 + ? U1 = 0
? E2 = ? K2 + ? U2 = 0
Las energ´ias mec´nicas [ E3 y E4 ] de un sistema de N part´iculas son siempre iguales a cero,
por lo tanto, permanecen siempre constantes.
E3 = constante
E3 =
1/2
mi ai · ri – Fi · ri
= 0
E4 = constante
E4 =
1/2
mi ai · (ri – Rcm ) – Fi · (ri – Rcm )
= 0
N
i
1/2
mi (ai – Acm ) · (ri – Rcm )
=
N
i
1/2
mi ai · (ri – Rcm )
Las energ´ias mec´nicas [ E5 y E6 ] de un sistema de N part´iculas permanecen constantes si
el sistema est´ sujeto solamente a fuerzas conservativas.
E5 = constante
E6 = constante
? E5 = ? K5 + ? U5 = 0
? E6 = ? K6 + ? U6 = 0
4
k
k
k
k
ia a
ia a ia
a
ia a
ia a ia
a
o e
ia a
k k
o e
ia a
k k
o e
ia e
k
o e
ia e
k
o e
e
k
o e
e
k
Observaciones
Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia
inercial o no inercial.
Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ?cticias
sobre Fi .
En este trabajo, las magnitudes [ m, r, v, a, M, R, V, A, F, P1 , L1 , L2 , W1 , K1 , U1 , E1 , L1 ,
W2 , K2 , U2 , E2 , L2 , W3 , K3 , U3 , E3 , W4 , K4 , U4 , E4 , W5 , K5 , U5 , E5 , W6 , K6 , U6 y E6 ]
son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales.
La energ´ mec´nica E3 de un sistema de part´iculas es siempre igual a cero [ E3 = K3 +U3 = 0 ]
Por lo tanto, la energ´ mec´nica E5 de un sistema de part´iculas es siempre igual a la energ´
mec´nica E1 del sistema de part´iculas [ E5 = E1 ]
La energ´ mec´nica E4 de un sistema de part´iculas es siempre igual a cero [ E4 = K4 +U4 = 0 ]
Por lo tanto, la energ´ mec´nica E6 de un sistema de part´iculas es siempre igual a la energ´
mec´nica E2 del sistema de part´iculas [ E6 = E2 ]
Si la energ´ia potencial U1 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k
entonces la energ´ potencial U3 y la energ´ia potencial U5 del sistema de part´iculas, est´n
dadas por: [ U3 = ( 2 ) U1 ] y [ U5 = (1+ 2 ) U1 ]
Si la energ´ia potencial U2 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k
entonces la energ´ potencial U4 y la energ´ia potencial U6 del sistema de part´iculas, est´n
dadas por: [ U4 = ( 2 ) U2 ] y [ U6 = (1+ 2 ) U2 ]
Si la energ´ia potencial U1 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k
y si la energ´ cin´tica K5 del sistema de part´iculas es igual a cero entonces se obtiene:
[ K1 = – K3 = U3 = ( 2 ) U1 = ( 2+k ) E1 ]
Si la energ´ia potencial U2 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k
y si la energ´ cin´tica K6 del sistema de part´iculas es igual a cero entonces se obtiene:
[ K2 = – K4 = U4 = ( 2 ) U2 = ( 2+k ) E2 ]
Si la energ´ia potencial U1 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k
y si el promedio de la energ´ia cin´tica K5 del sistema de part´iculas es igual a cero entonces
se obtiene: [ K1 = – K3 = U3 = ( 2 ) U1 = ( 2+k ) E1 ]
Si la energ´ia potencial U2 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k
y si el promedio de la energ´ia cin´tica K6 del sistema de part´iculas es igual a cero entonces
se obtiene: [ K2 = – K4 = U4 = ( 2 ) U2 = ( 2+k ) E2 ]
5
? ?
¨
e
¨
.
¨
e e
ia e e
e ? ? r
ia e e
e ´ ia e
ia ia
e
ia ia
e
ia ia
e
o
a o
ia
a
a a
a
El promedio de la energ´ia cin´tica K5 y el promedio de la energ´ia cin´tica K6 de un
sistema de part´iculas con desplazamiento acotado son siempre iguales a cero.
La energ´ cin´tica K5 y la energ´ia cin´tica K6 de un sistema de N part´iculas pueden ser
N .
tambi´n expresadas como sigue: [ K5 = i 1/2 mi ( ri ri + ¨i ri ) ] donde ri = | ri – R |
N .
y [ K6 = j >i 1/2 mi mj M-1 ( rij rij + rij rij ) ] donde rij = | ri – rj |
La energ´ cin´tica K5 y la energ´ia cin´tica K6 de un sistema de N part´iculas pueden ser
N .
tambi´n expresadas como sigue: [ K5 = i 1/2 mi ( ti ) ] donde ti = 1/2 (ri – R) · (ri – R)
N
y [ K6 = j >i 1/2 mi mj M-1 ( tij ) ] donde tij = 1/2 (ri – rj ) · (ri – rj )
La energ´ia cin´tica K6 es la unica energ´ cin´tica que puede ser expresada sin necesidad
de introducir magnitud alguna relacionada con el free-system [ tales como: r, v, a, ?, R, etc. ]
En un sistema aislado de part´iculas la energ´ potencial U2 es igual a la energ´ potencial
U1 si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´bil [ U2 = U1 ]
En un sistema aislado de part´iculas la energ´ potencial U4 es igual a la energ´ potencial
U3 si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´bil [ U4 = U3 ]
En un sistema aislado de part´iculas la energ´ potencial U6 es igual a la energ´ potencial
U5 si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´bil [ U6 = U5 ]
Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ? del free-system respecto a S
es igual a cero y S es adem´s inercial si la aceleraci´n A del centro de masa del free-system
respecto a S es igual a cero.
Si el origen de un sistema de referencia no rotante [ ? = 0 ] coincide siempre con el centro
de masa del free-system [ R = V = A = 0 ] entonces se logra: [ ri = ri , vi = vi y ai = ai ]
Por lo tanto, es posible a?rmar que siempre: [ vi = d(ri )/dt y ai = d2 (ri )/dt2 ]
Este trabajo no contradice la primera y segunda ley de Newton puesto que estas dos leyes
siguen siendo v´lidas en cualquier sistema de referencia inercial. La ecuaci´n [ Fi = mi ai ]
es una simple reformulaci´n de la segunda ley de Newton.
Bibliograf´
A. Einstein, Sobre la Teor´ia de la Relatividad Especial y General.
E. Mach, La Ciencia de la Mec´nica.
R. Resnick y D. Halliday, F´isica.
J. Kane y M. Sternheim, F´isica.
H. Goldstein, Mec´nica Cl´sica.
L. Landau y E. Lifshitz, Mec´nica.
6
a
o
o
a
N
i
N
i
N
i
.
N
i
N
i
Anexo I
Free-System
El free-system es un sistema de N part´iculas que est´ siempre libre de fuerzas externas e
internas, que es tridimensional y que las distancias relativas entre las N part´iculas permanecen
siempre constantes.
La posici´n R, la velocidad V y la aceleraci´n A del centro de masa del free-system respecto
a un sistema de referencia S, la velocidad angular ? y la aceleraci´n angular a del free-system
respecto al sistema de referencia S, est´n dadas por:
.
M =
N
i
mi
.
R = M-1
.
V = M-1
.
A = M-1
. ?
? = I -1 · L
.
a = d(?)/dt
mi ri
mi vi
mi ai
?
I =
.
L =
?
mi [ |ri – R |2 1 – (ri – R) ? (ri – R) ]
mi (ri – R) × (vi – V )
?
donde M es la masa del free-system, I es el tensor de inercia del free-system (respecto a R)
y L es el momento angular del free-system respecto al sistema de referencia S.
Transformaciones
.
(ri – R) = ri = ri
.
(ri – R ) = ri = ri
.
(vi – V ) – ? × (ri – R) = vi = vi
.
(vi – V ) – ? × (ri – R ) = vi = vi
.
(ai – A) – 2 ? × (vi – V ) + ? × [ ? × (ri – R) ] – a × (ri – R) = ai = ai
.
(ai – A ) – 2 ? × (vi – V ) + ? × [ ? × (ri – R ) ] – a × (ri – R ) = ai = ai
7
-?
=
=
=
=
2
2
-?
Anexo II
Relaciones
En un sistema de part´iculas se dan siempre estas relaciones ( Las magnitudes Rcm , Vcm , Acm ,
Rcm , Vcm y Acm pueden ser reemplazadas por las magnitudes R, V, A, R, V y A o por las
magnitudes rj , vj , aj , rj , vj y aj , respectivamente. Por otro lado, siempre R = V = A = 0 )
.
ri = (ri – R)
.
Rcm = (Rcm – R)
-?
(ri – Rcm ) = (ri – Rcm )
.
vi = (vi – V ) – ? × (ri – R)
.
Vcm = (Vcm – V ) – ? × (Rcm – R)
(vi – Vcm ) = (vi – Vcm ) – ? × (ri – Rcm )
(vi – Vcm ) · (vi – Vcm ) =
(vi – Vcm ) – ? × (ri – Rcm ) · (vi – Vcm ) – ? × (ri – Rcm )
(vi -Vcm ) · (vi -Vcm ) – 2 (vi -Vcm ) · ? × (ri – Rcm ) + ? × (ri – Rcm ) · ? × (ri – Rcm )
(vi -Vcm ) · (vi -Vcm ) + 2 (ri – Rcm ) · ? × (vi -Vcm ) + ? × (ri – Rcm ) · ? × (ri – Rcm )
(vi -Vcm ) · (vi -Vcm ) + 2 ? × (vi -Vcm ) · (ri – Rcm ) + ? × (ri – Rcm ) · ? × (ri – Rcm )
(vi – Vcm )2 + 2 ? × (vi – Vcm ) · (ri – Rcm ) + ? × (ri – Rcm )
(ai – Acm ) · (ri – Rcm ) =
(ai – Acm ) – 2 ? × (vi – Vcm ) + ? × [ ? × (ri – Rcm ) ] –
a × (ri – Rcm ) · (ri – Rcm ) = (ai – Acm ) · (ri – Rcm ) – 2 ? × (vi – Vcm ) · (ri – Rcm ) +
? × [ ? × (ri – Rcm ) ] · (ri – Rcm ) – a × (ri – Rcm ) · (ri – Rcm ) = (ai – Acm ) · (ri – Rcm ) –
2 ? × (vi – Vcm ) · (ri – Rcm ) +
? · (ri – Rcm ) ? – ( ? · ? ) (ri – Rcm ) · (ri – Rcm ) =
(ai – Acm ) · (ri – Rcm ) – 2 ? × (vi -Vcm ) · (ri – Rcm ) + ? · (ri – Rcm )
– ( ? )2 (ri – Rcm )2
(vi – Vcm )2 + (ai – Acm ) · (ri – Rcm ) = (vi – Vcm )2 + (ai – Acm ) · (ri – Rcm )
8
e
1
2
1
2
N
j >i
1
2
1
2
e
N
i
N
i
N
i
1
2
N
i
1
2
Anexo III
Magnitudes
Las magnitudes L2 , W2 , K2 , U2 , W4 , K4 , U4 , W6 , K6 y U6 de un sistema de N part´iculas
pueden ser tambi´n expresadas como sigue:
L2 =
N
j >i
mi mj M-1 (ri – rj ) × (vi – vj )
W2 =
N
j >i
mi mj M-1
(Fi /mi – Fj /mj ) · d(ri – rj )
? K2 =
N
j >i
? 1/2 mi mj M-1 (vi – vj )2 = W2
? U2 = –
N
j >i
mi mj M-1
(Fi /mi – Fj /mj ) · d(ri – rj )
W4 =
N
j >i
? 1/2 mi mj M-1 (Fi /mi – Fj /mj ) · (ri – rj )
? K4 =
N
j >i
? 1/2 mi mj M-1 (ai – aj ) · (ri – rj )
= W4
? U4 = –
? 1/2 mi mj M-1 (Fi /mi – Fj /mj ) · (ri – rj )
W6 =
N
j >i
mi mj M-1
(Fi /mi – Fj /mj ) · d(ri – rj ) + ? 1/2 (Fi /mi – Fj /mj ) · (ri – rj )
? K6 =
N
j >i
? 1/2 mi mj M-1 (vi – vj )2 + (ai – aj ) · (ri – rj )
= W6
? U6 = –
N
j >i
mi mj M-1
(Fi /mi -Fj /mj )·d(ri -rj )+? 1/2 (Fi /mi -Fj /mj )·(ri -rj )
Las magnitudes W(1 al 6) y U(1 al 6) de un sistema aislado de N part´iculas cuyas fuerzas
internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´bil se reducen a:
W1 = W2 =
N
i
2
1
Fi · dri
? U1 = ? U2 = –
N
i
2
1
Fi · dri
W3 = W4 =
? 1/2 Fi · ri
? U3 = ? U4 = –
W5 = W6 =
? U5 = ? U6 = –
? 1/2 Fi · ri
Fi · dri + ? 1/2 Fi · ri
Fi · dri + ? 1/2 Fi · ri
9