? ? ? ? ? ? ? ? 1/2 ? ? ? ? ? ? ? ? Una Reformulación de
la Mecánica Clásica Alejandro A. Torassa Licencia
Creative Commons Atribución 3.0 (2014) Buenos Aires,
Argentina atorassa@gmail.com Resumen Este trabajo presenta una
reformulación de la mecánica clásica que es
invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia y
que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia
(rotante o no rotante) (inercial o no inercial) sin necesidad de
introducir fuerzas ?cticias. Introducción La
reformulación de la mecánica clásica
presentada en este trabajo se desarrolla a partir de una
ecuación general de movimiento. Este trabajo considera que
todo observador S utiliza un sistema de referencia S y un sistema
de referencia dinámico S. La ecuación general de
movimiento es una ecuación de transformación entre
el sistema de referencia S y el sistema de referencia
dinámico S. La posición dinámica ra , la
velocidad dinámica va y la aceleración
dinámica aa de una partícula A de masa ma respecto
al sistema de referencia dinámico S están dadas
por: ra = (Fa /ma ) dt dt va = (Fa /ma ) dt aa = (Fa /ma ) donde
Fa es la fuerza resultante que actúa sobre la
partícula A. La velocidad angular dinámica ?S y la
aceleración angular dinámica aS del sistema de
referencia S ?jo a una partícula S respecto al sistema de
referencia dinámico S están dadas por: ?S =
± (F1 /ms – F0 /ms ) · (r1 – r0 )/(r1 – r0 )2 aS =
d(?S )/dt donde F0 y F1 son las fuerzas resultantes que
actúan sobre el sistema de referencia S en los puntos 0 y
1, r0 y r1 son las posiciones de los puntos 0 y 1 respecto al
sistema de referencia S y ms es la masa de la partícula S
(el punto 0 es el origen del sistema de referencia S y el centro
de masa de la partícula S) (el punto 0 pertenece al eje de
rotación dinámica y el segmento 01 es perpendicular
al eje de rotación dinámica) (el vector ?S es
colineal con el eje de rotación dinámica) 1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? Ecuación General de Movimiento La ecuación
general de movimiento para dos partículas A y B respecto a
un observador S es: ma mb ra – rb – ma mb ra – rb = 0 donde ma y
mb son las masas de las partículas A y B, ra y rb son las
posiciones de las partículas A y B, ra y rb son las
posiciones dinámicas de las partículas A y B.
Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo, se
obtiene: ma mb (va – vb ) + ?S × (ra – rb ) – ma mb va – vb
= 0 Derivando nuevamente con respecto al tiempo, se obtiene: ma
mb (aa – ab ) + 2 ?S × (va – vb ) + ?S × (?S ×
(ra – rb )) + aS × (ra – rb ) – ma mb aa – ab = 0 Sistemas
de Referencia Aplicando la ecuación anterior a dos
partículas A y S, se tiene: ma ms (aa – as ) + 2 ?S
× (va – vs ) + ?S × (?S × (ra – rs )) + aS
× (ra – rs ) – ma ms aa – as = 0 Si dividimos por ms y si
el sistema de referencia S ?jo a la partícula S (rs = 0,
vs = 0 y as = 0) es rotante respecto al sistema de referencia
dinámico S (?S = 0) entonces se obtiene: ma aa + 2 ?S
× va + ?S × (?S × ra ) + aS × ra – ma aa
– as = 0 Si el sistema de referencia S es no rotante respecto al
sistema de referencia dinámico S (?S = 0) entonces se
obtiene: ma aa – ma aa – as = 0 Si el sistema de referencia S es
inercial respecto al sistema de referencia dinámico S (?S
= 0 y as = 0) entonces se obtiene: ma aa – ma aa = 0 o sea: ma aa
– Fa = 0 o bien: Fa = ma aa donde esta ecuación es la
segunda ley de Newton. 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ecuación de Movimiento Desde la
ecuación general de movimiento se deduce que la
aceleración aa de una partícula A de masa ma
respecto a un sistema de referencia S ?jo a una partícula
S de masa ms está dada por: aa = Fa ma – 2 ?S × va –
?S × (?S × ra ) – aS × ra – Fs ms donde Fa es
la fuerza resultante que actúa sobre la partícula
A, ?S es la velocidad angular dinámica del sistema de
referencia S, va es la velocidad de la partícula A, ra es
la posición de la partícula A, aS es la
aceleración angular dinámica del sistema de
referencia S y Fs es la fuerza resultante que actúa sobre
la partícula S. En contradicción con la primera y
segunda ley de Newton, desde la ecuación anterior se
deduce que la partícula A puede estar acelerada incluso si
sobre la partícula A no actúa fuerza alguna y
también que la partícula A puede no estar acelerada
(estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme)
incluso si sobre la partícula A actúa una fuerza no
equilibrada. Por lo tanto, para poder aplicar la primera y
segunda ley de Newton en un sistema de referencia no inercial es
necesario introducir fuerzas ?cticias. Sin embargo, este trabajo
considera que la primera y segunda ley de Newton son falsas. Por
lo tanto, en este trabajo no hay ninguna necesidad de introducir
fuerzas ?cticias. Sistema de Ecuaciones Si consideramos un
sistema de N partículas (de masa total M y centro de masa
CM) y una sola partícula J respecto a un sistema de
referencia S (?jo a una partícula S) entonces desde la
ecuación general de movimiento se obtienen las siguientes
ecuaciones: [1] ? drij ? [6] ? 1 2 dt ? [8] ? dt ? ? dt ? [4] ?
× rij ? [2] ? dvij ? [7] [9] ? dt ? ? dt ? drij [5] ?
× rij ? [3] Las ecuaciones [1, 2, 3, 4 y 5] son ecuaciones
vectoriales y las ecuaciones [6, 7, 8 y 9] son ecuaciones
escalares. Los principios de conservación se obtienen
desde las ecuaciones [2, 4, 7 y 9] 3
rN ? vN ? ? ? ? aN ? ?vN ? ? ? ? ?aN rN ? vN r ?N ? ?v ?N ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ecuación [1]
?i=1 mi (rij ) – (?ij ) = 0 Ecuación [2] ?i=1 mi (vij + ?S
× rij ) – (? ij ) = 0 Ecuación [3] ?i=1 mi (aij + 2
?S × vij + ?S × (?S × rij ) + aS × rij )
– (? ij ) = 0 Ecuación [4] ?i=1 mi (vij + ?S × rij )
× rij – (? ij ) × rij = 0 Ecuación [5] ?i=1 mi
(aij + 2 ?S × vij + ?S × (?S × rij ) + aS
× rij ) × rij – (? ij ) × rij = 0
Ecuación [6] ?i=1 1/2 mi (rij )2 – (?ij )2 = 0
Ecuación [7] ?i=1 1/2 mi (vij + ?S × rij )2 – (? ij
)2 = 0 Ecuación [8] ?i=1 1/2 mi (rij · vij ) – (?ij
· vij ) = 0 Ecuación [9] ?i=1 1/2 mi (vij ·
vij + aij · rij ) – (? ij · vij + aij · rij
) = 0 La partícula i-ésima (de masa mi ) respecto a
la partícula J, a la partícula S y al centro de
masa CM rij = ri – rj rij = ri – rj ris = ri – rs ris = ri – rs
ricm = ri – rcm ricm = ri – rcm vij = vi – vj vij = vi – vj aij =
ai – aj aij = ai – aj vis = vi – vs vis = vi – vs ais = ai – as
ais = ai – as 4 vicm = vi – vcm vicm = vi – vcm aicm = ai – acm
aicm = ai – acm
? vN ? vN ? ? ?N 1 2 1 2 1 2 ? N ? N N ? ?vN ? ?vN 1 2 1 2 ? ??v
? ? ? 1 2 ?N ? 1 2 1 2 1 2 N ? N ? N 1 2 ?N N ?N ?
Ecuación [2] ?i=1 ? mi (vij + ?S × rij ) – (? ij ) =
0 Ahora, reemplazando la partícula J por la
partícula S y distribuyendo (? mi ) se tiene: ?i=1 ? mi
(vis + ?S × ris ) – ? mi (? is ) = 0 Si el sistema de
referencia S (vs = 0) es inercial (?S = 0 y vs = constante)
entonces: ?i=1 ? mi vi – ? mi vi = 0 Como ? mi vi = ?i=1 ? mi vi
– mi ai dt = Fi dt = 0 Fi dt se obtiene: Si el sistema de
partículas es aislado y si las fuerzas internas cumplen
con la tercera ley de Newton en su forma débil ( ?i=1 Fi =
0) entonces: ?i=1 mi vi = P = constante Por lo tanto, si el
sistema de partículas es aislado y si las fuerzas internas
cumplen con la tercera ley de Newton en su forma débil
entonces la cantidad de movimiento total P del sistema de
partículas permanece constante respecto a un sistema de
referencia inercial. ? Ecuación [4] ?i=1 ? mi (vij + ?S
× rij ) × rij – (? ij ) × rij = 0 Ahora,
reemplazando la partícula J por el centro de masa CM y
distribuyendo (? mi ) se tiene: ?i=1 ? mi (vicm + ?S × ricm
) × ricm – ? mi (? icm ) × ricm = 0 Como ? mi (? icm
)× ricm = ? mi vicm × ricm = (mi aicm × ricm )
dt = (mi aicm ×ricm ) dt se obtiene: ?i=1 ? mi (vicm + ?S
× ricm ) × ricm – (mi aicm × ricm ) dt = 0
Puesto que ?i=1 (mi aicm × ricm ) dt = ?i=1 (mi ai ×
ricm ) dt = ?i=1 (Fi × ricm ) dt se logra: ?i=1 ? mi (vicm
+ ?S × ricm ) × ricm – (Fi × ricm ) dt = 0 Si
el sistema de partículas es aislado y si las fuerzas
internas cumplen con la tercera ley de Newton en su forma fuerte
( ?i=1 Fi × ricm = 0) entonces: ?i=1 mi (vicm + ?S ×
ricm ) × ricm = L = constante Por lo tanto, si el sistema
de partículas es aislado y si las fuerzas internas cumplen
con la tercera ley de Newton en su forma fuerte entonces el
momento angular total L del sistema de partículas
permanece constante. 5
? vN ? vN 1 2 1 2 ? ?v ? ? ? 1 2 ?N ? 1 2 1 2 1 2 N ? N ? N 1 2
?N 1 2 N ?N 1 2 N N 1 2 N 1 2 N ? Ecuación [7] ?i=1 ? 1/2
mi (vij + ?S × rij )2 – (? ij )2 = 0 Ahora, reemplazando la
partícula J por el centro de masa CM y distribuyendo (?
1/2 mi ) se tiene: ?i=1 ? 1/2 mi (vicm + ?S × ricm )2 – ?
1/2 mi (? icm )2 = 0 Como ? 1/2 mi (? icm )2 = ? 1/2 mi vicm
· vicm = mi aicm · dricm = mi aicm · dricm
Ec. A se obtiene: ?i=1 ? 1/2 mi (vicm + ?S × ricm )2 – mi
aicm · dricm = 0 Puesto que ?i=1 mi aicm · dricm =
?i=1 mi ai · dricm = ?i=1 Fi · dricm Ec. B se
logra: ?i=1 ? 1/2 mi (vicm + ?S × ricm )2 – Fi ·
dricm = 0 Por lo tanto, se puede considerar que el trabajo total
W realizado por las fuerzas que actúan sobre el sistema de
partículas, la energía cinética total K del
sistema de partículas y la energía potencial total
U del sistema de partículas son como sigue: W = ?i=1 Fi
· dricm ? K = ?i=1 ? 1/2 mi (vicm + ?S × ricm )2 ?U
= ?i=1 – Fi · dricm Si el sistema de partículas es
aislado y si las fuerzas internas cumplen con la tercera ley de
Newton en su forma débil ( ?i=1 Fi = 0) entonces: W = ?i=1
Fi · dri ?U = ?i=1 – Fi · dri El trabajo total W
realizado por las fuerzas que actúan sobre el sistema de
partículas es igual al cambio en la energía
cinética total K del sistema de partículas. W = ? K
El trabajo total W realizado por las fuerzas conservativas que
actúan sobre el sistema de partículas es igual y de
signo opuesto al cambio en la energía potencial total U
del sistema de partículas. W = – ?U Por lo tanto, si el
sistema de partículas está sujeto solamente a
fuerzas conservativas entonces la energía mecánica
total E del sistema de partículas permanece constante. E =
K +U = constante 6
? ?v ?N ? ?? ?N ? ? ? 1 2 N ? ? ? ?N N N 1 2 N 1 2 N N 1 2 N N 1
2 N 1 2 N ? Ecuación [9] ?i=1 ? 1/2 mi (vij · vij +
aij · rij ) – (? ij · vij + aij · rij ) = 0
Ahora, reemplazando la partícula J por el centro de masa
CM y distribuyendo (? 1/2 mi ) se tiene: ?i=1 ? 1/2 mi (vicm
· vicm + aicm · ricm ) – (? 1/2 mi vicm ·
vicm + ? 1/2 mi aicm · ricm ) = 0 Como Ec. A y ? 1/2 mi
aicm · ricm = ? 1/2 mi aicm · ricm se obtiene: ?i=1
? 1/2 mi (vicm · vicm + aicm · ricm ) – ( mi aicm
· dricm + ? 1/2 mi aicm · ricm ) = 0 Puesto que Ec.
B y ?i=1 ? 1/2 mi aicm · ricm = ?i=1 ? 1/2 mi ai ·
ricm = ?i=1 ? 1/2 Fi · ricm se logra: ?i=1 ? 1/2 mi (vicm
· vicm + aicm · ricm ) – ( Fi · dricm + ?
1/2 Fi · ricm ) = 0 Por lo tanto, se puede considerar que
el trabajo total W realizado por las fuerzas que actúan
sobre el sistema de partículas, la energía
cinética total K del sistema de partículas y la
energía potencial total U del sistema de partículas
son como sigue: W = ?i=1 ( Fi · dricm + ? 1/2 Fi ·
ricm ) ? K = ?i=1 ? 1/2 mi (vicm · vicm + aicm ·
ricm ) ?U = ?i=1 – ( Fi · dricm + ? 1/2 Fi · ricm )
Si el sistema de partículas es aislado y si las fuerzas
internas cumplen con la tercera ley de Newton en su forma
débil ( ?i=1 Fi = 0) entonces: W = ?i=1 ( Fi · dri
+ ? 1/2 Fi · ri ) ?U = ?i=1 – ( Fi · dri + ? 1/2 Fi
· ri ) El trabajo total W realizado por las fuerzas que
actúan sobre el sistema de partículas es igual al
cambio en la energía cinética total K del sistema
de partículas. W = ? K El trabajo total W realizado por
las fuerzas conservativas que actúan sobre el sistema de
partículas es igual y de signo opuesto al cambio en la
energía potencial total U del sistema de
partículas. W = – ?U Por lo tanto, si el sistema de
partículas está sujeto solamente a fuerzas
conservativas entonces la energía mecánica total E
del sistema de partículas permanece constante. E = K +U =
constante 7
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Observaciones Generales Las magnitudes r,
v, a, ? y a son invariantes bajo transformaciones entre sistemas
de referencia. En todo sistema de referencia rij = rij . Por lo
tanto, rij es invariante bajo transformaciones entre sistemas de
referencia. En todo sistema de referencia no rotante vij = vij y
aij = aij . Por lo tanto, vij y aij son invariantes bajo
transformaciones entre sistemas de referencia no rotantes. En
todo sistema de referencia inercial ai = ai . Por lo tanto, ai es
invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia
inerciales. Todo sistema de referencia inercial es un sistema de
referencia no rotante. En el sistema de referencia universal ri =
ri , vi = vi y ai = ai . Por lo tanto, el sistema de referencia
universal es un sistema de referencia inercial. El momento
angular total L de un sistema de partículas es invariante
bajo transformaciones entre sistemas de referencia. La
energía cinética total K y la energía
potencial total U de un sistema de partículas son
invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia.
Por lo tanto, la energía mecánica total E de un
sistema de partículas es invariante bajo transformaciones
entre sistemas de referencia. La energía cinética
total K y la energía potencial total U de un sistema de
partículas son invariantes bajo transformaciones entre
sistemas de referencia. Por lo tanto, la energía
mecánica total E de un sistema de partículas es
invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia. La
energía mecánica total E de un sistema de
partículas es igual a la energía mecánica
total E del sistema de partículas (E = E )
Bibliografía A. Einstein, Sobre la Teoría de la
Relatividad Especial y General. E. Mach, La Ciencia de la
Mecánica. R. Resnick y D. Halliday, Física. J. Kane
y M. Sternheim, Física. H. Goldstein, Mecánica
Clásica. L. Landau y E. Lifshitz, Mecánica. 8
1 2 1 2 1 2 1 2 ? ´ ? ? ? ? ´ ´ ´ ´
´ ´ ´´ ´ ´ ? ´ ´
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?N ?N j ? ?N ?N j N N j Apéndice De?niciones y Relaciones
ri = ri vi = dri /dt ai = dvi /dt vi = ai dt rij = ri – rj vij =
drij /dt aij = dvij /dt vij = aij dt ? vi = 2 1 ai dt ? vij = 2 1
aij dt 1/2 vi · vi = ai · dri 1/2 vij · vij
= aij · drij ? 1/2 vi · vi = ai · dri ? 1/2
vij · vij = aij · drij vi × ri = (ai ×
ri ) dt vij × rij = (aij × rij ) dt ? vi × ri =
(ai × ri ) dt ? vij × rij = (aij × rij ) dt
Ecuaciones Invariantes rij · rij = rij · rij rij
· vij = rij · vij vij · vij + aij ·
rij = vij · vij + aij · rij rij = rij vij + ?S
× rij = vij + ?S × rij aij + 2 ?S × vij + ?S
× (?S × rij ) + aS × rij = aij + 2 ?S ×
vij + ?S × (?S × rij ) + aS × rij Ecuaciones
Alternativas L = ?i=1 mi (vi + ?S × ri ) × ri – M
(vcm + ?S × rcm ) × rcm L = ?i=1 ?N>i mi mj M-1
(vij + ?S × rij ) × rij K = ?i=1 1/2 mi (vi + ?S
× ri )2 – 1/2 M (vcm + ?S × rcm )2 K = ?i=1 ?N>i
1/2 mi mj M-1 (vij + ?S × rij )2 K = ?i=1 1/2 mi (vi
· vi + ai · ri ) – 1/2 M (vcm · vcm + acm
· rcm ) K = ?i=1 ?N>i 1/2 mi mj M-1 (vij · vij +
aij · rij ) 9