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Aleph Sub-Cero, serie de divulgación matemática



Partes: 1, 2

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    1
    ALEPH SUB – CERO
    SERIE DE DIVULGACIÓN
    ?0 2015 – I ?0
    pp. 05 – 19
    DESDE LA INTERACCIÓN CORDAL A LA MECÁNICA QUÁNTICA
    (From String Interaction to Quantum Mechanics)
    Adunador: Alberto Mejías1
    ¿Dónde está el origen de esa modalidad de pensamiento filosófico? Puede no haber ningún ori-
    gen y hasta podría ser erróneo buscar un origen en todo.
    YOSHIHIRO MARUYAMA
    Recepción: Enero 2015. Revisión y aceptación: Marzo 2015.
    Resumen. Teoría de Cuerdas fue desarrollada por la necesidad de dar consistencia
    a Mecánica Quántica. En este artículo se desea revertir el razonamiento. Pretende-
    mos que Teoría de Campos de Cuerdas Abiertas da una definición completamente
    consistente de la teoría –es, por lo menos, un sector autoconsistente. Así, encon-
    tramos en su estructura, que las reglas de Mecánica Quántica surgen de la naturale-
    za no conmutativa de las interacciones cordales básicas de empalme/disyunción.
    Así, en lugar de asumir las reglas de conmutación quántica entre las variables ca-
    nónicas usuales, las derivamos del proceso físico de las interacciones cordales.
    Consecuentemente podemos aplicar ese argumento a Teoría M, para cubrir la me-
    cánica quántica para toda la física. Si Teoría de Cuerdas o Teoría M realmente sub-
    yacen toda la física, parece que se ha abierto la puerta a una explicación de los orí-
    genes de la mecánica quántica desde el punto de vista de los procesos físicos.
    Descriptores: Teoría de Cuerdas, Teoría M, Mecánica Quántica, Teoría Quántica
    de Campos, estrella MOYAL.
    Abstract. String Theory was developed by demanding consistency with Quantum
    Mechanics. In this paper it is wished to reverse the reasoning. We pretend that
    Open String Field Theory is a fully consistent de?nition of the theory –it is at least
    a self-consistent sector. Then we ?nd in its structure that rules of Quantum Me-
    chanics emerges from the non-commutative nature of the basic string joining/split-
    ALBERTO R. MEJÍAS E. es Licenciado en Matemáticas, egresado de la Facultad de Ciencias de la
    Universidad de los Andes (ULA) Mérida-Venezuela. Es profesor de Topología, jubilado de la
    Universidad de los Andes. alrame59@gmail.com

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    1.
    de
    2
    Alberto Mejías
    ting interactions. Thus, rather than assuming the quantum commutation rules
    among the usual canonical variables we derive them from the physical process of
    string interactions. Morally we could apply such an argument to M-theory to cover
    Quantum Mechanics for all Physics. If String Theory or M-theory really underlies
    all physics, it seems that the door has been opened to an explanation of the origins
    of quantum mechanics from the physical processes point of view.
    Keywords: String Theory, M-theory, Quantum Mechanics, Quantum Field Theory,
    MOYAL star.
    INTRODUCCIÓN
    La Mecánica Quántica (QM) funciona sorprendentemente bien en todas par-
    tes conocidas de la Física Microscópica. Se puede deducir la Física Clásica como el
    límite de QM para grandes números quánticos (o equivalentemente, el límite para
    pequeño). Por lo tanto, la creencia general es que QM es la única regla para todo ti-
    po de mecánica. A pesar del tremendo éxito de QM, sin ningún razonamiento sub-
    yacente, hay que poner, misteriosamente, "a mano", las reglas fundamentales de
    conmutación de las cuales deriva toda la QM, a saber [x, p] = i para todos los gra-
    dos de libertad. También está bien establecido que, si se acepta la regla de quanti-
    zación, se tienen todas las increíbles y correctas consecuencias de la mecánica
    quántica. El éxito de QM es por supuesto una justificación para aceptar como co-
    rrecta, a la misteriosa regla, pero nos deja pidiendo una explicación subyacente.
    En este artículo vamos a presentar argumentos de que puede haber una expli-
    cación física del origen de las reglas de QM. Vamos a mostrar que hay un vínculo
    claro entre las reglas de conmutación de los operadores en QM y las interacciones
    no conmutativas de empalme/disyunción [1] que fueron expresadas en el lenguaje
    de la formulación estrella MOYAL de Teoría de Campos Cordales (MSFT) [2] en
    una versión recientemente mejorada y más intuitiva [3]. Excepto por la similitud
    matemática, la MOYAL (en MSFT no tiene nada que ver con el producto MOYAL
    [4] que reproduce2 a QM, porque las cantidades básicas no conmutativas en la
    Para la explicación de cómo el, bien conocido, producto MOYAL [4] para las funciones de espa-
    cios de fases, clásicas, reproduce todos los detalles de QM, leer la sección III en [3], que resume
    los elementos esenciales de esta correspondencia.
    2

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    2.
    Desde la interacción cordal a la mecánica quántica
    cuerdas en MSFT, son muy diferentes de las conjugadas canónicas indicadas por
    la mecánica quántica. Sin embargo, encontramos cómo vincular a los conmutadores
    básicos en QM, a la de cuerdas y derivar las reglas de QM sólo a partir de las
    reglas de empalme/disyunción de cuerdas. Este vínculo sugiere que existe un fe-
    nómeno físico más profundo, interacciones cordales, subyacente a las reglas quán-
    ticas usuales de QM, proporcionando así, una posible explicación de su origen.
    Los argumentos esenciales para la tesis en este documento, pueden presen-
    tarse adecuadamente en un modelo simplificado que capta los ingredientes necesa-
    rios de MSFT. El modelo simplificado, que llamamos mini-MSFT, consiste bási-
    camente, en el sistema del espacio de fase de dos partículas, en lugar de todo el es-
    pacio de fase de un número infinito de partículas que constituyen todos los puntos
    de una cuerda. Las dos partículas pueden ser pensadas como los puntos extremos
    de una cuerda abierta, pero también es posible no considerar para nada el concepto
    de cuerda, para discutir las ideas principales. Esto es así, porque sólo las propieda-
    des del espacio de fase, en lugar de las propiedades de la dinámica de las dos partí-
    culas, entran en la parte principal de la discusión. Por lo tanto, para mantener nues-
    tra discusión lo más simple posible, vamos a definir el sistema mini-MSFT en Sec-
    ción 3 y discutir cómo derivar las propiedades de QM a partir de las interacciones
    "cordales". El mini-MSFT puede ser un modelo útil por su propio derecho, para
    discutir algunos sistemas físicamente interesantes, como en los ejemplos que esbo-
    zamos al final de Sección 3.
    Aunque no utilizaremos todo el instrumental de MSFT en este trabajo, co-
    menzamos nuestra discusión en la sección 2, con una breve descripción de su confi-
    guración para que el lector, incluso sin saber mucho acerca de Teoría de Cuerdas,
    pueda ver la conexión entre Teoría de Campos de Cuerdas y el modelo simplifica-
    do de 2 partículas en Sección 3 y sea capaz de deducir fácilmente, que los argu-
    mentos de la tesis en este documento, dados en el contexto del modelo simple en
    Sección 3, se aplican igualmente a la Teoría de Cuerdas total, en nuestro preferido
    lenguaje MSFT, para toda la cuerda. La Teoría de Cuerdas total (y su extensión
    Teoría M) es necesaria para poder aplicar la discusión a toda la Física, siempre y
    cuando uno esté dispuesto a hacer la suposición de que Teoría de Cuerdas o M-
    Teoría en realidad fundamenta a toda la Física.
    GRADOS DE LIBERTAD EN MSFT
    3

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    L( ) R( )
    M M
    M
    L R
    L
    ^
    ^
    Alberto Mejías

    M
    Los grados de libertad de posición de cuerda abierta X ( ), para un valor fi-
    jo del parámetro de la lámina mundi, vienen parametrizados por el parámetro de
    la lámina mundi con 0
    . WITTEN [1] sugirió considerar al campo cordal
    (X( )) como una matriz ij( x) infinito dimensional
    (X( ) = x ,x ( x),
    (2.1)
    cuyos índices izquierdo/derecho i ~ x M( ) y j ~ x M( ) son las mitades izquier-
    da/derecha de la cuerda con respecto al punto medio en = /2; es decir, x M( ) =
    {X ( ) para 0 ~ < /2} y x R ( ) = {X ( ) para /2 < ~ } mientras que x M
    M
    X ( /2) es la localización del punto medio. En [1] se sugiere que los productos de
    campos 1(X)
    2(X) = 12(X), en teoría de campos de cuerdas abiertas, son pro-
    ductos matriciales no conmutativos, de matrices de la forma (2.1) y que la acción es
    similar a la teoría CHERN-SIMONS
    S = (
    1
    2
    (Q ) +
    g
    3
    ).
    (2.2)
    donde Q es el operador BRST (donde BRST se refiere a BECCHI, ROUET, STORA y
    TYUTIN) de una teoría conformal de campos (CFT) sobre la lámina mundi. Esta
    propuesta funcionó y produjo correctamente al tipo de modelo VENEZIANO de am-
    plitudes de dispersión perturbacional cordales [5].
    El producto matricial en
    fue implantado volviendo a la teoría confor-
    mal de campos en la lámina mundi, para realizar los cálculos, que resultaron ser
    prohibitivamente complicados y se alejaron de la sencillez y la elegancia de la con-
    figuración matrizoidal del producto y la acción. Buscando una manera de evitar
    las complicadas aplicaciones de CFT, tratando de mantener la elegante estructura
    algebraica, se sugirió en [2], la formulación de producto estrella, de MOYAL, de la
    Teoría de Campos Cordales (MSFT) y los cálculos realizados en [6-8], demostra-
    ron que éste era un enfoque más eficiente para calcular y recuperar correctamente
    las amplitudes VENEZIANO perturbacionales, incluyendo un mayor grado de exacti-
    tud para las versiones fuera de concha (off-shell) de las amplitudes [8]. El forma-
    lismo MSFT ha sido reformulado recientemente en [3] en una nueva base de grados
    de libertad de modo que todas las expresiones, especialmente el producto y los
    cálculos, se simplifican enormemente. Es la nueva forma del producto estrella que
    se muestra a continuación, que sugiere la conexión entre empalme cordal y mecáni-

    4

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    1
    2
    1
    2
    x
    1
    2
    2(X),
    ¯
    ¯
    1
    M
    M
    p
    2
    M
    M
    ˆ ˆ
    Desde la interacción cordal a la mecánica quántica

    ca quántica.

    En la nueva versión de MSFT el campo de cuerdas se toma como un funcio-
    M
    nal A(x+, p–) de la mitad del espacio de fase de la cuerda, donde x+( ) es la parte
    M M
    simétrica de X ( ) bajo reflexiones con respecto al punto medio, x+( ) =
    M
    (X ( )
    M
    + X ( –
    ), mientras que p–M( ) =
    (PM( ) – PM ( – )) es la parte antisimétrica
    M
    de la densidad del impulso. Nótese que p–M( ) es la conjugada canónica de x–( ) y
    M
    conmuta con x+( ) en la primera quantización de la cuerda. Las simétrica/antisi-
    métrica x±( ) están relacionadas con (xL, x, xR), en la versión WITTEN, por x± =
    (xL ± xR), incluyendo al punto medio ¯ como parte de x+( ). Así, el campo
    MSFT A(x+, p–) se relaciona con el campo (X) = (xL, x, xR) = (x+, x–) median-
    te una transformación FOURIER de x+ a p–. Con esta elección de grados de libertad
    del semiespacio de fase, para marcar al campo cordal A(x+( ), p– ( )), el producto
    matricialoide para el empalme de cuerdas en el espacio de posición 12(X) = 1(X)
    se aplica al producto MOYAL en el semiespacio de fase, A12(x+, p–) =
    A1(x+, p–)
    A2(x+, p–) con
    = exp[
    p

    4 0
    ds sign(
    – )( ? p – M (s ) ? x+ (s ,e ) – ? p – M (s ) ? x+ (s ,e ) ].
    (2.3)
    Una característica muy importante del nuevo producto estrella, es que es in-
    dependiente de trasfondo, porque el espacio de fase no considera cuál teoría con-
    formal de campos sobre la lámina mundi, subyace a la acción de la cuerda Sstring ó
    a los campos de trasfondo que contiene. La suma sobre los índices M en (2.3), no
    implica una métrica, porque X está definido con un índice superior y por tanto,
    PM, que se deriva de la acción según el procedimiento canónico, PM = ?Sstring /
    (? X ), automáticamente tiene un índice inferior.

    Un aspecto elegante de MSFT, que será centralmente relevante para nuestra
    discusión en este trabajo, es que los operadores quánticos canónicos para cualquier
    punto de la cuerda X( ), P( ) están representados en el campo cordal A(x+, p–) so-

    5

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    ˆ M
    2
    p
    MA
    2
    (2.4)
    ˆ M
    p
    2
    -e |?s |
    2
    3.
    Alberto Mejías

    lamente por las operaciones cordales de empalme/disyunción, a saber multiplica-
    ción estrella por la izquierda o por la derecha, dependiendo de si el punto está a la
    izquierda o a la derecha del punto medio en = /2
    X ( , ) A(x+, p–) =
    p
    X M (s , e ) A ( x+ , p– ) , si 0 = s = ;

    A ( x, p ) x+ (s , e ) – 1 , si = s = p
    P ( ,)(x+, p–) =
    (e-e |?s | p– M (s )) A ( x+ , p– ) , si 0 = s = ;
    A( x+ , p– ) (e p– M (s ))(-1) MA, si p =s = p.
    (2.5)
    Nótese que, en el lado derecho, los campos cordales que se empalman son
    A(x+, p–) y x+ ó A y p– donde x+ y p–, son casos especializados de un campo cordal
    más general A(x+, p–).

    Este producto incluye un pequeño parámetro es un regulador para evitar
    notorias anomalías de punto medio y el índice M = ( , b, c) incluye espacio-tiempo
    ( ) y grados de libertad virtuales (b, c), todos los cuales son necesarios y aseguran
    una teoría bien definida. Se recomienda [3] al lector interesado en los detalles. Nin-
    guna de estas complicaciones se necesitará para discutir los puntos principales de
    este documento. A continuación pasaremos a la mini-MSFT que imita de forma
    simplificada solamente, al producto estrella para empalme/disyunción cordal, utili-
    zando sólo dos partículas. El resto de este documento debe ser comprensible para el
    lector sin tener que saber nada sobre cuerdas o teoría de campos cordales.

    MODELO DE ENSAYO CON DOS PARTÍCULAS (MINI-MSFT)

    Comenzamos con el espacio de fase de dos partículas denominadas L (iz-
    quierda) y R (derecha). Puede ser útil imaginar que éstas corresponden a los dos
    puntos finales de una cuerda; sin embargo, esta imagen no es necesaria y la confi-
    guración siguiente puede aplicarse a circunstancias físicas más generales. Las partí-
    culas se encuentran en posiciones arbitrarias ( x L , x R ), y tienen ímpetus conjugados

    6

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    i i
    j
    i
    i
    i
    i
    i
    .
    FOURIER( p, r)
    3
    Desde la interacción cordal a la mecánica quántica

    1 i
    canónicos ( p L , p R ). Su centro de masa y coordenadas relativas son, R i = 2 ( x L +
    i 1 i i
    x R ) y r i = 2 ( x L – x R ), mientras que los ímpetus canónicamente conjugados a
    1
    ( R i , r i ) son el ímpetu total P i = ( p i L + p i R ) y el ímpetu relativo p i = 2 ( p i L
    – p i R ). La dinámica es controlada por algunos Hamiltonianos H(P, p, R, r) cuyos
    detalles no son importantes por ahora.3

    Independiente del hamiltoniano, el espacio de fase (P, p, R, r) tiene las pro-
    piedades canónicas estándar; es decir, podemos definir los clásicos corchetes POIS-
    SON o conmutadores quánticos basados en los pares canónicos ( R , P ) y ( r ,

    p j ). En particular, el clásico corchete POISSON entre dos funciones de espacio fase,
    cualesquiera, U(P, p, R, r), V(P, p, R, r), es
    {U, V} =
    ?U ?V
    ?R i ?P

    ?U ?V
    ?P ?R
    +
    ?U ?V
    ?r i ?p

    ?U ?V
    ?p ?r i
    (3.1)
    Para proceder con la quantización usual en Mecánica Quántica (QM) pode-
    mos definir la base del espacio propio para un conjunto completo de operadores de
    conmutación tales como espacio de posición, x L , x R | ó R , r | y expresar la am-
    plitud de probabilidad para un estado quántico arbitrario |
    en cualquiera de tales
    bases como el producto punto en el espacio HILBERT, e.g. ( x L , x R ) = x L , x R |
    ó (R, r) = R, r |
    . Estaremos interesados en la transformada FOURIER de este
    último
    A(R, p) ???????? (R, r).
    (3.2)
    donde R, p| es la base propia completa para el espacio de los operadores de con-

    El hamiltoniano H en el modelo de ensayo, es el análogo del operador VIRASORO L0 para una
    cuerda en cualquier trasfondo, que desempeña un papel de operador de energía cinética en el tér-
    mino cuadrático en la teoría de campos cordales en la calibración SIEGEL. Más generalmente, el
    operador cinético en teoría de campos cordales es el operador BRST como en (2.2).
    7

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    i
    ˆ ˆ
    +

    n
    (3.3)
    ˆ ˆ ˆ ˆ
    ˆ ˆ ˆ ˆ
    Alberto Mejías

    mutación (R , pi). Consideraremos a la amplitud de probabilidad A(R, p) = R, p|
    , tanto un campo de una teoría de campos como una función del semi-espacio de
    fase clásico ( R , p ). Esta configuración está motivada por MSFT que fue breve-
    mente descrita en Sección 2. Vamos a llamar el modelo de ensayo en esta sección
    "mini-MSFT". Los paralelismos entre la MSFT total y mini-MSFT son
    R i ~ x M ( ),
    r i ~ x M ( ),
    P i ~ p + M ( ), p i ~ p – M ( )
    y no consideramos hacer paralelos entre el i y M, lo cual permite muchas posibili-
    dades como bosones y fermiones (ver [3]); pero, para mantener la discusión simple,
    es suficiente considerar al espacio euclidiano bosónico, para i.

    Para quantizar este sistema de 2 partículas en una nueva forma considerare-
    mos el enfoque inspirado por MSFT. No asumiremos à priori, las reglas quánticas
    de conmutación de los operadores (Pi, p i, Ri, r i) que describen la naturaleza tan
    bien, pero cuyo origen fundamental sigue siendo misterioso. Por el contrario, como
    origen físico primario de QM partiremos de un producto no conmutativo que tiene
    significado físico como las interacciones de empalme/disyunción de las cuerdas.
    Solo a partir del álgebra de empalme/disyunción cordal derivamos el álgebra quán-
    tica de los operadores (Pi, pi, Ri, r i) sin asumirla. Las operaciones de empal-
    me/disyunción cordal fueron formuladas para cuerdas abiertas en [1] como un pro-
    ducto matrizoidal para el campo como en (2.1). Para el presente modelo de ensayo
    con sólo dos partículas definimos un producto matrizoidal similar de campos en el
    espacio de posición de la forma
    8
    ? 12 ( x L , x R ) = d z ? 1 ( x L , z) ? 2 (z, x R ),
    -8
    donde cada campo ( x L , x R ) es considerado como una matriz infinito-dimensio-
    nal cuyas filas y columnas está marcadas por los índices continuos ( x L , x R ) que
    corresponden a las ubicaciones de las dos partículas. La regla matrizoidal (3.3) se
    interpreta como una receta para calcular la amplitud de probabilidad ? 12 ( x L , x R )
    cuando dos nubes de 2 partículas, descritas por ? 1 ( x L , x R ) y ? 2 ( x L , x R ), se

    8

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    i
    1
    2
    Desde la interacción cordal a la mecánica quántica

    unen en una sola nube ? 12 ( x L , x R ), por la aniquilación de un par de partículas,
    una de cada nube, cuando se juntan localmente en todos los posibles puntos z de
    todo el volumen completo. Esto es similar a la imagen de las láminas mundi de
    empalme/disyunción; pero, en el presente caso hay grados de libertad dinámicos
    sólo en los extremos de la cuerda. Fue demostrado en [2,3] que este empal-
    me/disyunción puede ser formulado equivalentemente, como un producto tipo MO-
    YAL, A12 = A1 A2, en el semi-espacio de fase ( R i , p i ) relacionado con el espacio
    de posición ( x L , x R ) mediante la transformada FOURIER indicada en (3,2).
    Ahora damos los detalles del producto en el semi-espacio de fase para esta
    mini-MSFT simplificada. Es físicamente diferente, pero matemáticamente análogo
    al producto MOYAL usual:
    A12(R, p) = (A1 A2)(R, p)
    = A1(R, p)exp(
    i
    2
    ( ?
    Ri
    ? p – ?
    Ri
    ? pi )) A2(R, p)
    (3.4)
    Es el paralelo del producto estrella de las cuerdas en (2.3). El parámetro debe te-
    ner las dimensiones de la constante PLANCK , así que debe ser un múltiplo de
    por una constante adimensional. De hecho, mostraremos que es idénticamente la
    constante PLANCK. Las flechas en (3.4) instruyen al lector a aplicar las derivadas de
    las funciones a la izquierda (A1) ó a la derecha (A2). Por ejemplo, expandiendo en
    potencias de a este producto , se tiene
    A12 = A1A2 +
    i
    2
    (
    ?A ?A
    ?R i ?p
    2

    i

    ?A

    ?p
    1

    i
    ?A
    ?R i
    ) + ··· .
    (3.5)
    El término de primer orden en parece un corchete POISSON, pero éste es clara-
    mente diferente del corchete POISSON canónico de la mecánica clásica en la ecua-
    ción (3.1), ya que no involucra a los conjugados canónicos tradicionales que están
    en (3.1). En cambio, la posición del centro de masa, y el impulso relativo, pi, que
    pertenecen a diferentes pares canónicos tradicionales, se configuran para desempe-
    ñar un papel nuevo, análogo al de los conjugados canónicos en el semi-espacio de
    fase (Ri, pi).
    Usando (3.4) computamos A1
    A2 para los casos especiales en los que A1 ó

    9

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    i
    i
    i i
    R
    i i


    1
    1
    ˆ ˆ ˆ

    j i j
    Alberto Mejías

    A2 es sólo Ri ó pi, obteniendo así, la multiplicación izquierda o derecha de la A ge-
    neral de los grados de libertad elementales en el semi-espacio de fase
    Ri
    A = (Ri +
    i ?
    2 ?p
    )A(R, p),
    A
    Ri = A(R, p) (Ri –
    i ?
    2 ?p
    ),
    pi
    A = ( pi –
    i ?
    2 ?R i
    )A(R, p),
    A
    pi = A(R, p)( p i +
    i ?
    2 ?R i
    ).
    (3.6)
    No hay potencias superiores de porque las derivadas de orden superior en
    la expansión de la exponencial en (3.4) se desvanecen para este cálculo. Otras for-
    mas útiles equivalentes de escribir el producto general, son
    A1
    A2 =
    A (( R´ + ? p ),( p´ – ? )) A2 ( R, p ) R´ = R, p´ = p
    2 2
    A ( R´, p´) A2 (( R – ? ), ( p + ? )) R´ = R, p´ = p
    2 2
    (3.7)
    Justo como el bien conocido producto estrella MOYAL [4], que está relacionado con
    el corchete POISSON (3.1) en el espacio de fase pleno (P, p, R, r), reproduce todos
    los aspectos de la mecánica quántica ordinaria (ver Nota 2), el producto estrella
    MOYAL de empalme cordal en (3.4), evidentemente, producirá un sistema quánti-
    coide en el semi-espacio de fase (R, p), que llamaremos mecánica quántica induci-
    da (iQM). Esta iQM inducido tiene las siguientes propiedades:
    • El producto es asociativo A1 (A2 A3) = (A1 A2) A3 = A1 A2 A3, al
    igual que debe esperarse del producto asociativo de operadores en la iQM
    inducida, donde cualquier producto A1 A2 A3 · · · no requiere paréntesis para
    computarse sin ambigüedades.
    Utilizando (3.6) calculamos los productos de los grados de libertad elemen-
    tales del semi-espacio de fase (R, p)
    i
    R
    R = R R ,
    pi
    pj = pi pj,
    10

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    i
    i i
    j
    i i
    ˆ ˆ
    i
    A
    i
    i
    /2
    Desde la interacción cordal a la mecánica quántica
    i
    R
    i
    pj = R pj +
    i
    2
    d ij ,
    pj
    i i i
    R = pj R – 2 d ij .
    (3.8)
    Esto nos lleva al conmutador estrella
    [Ri, pj]
    = R
    pj – pj
    R = pj R – i d ij .
    (3.9)
    i
    Por lo tanto, (R , pj) se comportan como grados de libertad mecánico-quánticos.
    Pero, esto no es mecánica quántica, ya que en QM ordinaria los operadores corres-
    pondientes conmutan [R i, p ] = 0. En cambio, esta es la propiedad de conmutación
    básica en iQM que proviene de las interacciones no conmutativas en teoría de cuer-
    das.

    Ahora demostraremos que esta iQM es una semilla para la construcción de la
    usual QM en el espacio de operadores completo ( x L , p Li , x R , p Ri ). Una aplica-
    ción entre operadores en QM y su representante en iQM es una propiedad elegante
    e intuitiva de MSFT según lo dado en Ecs. (2,4), (2.5). Traducido a mini-MSFT, su
    aplicación se da sólo en términos de entre dos campos en el semi- espacio de fase,
    como sigue
    x L A = R i A
    i
    p L A = p i

    x R A = A R i
    i
    p R A = A (- p i )
    el producto

    el producto
    por la izquierda, para la partícula L

    por la derecha, para la partícula R (3.10)
    La razón para el signo (–) en la última línea se explica naturalmente en la versión
    cordal de la en la MSFT : es porque para las cuerdas x + ( ), es simétrica con res-
    pecto a reflexiones desde el punto medio, mientras que p – ( ) es antisimétrica,
    conduciendo a + p – ( ) |
    – p – ( ) |
    /2. Usando esta aplicación, ahora
    comprobemos la consistencia de las reglas de conmutación en QM con respecto a
    sus representativas en iQM, dadas arriba. Calculamos los conmutadores utilizando

    11

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    i
    i
    i
    i
    i
    i
    ˆ ˆ ˆ ˆ
    (
    )
    (
    )
    1 i 1
    i
    i
    i
    Alberto Mejías
    sólo las reglas de
    en (3.10), la asociatividad de
    y el resultado para el con-
    mutador de
    en (3,9). Encontramos
    [ x L ,
    p Lj]A =[R i , p j]* A = i d ij A
    (3.11)
    [ x R ,
    p Rj]A = A
    [- p j , R i ]* = i d ij A
    (3.12)
    [ x L ,
    [ x L ,
    p Rj]A = – R i A p j + R i A p j = 0
    p Rj]A = p j A R i – p j A R i = 0
    (3.13)

    (3.14)
    Para para que este resultado en iQM coincida con los conmutadores de operadores
    en QM [ x L , p Lj] = i d ij = [ x R , p Rj] , debemos identificar al parámetro con la
    constante PLANCK
    = .
    (3.15)
    Así hemos derivado las reglas básicas de QM para cada partícula de la iQM
    inducida por la interacción cordal, utilizando sólo productos de campos en el semi-
    espacio de fase, que representan a empalme/disyunción cordal. Por lo tanto, la no-
    conmutatividad inherente a las interacciones cordales, está conectada directamente
    a las misteriosas reglas de quantización previamente inexplicadas, de QM. Hasta
    ahora esto ha sido considerado dentro de un modelo de ensayo, pero puesto que el
    mismo fenómeno es también válido para la Teoría de Cuerdas total (véase [3]), su-
    poniendo que la Teoría de Cuerdas es la teoría fundamental para toda la Física, en-
    tonces se convierte en una declaración para toda la física.

    Continuando con mini-MSFT, a continuación, investigamos algunos opera-
    dores construidos a partir de los básicos. Partiendo de las propiedades básicas en
    (3.10), podemos derivar la representación de cada operador (Pi, pi, Ri, r i), en tér-
    minos de sólo el producto de campos y luego evaluar los productos estrella en ca-
    da línea de abajo usando (3.6), después de insertar = , como sigue
    R i A =
    2 x L + x R A = 2 R i A + A R i = R i A ,
    r i A = (x L – x R ) A = (R i A – A R i ) = i ? pi A ,

    12

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    )
    (
    1
    2
    (
    ˆ
    ˆ
    i
    i
    R
    iL
    R i
    ˆ
    ˆ
    (3.17)
    ˆ
    Desde la interacción cordal a la mecánica quántica

    P i A = ( p iL + p iR ) A = ( p i A – A p i ) = -i ? Ri A ,
    p i A =
    1
    p iL – p iR A = 2 p i
    A + A p i ) = p i A .
    (3.16)
    El resultado final en términos de representación del operador diferencial es
    plenamente consistente con la correspondiente, bien conocida, representación de
    operadores diferenciales de operadores en QM. Pero el punto aquí es que este resul-
    tado se desprende tan sólo de las interacciones de acoplamiento/disyunción de
    cuerdas, vía el producto de campos, dadas en (3.4) y (3.10).

    Yendo más allá de (3.10), derivamos los siguientes resultados bien adiciona-
    les que fueron significativos en la formulación de MSFT [3]: si tenemos cualquier
    operador cuántico OL ( x L , p L) (respectivamente OR ( x R , p R) ) en QM usual,
    construido a partir de sólo los grados de libertad de la partícula L (respectivamente
    R), entonces su representación en la versión iQM, viene dada por la misma función
    en la que reemplazamos ( x L
    R i y p
    p ) y análogamente( x i
    y p iR
    cir,
    (- p i ) ), donde
    está, a saber, a la derecha (izquierda) de R ó p. Es de-
    OL ( x L , p L) A = O L (R, p) A
    ( por la izquierda),
    OR ( x R , p R) A = A O R (R, – p) ( por la derecha),
    donde O L
    significa que todos los factores R, p, dentro de él, están multiplicados
    estrella uno con otro, en el mismo orden en que aparecen los operadores en la ver-
    sión QM; mientras que en el caso de O R , todos los factores R ó (– p) dentro de él
    están multiplicados estrella uno con otro, en el orden opuesto que los operadores
    correspondientes en OR ( x R , p R) . Las expresiones para O L u O R se pueden
    i
    reducir a una función clásica de (R , pi) después de usar repetidamente los produc-
    tos elementales dados en (3.8), para reescribir O L u O R como las expresiones
    clásicas O L, R (R, p).
    En la MSFT total sólo aparecen operadores cuánticos puramente L o puramente R,
    13

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    ˆ
    ˆ
    (3.18)
    ’s.
    ˆ
    2
    ? 2
    1
    2
    2
    ˆ
    R
    1
    4
    p
    ˆ
    µ
    ˆ
    +
    +
    2


    Alberto Mejías

    como antes, debido a la localidad del parámetro (ver nota al pie 2). Más general-
    mente, en mini-MSFT uno puede estar interesado en escribir el operador QM para
    cualquier hamiltoniano H ( x L , p L , x R , p R) en el lenguaje de los productos estre-
    lla en iQM. Esto se da representando a cada operador elemental de L/R como pro-
    ductos estrella por la izquierda/derecha según (3.10). Por lo tanto, conseguimos la
    representación iQM de cualquier hamiltoniano QM como sigue
    H ( x L , p L , x R , p R) A = H((R ), (p ),( R), (– p))A(R, p),
    donde hay que preservar el orden de los factores, con respecto a las

    Ahora damos dos ejemplos. En el primer ejemplo tenemos dos partículas (L
    y R) interactuando con una fuerza central del tipo oscilador armónico. Podemos
    convertir al operador H1 para este problema, a su versión iQM utilizando la aplica-
    ción (3.18) que involucra solamente productos de campos de cuerdas
    H1A = [ 2 ( p L + p R ) + 2 (x L – x R ) ]A(R, p)
    =
    1
    2
    ( p 2 +
    2
    R 2 )
    A +
    1
    2
    A
    ( p 2 + 2 R 2 ) – 2 R
    A
    R
    = [ –
    2
    2 ? 2 + p 2 + ?
    2
    2 ? 2 ]A(R, p).
    En la segunda línea sólo aparecen productos de campos de cuerdas que usan el em-
    palme de cuerdas. La última línea se obtiene evaluando los productos estrella, uti-
    lizando (3.7), (3,6). El resultado de la última línea claramente coincide con la re-
    presentación familiar del hamiltoniano mediante el operador diferencial como se
    expresaría a partir de QM en la base (R, p).

    En el segundo ejemplo ilustramos el hamiltoniano H1 derivado de la teoría
    de cuerdas en 2 dimensiones con quarks (0-branas) fijados en los extremos [10],
    donde las posiciones de los quarks x L, R (en la base del cono de luz) son, en reali-
    dad, los puntos extremos de la cuerda,
    H2 A = [
    2
    m
    L
    2 p
    L
    +
    2
    m
    R
    2 p
    R
    p R +
    x L – x R
    ]A(R, p)
    14

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    2
    +
    con la
    '
    n
    n
    g
    3
    ˆ
    4
    Desde la interacción cordal a la mecánica quántica
    2
    m
    L
    = 2 p
    A + A
    2
    m
    R
    2 p
    +
    ' dk A(R, p) ( R ) – ( R) A(R, p)
    pk
    2
    m
    L
    = 2 p
    A(R, p) + A(R, p)
    2
    m
    R
    2 p
    ' dk A(R, p + k).
    pk 2
    (3.19)
    En la segunda línea se utiliza la aplicación (3.18) para conectar a la versión
    versión de operador QM. En la tercera línea, la prima ' en la integral, , significa la
    integral del valor principal que surge de los productos estrella en la segunda línea
    de computación. La última línea reproduce exactamente el espectro QCD para N
    ,
    grande en dos dimensiones (ecuación integral T HOOFT de un mesón [9]), como era
    de esperarse de [10], pero aquí, se omitirán los detalles.4

    Para cualquier elección del hamiltoniano podemos definir el término cuadrá-
    tico de la teoría de campos para la mini-MSFT y además podemos incluir interac-
    ciones "cuerda" – "cuerda " que imitan a la MSFT como sigue
    S = d R d p [ 1 AH( A) +
    2
    A A A + ··· ].
    (3.20)
    Aquí los puntos + · · · implican que se pueden construir varios modelos mini-
    MSFT que incluyen potencias superiores de las interacciones de campos, más allá
    del término cúbico. Los diagramas tipo FEYNMAN para esta teoría de campos, re-
    producen las operaciones de empalme/disyunción de láminas mundi, como en los
    viejos "diagramas de dualidad" cordaloides. Consideramos que con sólo la interac-
    ción cúbica en (3.20) y el hamiltoniano cordal 2D, de la ecuación (3.19), parece
    que el enfoque mini-MSFT correspondería a los cálculos para cuerdas 2D, de los
    diagramas FEYNMAN en [10], que dieron correctamente las interacciones mesóni-
    cas, utilizando solamente cuerdas y branas (quarks al final), con amplitudes acordes
    con gráficos planares en QCD 2D para N grande. Tal vez esta exacta y exitosa co-
    rrespondencia cuerdas-QCD podría ahora ser generalizada a cuatro dimensiones
    mediante mini-MSFT en (3.20) incluyendo los componentes transversales de R ,
    p más allá de los componentes del cono lumínico.

    En [9,10] la función ondal está en el espacio de ímpetus (pL, pR), mientras que en (3.19) está en
    el espacio de fase mixto A(R, p). Después de una transformación FOURIER (R
    P) y un apropia-
    do cambio de variables de (P, p) a (pL, pR) encontramos la misma ecuación integral para meso-
    nes.
    15

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    4.
    ˆ
    Alberto Mejías
    Esto completa la construcción del modelo de teoría de campos mini-MSFT.
    El tiempo demostrará si esto es un método útil para discutir algunos sistemas físi-
    cos, tales como cuerdas de QCD. Es posible generalizar más al sistema, asignándo-
    le a A, índices que correspondan al espín y otros números cuánticos y, correspon-
    dientemente, eligiendo un H apropiado. En este trabajo se ha utilizado el concepto
    de mini-MSFT principalmente como una simplificación de la MSFT total para dis-
    cutir la relación entre el empalme producto estrella de cuerdas y las reglas de quan-
    tización de QM. Como se muestra en [3], todas las facetas de nuestras discusiones
    aquí también son válidas en la MSFT total así como en subsectores derivables de
    ella.
    PERSPECTIVAS
    Hemos demostrado que en el semi-espacio de fase de iQM, podemos repro-
    ducir todos los aspectos de QM ordinaria, apoyados sólo en las reglas del producto
    cuyo significado físico es interacciones creadas por empalme/disyunción de cuer-
    das.
    Para finalizar la tesis central en este documento, con respecto a la fuente de
    las reglas de la mecánica quántica en toda la física, se necesita primero suponer que
    Teoría de cuerdas (o la generalización a Teoría M) podría ser la descripción correc-
    ta de todos los fenómenos físicos. Así, basado en la MSFT total [3] (y su posible
    generalización a teoría M), uno puede alegar que la fuente de las reglas de conmu-
    tación mecánico-cuánticas en toda la física podría rastrearse hasta el fenómeno físi-
    co de interacciones cordales de empalme/disyunción, expresadas en el semi-espacio
    de fase, en el lenguaje MSFT. Si este punto de vista se mantiene más allá del apa-
    rente limitado alcance de MSFT, en todos los aspectos de Teoría M, incluyendo se-
    gunda quantización, entonces el concepto que discutimos aquí, de que las interac-
    ciones cordales son la fuente de la Mecánica Quántica, aumentaría la credibilidad
    de la Teoría de Cuerdas como una teoría fundamental.
    Reevaluemos los ingredientes principales que conducen a estos resultados.
    En primer lugar está el iQM generado por el producto de empalme cordal de la
    ecuación (3.4), que proviene de la correspondiente ecuación (2.3) en Teoría de
    Campos Cordales total. En segundo lugar está la conexión de los operadores cuán-
    ticos en QM con el producto estrella de empalme cordal como se da en la ecuación
    (3.10), que también proviene de la Teoría de campos cordales total en Ecs. (2,4),
    16

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    Desde la interacción cordal a la mecánica quántica
    (2.5). El segundo ingrediente puede ser considerado como una particular represen-
    tación de los operadores cuánticos. Por supuesto, siendo una representación, está
    obligado a satisfacer las correctas normas quánticas. De hecho, la versión cordal en
    Ecs. (2,4), (2.5) fue lograda por primera vez a en [3], a partir del estudio de la cuer-
    da quantizada; es decir, de los conocimientos adquiridos en QM. Lo nuevo es que a
    diferencia de otras representaciones, esta representación se basa en un proceso físi-
    co de empalme/disyunción cordal que tiene lugar a la escala PLANCK.
    En otras palabras, aunque es una representación está también conectada a
    procesos físicos de una manera que otras representaciones de los operadores cuán-
    ticos no lo están. Esto proporciona la semilla de una explicación de que la mecánica
    quántica existe debido a ciertos fenómenos, mientras que otras representaciones no
    tienen esta capacidad. En esta representación, si no se producen los procesos físicos
    de empalme/disyunción cordal, no hay mecánica cuántica, porque el parámetro de
    no-conmutatividad en empalme/disyunción cordal, no es otro que la constante
    PLANCK . Por lo tanto, invertimos el camino lógico que nos trajo desde la mecá-
    nica cuántica, a través de la teoría de cuerdas, a SFT, en particular a MSFT. Consi-
    deramos la premisa de que Teoría de Cuerdas o Teoría M es el principal punto de
    partida para la descripción de todos los fenómenos de la naturaleza. Esto demanda
    que no haya objetos puntuales, que todos los objetos son fundamentalmente corda-
    loides y que deben interactuar sólo a través de procesos de empalme/disyunción
    cordal. El lenguaje de MSFT deja en claro que en tal caso, se obtiene una mecánica
    quántica inducida y que la de la Mecánica Quántica, proviene de la no-conmutati-
    vidad de empalme/disyunción. En este enfoque podemos decir que los operadores
    QM y las correspondientes reglas de conmutación se introducen por conveniencia
    mediante las ecs. (2.4), (2.5), (3.10) para hacer conexión con el lenguaje familiar,
    pero no como fundamentales ni tampoco porque se necesiten para los cálculos –
    MSFT ya está equipada con los instrumentos de cálculo.
    La información de que las relaciones de conmutación quántica fundamenta-
    les están conectadas a los procesos de empalme/disyunción se transmite a la física
    de baja energía muy por debajo de la escala PLANCK. El primer paso en este proce-
    so, es que la teoría de campos cordales es aproximada por la teoría de campos loca-
    les, donde sólo los grados de libertad del centro de masa de la cuerda, indican a los
    campos locales (i. e. R en mini-MSFT). La derivada en la teoría de campos locales,
    es la representación del ímpetu conjugado canónico (P en mini-MSFT), notando
    que la derivada surge del producto estrella empalme cordal (ver e. g. ec. (3.16)).
    Finalmente, en el sector de una partícula de la teoría de campos locales, recupera-
    17

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    [1]
    [2]
    [3]
    [4]
    [5]
    [6]
    [7]
    Alberto Mejías
    mos la reglas usuales de la mecánica quántica, en la representación del espacio de
    posición, donde el ímpetu es representado por la derivada. Este razonamiento se ex-
    tiende fácilmente, a otros grados de libertad, incluso el espín, incluyendo fermiones
    en el formalismo de campos cordales.
    Independientemente de la tesis central de este trabajo, a un nivel más modes-
    to, hemos introducido un nuevo espacio de representación para los operadores me-
    cánico-quánticos mediante la aplicación en ec. (3.10), que puede encontrar variadas
    aplicaciones. El modelo mini-MSFT puede ser útil por derecho propio, para discu-
    tir algo de física perturbacional y no-perturbacional, en ciertas circunstancias.
    Referencias
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    B 268 (1986) 253.
    I. BARS, Map of Witten’s to Moyal’s , Phys. Lett. B 517 (2001) 436,
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    I. BARS, D. RYCHKOV, Background independent string ?eld theory, arXiv:
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    string field theory, J. High Energy Phys. 0307 (2003) 027, arXiv:hep-
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    arXiv:hep-th/0311264.
    G. ’T HOOFT, Two dimensional model for mesons, Nucl. Phys. B 75 (1974)
    461.
    [10] I. BARS, Exact equivalence of chromodynamics to a string theory, Phys. Rev.
    Lett. 36 (1976) 1521, and references therein to earlier work, see especially
    Eqs. (9a) and (13a).
    [11] ITZHAK BARS, DMITRY RYCHKOV, Is string interaction the origin of quantum
    mechanics? Phys. Lett. B (2014)
    19

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    1
    ALEPH SUB – CERO
    SERIE DE DIVULGACIÓN
    ?0 2015 – I ?0
    pp. 20 – 51
    DEL PROBLEMA DE BASILEA A LA FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN
    (Problem Basel to the Riemann Zeta Function)
    Carlos Sánchez Chinea1
    Recepción: Marzo 2015. Revisión y aceptación: Abril 2015.
    Resumen. Presentamos los elementos del problema de Basilea y de lo que podemos
    considerar su continuación, un siglo después, por Bernard Riemann, al ampliar de
    definición de la función zeta al campo complejo. Por razones de espacio no
    analizamos aquí la importantísima relación de la función zeta con la distribución de
    los números primos, planteándonos como único objetivo el describir los aspectos
    básicos de su construcción y prolongación analítica a todo el campo complejo.
    Descriptores: Basilea, Euler, Zeta, Riemann, funcion, ceros, analitica, prolongacion,
    dominio, recta critica, banda critica.
    Abstract. We present the elements of the Basel problem and what can be considered
    its continuation, a century later, by Bernard Riemann, to extend the definition domain
    of the zeta function to the complex field. Because of space limitations, we do not
    analyze the important relationship of the zeta function with the distribution of primes,
    we solely focus on describing the basics of construction and the analytic extension
    to the entire complex field.
    Keywords: Basel, Euler, Zeta, Riemann, functions, zeros, analytical, prolongation,
    domain, straight criticism, critical band.
    Carlos Sánchez Chinea, es Licenciado en Ciencias Físicas y Profesor de Matemáticas de Educa-
    ción Secundaria, con la Condición de Catedrático, en el Instituto de Enseñanza Secundaria “Isidro
    de Arcenegui y Carmona” de Marchena, Sevilla, España. Prejubilado en 2008. casanchi.com, ca-
    sanchi@gmail.com, casanchi@casanchi.com.

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    8
    2 3
    Del Problema de Basilea a la Función Zeta de Riemann

    00 Introducción

    El problema de determinar la suma exacta de la serie infinita
    1
    2
    n=1 n
    1 1
    = 1+ 2 + 2 +…
    fue afrontado por diversos matemáticos en los siglos XVII y XVIII, desde su
    enunciado por el matemático y sacerdote boloñés Pietro Mengoli (1626-1686), en su
    obra “Novae quadraturae arithmeticae”, en 1650. Sin embargo, la primera solución
    correcta fue obtenida por Leonard Euler en 1735 (“De Summis Serierum
    Reciprocarum”), cuando tenía 28 años, y su descubrimiento le supuso gran
    notoriedad entre los matemáticos de su tiempo. Se denominó Problema de Basilea,
    por ser ésta su ciudad de residencia.

    Los trabajos de Euler fueron retomados en el siglo XIX por Bernard Riemann
    (1826-1866), estudiando ahora la función que da la suma infinita de los inversos de
    las potencias de n para el caso general de exponente s complejo.

    La función zeta de Riemann está definida en el semiplano r(s)>1 por una serie
    de Dirichlet simple. En tal semiplano es convergente absolutamente y
    uniformemente. No tiene ceros ni singularidades en dicho dominio de definición. Es,
    en definitiva, una función analítica dentro del semiplano r(s)>1.

    Si estudiamos una prolongación analítica de la función a todo el plano
    complejo, es decir, si encontramos una función definida en todo punto de C tal que
    coincida con la función zeta de Riemann al restringirla al semiplano r(s)>1, podemos
    estudiar los posibles ceros y singularidades de dicha prolongación.

    Para la función prolongación analítica encontramos que tiene infinitos ceros
    en el eje real negativo (ceros triviales), que resultan ser los infinitos números reales
    enteros pares negativos. Y tiene también una singularidad, un polo simple de residuo
    unidad, en el punto s=1. Tiene asimismo ceros (no triviales), de parte imaginaria no
    nula, dentro de la banda 0< real(s)< 1, denominada banda crítica.

    21

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    Carlos Sánchez Chinea
    Jacques Hadamard y De la Vallée Poussin probarían en 1896 que la prolongación
    analítica de la función zeta no se anula en la recta 1+i.t, cualquiera que sea t real,
    por lo que todos los ceros existentes para dicha función prolongación son los ya
    indicados: triviales (pares negativos de parte imaginaria nula), y los no triviales (de
    parte real entre cero y la unidad, y parte imaginaria no nula) comprendidos en la
    banda crítica.
    Se descubriría que los ceros no triviales de la prolongación analítica de la
    función zeta (en adelante llamaremos simplemente función zeta a dicha
    prolongación) pueden interpretarse como frecuencias armónicas en la distribución de
    los números primos. De ahí la importancia de su estudio.
    Para mejor visualización de la singularidad en s=1 conviene prolongar
    primeramente la función zeta al semiplano r(s)>0 mediante alguna función sencilla
    que permita hacer el estudio. La prolongación analítica de la función zeta al
    semiplano r(s)>0 puede hacerse de forma elemental encontrando alguna función f(s)
    definida en tal semiplano, cuya restricción al semiplano r(s)>1 coincida con la
    función zeta originalmente definida (la serie simple de Dirichlet), y que nos permita
    estudiar la singularidad única en s=1, quedando establecido el carácter meromorfo
    de dicha prolongación. Mientras que para prolongar analíticamente la función zeta a
    todo el plano necesitamos obtener una ecuación funcional general que nos permita
    el estudio global para todo s de C. Obtendremos la llamada Ecu

    Partes: 1, 2

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