a a o a a a a a a a o a a a i Una Simple Mec´nica
Cl´sica Rotacional Antonio A. Blatter Licencia Creative
Commons Atribuci´n 3.0 (2015) Buenos Aires Argentina En
mec´nica cl´sica, este trabajo presenta una simple
mec´nica cl´sica rotacional que puede ser aplicada en
cualquier sistema de referencia inercial o no inercial.
Introducci´n i) Poder hallar de la manera m´s
sencilla posible la velocidad angular ? de cualquier sistema de N
part´iculas (sea un cuerpo r´igido o no) respecto a
cualquier sistema de refe- rencia inercial o no inercial de
manera tal que no sea necesario utilizar una componente radial y
otra componente angular en cada una de las part´iculas del
sistema. ii) Posteriormente, poder desarrollar una din´mica
rotacional lo m´s sencilla posible que se pueda aplicar en
cualquier sistema de referencia inercial o no inercial.
Opci´n A Cinem´tica En mec´nica cl´sica,
para cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial)
la velocidad angular ? de cualquier sistema de N
part´iculas (que gira sobre su centro de masa) respecto al
sistema de referencia S es igual a la velocidad angular ?S de un
sistema de referencia S’ (que gira sobre su origen
O’) respecto al sistema de referencia S de manera tal que
el origen O’ del sistema de referencia S’ coincida
siempre con el centro de masa del sistema de part´iculas y
que el momento angular L del sistema de part´iculas
respecto al sistema de referencia S’ siempre sea igual a
cero. Por lo tanto, el momento angular L del sistema de
part´iculas respecto al sistema de referencia S’
siempre es igual a cero. L = mi ( ri × vi ) = 0 1
i e a r ¯ r o r v r i i ¯r r r r r r r r i i ¯r r
r r r r r r a i i i i ¯r ¯r r r r r r r r ¯ iculas
r r r i i ¯r i i r r r Ahora, la posici´n ri y la
velocidad vi de la i-´sima part´icula respecto al
sistema de referencia S, est´n dadas por: ri = ri – R = (ri
– R) = ¯i vi = vi – ?S × ri – V = (vi – V) – ?S
× (ri – R) = vi – ?S × ¯i donde R y V son la
posici´n y la velocidad respectivamente del centro de masa
del sistema de part´iculas respecto al sistema de
referencia S. Sustituyendo ri y vi en la primera ecuaci´n,
se obtiene: mi [ ¯i × (¯i – ?S × ¯i )]
= 0 mi (¯i × vi ) – mi [ ¯i × (?S ×
¯i )] = 0 Puesto que ¯i × (?S × ¯i ) =
|¯i |2 ?S – (?S · ¯i ) ¯i , resulta: mi
(¯i × vi ) – mi [ |¯i |2 ?S – (?S ·
¯i ) ¯i ] = 0 Como ?S = 1 · ?S (tensor unitario)
y (?S · ¯i ) ¯i = (¯i ? ¯i ) ·
?S (producto tensorial o di´dico) entonces: mi (¯i
× vi ) – mi (¯i × vi ) – mi [ |¯i |2 1
· ?S – (¯i ? ¯i ) · ?S ] = 0 mi [
|¯i |2 1 – (¯i ? ¯i ) ] · ?S = 0 Si
de?nimos a i mi (¯i × vi ) como el momento angular L
del sistema de part´ respecto al sistema de referencia S y
a i mi [ |¯i |2 1 – (¯i ? ¯i ) ] como el tensor de
inercia I del sistema de part´iculas con respecto al punto
R, entonces queda: L – I · ?S = 0 Despejando ?S y como la
velocidad angular ?S del sistema de referencia S’ respec-
to al sistema de referencia S es igual a la velocidad angular ?
del sistema de part´iculas respecto al sistema de
referencia S, ?nalmente se obtiene: ? = I-1 · L a =
d(?)/dt L = mi (¯i × vi ) = mi [(ri – R) × (vi –
V)] I = mi [ |¯i |2 1 – (¯i ? ¯i ) ] = mi [ |(ri –
R)|2 1 – (ri – R) ? (ri – R) ] El sistema de part´iculas
puede ser cualquier sistema de part´iculas (sea un cuerpo
r´igido o no) y si el sistema es de 1 sola part´icula
entonces el momento angular y la velocidad angular siempre son
iguales a cero. 2
a a a a i i i i i i i i i o a a o o Din´mica En
mec´nica cl´sica, para cualquier sistema de
referencia S (inercial o no inercial) el momento angular L de un
sistema de N part´iculas, est´ ahora dado por: L = mi
[(ri – R) × (vi – V)] = mi [(ri – R) × vi ] = mi [ ri
× (vi – V)] Derivando con respecto al tiempo, resulta:
d(L)/dt = mi [(ri -R)×(ai -A)] = mi [(ri -R)×ai ] =
mi [ ri ×(ai -A)] Utilizando solamente la segunda igualdad,
se tiene: d(L)/dt = mi [(ri – R) × ai ] Ahora como en todo
sistema de referencia inercial ai = Fi /mi (as´ como en
todo sistema de referencia no inercial considerando a las fuerzas
?cticias) ?nalmente se obtiene: d(L)/dt = [(ri – R) × Fi ]
= M Opci´n B En mec´nica cl´sica, para
cualquier sistema de referencia S con origen O (inercial o no
inercial) la velocidad angular ? de cualquier sistema de N
part´iculas (que gira sobre el origen O) respecto al
sistema de referencia S es igual a la velocidad angular ?S de un
sistema de referencia S’ (que gira sobre su origen
O’) respecto al sistema de referencia S de manera tal que
el origen O’ del sistema de referencia S’ coincida
siempre con el origen O del sistema de referencia S y que el
momento angular L del sistema de part´iculas respecto al
sistema de referencia S’ siempre sea igual a cero. El
desarrollo de la opci´n B es el mismo que el desarrollo de
la opci´n A y las ecuaciones de la opci´n B son las
mismas que las ecuaciones de la opci´n A con la
particularidad que R, V y A siempre son iguales a cero, ya que
ahora no representan la posici´n, la velocidad y la
aceleraci´n del centro de masa del sistema de
part´iculas respecto al sistema de referencia S sino que
representan la posici´n, la velocidad y la
aceleraci´n del origen O del sistema de referencia S
respecto al sistema de referencia S. La ventaja de la
opci´n B es que el momento angular y la velocidad angular
de un sistema de 1 sola part´icula no siempre son iguales a
cero. 3
a a a i i i i i i i Generalizando En mec´nica
cl´sica, para cualquier sistema de referencia S (inercial o
no inercial) el momento angular L de cualquier sistema de N
part´iculas (sea un cuerpo r´igido o no) con respecto
a un punto O (con posici´n Ro y velocidad Vo ) est´
ahora dado por: L = mi [ (ri – Ro ) × (vi – Vo ) ] d(L)/dt
= Mo = mi [ (ri – Ro ) × (ai – Ao ) ] [ (ri – Ro ) ×
(Fi – mi Ao ) ] I = mi [ |(ri – Ro )|2 1 – (ri – Ro ) ? (ri – Ro
) ] Por lo tanto, en cualquier sistema de N part´iculas, se
tiene: L = I · ? M = I · a ? = I-1 · L a =
I-1 · M M = Mo + M1 + M2 Mo = + M1 = – M2 = + [ (ri – Ro )
× (Fi – mi Ao ) ] mi (ri – Ro ) × { 2 ? × (vi –
Vo ) } mi (ri – Ro ) × { ? × [ ? × (ri – Ro ) ]
} Por lo tanto, se deduce que el momento angular L de un sistema
aislado de N part´iculas permanece constante si los
momentos internos Mo (int) logran anularse. 4
a o a o o o o o o Observaciones Estas ecuaciones son
v´lidas en cualquier sistema de referencia inercial o no
inercial. Los sistemas de referencia inerciales nunca deben
introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi y los sistemas de
referencia no inerciales siempre deben introducir las fuerzas
?cticias sobre Fi . La magnitud M contiene un momento ((real)) (
Mo ) y dos momentos ((?cticios)) ( M1 y M2 ) Los sistemas de
referencia inerciales y los sistemas de referencia no inerciales
siempre deben introducir los momentos ((?cticios)) sobre M. La
magnitud M puede hallarse a partir de [ d(L )/dt = i mi ( ri
× ai ) = 0 ] (Opci´n A) utilizando el mismo
procedimiento que se utiliz´ para hallar ? pero esta vez es
para hallar a (considerando que a = aS ) Al trabajar con
cualquier sistema de N part´iculas (sea un cuerpo
r´igido o no) entonces casi nunca el tensor de inercia I
puede permanecer constante. La ecuaci´n Mo = i [ (ri – Ro )
× (Fi – mi Ao ) ] solamente puede ser v´lida si Ao es
igual a cero o si Ao puede quitarse de la ecuaci´n. En
cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) la
elecci´n del punto O es libre pero teniendo en cuenta el
punto anterior. Si el punto O es el origen del sistema de
referencia S entonces Ro , Vo y Ao siempre son iguales a cero. Si
el punto O es un punto ?jo o si tiene velocidad vectorial
constante respecto al sistema de referencia S entonces Ao es
igual a cero. Si el punto O es el centro de masa del sistema de
part´iculas entonces Vo y Ao se pueden quitar de las
ecuaciones ya que las ecuaciones obtenidas son iguales a las
ecuaciones originales. La velocidad angular ? de cualquier
sistema de part´iculas (respecto al punto O) siempre es
igual a la velocidad angular ?S de un sistema de referencia
S’ (cuyo origen siempre coincide con el punto O) en el cual
el momento angular L del sistema de part´iculas siempre es
igual a cero. La aceleraci´n angular a de cualquier sistema
de part´iculas (respecto al punto O) siempre es igual a la
aceleraci´n angular aS de un sistema de referencia S’
(cuyo origen siempre coincide con el punto O) en el cual el
momento angular L del sistema de part´iculas siempre es
igual a cero. 5