PRESENTACIÓN
El desarrollo de la competencia lectora, abarca en el
ser humano tanto la capacidad de acceder al texto, como la de
extraer de él datos y referentes con los que se tiene la
posibilidad de argumentar.
Cuando se alcanza este estado cognitivo, se logra
combinar un conjunto de variables y alternativas con las que se
llega de manera un tanto aleatoria a la solución de
situaciones problema.
El presente compendio, seleccionado y desarrollado por
el Magister José Cristian Calderón
Rueda, es una muestra del progreso de la competencia
lectora, cuyos resultados le han propiciado avances de manera
personal.
Asumiendo los retos de las pruebas para
calificación y ascenso propuestas por el Estado para los
docentes y mediante una observación perspicaz, el autor
consigue seleccionar aquellos problemas referentes y propone para
ellos soluciones claves, en las que se utiliza muchas veces
procedimientos y relaciones más intuitivos que
racionales.
De esta forma ha llegado a la construcción de
este libro, fruto de su trabajo y experiencia en la
solución de situaciones problema, que expone para su
estudio al servicio de estudiantes, docentes y demás
personas, que como él, se interesan por los curiosos y
apasionantes retos de los enigmas matemáticos.
Queda entonces en sus manos amigo lector, este texto del
que se espera logre sacar el mayor provecho en el desarrollo de
su aptitud matemática, para los retos que en la vida
depara la construcción de méritos
personales.
Gabriel Ayala Pedraza
Escritor.
INTRODUCCIÓN
Interesado en ascender en el escalafón docente,
me di a la tarea de resolver ejercicios de habilidades
matemáticas planteados por Vanguardia Liberal, un
periódico de la ciudad de Bucaramanga (Colombia),
así como los ejercicios propuestos por el Grupo GEARD y
por Milton Ochoa, capacitadores de docentes en nuestro
país. El solucionario de aptitud matemática como lo
denominé contiene 100 ejercicios resueltos,
teniendo en cuenta las interpretaciones algebraicas pedidas en
cada problema en particular, así como desarrollo de
sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas,
aplicación del teorema de Pitágoras, regla de tres
simple, regla de tres compuesta, máximo común
divisor, mínimo común múltiplo, porcentajes,
fraccionarios, áreas, volúmenes, reparto directa e
inversamente proporcional, progresiones, probabilidades y
lógica matemática a manera de miscelánea,
para que el lector tenga la posibilidad de encontrar en este
documento la variedad de temas que debe estudiar o repasar para
presentar la prueba del concurso docente denominada aptitud
matemática.
La idea de solucionar problemas matemáticos que
solamente están propuestos y no tienen procedimiento, ni
respuesta, se apoya en la necesidad que tienen los maestros,
licenciados y concursantes en general de tener un libro
guía donde encuentre solución a sus dudas y tengan
la oportunidad de interpretarlo, analizarlo y asociarlo a sus
presaberes matemáticos.
Los presaberes matemáticos que el lector debe
conocer son suma, resta, multiplicación y división
de números fraccionarios, operaciones básicas con
números enteros, ecuaciones lineales con una, dos y tres
incógnitas, despeje de formulas y conocimientos
básicos de lógica matemática.
Todos los problemas están resueltos
de una sola manera, excepto el ejercicio 100 que se
solucionó a propósito, de tres formas distintas
para que el lector observe por cuál método es
más sencillo resolver y pueda así determinar y
desarrollar de otra manera diferente los otros 99
ejercicios. Los ejercicios se resolvieron de la manera más
fácil vista por el autor, pero como hay diferentes formas
de solucionar un problema, el lector puede intentarlo por la
manera más viable posible, teniendo en cuenta que en la
solución encuentre la respuesta correcta, por eso algunos
ejercicios se resuelven solamente teniendo en cuenta las
respuestas; simplemente se comprueba y se verifica la respuesta
verdadera, demostrándole al lector que cuando se resuelven
problemas de aptitud matemática se van adquiriendo ciertas
habilidades de pensamiento lógico.
Para resolver problemas cada disciplina posee unas
estrategias y las matemáticas se guían por ejemplo
por la formulación de (Polya, 1945) que relaciona las
cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema
en particular:
Comprender el problema
Trazar un plan para resolverlo
Poner en práctica el plan
(ejecutarlo)
Comprobar los resultados (revisar)
Se podría pensar que resolver problemas es la
tarea de los científicos, en la actualidad se ha
considerado como objetivo fundamental de la educación el
desarrollo de las habilidades de pensamiento, las cuales cooperan
al desarrollo de habilidades y competencias para la vida y
coinciden con el planteamiento de Polya, quien señala:
"Sólo los grandes descubrimientos permiten resolver
los grandes problemas; pero en la solución de todo
problema, hay un poco de descubrimiento; y sí se resuelve
un problema y éste llega a excitar nuestra curiosidad,
este tipo de experiencia, a una determinada edad, puede
determinar el gusto por el trabajo intelectual y dejar, tanto en
el espíritu, como en el carácter, una huella que
durará toda una vida."
Como todo método la
resolución de problemas tiene sus propias estrategias, las
cuales se retoman de (Fernández, 1992): "ensayo
– error, empezar por lo fácil. Resolver un problema
semejante más sencillo. Manipular y experimentar
manualmente. Descomponer el problema en pequeños problemas
(simplificar). Experimentar y extraer pautas (inducir). Resolver
problemas análogos (analogía). Seguir un
método (organización). Hacer esquemas, tablas,
dibujos (representación) Hacer recuento (conteo). Utilizar
un método de expresión adecuado; verbal,
algebraico, gráfico, numérico (codificar,
expresión, comunicación). Cambio de estados. Sacar
partido de la simetría. Deducir y sacar conclusiones
(conjeturar). Analizar los casos límite. Reformular el
problema. Suponer que no (reducción al absurdo). Empezar
por el final (dar el problema por resuelto)". En el presente
trabajo se busca aplicar el mayor número de secuencias;
con el fin de facilitar los procesos de enseñanza
aprendizaje y enriquecer la experiencia de los docentes
interesados en mejorar las habilidades
matemáticas
José Cristian Calderón
Rueda
APTITUD
MATEMÁTICA
1. En un colegio el número de estudiantes
de sexto grado es ¾ del número de estudiantes del
grado séptimo y el número de estudiantes del grado
6 representa la mitad de los estudiantes del grado 5. Si hay 36
estudiantes en grado séptimo; el número de
estudiantes de grado 5 es:
A. 50 B. 108 C. 54 D. 27
Desarrollo
Es un problema de fracciones donde se bebe interpretar
el texto36X3/4= 27 estudiantes de sexto
grado.
Como el número de estudiantes del grado sexto
(27) representa la mitad de los estudiantes del grado 5; entonces
los estudiantes de quinto son 54. Luego la respuesta correcta es
la C
2. En un concurso se hacen 40 preguntas y cada
pregunta correcta se premia con 5 puntos buenos;
mientras que cada pregunta mal respondida o contestada se
califica con tres puntos malos. Si contestando todas las
preguntas el resultado es cero; las preguntas correctas
fueron
A. 5 B. 15 C. 20 D. 25
Desarrollo
Se prueba con las respuestas así:
5X5= 25 y 35X3= 105 entonces 105-25= 80 como el
resultado no es cero, no corresponde la respuesta A
15X5= 75 y 25X3= 75 entones 75-75=0. Como
el resultado es cero, la respuesta correcta es
B
3. La suma de las edades de un padre
y su hijo es 74 años y la diferencia es 26. La edad del
padre es:
A. 45 B. 48 C. 50 D. 60
Desarrollo
Es un problema de dos ecuaciones con dos
incógnitas. Que se realizan según los datos del
problema
Primera ecuación P+H=74
Segunda ecuación P-H=26.
Se despeja P para remplazarla en la primera
ecuación P=26+H
Reemplazar en la primera ecuación
26+H+H=74 entonces 2H=74-26, ahora H=48/2 luego
H=24. Por lo tanto la edad del hijo es 24
La segunda ecuación despejada es: P=
26+24 entonces la edad del padre es P=50. Luego la
respuesta correcta es la C.
4. Tres veces la suma de dos
números es 270 y cinco veces su diferencia son 50. El
número menor es:
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
Desarrollo
Es un problema de dos ecuaciones con dos
incógnitas. Que se realizan según los datos del
problema.
Primera ecuación 3(x + y)
=270
Segunda ecuación 5 (x-y)
=50.
Se ordenan las ecuaciones para que quede un
sistema de ecuaciones así: Primera ecuación
3x+3y=270
Segunda ecuación 5x-5y=50
Multiplicar la primera ecuación por
5(3x+3y=270) y la Segunda ecuación por
3(5x-5y=50), dando como resultado lo siguiente
Primera ecuación
15x+15y=1350
Segunda ecuación 15x-15y=150 Sumar
las dos ecuaciones
30x= 1500. Se despeja x= 1500/30, entonces
x=50
Ya se halló x; ahora se debe hallar
y. Remplazando en cualquier ecuación. Por comodidad se
remplaza en la primera ecuación así:
3(50)+3y=270
150+3y=270
3y=270-150 y=120/3 y=40
Se compara los dos números hallados.
Por lo tanto el número menor es 40 que corresponde a la
respuesta D
5. Los ¾ de los 4/ 6 de 1/ 2
de 600 es
A. 240 B. 160 C. 150 D 120
Desarrollo
Es un problema de fraccionarios que se
comienza analizar de para atrás así:
600 X 1/2= 300
300 X 4/6= 200
200 X 3/4= 150
Luego la respuesta correcta es la
C
6. Qué hora es cuando el
reloj señala los 5/6 de la mitad del triplo de las 8AM A.
9AM B. 10AM C. 11AM D 12AM
Desarrollo
Es un problema de fraccionarios y
expresiones algebraicas que también se desarrolla de para
atrás:
La expresión Algebraica 3(8)/2
corresponde a la mitad del triplo de las 8AM Entonces: 3(8)/2=
12
Ahora los 5/6 de la mitad del triplo es:
12X5/6 = 10 AM. Luego la respuesta correcta es la
B
7. Una pizza es más costosa
que un helado. Si la diferencia entre los dos precios excede en $
600 a $ 15000 y el cociente de dichos costos es de 4. El valor
del helado es:
A. $ 1500 B. $ 3600 C. $ 4500 D. $
5200
Desarrollo
Es un problema de expresiones algebraicas,
que se puede desarrollar
Como el cociente de los costos es 4. Buscar un
número con las respuestas que multiplicado por 4 sea igual
a un número mayor que 15600 que es la diferencia entre los
dos precios.
Probar con 5200 X 4=
20800
Ahora 20800-15600= 5200 que
corresponde a la respuesta D
Probar con 4500 X 4 =
18000
Ahora 18000-15600= 2400. Debería dar
4500, (porque se probo con la respuesta C), luego
esa no es la respuesta verdadera
8. Dentro de 20 años
tendré 3 veces la edad que tuve hace 10 años.
Cuál fue mi edad hace tres años.
A. 25 años B. 30 años C. 19
años D. 22 años
Desarrollo
x= Edad Presente x+20 = Edad Futura x-10 =
Edad Pasada
La ecuación se plantea teniendo en
cuenta el enunciado: Dentro de 20 años tendré 3
veces la edad que tuve hace 10 años; se escribe
así: x+20=3(x-10)
Se realizan operaciones para despejar x
así: x+20=3x-30 x-3x= -30-20-2x= -50
x=25
Se halló x que corresponde a la edad
presente, pero preguntan por la edad hace tres años,
entonces 25-3= 22. Por lo tanto la respuesta correcta es
D
9. Cuatro veces la diferencia de dos
números es 120 y ocho veces su cociente es
24. El número mayor es:
A. 35 B. 40 C. 45 D. 60
Desarrollo
Es un problema de dos ecuaciones con dos
incógnitas. Que se realizan según los datos del
problema.
Primera ecuación 4(x – y)
=120
Segunda ecuación
8x = 24 y
Se ordenan las ecuaciones para que quede un
sistema de ecuaciones así: Primera ecuación
4x-4y=120
Segunda ecuación; Se multiplica en cruz 8x=24y;
se simplifica por 8, entonces resulta x=3y (segunda
ecuación simplificada)
Se remplaza en la primera ecuación;
4(3y)-4y=120
12y-4y=120
8y=120 y=15
Se halló y; ahora se debe hallar x; remplazar en
la segunda ecuación simplificada así: x=3(15)
entonces x= 45; que corresponde al número mayor de los dos
números hallados, luego la respuesta correcta es la
C.
10. Un artículo cuesta $
120.000, por cada 10 artículos que se compran, se rebajan
$50.000. Si María compra 23 artículos, debe
pagar
A. $3.600.400 B. $2.645.000 C. $5.600.300
D. $4.150.000
Desarrollo
Es un problema donde se aplica regla de
tres simple
1articulo ? $120.000
23 artículos? x
x= 23X$120.000= $2"760.000. Valor de los 23
artículos
10 artículos ? $50.000
23 artículos ? x
x= (23 X 50.000)/10, luego x=
$115.000. Valor del descuento
Luego María debe pagar
$2"760.000-115.000= 2"645.000
11. Sandra le dice a Joanna: Si el
duplo de la suma del costo de un saco y una falda es $ 78.000 y
la mitad del total del costo de la falda y el pantalón es
de $ 10.500 y el costo del saco más el
pantalón es de $ 42.000; el costo del pantalón
es:
A. $ 9.000 B. $ 12.000 C. $ 15.000 D. $
21.00
Desarrollo
Es un problema de tres ecuaciones con tres
incógnitas. Que se realizan según los datos del
problema.
2(s + f)=78.000
Primera ecuación: 2s+2f
=78.000
Segunda ecuación: f/2+p/2 = 10.500
Se despeja f así: f= 21000-p Tercera ecuación: s +
p= 42.000. Se despeja s así: s=42.000-p Se remplaza en la
primera ecuación así:
2(42.000-p)+2(21.000-p) =78.000
84.000-2p+42.000-2p= 78.000
-4p=78.000-84.000-42.000
-4p=-48.000 p= 12000
Luego el precio del pantalón es
$12.000. Entonces la respuesta correcta es B
12. La edad de Iván es el
triple de la de Laura, si la suma de sus edades es 48
años. La edad de Iván en años es
A. 38 B. 42 C. 36 D. 27
Desarrollo
Es un problema de dos ecuaciones con dos
incógnitas. Que se realizan según los datos del
problema
Primera ecuación I=3L Segunda
ecuación I+L=48. Despejar L= 48-I
Reemplazar en la primera
ecuación
I=3(48-I) I=144-3I
4I=144
I=36
La respuesta correcta es
C
13. Un número que elevado al
cubo y a la quinta parte de esta potencia sumada con 800 y
dividida en 2 nos da 500 es:
A. 10 B. 100 C. 500 D. 1.000
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