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DISTRIBUCION NORMAL




Enviado por net_ang



     

    Indice
    1.
    Introducción

    2. Distribución
    Normal

    3. Función De
    Densidad

    4. La Distribución
    Binomial

    1.
    Introducción

    Esta distribución es frecuentemente utilizada en
    las aplicaciones estadísticas.
    Su propio nombre indica su extendida utilización,
    justificada por las frecuencia o normalidad con la que las
    ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento
    a esta distribución.
    Muchas variables
    aleatorias continuas presentan una función de
    densidad cuya
    gráfica tiene forma de campana.
    En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo
    B(n,p), para un mismo valor de p y
    de valores de n
    cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias
    se aproximan a una forma en forma de campana.
    En resumen, la importancia de la distribución normal se
    debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a
    fenómenos naturales que siguen el modelo de la
    normal.
    – Caracteres morfológicos de individuos (personas,
    animales,
    plantas,…)
    de una especie.
    Por ejemplo: tallas, pesos, envergaduras, diámetros,
    perímetros,…
    – Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una
    misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de
    abono.
    – Caracteres sociológicos, por ejemplo: consciente
    intelectual, grado de adaptación a un medio.
    – Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
    – Valores estadísticos maestrales, por ejemplo: la
    media.
    – Otras distribuciones como la binomial o la Poisson son
    aproximaciones normales.
    Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de
    mucho factores.

    2. Distribución
    Normal

    Esta distribución es frecuentemente utilizada en
    las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su
    extendida utilización, justificada por la frecuencia o
    normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a
    parecerse en su comportamiento a esta distribución.
    Muchas variables aleatorias continuas presentan una
    función de densidad cuya gráfica tiene forma de
    campana.
    En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo
    B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores,
    se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una
    curva en "forma de campana".
    En resumen, la importancia de la distribución normal se
    debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a
    fenómenos naturales que siguen el modelo de la
    normal.

    • Caracteres morfológicos de individuos
      (personas, animales, plantas,…) de una especie, p. ejm.
      Tallas, pesos, envergaduras, diámetros,
      perímetros…
    • Caracteres fisiológicos, por ejemplo; efecto
      de una misma dosis de un fármaco, o de una misma
      cantidad de abono.
    • Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de
      cierto producto por
      un mismo grupo de
      individuos, puntuaciones de examen.
    • Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente
      intelectual, grado de adaptación a un
      medio……
    • Errores cometidos al medir ciertas
      magnitudes.
    • Valores estadísticos maestrales, por ejemplo:
      la media.
    • Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson
      son aproximaciones normales…

    Y en general cualquier característica que se
    obtenga como suma de muchos factores.

    3. Función De
    Densidad

    Empleando cálculos bastante laboriosos, puede
    demostrarse que el modelo de la función de densidad que
    corresponde a tales distribuciones viene dando por la
    fórmula

    Función De Una Distribución

    • Puede tomar cualquier valor (- ∞ ,+ ∞
      )
    • Son más probables los valores
      cercanos a uno central que llamados media
    • Conforme nos separamos de ese valor µ , la
      probabilidad va
      decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es
      simétrica).
    • Conforma nos separamos de ese valor µ , la
      probabilidad va decreciendo de forma más o menos
      rápida dependiendo de un parámetro
      s , que es la
      desviación típica.

    4. La Distribución
    Binomial

    Funciones de probabilidad:
    Llamamos función d probabilidad f a la aplicación
    de E(X) (Espacio Muestral) en el intervalo [0,1] QUE
    VERIFICA:
    f(A)= p (A)
    Básicamente se trata de estudiar la probabilidad como una
    función utilizando para su estudio todas las propiedades
    de las funciones.

    La Distribucion Binomial:
    Llamamos experiencia aleatoria dicotómica a aquella que
    solo puede tener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A
    recibe el nombre de éxito,
    además representaremos como p= p(A) y
    q=1-p=p(A’).
    A la función de probabilidad de una variable aleatoria X
    resultado de contar el número de éxitos al repetir
    n veces una experiencia aleatoria dicotómica con
    probabilidad de éxito p la llamamos distribución
    binomial y la representamos por B (n, p)
    Para esta distribución se verifica que, la variable X
    puede tomar los valores:
    0,1,2,…, n
    y que la variable toma cada uno de estos valores con
    probabilidad:
    p( X = r ) = (nr) pr (1 –
    p) n-r

    Parámetros de una distribución
    binomial:
    Esperanza: n · p
    Desviación típica (n · p · q
    )0.5 ( raíz cuadrada)
    Ajuste de una serie de datos a una
    distribución binomial:
    Disponemos de una serie de k datos que toman los valores 0,1,
    … ,n.
    Para saber si estos datos siguen pueden aproximarse por una
    distribución binomial:
    Calculamos la media de los k datos y la igualamos a la Esperanza
    teórica de la Binomial (n · p).
    Despejamos de aquí el valor de p.
    Calculamos los valores teóricos de p(X = r),
    multiplicándolos por k para obtener los valores
    teóricos de cada posible valor de la variable aleatoria en
    series de k datos.
    Si la diferencia es " suficientemente pequeña " aceptamos
    como buena la aproximación Binomial, si no, la
    rechazamos.
    (nota: la fundamentación estadística que nos permitiría
    decidir de manera objetiva si la diferencia entre los datos
    teóricos y los reales es "suficientemente pequeña"
    escapa de los objetivos de
    esta unidad didáctica, con lo cual la decisión
    se deberá tomar de manera subjetiva)

    Muestreo
    En estadística, es el proceso por el
    cual se seleccionan los individuos que formarán una
    muestra.
    Para que se puedan obtener conclusiones fiables para la población a partir de la muestra, es
    importante tanto su tamaño como
    el modo en que han sido seleccionados los individuos que la
    componen.
    El tamaño de la muestra depende de la precisión que
    se quiera conseguir en la estimación que se realice a
    partir de ella. Para su determinación se requieren
    técnicas estadísticas superiores,
    pero resulta sorprendente cómo, con muestras notablemente
    pequeñas, se pueden conseguir resultados suficientemente
    precisos. Por ejemplo, con muestras de unos pocos miles de
    personas se pueden estimar con muchísima precisión
    los resultados de unas votaciones en las que participarán
    decenas de millones de votantes.
    Para seleccionar los individuos de la muestra es fundamental
    proceder aleatoriamente, es decir, decidir al azar qué
    individuos de entre toda la población forma parte de la
    muestra.
    Si se procede como si de un sorteo se tratara, eligiendo
    directamente de la población sin ningún otro
    condicionante, el muestreo se llama
    aleatorio simple o irrestrictamente aleatorio.
    Cuando la población se puede subdividir en clases
    (estratos) con características especiales, se puede
    mostrar de modo que el número de individuos de cada
    estrato en la muestra mantenga la proporción que
    existía en la población. Una vez fijado el
    número que corresponde a cada estrato, los individuos se
    designan aleatoriamente. Este tipo de muestreo se denomina
    aleatorio estratificado con asignación proporcional.
    Las inferencias realizadas mediante muestras seleccionadas
    aleatoriamente están sujetas a errores, llamados errores
    de muestreo, que están controlados. Si la muestra
    está mal elegida – no es significativa – se producen
    errores sistemáticos no controlados.

    Métodos De Muestreo
    Existen dos métodos de
    muestreo:
    El muestreo probabilístico y no probabilístico
    Métodos de muestreo probabilístico
    Los métodos de muestreo probabilísticas son
    aquéllos que se basan en el principio de equiprobabilidad.
    Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la
    misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una
    muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de
    tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas.
    Sólo estos métodos de muestreo
    probabilísticas nos aseguran la representatividad de la
    muestra extraída y son, por tanto, los más
    recomendables. Dentro de los métodos de muestreo
    probabilísticas encontramos los siguientes
    tipos:

    Muestreo aleatorio simple
    El procedimiento es
    el siguiente: 1) se asigna un número a cada individuo de
    la población y 2) a través de algún medio
    mecánico (bolas dentro de una bolsa, tablas de
    números aleatorios, números aleatorios generados
    con una calculadora u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos
    como sea necesario para completar el tamaño de muestra
    requerido.
    Este procedimiento, atractivo por su simpleza, tiene poca o nula
    utilidad
    práctica cuando la población que estamos manejando
    es muy grande.

    Muestreo aleatorio sistemático
    Este procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los
    elementos de la población, pero en lugar de extraer n
    números aleatorios solo se extrae uno. Se parte de ese
    número aleatorio i, que es un número elegido al
    azar, y los elementos que integran la muestras son los que ocupan
    los lugares i,i+k,i+2k,i+3k,…,i+(n-1)k, es decir se toman
    los individuos de k en k, siendo k el resultado de dividir el
    tamaño de la población entre el tamaño de la
    muestra: k=N/n. el número i que empleamos como punto de
    partida será un número al azar entre 1 y k.
    El riesgo de este
    tipo de muestreo está en los casos en que se dan
    periodicidad constante (k) podemos introducir una homogeneidad
    que no se da en la población. Imaginemos que estamos
    seleccionando una muestra sobre listas de 10 individuos en los
    que los 5 primeros son varones y los últimos 5 son
    mujeres, si empleamos un muestreo aleatorio sistemático
    con k=10 siempre seleccionaríamos o sólo hombres o
    sólo mujeres, no podría haber una
    representación de los dos sexos.

    Muestreo aleatorio estratificado.
    Trata de obviar las dificultades que presentan los anteriores ya
    que simplifican los procesos y
    suelen reducir el error muestral para un tamaño dado de la
    muestra. Consiste en considerar categorías típicas
    diferentes entre sí (estratos) que poseen gran
    homogeneidad respecto a alguna característica (se puede
    estratificar, por ejemplo, según la profesión, el
    municipio de residencia, el sexo, el estado
    civil, etc.). Lo que se pretende con este tipo de muestreo es
    asegurarse de que todos los estratos de interés
    estarán representados adecuadamente en la muestra. Cada
    estrato funciona independientemente, pudiendo aplicarse dentro de
    ellos el muestreo aleatorio simple o el estratificado para elegir
    los elementos concretos que formarán parte de la muestra.
    En ocasiones las dificultades que plantean son demasiado grandes,
    pues exige un conocimiento
    detallado de la población. (tamaño
    geográfico, sexos, edades…).
    La distribución de la muestra en función de los
    diferentes estratos se denomina afijación, y puede ser de
    diferentes tipos:

    Afijación simple
    A cada estrato le corresponde igual número de elementos
    maestrales.

    Afijación proporcional
    La distribución se hace de acuerdo con el peso
    (tamaño) de la población en cada
    estrato.

    Afijación Optima
    Se tiene en cuenta la previsible dispersión de los
    resultados, de modo que se considera la proporción y la
    desviación típica. Tiene poca aplicación ya
    que no suele conocer la desviación.

    Muestreo aleatorio por conglomerados
    Los métodos presentados hasta ahora están pensados
    para seleccionar directamente los elementos de la
    población, es decir, que las unidades maestrales son los
    elementos de la población. En el muestreo por
    conglomerados la unidad muestral es un grupo de elementos de la
    población que forman una unidad, a la que llamamos
    conglomerado. Las unidades hospitalarias, los departamentos
    universitarios, una caja de determinado producto, etc., son
    conglomerados naturales como, por ejemplo, las urnas electorales.
    Cuando los conglomerados son áreas geográficas
    suele hablarse de "muestreo por áreas".
    El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar
    aleatoriamente un cierto número de conglomerados (el
    necesario para alcanzar el tamaño muestral establecido) y
    en investigar después todos los elementos pertenecientes a
    los conglomerados elegidos.
    Para finalizar con esta exposición
    de los métodos de muestreo probabilístico es
    necesario comentar que ante lo compleja que puede llegar a ser la
    situación real de muestreo con la que nos enfrentemos es
    muy común emplear lo que se denomina muestreo
    polietápico. Este tipo de muestreo se caracteriza por
    operar en sucesivas etapas, empleando en cada una de ellas el
    método de
    muestreo probabilístico más adecuado.

    Métodos de muestreo no probabilísticos
    A veces, para estudios exploratorios, el muestreo
    probabilístico resulta excesivamente costoso y se acude a
    métodos no probabilísticos, aún siendo
    conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones, pues
    no se tiene certeza de que la muestra extraída sea
    representativa, ya que no todos los sujetos de la
    población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. En
    general se seleccionan a los sujetos siguiendo determinados
    criterios procurando que la muestra sea
    representativa.

    Muestreo por cuotas.
    También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta
    generalmente sobre la base de un buen conocimiento de los
    estratos de la población y/o de los individuos más
    "representativos" o "adecuados" para los fines de la investigación. Mantiene, por tanto,
    semejanzas con el muestreo aleatorio estratificado, pero no tiene
    el carácter
    de aleatoriedad de aquél.
    En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en
    un número de individuos que reúnen unas
    determinadas condiciones, por ejemplo: 20 individuos de 25 a 40
    años, de sexo femenino y residentes en Gijón. Una
    vez terminada la cuota se eligen los primeros que se encuentren
    que cumplan esas características. Este método se
    utiliza mucho en las encuestas de
    opinión.

    Muestreo opinático o intencional
    Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado
    de obtener muestras "representativas" mediante la
    inclusión en la muestra de grupos
    supuestamente típicos. Es muy frecuente su
    utilización en sondeos preelectorales de zonas que en
    anteriores votaciones han marcado tendencias en voto.

    Muestreo casual o incidental
    Se trata de un proceso en el que el investigador selecciona
    directa e intencionalmente los individuos de la población.
    El caso más frecuente de este procedimiento el utilizar
    como muestra los individuos a los que se tiene fácil
    acceso (los profesores de universidad
    emplean con mucha frecuencia a sus propios alumnos). Un caso
    particular es el de los voluntarios.

    Bola de nieve
    Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y
    estos a otros, y así hasta conseguir una muestra
    suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente cuando se
    hacen estudios con poblaciones "marginales", delincuentes,
    sectas, determinados tipos de enfermos, etc.

    Error Muestral
    De estimación o estándar. Es la diferencia entre un
    estadístico y su parámetro correspondiente. Es una
    medida de al variabilidad de las estimaciones de muestras
    repetidas en torno al valor de
    la población, nos da una noción clara de hasta
    donde y con qué probabilidad una estimación basada
    en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por
    medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la
    naturaleza de
    la investigación nos indicará hasta qué
    medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error
    muestral e intervalos de confianza que varían muestra a
    muestra). Varía según se calcule al principio o al
    final. Un estadístico será más preciso en
    cuanto y tanto su error es más pequeño.
    Podríamos decir que es la desviación de la
    distribución muestral de un estadístico y su
    fiabilidad.

     

     

     

     

    Autor:


    Angel Moreno

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