Métodos estadísticos para la investigación (página 4)

Tabla 23. . Valores transformados aplicando el logaritmo natural

Los parámetros estadísticos obtenidos para determinar el
número y ancho de intervalos de clase, se muestran en el siguiente cuadro.

Tabla 24. Parámetros estadísticos para determinar
los intervalos de clase

Los dos estimadores de los parámetros de la distribución
Log-normal son la media y desviación estándar de los logaritmos
naturales. Estos son &µln(xi) = 3.52 y sln(xi) = 0.32. Estos estimadores
de los parámetros de la distribución Log-normal sirven para el
cálculo de x2c como se muestra a continuación en el siguiente
cuadro.

Tabla 25 . Cálculos para la prueba de bondad de ajuste
con distribución Log-normal

Los valores mostrados en las columnas 1-4 se obtienen del mismo modo
que en las pruebas de bondad de ajuste de Gumbel y Log-Pearson tipo III. En
cambio las columnas (5) y (6) se determinan integrando la función de
densidad de probabilidad Log-normal. Existe una función en Excel que
permite realizar su determinación, esta se denomina DISTR.LOG.NORM.

La función DISTR.LOG.NORM , devuelve la probabilidad para una
variable aleatoria continua siguiendo una distribución logarítmico-normal
acumulativa de x, donde ln(x) se distribuye normalmente con
los parámetros definidos por los argumentos media y desv_estándar.

Su sintaxis es la siguiente: DISTR.LOG.NORM(x;media;desv_estándar),
donde Xࠠes el valor en el que se desea evaluar la función, Mediaࠠ
es la media de In(x), y Desv_estándarࠠes la desviación estándar
de In(x).

El valor puesto de x es xi ó xi+1, el de media y desviación
estándar es el valor del parámetro respectivo (de los logaritmos
naturales).

Las columnas 7 y 8 se determinan como en los casos anteriores de la distribución
Gumbel o Log-Pearson tipo III.

El valor de x2c obtenido es 32.51. El valor teórico obtenido con
un nivel de significancia de 0.05 y 3 grados de libertad es 7.81. Puesto que
el valor calculado es mayor al valor teórico se rechaza la hipótesis
nula, y por tanto la distribución Log-normal no se ajusta adecuadamente
a los valores muestrales.

Lo mismo se observa en la siguiente figura donde se compara el valor
de frecuencia observada y esperada según la distribución Log-normal.

Figura 10. Frecuencia observada y esperada por distribución
Log-normal. Estación Laraqueri

9.2. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov

Esta prueba no paramétrica también se utiliza con el fin
de escoger una función de distribución de probabilidad adecuada,
es menos rígida que la prueba X2, pero tampoco menos importante. La debilidad
de la prueba X2 se encuentra en que el número de intervalos no necesariamente
se debe determinar por la regla de Sturges

Y tampoco el valor del ancho de intervalo de clase puede ser constante.
Debido a estas dificultades es recomendable realizar la prueba de bondad de
ajuste de Kolmogorov Smirnov. En la prueba X2 si ninguna de las distribuciones
ajusta bien la información muestral, entonces la prueba de Kolmogorov
Smirnov determinará cual ajusta mejor la información; pero, como
regla general se puede decir, que la distribución que presente el valor
más bajo de X2c es la que podría ajustar mejor la información.

9.2.1. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para la distribución
de Gumbel

Los cálculos realizados para esta prueba se muestran en el anexo.
El fundamento de la prueba es comparar la máxima diferencia entre la
función de probabilidad acumulada empírica y teórica. El
valor de probabilidad empírica se obtiene mediante la siguiente expresión

El valor de d se determina en función del tamaño de la
muestra y el nivel de significancia, desde el siguiente cuadro.

Tabla 26. Valores críticos d para la prueba Kolmogorov-Smirnov
de bondad de ajuste

Fuente: Benjamin, J. R., Cornell, C. A. 1970. Probability, statistic
and decision for civil engineers. Mc Graw-Hill. New York.

El valor obtenido de D para esta prueba de bondad de ajuste con distribución
de Gumbel es 0.16 y el valor crítico d es igual a 0.21, por tanto la
distribución ajusta adecuadamente los datos de precipitación máxima
de 24 horas.

Gráficamente también se puede observar el ajuste de la
distribución a la información muestral. Esto se muestra en la
siguiente figura para la estación Laraqueri.

Figura 11. Probabilidad acumulada empírica
y teórica con distribución Gumbel. Estación Laraqueri

9.2.2. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para la distribución
de Log-Pearson Tipo III

En el anexo se muestra el cuadro de cálculos para realizar la
prueba de Kolmogorov Smirnov. Los pasos para determinar las diferentes columnas
son similares a los realizados para el caso con distribución de Gumbel.
Una diferencia es que se trabaja con los logaritmos en base 10 y se obtiene
la siguiente variable transformada

El valor de probabilidad teórica acumulada con distribución
Log-Pearson Tipo III se obtiene con una formula desarrollada en Excel del siguiente
tipo

=1-DISTR.CHI(x, grados de libertad)

Donde: DISTR.CHI, devuelve la probabilidad de una variable aleatoria
continua siguiendo una distribución chi cuadrado de una sola cola.

Regla de decisión es

Si D < d entonces se acepta H0, en otro caso se rechaza y se acepta H1.

El valor de D obtenido es de 0.12 y el valor de d de la tabla sugerida
para la prueba con un nivel de significancia de 0.05 y un tamaño de muestra
de 39, es de 0.21. Por tanto se acepta que la distribución se ajusta
adecuadamente a la muestra.

El ajuste gráfico entre la probabilidad acumulada empírica
P(X=x) y la probabilidad acumulada teórica con distribución Log-Pearson
Tipo III, se muestra en la siguiente figura, donde se observa que existe un
mejor ajuste para precipitaciones máximas de 24 horas de menor profundidad
que para mayores a 31 mm.

Figura 12. Probabilidad acumulada empírica
y teórica con distribución Log-Pearson Tipo III. Estación
Laraqueri

9.2.3. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para la distribución
Normal

El cuadro que se presenta en el anexo posee los resultados de los cálculos
realizados para esta prueba de bondad de ajuste con distribución Normal.
Como en el caso de la prueba de bondad de ajuste X2 el valor de F(xi) se obtiene
integrando la función de densidad de probabilidad. Utilizando el Excel
es simple la determinación de la probabilidad acumulada teórica
con la función DISTR.NORM (x;media;desv_estándar;acum), donde
xॳ el valor cuya distribución desea obtener, Mediaࠠes la media aritmética
de la distribución, y Desv_estándarࠠes la desviación
estándar de la distribución. Si el argumento acum es verdadero,
la función DISTR.NORM devuelve la función de distribución
acumulada.

En el caso presente en los valores de media y desv_estándar, se
reemplaza los valores de la media y desviación estándar muestrales,
respectivamente. Como es lógico el valor de acum es verdadero.

El valor obtenido de la prueba es D=0.21 y de d=0.21 (con nivel de significancia
de 5% y tamaño de muestra 39). Con la prueba de hipótesis siguiente

H0: La distribución se ajusta adecuadamente a la muestra

H1: La distribución no se ajusta adecuadamente a la muestra

Regla de decisión es

Si D < d entonces se acepta H0, en otro caso se rechaza y se acepta H1.

Se concluye que la distribución Normal no se ajusta adecuadamente
a la muestra.

El caso gráfico es similar, puesto que no existe una concordancia
entre la probabilidad acumulada empírica y la teórica. En la siguiente
figura se muestra este hecho, lo cual valida el resultado de la prueba de hipótesis
pero sólo de manera subjetiva.

Figura 13. Probabilidad acumulada empírica
y teórica con distribución Normal. Estación Laraqueri

9.2.4. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para la distribución
Log-normal

Para el caso de prueba de bondad de ajuste Kolmogorov Smirnov con distribución
Log-normal, los pasos para determinar los valores mostrados en el cuadro del
anexo, son similares a las demás pruebas, excepto en el caso de la probabilidad
acumulada teórica F(xi). Para obtener este valor es necesario determinar
primero los parámetros correspondientes a esta distribución, estos
son simplemente la media y desviación estándar de los logaritmos
naturales de xi, es decir ln(xi).

Luego con el uso de la función DISTR.LOG.NORM(x; media; desv_estándar),
se determina el valor de probabilidad acumulada teórica, donde xॳ el
valor en el que se desea evaluar la función, Mediaॳ la media de In(x),
y Desv_estándar es la desviación estándar de In(x). Para
el caso actual, x es el valor de precipitación máxima de 24 horas,
sin haberse transformado con logaritmo natural, en cambio media y desv_estándar,
son valores idénticos a los que se indica (media y desviación
estándar de los logaritmos naturales).

El resultado de la prueba de hipótesis

H0: La distribución se ajusta adecuadamente a la muestra

H1: La distribución no se ajusta adecuadamente a la muestra

Regla de decisión es:

Si D < d entonces se acepta H0, en otro caso se rechaza y se acepta H1.

Es un valor de D = 0.19 y el valor crítico de d para un nivel
de significancia de 0.05 y un tamaño de muestra de 39, es 0.21, por consiguiente
se acepta la hipótesis nula, que la distribución se ajusta adecuadamente
a la muestra.

El ajuste gráfico se presenta en la siguiente figura, se observa
que es cualitativamente mejor que el ajuste con distribución Normal,
esto indica que los datos de precipitación máxima de 24 horas
son sesgados y por tanto se recomienda utilizar distribuciones de probabilidad
con esta característica.

Figura 14. Probabilidad acumulada empírica
y teórica con distribución Log-normal. Estación Laraqueri

9.3. Análisis de Frecuencia

La elección correcta de la distribución de probabilidad
permite realizar un adecuado análisis de frecuencia. El análisis
de frecuencia es el procedimiento mediante el cual se determina valores de una
variable hidrológica para un período de retorno. Este valor se
utiliza principalmente en el diseño de obras de control y mitigación
de eventos extremos sean esto máximos o mínimos.

9.3.1. Análisis de frecuencia con distribución de Gumbel
(Valor extremo tipo I)

Para realizar el análisis de frecuencia es necesario en primer
lugar, estimar los parámetros de la función de distribución
de probabilidad, esto en algunos casos donde el factor de frecuencia este en
función de ellos. Los valores en este caso se calcularon anteriormente.

El factor de frecuencia KT interviene en la siguiente ecuación

Donde: T = período de retorno en años.

En el siguiente cuadro se muestran los cálculos de análisis
de frecuencia para los datos de la estación Laraqueri (precipitación
máxima de 24 horas) con la distribución Gumbel.

Tabla 27. Análisis de frecuencia, distribución Gumbel,
Estación Laraqueri

9.3.2. Análisis de frecuencia con distribución Log-Pearson
Tipo III

Esta distribución es la que mejor se ajusta a la información
muestral según las pruebas anteriormente realizadas.

En los siguientes cuadros se muestra los cálculos realizados para
estimar las precipitaciones máximas de 24 horas para diferentes períodos
de retorno.

Tabla 28. Parámetros estadísticos del logaritmo
natural de la precipitación máxima

Con el valor del factor de frecuencia y los parámetros del logaritmo
en base 10, se determina la variable yT de la que su antilogaritmo representa
la precipitación máxima para un período de retorno.

Tabla 29. Cálculos para análisis de frecuencia con
distribución Log-Pearson tipo III en la estación Laraqueri

9.3.3. Análisis de frecuencia con distribución Lognormal

El proceso es similar al aplicado para la distribución Normal
con la única diferencia que los datos deben transformarse con un logaritmo
natural. En el siguiente cuadro se muestra los valores de los parámetros
media y desviación estándar de los logaritmos naturales.

Tabla 30. Parámetros de los logaritmos naturales de la
precipitación máxima, Estación Laraqueri

El proceso de cálculo del factor de frecuencia KT es con las siguientes
ecuaciones, similar al proceso seguido en el caso de la distribución
Log-Pearson Tipo III.

En este caso KT es igual a el valor de z correspondiente a una probabilidad
de excedencia p = 1/T. El valor de z se calcula por

El siguiente cuadro muestra los resultados del cálculo realizado
para estimar las precipitaciones máximas para diferentes períodos
de retorno con información de la estación Laraqueri.

Tabla 31. Cálculos para análisis de frecuencia con
distribución Lognormal en la estación Laraqueri

9.3.4. Análisis de frecuencia con distribución Normal

Con esta distribución el proceso de cálculo de precipitación
máxima para un período de retorno es casi igual al seguido con
la distribución Lognormal, la diferencia es que no es necesaria la transformación
con el logaritmo natural.

En este caso el valor de KT es igual al valor de z. El valor de xT (precipitación
máxima para un período de retorno) se calcula directamente con
la ecuación siguiente

Los parámetros estadísticos que se requieren se muestran
en el siguiente cuadro

Tabla 32. Parámetros estadísticos de la precipitación
máxima de la estación Laraqueri

En el cuadro que sigue se presenta los cálculos realizados para
el análisis de frecuencia de precipitación máxima de 24
horas de la estación Laraqueri.

Tabla 33. Cálculos para análisis de frecuencia con
distribución Normal en la estación Laraqueri

Como resumen en el siguiente cuadro se muestra los valores de precipitación
máxima de 24 horas calculados para la estación Laraqueri con diferentes
períodos de retorno, y con diferentes distribuciones de probabilidad.

Tabla 34. Precipitación máxima de 24 horas de la
Estación Laraqueri para diferentes periodos de retorno

Esta figura solo tiene propósitos de comparación, para
propósitos de diseño hidrológico se debe tomar los valores
que se obtuvieron con la distribución que presenta un buen ajuste. Como
se realizó anteriormente las pruebas X2 y de Kolmogorov-Smirnov la distribución
elegida es Log-Pearson Tipo III, por tanto los valores obtenidos con esta distribución
son los que se deben utilizar para propósitos de diseño.

Figura 15. Precipitación máxima de
la estación Laraqueri con diferentes distribuciones de probabilidad

Tabla 35. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para
distribución de Gumbel. Estación Laraqueri

Tabla 36. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para
distribución Log Pearson Tipo III. Estación Laraqueri

Tabla 37. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para
distribución Normal. Estación Laraqueri

Tabla 38. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para
distribución Log-normal. Estación Laraqueri

CAPITULO X

Modelamiento estocástico de series hidrológicas

10.1. Introducción

Para modelar estocásticamente series hidrológicas, es necesario
seguir un conjunto de pasos que se aplican en la mayoría de procesos
de modelamiento matemático.

Según Salett y Hein (___), mencionan que "Muchas situaciones
del mundo real pueden presentar problemas que requieren soluciones y decisiones",
y que "la solución de un problema requiere una formulación
matemática detallada.

Al conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que traducen,
de alguna manera, un fenómeno en cuestión o un problema realista,
lo denominamos Modelo Matemático".

10.2. Modelación Matemática

Salett y Hein (___), definen a la modelación matemática
como "el proceso involucrado en la obtención de un modelo. Este
proceso, desde cierto punto de vista, puede ser considerado artístico,
ya que para elaborar un modelo, además del conocimiento matemático,
el modelador debe tener una dosis significativa de intuición-creatividad
para interpretar el contexto, discernir qué contenido matemático
se adapta mejor y tener sentido lúdico para jugar con las variables involucradas.
El modelador debe ser un artista al formular, resolver y elaborar expresiones
que sirvan no sólo para una solución particular, sino también,
posteriormente, como soporte para otras aplicaciones y teorías".

Salett y Hein (___), consideran que las matemáticas y realidad
son dos conjuntos disjuntos y el modelaje es un medio de conjugarlos, y
representan este proceso por medio del siguiente esquema:

Figura 16. Proceso de modelamiento

Actualmente, este proceso se utiliza en toda ciencia, de modo que contribuye
en forma especial en la evolución del conocimiento humano (Salett y Hein
(___)).

Los pasos que se sigue para representar matemáticamente un problema
real se presenta en un proceso de tres etapas, divididas en cinco subetapas
(Salett y Hein (___)):

1. Interacción con el asunto

(i) Reconocimiento de la situación problema;

(ii) Familiarización con el asunto que va a ser modelo-investigación.

2. Construcción matemática

(i) Formulación del problema-hipótesis;

(ii) Resolución del problema en términos del modelo.

3. Modelo matemático

(i) interpretación de la solución-convalidación.

El siguiente diagrama, representa el proceso:

Figura 17. Proceso de la modelación matemática

10.2. Interacción con el asunto

Una vez delineada la situación que se pretende estudiar,
debe hacerse una investigación sobre el asunto.

Tanto indirectamente (a través de libros y revistas especializadas)
como directamente in situ (a través de datos experimentales
obtenidos con especialistas del área). Aunque hayamos dividido esta etapa
en dos subetapas, los límites entre ambas no son tajantes: el reconocimiento
de la situación-problema se torna cada vez más claro, a medida
que se van conociendo los datos (Salett y Hein (___)).

10.3. Construcción Matemática

Ésta es la etapa más compleja y desafiante. Está
subdividida en formulación del problema y solución. Es aquí
que se da la "traducción" de la situación-problema al
lenguaje matemático. Intuición y creatividad son elementos indispensables
en esta etapa.

En la formulación del problema-hipótesis, es necesario:

堃lasificar las informaciones (relevantes y no relevantes) identificando
los hechos involucrados.

堄ecidir cuáles son los factores a ser perseguidos, planteando
la hipótesis.

堇eneralizar y seleccionar variables relevantes.

堓eleccionar símbolos apropiados para dichas variables.

堄escribir las relaciones que se establezcan, en términos matemáticos
(Salett y Hein (___)).

Se debe concluir esta subetapa con un conjunto de expresiones aritméticas
y fórmulas, o ecuaciones algebraicas, o gráfico, o representaciones,
o programa computacional que nos lleven a la solución o nos permitan
deducir una.

En la solución del problema en términos del modelo la situación
pasa a ser resuelta o analizada con el "instrumental" matemático
de que se dispone. Esto requiere un aguzado conocimiento sobre las entidades
matemáticas usadas en la formulación (Salett y Hein (___)).

10.4. Modelo Matemático

Para poder concluir el modelo, se torna necesario un chequeo para así
comprobar en qué nivel éste se aproxima a la situación-problema
traducida y a partir de ahí, poder utilizarlo.

De esta forma, se hace primero la interpretación del modelo
y posteriormente, se comprueba la adecuación-convalidación.

Para interpretar el modelo se analizan las implicaciones de la solución,
derivada del modelo que está siendo investigado. Entonces, se comprueba
la adecuación del mismo, volviendo a la situación-problema investigada,
evaluando cuán significativa y relevante es la solución.

Si el modelo no atiende a las necesidades que lo generó, el proceso
debe ser retomado en la segunda etapa cambiando hipótesis, variables,
etc (Salett y Hein (___)).

10.5. Modelamiento Estocástico

10.5.1. Procedimiento del modelamiento estocastico

Según Salas (2008), los pasos del modelamiento estocástico
de series hidrológicas son los siguientes:

Definición del enfoque de modelamiento (esquema)

Características del sistema de recursos hídricos.

Características físicas de los procesos hidrológicos
tratados.

Características estadísticas de las series hidrológicas
tratadas.

Otros aspectos (experiencia, software, sesgo, etc).

Selección del tipo de modelo.

Identificación del orden del modelo.

Estimación de los parámetros del modelo.

Prueba y verificación del modelo.

Aplicar el modelo.

10.5.2. Características estadísticas de series de tiempo
hidrológicas

Salas (2000) menciona que, un proceso de series de tiempo puede ser caracterizado
por un número de propiedades estadísticas tales como la media,
desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente
de sesgo, correlación estación a estación, autocorrelación,
correlación cruzada, y estadísticas relativas al almacenamiento,
a sequias y a excesos.

Estadísticas muestrales generales para datos anuales

Salas (_____), describe, que la media y la varianza de una serie de tiempo
yt se estiman por

El estimador rk de la anterior ecuación es un estimador
del coeficiente de autocorrelación poblacional ?k. El gráfico
de rk contra k es el correlograma. Algunas veces el correlograma
se usa para elegir el tipo de modelo estocástico para representar una
serie de tiempo dada. El coeficiente de correlación serial de un retardo
r1 es una medida simple del grado de dependencia en el tiempo de una
serie. Cuando el correlograma decae rápidamente a cero después
de unos pocos retardos, esto puede ser indicación de una persistencia
pequeña o memoria corta en las series, mientras un decaimiento lento
del correlograma puede ser indicación de una persistencia grande o memoria
larga.

Alternativamente se puede estimar la función de autocorrelación
de la siguiente manera.

Estadísticas muestrales estacionales

Salas (______), describe, del siguiente modo que, las series de tiempo,
hidrológicas estacionales, tales como los caudales mensuales, pueden
describirse mejor por considerar las estadísticas en una base estacional.

Estadísticas relacionadas al almacenamiento

Salas (2000) menciona que, las estadísticas relacionadas al almacenamiento,
son particularmente importantes en el modelamiento de series de tiempo para
estudios de simulación de sistemas de reservorios.

El cálculo de la capacidad de almacenamiento está basado
en el algoritmo del pico secuente que es equivalente al método de la
curva de masa Rippl. El algoritmo, aplicado a la serie de tiempo yi, i = 1,厠
puede describirse como sigue.

Estadísticas relacionadas a sequia

Según Salas (2000), las estadísticas relacionadas a sequias
son también importantes en el modelamiento de las series de tiempo hidrológicas.

En el software SAMS, la duración de la sequia más larga
y la magnitud máxima de déficit, son estimadas para ambas series
anuales y estacionales (mensuales).

Estadísticas relacionadas a exceso

Sveimsson et al (2007) afirma que, las estadísticas relacionadas
a exceso son simplemente lo opuesto de las estadísticas relacionadas
a sequia. Considerando el mismo nivel umbral d, un exceso ocurre cuando
yi > d consecutivamente hasta que yi < d otra vez. Entonces,
asumiendo que m excesos ocurren durante un período de tiempo
dado N, el máximo período de exceso L* y la
magnitud máxima de exceso M* puede determinarse también
desde las ecuaciones anteriores.

10.6. Modelo Markoviano de datos anuales

Según Salas (1979), este modelamiento supone previamente que se
han efectuado pruebas de homogeneidad y la corrección de algún
salto o tendencia significativa.

Este modelo autoregresivo es aplicable a series que no son normales.
Se realizará el modelamiento con los datos originales (sin normalizarlos)
y se determinará la distribución de probabilidad de los residuos.

10.6.1. Descripción del modelo

Salas (1979) describe al Modelo Markoviano de orden – m con parámetros
constantes como

Las variables se definen como

Salas (1979) menciona que, en la práctica el modelo de orden 1
es más comunmente utilizado, sobre todo en series de corta longitud de
registros.

10.6.2. Estimación de parámetros

10.6.3. Modelo Markoviano de orden 1

Para m = 1, la variable estandarizada dependiente se escribe como

Ejemplo 10.1 Se realiza la determinación del autocorrelograma
y la estimación de los parámetros del modelo Markoviano de orden
1 para datos de volumenes anuales del río Ramis en millones de m3, mostrados
en el cuadro siguiente. También se realiza una generación series
sintéticas con el modelo.

Tabla 39. Volúmenes anuales del río Ramis (MMC)

El tamaño de la muestra es N = 39.

En el siguiente cuadro se presenta el proceso de cálculo del coeficiente
de autocorrelación de retardo 1.

Tabla 40. Cálculo del coeficiente de autocorrelación
de retardo 1

Pero al aplicar la formula siguiente

Se obtiene r1 = 0.201239, existe una pequeña diferencia en el
coeficiente de autocorrelación estimada con cada formula. La última
fórmula es de una literatura más reciente y se recomienda, además
en el programa estadístico MINITAB 15, se emplea esta también.

En este caso, se trabaja con el valor ?1 = 0.204302, y el autocorrelograma
se determina con esta fórmula. El autocorrelograma obtenido hasta un
retardo de 5 se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 18. Autocorrelograma obtenido para los volúmenes
anuales del río Ramis

En el cuadro siguiente se muestra los valores determinados de coeficientes
de autocorrelación para el retardo k

Tabla 41. Coeficientes de autocorrelación

En el siguiente cuadro se muestra los cálculos

Tabla 42. Calculo de la variable aleatoria independiente