Análisis descriptivo de la solución de un problema matemático

Resumen

En el presente artículo se pretende dar a
conocer un trabajo de investigación sobre el proceso de
solución presentado por un estudiante para profesor de
matemáticas, frente a un problema matemático,
relacionado a la topología; identificando el uso de
herramientas heurísticas y los diferentes procesos
metacognitivos que realiza el estudiante, por medio del
establecimiento de diferentes categorías de
análisis enmarcadas por la teoría propuesta por
Mason (1989).

PALABRAS CLAVE: Trabajo de investigación,
estudiante para profesor de matemáticas, problema
matemático, topología, herramientas
heurísticas, procesos metacognitivos, categorías de
análisis.

Introducción

Para el presente artículo se analizarán
las acciones de un estudiante que está cursando el
último semestre de licenciatura en educación
básica con énfasis de matemáticas (LEBEM) de
la Universidad Distrital Francisco José De Caldas, cuya
formación está bajo la resolución de
problemas como metodología de enseñanza. Como
perfil profesional que plantea la LEBEM es La
formación de un docente investig6ados comprometido con el
conocimiento y transformación de las prácticas
educativas y pedagógicas en matemáticas en la
educación básica, utilizando como base
metodológica la resolución de problemas" (LEBEM
2010).

Ahora el espacio de formación en el cual giran
los hechos objeto de este análisis tiene por nombre
tecnología en el aula y como temática trabajo se
está abordando la topología y espacios
topológicos.

A demás en este artículo se presenta un
análisis descriptivo del proceso de solución de un
problema matemático (Puig 1996) expuesto por un estudiante
para profesor de matemáticas.

Este se encuentra dividido en tres partes, en la primera
se plantea un objetivo general que guía el desarrollo del
trabajo y dos objetivos específicos enfocados a las
acciones a realizar con el fin de cumplir el objetivo general;
seguidamente encontraremos una descripción de la
población y del problema; después por el
carácter del análisis se presentara la
metodología a utilizar, donde se determina el tipo de
investigación que se pretende desarrollar.

En la segunda parte se encuentran los referentes
teóricos que se consideran pertinentes y que
permitirán el establecimiento de las categorías de
análisis. Por último en la tercera parte se
hará uso de las categorías para el análisis
propio de la actividad matemática desarrollada por el
estudiante y se realizarán las conclusiones que responden
a los objetivos planteados en la primera parte.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Realizar un análisis descriptivo del proceso de
solución realizado por un estudiante para profesor de
matemáticas[1]con respecto a un problema de
pensamiento matemático avanzado (PMA) enfocado a
topología.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Establecer categorías de análisis para
  el proceso de solución realizado por el estudiante
  basadas diversos referentes teóricos que permitan
  realizar un análisis del proceso de solución de
  un problema matemático.

• Analizar el proceso de solución presentado
  por el estudiante frente a un problema de pensamiento
  matemático avanzado, considerando el uso las
  estrategias metacognitivas, las herramientas
  heurísticas y el proceso de resolución de
  problemas que el estudiante plantea.

Descripción del
tipo de investigación

El tipo de investigación que se usará
durante este proceso será la investigación
cualitativa descriptiva, dada la naturaleza de la
investigación es necesario que los investigadores deban
tener contacto directo con el sujeto de estudio (estudiante
LEBEM). El cual busca describir los procesos metacognitivos y
heurísticas del proceso de solución llevado a cabo
por el estudiante. Bajo lo planteado por Suarez Pasos
(2012)

Marco
teórico

En nuestro proceso de formación como futuros
licenciados en matemáticas, hemos estado enfrentados a
diversos problemas en matemáticas, en relación al
pensamiento matemático avanzado. Pero se ha venido
observando que en los espacios de formación del
último semestre (validez y modelos, tecnología en
el aula) se consolida con mayor fuerza el rigor en la
demostración pero al mismo tiempo el poco entendimiento
del estudiante. Gracias a esto se ha generado entre el grupo de
trabajo, el interés de analizar y comprender qué
tipo de herramientas utiliza un estudiante para profesor de
décimo semestre de la LEBEM para resolver un problema que
se ha presentado en el espacio de formación
Tecnología en el aula con respecto a espacios
topológicos.

Desde hace tiempo el conocimiento matemático ha
sido objeto de estudio de diversas investigaciones a nivel
educativo. Un aspecto importante de las investigaciones que
abordan como objeto de estudio las heurísticas del
pensamiento matemático avanzado es mejorar los procesos de
enseñanza y aprendizaje del alumno, ya que permiten
diagnosticas la pertinencia de los diferentes objetos
contemplados en el diseño, aquí pueden haber
instrumentos, herramientas, tipos de intervenciones, tipos de
problemas, metodologías entre otros. Para poder determinar
esas mejoras y qué del alumno está fallando se debe
remitir a referentes teóricos que hablen al respecto para
así llegar a alguna conclusión. Esta
investigación tiene un componente que obliga a la
interacción con el otro sujeto, es decir entre los
indagadores y los indagados. Esto dado a la naturaleza de la
investigación.

Esta investigación va dirigida a un estudiante de
la LEBEM por lo cual la resolución de problemas
está inmersa en el proceso de solución del mismo,
por lo tanto se deberá definir qué se entiende por
resolución de problemas. Según Puig (1996) el
proceso de resolución se define como la actividad mental
que desarrolla el resolutor desde cuando asume el problema, tiene
interés de resolverlo y hasta que da por terminada la
tarea. Pero además Puig (1996) define otros
términos que parecen ser importantes en esta
investigación, se tiene el concepto de resultado que es la
respuesta de la pregunta al problema, y solución que
denota el conjunto de pasos que llevan al resultado.

Es de vital importancia que así como se
definió lo que se entiende por resolución,
también se defina lo que se entiende por problema. Santos
(1996) define como problema; que es una tarea o situación
que cumple las siguientes características:

• Interés: las personas involucradas quieren o
  necesitan encontrar la solución.

• No hay solución inmediata: no existe proceso
  o regla que garantice la solución total de la tarea o
  situación.

• Varios caminos de solución: el problema puede
  tener varias soluciones, o la solución se puede dar en
  un contexto numérico, geométrico o
  algebraico.

Es importante reconocer que un problema es como tal
hasta que existe un interés y se emplean acciones
específicas para intentar resolverlo. Queda claro que
considerar una tarea o situación como problema depende de
cada individuo, depende de la persona que se enfrenta a dicha
situación. Además Puig (1996) considera que se
debería usar el término problema cuando se conoce
un procedimiento para resolverlo pero se requiere de una
justificación, por ello en el presente análisis
determinaremos como problema la situación desarrollada por
el estudiante y que más adelante se
describirá..

Ya se han definido las concepciones de problema y
resolución de problemas que de manera explícita o
implícita se abordarán en esta
investigación. Otro aspecto de vital importancia de donde
se está trabajando pero no se hace mucho énfasis es
el pensamiento matemático avanzado, vale la pena definirlo
ya que el problema y su solución incluyen este
término tan importante.

Para la definición de pensamiento
matemático avanzado se tomó la concepción de
Tall (1988), que menciona que es aquel que está
relacionado con la idea de prueba y va dirigido a la
organización y formulación de una teoría
matemática axiomática. Debe cumplir las siguientes
características:

• Abstracción de propiedades: al suministrar
  definiciones conceptuales para los conceptos
  matemáticos.

• Uso de definiciones conceptuales abstractas: para
  disminuir la tensión cognitiva del
  pensamiento.

• Insistencia sobre la prueba lógica: es
  más que una justificación coherente la cual a
  su vez debe contener la deducción de propiedades de
  conceptos matemáticos desde las definiciones
  conceptuales dadas, y la implicación de que si cierta
  propiedad matemática se mantiene, entonces otras la
  siguen.

Para Beltrán, Guerrero & Ramírez O.
(2009) un componente importante de la resolución es el uso
de la metacognición y reflexión sobre el proceso de
resolución de problemas, pues estos aportes ayudan a
superar el estado del atascado. Así como también,
heurísticas tales como la particularización y la
contradicción. Por lo tanto se tomara una postura en cada
una de estas definiciones a continuación.

Para este artículo se tomara la definición
de heurística que propone Polya (1965) siguiendo a Puig
(1996), donde se entenderá a la heurística como "el
estudio de los modelos de comportamiento al resolver problemas y
los medios que se utilizan al momento de resolverlos que son
independientes del contenido y que no son garantía de que
se obtenga la solución".

Para abordar un problema Polya propone cuatro etapas: a)
Comprender el problema: ¿cuál es la
incógnita?, ¿cuáles son los datos?,
¿cuál es la condición? b) Diseñar un
plan: Se buscan problemas análogos y/o divide en casos
específicos. c) Ponerlo en práctica. Donde se
ejecuta y justifica. d) Por ultimo examinar la
solución.

Para Santos (1996) la herramienta heurística
está dentro de las estrategias cognitivas, y están
asociadas a la vez a las estrategias metacognitivas, entendiendo
metacognición como: …el conocimiento que
tenemos acerca de nuestro proceso de conocimiento, de nuestras
acciones, trayectorias y regulaciones que ponemos en juego al
realizar un problema… (Santos 1996).

Este tipo de estrategias está presente cuando se
es consciente de los procesos de resolución, se reflexiona
en torno a estos e realiza un control y una
autorregulación de las acciones en la resolución
del problema y por último se toma una postura personal en
la actividad matemática.

Se espera que el estudiante que se analice evidencie el
uso de diferentes procesos metacognitivos, y el uso de diferentes
herramientas heurísticas mediante el análisis que
se realizará.

Para poder realizar una reflexión sobre la
resolución de problemas, y poder llevar un monitoreo
Manson (1989), propone una serie de rótulos que permiten
identificar diversos momentos durante la resolución de un
problema. Tales rótulos se relacionan con tres fases que
se usan al momento de solucionar un problema.

• Fase de abordaje: en el cual el sujeto se enfrenta
  al problema, ya sea escrito, pictórico o de cualquier
  otra presentación. Las etiquetas que se recomiendan
  durante esta fase son:

• i. Lo que sé: está relacionado
  con lo que se por el enunciado del problema y lo que se
  conoce del enfrentamiento a problemas similares.

• ii. Lo que quiero: lo que dirige la
  atención a cuál es el objetivo del problema, la
  interpretación que se le da.

• iii. Lo que puedo usar: relacionado con
  elementos como notación, organización y
  representación.

• Fase de ataque: Determinado por que el problema ya
  ha sido comprendido y se cree que se puede comenzar a
  trabajarlo. Este estado se caracteriza por estados de
  ánimo en los cuales se siente que se tiene una
  herramienta para resolver el problema, y otro en el cual se
  siente que no se puede avanzar pues no se logra vislumbrar la
  manera de hacerlo. Para esta fase se recomiendan los
  rótulos ATASCADO y AJA: el primero permite reconocer
  el momento en el que no es posible continuar con el
  desarrollo del problema, el segundo corresponde a la
  ocurrencia de una idea que permite desbloquear el camino , o
  realizar algún proceso alterno, aunque no lleve a la
  solución del problema.

• Fase de revisión, en la cual se analiza lo
  realizado hasta el momento, buscando tener un entendimiento
  más amplio del problema. Para esta fase se usan los
  siguientes rótulos:

• I. Intentar, podría ser: tiene que ver
  con llevar a cabo la idea encontrada en el aja, y conlleva a
  un momento de realizar conjeturas respecto a elementos para
  la solución del problema.

• II. ¿Por qué?: tiene que ver con
  el proceso de justificación de la
  conjetura.

• III. Comprobar la solución.

• IV. Reflexionar: acerca de los momentos
  importantes del proceso.

• V. Generalizar: colocar el problema en un
  contexto más amplio.

Lo anterior es un conjunto de recomendaciones realizadas
por Mason con la finalidad de mejorar el pensamiento y
razonamiento matemático.

Análisis del
problema

Teniendo en cuenta a Mason (1989), dentro de un proceso
de solución de un determinado problema matemático,
se presentan diferentes fases de trabajo, como lo son la fase de
abordaje, la fase de ataque y la fase de revisión; en el
cual, se puede llegar a evidenciar otros procedimientos alternos
en medio de dichas fases, ya que el estudiante cuanto se
encuentra dentro de la fase de abordaje y va a pasar a la fase de
ataque, realiza un proceso de particularización, y cuando
el estudiante va a pasar de la fase de ataque a la fase de
revisión, realiza un proceso de generalización,
como se muestra en el siguiente esquema:

Ahora, tomando cada una de estas fases propuestas por
este autor, se revisará el trabajo realizado por el
estudiante a investigar, frente al proceso de solución al
problema matemático planteado, con el establecimiento y
consideración de diferentes categorías de
análisis, tales como:

Categorías de Análisis

Cada fase de trabajo brinda categorías de
análisis visto desde sus diferentes
componentes:

Primera fase de trabajo: En esta fase se observaran las
herramientas heurísticas que el sujeto puso en juego en su
proceso de solución siguiendo a Beltrán y otros
(2009)

• 1. ¿Qué es lo que
  sé?

• 2. ¿Qué es lo que
  quiero?

• 3. ¿Qué puedo usar?

Segunda fase: En esta fase se evidenciará
según Beltrán y otros (2009) como el estudiante usa
procesos metacognitivos para superar el atascado.

• 4. ¡Atascado!:

• 5. ¡Aja!

Y en la tercera: De la misma forma en la
categoría 7 se observara si el estudiante usa la
metacognición para reflexionar en torno a su proceso de
solución al comprobar y reflexionar, siguiendo al mismo
autor.

• 6. Comprobar la solución.

• 7. Reflexionar en las ideas y momentos
  claves.

• 8. Generalizar a un contexto más
  amplio.

Para poder entender el análisis es importante
mostrar el problema:

Observación del proceso de
solución realizado por el estudiante

Fase de Abordaje: De acuerdo al proceso
de solución presentando por el estudiante investigado,
inicialmente lee el enunciado del problema con el fin de
entenderlo y comprenderlo, de tal forma que le permita plantear y
generar un posible proceso de solución ha dicho problema.
Para esta fase se han considerado las siguientes
categorías de análisis de acuerdo a Mason (1989),
¿Qué es lo que sé?; ¿Qué es lo
que quiero? Y ¿Qué puedo usar? Por lo que
después de preguntar y cuestionar al estudiante analizado,
frente al proceso de solución que presentó al
problema matemático al que se veía enfrentado, a
continuación se muestra los resultados obtenidos de
acuerdo a cada una de las categorías de análisis de
esta primer fase de trabajo.

• ¿Qué es lo que sé?: Por
  lo que el estudiante investigado, menciona que frente al
  problema que se le ha planteado sobre la temática de
  topología, reconoce tanto el concepto como su
  definición formal, haciendo énfasis puntual de
  cada una de sus propiedades, que permiten determinar la
  existencia o inexistencia de una topología; en el
  cual, dicha información la ha obtenido gracias a
  apuntes y correcciones, que ha adquirido durante el
  transcurso del espacio de formación de T. A.
  Remitiéndose a la definición de
  topología y al detalle puntual del enunciado, con el
  fin de revisar los datos proporcionados por el mismo
  problema, para mirar lo que le dan y a lo que tiene que
  llegar. Además de esto el estudiante tuvo en cuenta
  los casos particulares que se habían desarrollado con
  anterioridad en la clase.

• ¿Qué es lo que quiero?:
  Aquí el estudiante, mediante la lectura realizada del
  problema, inicialmente reconoce que debe probar si un
  conjunto X con t una familia de topologías, su
  intersección forma una topología en X y
  comprobar además, si la unión de dos
  topologías forma una topología o no.
  Posteriormente en el siguiente ítem, identifica que
  debe probar que una familia de abiertos O dados, definen una
  topología en N; que es lo que pregunta cada uno de los
  ítems.

• ¿Qué puedo usar?: Teniendo en
  cuenta la solución al problema matemático
  presentado por el estudiante, se evidencia un claro uso del
  lenguaje matemático y representación
  simbólica relacionado al tema de topología, sin
  acudir a ningún tipo de representación tabular
  ni gráfica; sin embargo, el estudiante reconoce como
  herramienta de solución en el momento de abordar el
  problema, el uso de diferentes explicaciones del profesor,
  apuntes e investigaciones hechas por él
  mismo.

Fase de Ataque: En esta fase de trabajo,
el estudiante entró en una etapa de apropiación del
problema que se le ha planteado, con el fin de presentarle una
posible solución al mismo, siguiendo un proceso de
solución que le permite al estudiante partir de un
problema particular a un segundo problema más general,
llamados por Mason (1989) procesos de particularización y
generalización. De acuerdo a este autor, se enfatiza en
dos categorías de análisis dentro de ésta
fase de trabajo, como el ¡Atascado! Y el ¡Aja!; y de
estas se revisa el proceso de solución presentado por el
estudiante.

• ¡Atascado!: En esta categoría de
  análisis, el estudiante investigado referencia haber
  tenido dificultades en el momento de solucionar el primer
  ítem del problema al que se veía enfrentado, en
  el momento de probar si la unión de dos
  topologías forman una topología, con respecto a
  la prueba de la primera y segunda propiedad de espacio
  topológico, en el cual, la primera propiedad hace
  énfasis a que Ø y X pertenecen a t, y la
  segunda propiedad que hace referencia a que al unir dos
  elementos del conjunto no se salga del mismo; ya que el
  estudiante no lograba expresar y plasmar de manera
  simbólica la comprobación de dichas propiedades
  por medio de la demostración, a pesar de reconocer la
  temática de topología y haber trabajado
  previamente dicho tema.

• ¡Aja!: De acuerdo a cada uno de los
  atascados mencionados por el estudiante en el momento de
  llevar a cabo la solución del problema
  matemático como se mencionó anteriormente,
  logró resolver su primer atascado de no poder
  comprobar la primera propiedad de espacio topológico
  del primer ítem, con la explicación
  proporcionada por parte del docente del espacio de
  formación, que daba cuenta que: "Por tratarse de una
  familia de topologías, por lo menos existiría
  un t con i ? I, que contendrá a {Ø} y al
  conjunto como tal {X}, por lo tanto t con i ? I tendrá
  por lo menos a {Ø} y {X}", información que le
  permitió al estudiante llevar a cabo la
  solución de esta prueba de la primera propiedad; ya
  para poder probar si el espacio topológico
  cumplía la segunda propiedad, se guió por la
  solución presentada y propuesta por el profesor del
  espacio de formación, frente a un ejercicio similar,
  donde de igual manera hacían la prueba de cada una de
  las de las condiciones de espacio topológico,
  permitiéndole de esta manera solucionar el atascado
  que se le había presentado al estudiante al no poder
  probar esta segunda propiedad que debe cumplir el espacio
  topológico.

Fase de Revisión: Para esta
tercera fase de trabajo, se tiene en cuenta cada uno de los
procedimientos realizados por el estudiante, en el momento de
solución el problema matemático, relacionados con
revisiones al trabajo que ha realizado, con el fin de presentar
una solución óptima al problema matemático
planteado. En esta medida, según Mason (1989), se han
tomado como categorías de análisis, comprobar la
solución; reflexionar en las ideas y momentos claves; y
generalizar un contexto más amplio. En este orden de
ideas, a continuación se presenta la identificación
de los procesos realizados por el estudiante, de acuerdo a la
consideración de cada una de las categorías de
análisis.

• Comprobar la solución: Teniendo en
  cuenta la argumentación presentada por el estudiante
  en el momento de cuestionarlo frente a la solución que
  planteó para el problema matemático, se puede
  referenciar, que solo revisó si el espacio
  topológico cumplía cada una de las propiedades
  de topología, sin realizar ningún tipo de
  procedimiento que conllevará a la corrección o
  modificación del proceso de solución que
  había presentado; ya que según el estudiante no
  contaba con referentes que le permitieran corroborar sus
  demostraciones.

• Reflexionar en las ideas y momentos claves:
  De acuerdo a la respuesta del estudiante y a lo referenciado
  en el anterior apartado, se evidencio de forma similar, que
  dicho estudiante no revisó las acciones y
  procedimientos realizados en torno a la solución del
  problema; esto se puede comprobar en la evidencia (Ver
  Anexo), ya que el estudiante no realiza una corrección
  ni antes ni después de la solución del
  ejercicio matemático.

• Generalizar a un contexto más amplio:
  Debido al carácter que presenta el ejercicio sobre la
  temática de topología, no se puede evidenciar
  una generalización más amplia, ya que el
  ejercicio exige la prueba de que si un determinado conjunto
  cumple cada uno de los axiomas de espacio topológico,
  sin exigir mayor complejidad, restringiendo de esta manera la
  variedad de posibles respuestas.

Generación de hipótesis

El estudiante usa las herramientas heurísticas al
usar sus conocimientos previos para dar solución al
problema como lo son las demostraciones anteriores, los apuntes
del cuaderno para el mayor entendimiento, sin embargo no realizo
un ejemplo particular para ejemplificar lo que intenta
demostrar.

• 1. Que es lo que sabe el estudiante: Las
  condiciones del problema (el primer renglón) y el
  interrogante que tiene que resolver (segundo renglón)

Por tanto el estudiante conoce lo que tiene que
demostrar pero tiene dificultades para plantear las condiciones
necesarias para terminar la demostración.

• 2. Que es lo que se quiere: El estudiante
  entiende el enunciado de forma errónea y prueba que
  tiene que demostrar formalmente la intersección y la
  unión entre dos topologías que pertenecen a una
  topología, pero como axiomas ii) y iii). Por lo tanto
  lo que el estudiante quiere es demostrar que tanto la
  unión como la intersección de dos
  topologías es una topología en un solo paso
  para cada una.

Que puede usar: El estudiante usó los apuntes del
cuaderno, intento usar ideas de problemas topológicos
específicos anteriores para llegar a la solución
del problema, la definición de
topologías

Conclusiones

• Al observar el proceso de solución del
  estudiante se pudo deducir que la reflexión y auto
  reflexión del trabajo en matemáticas permite
  evidenciar de manera más exacta los errores
  conceptuales.

• En el análisis realizado, se encontró
  que en el pensamiento matemático avanzado por la
  abstracción que se requiere para el proceso de
  solución de un problema obliga al individuo
  (intuitivamente) a realizar el proceso de meta
  cognición (en este caso el expuesto por ).

• Mediante el análisis realizado, se lograron
  caracterizar y ejemplificar las tres categorías
  iniciales que se dan en el ejercicio heurístico
  según Mason, Burton & Stacey (1982) ya que en la
  misma teoría se encuentran muy generales y pareciera
  que no tuvieran diferencia, pese a cómo están
  expuestas.

• Las herramientas heurísticas transforman los
  problemas o contextualizan los conceptos para armar puentes
  que permiten desarrollar y avanzar el proceso
  justificativo.

Bibliografía

• Mercedes Suárez Pasos. Algunas reflexiones
  sobre la investigación-acción colaboradora en
  la educación. Revista electrónica de
  enseñanza de las ciencias Vol. 1 N° 1
  (2002).

• Mason, J., Burton, L. & Stacey, K. (1989).
  Pensar matemáticamente. Madrid: Ed. Labor
  S.A.

• Polya, G. (1965) Como plantear y resolver problemas.
  México: Editorial Trillas, (19ª reimp.,
  1995)

• Puig, L. (1996) Elementos de resolución de
  problemas (1ª Ed.). Granada, España: Editorial
  COMARES.

• Santos, L. (1996) Principios y métodos de la
  resolución de problemas en el aprendizaje de las
  matemáticas. México: Ed. Grupo editorial
  Iberoamericano S.A.

• Tall, D. (1988).The nature of Advanced Mathematical
  Thinking. (Recuperable en Internet)

• L.E.B.E.M. (2010). "Informe para la
  Renovación de la Acreditación de Alta Calidad".
  Subcomité de Autoevaluación y
  Acreditación. Bogotá: Colombia.

• Beltrán C., Guerrero F. & Ramírez
  O. (2009), la superación del ¡ATASCADO! Desde la
  heurística. Un estudio en una comunidad de estudiantes
  para profesor de matemáticas; en Memorias X encuentro
  colombiano de matemática educativa, ASOCOLME, Pasto,
  Colombia.

• Polya, G. (1965). Cómo plantear y resolver
  problemas. Editorial Trillas.

Anexos

En estos anexos se encuentra la solución
presentada por el estudiante en cuestión que
quedará a criterio del lector un segundo
análisis.

Autor:

Ramiro Jiménez Leal

Milton Villamil Camelo

Anderxon Olaya Duran

Christian Olarte Zabala

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS,
BOGOTÁ, COLOMBIA

[1] Estudiante de la Universidad Distrital
Francisco José de Caldas del proyecto curricular
LEBEM.