Introducción
La Matemática es la ciencia que se ocupa de
describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los
cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Si
miramos a nuestro alrededor vemos que esos componentes
están presentes en todos los aspectos de la vida de las
personas, en su trabajo, en su quehacer diario, en los medios de
comunicación, etc.
Las matemáticas, tanto histórica como
socialmente, forman parte de nuestra cultura y los individuos
deben ser capaces de apreciarlas y comprenderlas. Es evidente,
que en nuestra sociedad, dentro de los distintos ámbitos
profesionales, es preciso un mayor dominio de ideas y destrezas
matemáticas que las que se manejaban hace tan sólo
unos años.
Por lo tanto, la toma de decisiones requiere comprender,
modificar y producir mensajes de todo tipo; en la
información que se maneja cada vez aparecen con más
frecuencia tablas, gráficos y fórmulas que demandan
conocimientos matemáticos para su correcta
interpretación. En ese orden de ideas, en el presente
trabajo se abordará dos temas, el 1ro.
Estadísticas, gráficos de los datos agrupados y no
agrupados, media, moda, mediana y 2do. Tema las
matrices.
Cabe señalar, que el trabajo solicita que el
estudiante coloque anexos en relación a como se
darían en clase los temas antes especificados, pero, es
importante indicar que estos conocimientos se reciben en el
pedagógico a nivel superior y el estudiante aun esta en la
etapa de bachillerato, por tal motivo este conocimiento no lo
tiene para poder cumplir con lo solicitado, asumiendo que esto no
afectará su calificación.
Tipos de
gráficos
Gráfico de barras
Gráfico circular o de
sectoresDiagrama de líneas o de
puntosDiagrama de
dispersiónCurvas
Histograma
Polígono de
frecuenciasOjiva
Diagrama de frecuencias
acumuladas
Gráfico De Barras
Se recomienda para representar series
cronológicas, datos cualitativos (ordinales o nominales) y
en general para datos donde exista algún orden. En este
grafico se representa en el eje de las abscisas (X), las
distintas categorías de la variable y en eje de las
ordenadas (Y), la frecuencia absoluta o relativa. A cada
categoría se le asocia una barra vertical cuya longitud es
proporcional a la frecuencia. Las barras deben ir separadas y
tanto el ancho como la distancia que las separa son arbitrarios,
pero una vez fijados deben mantenerse en todo el gráfico.
Las barras pueden graficarse bien sea en sentido horizontal o
vertical.
Diagrama de Barra
El siguiente gráfico de barras muestra el
número de países que pertenecen a cada
región o grupo económico indicado.
Ejercicio.
Superficie plantada con árboles frutales en
Chile, período 1990 -1993.
En la Publicación "Informe sobre Chile 1999" de
la Editorial Gestión, aparecen los siguientes datos
relativos a la superficie (en hectáreas) plantada con
ciruelos, damascos, duraznos y parrones con uva de mesa, desde
1990 hasta 1993:
Plantación | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | |
Ciruelos | 8.490 | 8.530 | 8.910 | 9.210 | |
Damascos | 1.990 | 2.000 | 2.000 | 1.980 | |
Duraznos | 10.150 | 10.275 | 10.325 | 10.395 | |
Parrones | 48.460 | 48.800 | 48.400 | 47.800 |
Para cada uno de los
años, dibuje un gráfico de barras que permita
apreciar y comparar la superficie plantada en los diferentes
cultivos.
Se define la tasa de crecimiento anual
como el porcentaje de la producción del año
inicial, que corresponde a la variación de esa
producción respecto del año siguiente. A modo de
ejemplo, la tasa de crecimiento de la superficie plantada de
Ciruelos de 1991 respecto de 1990 es (8530-8490)/8490 =
0.47%.
Determine la tasa de crecimiento anual (respecto del
año anterior) de la superficie empleada para la
plantación de cada una de esas especies en los años
1991, 1992 y1993.
Para cada año, compare mediante gráficos
de barra las tasas de crecimiento de superficie que
encontró para los distintos cultivos.
Comentarios Pedagógicos.
En esta actividad el/la estudiante deberá
comprender el concepto de tasa referida al año anterior.
Así podrá obtener la siguiente tabla
Plantación | 1991 | 1992 | 1993 |
Ciruelos | 0,47 | 4,45 | 3,37 |
Damascos | 0,50 | 0 | -1,00 |
Duraznos | 1,23 | 0,49 | 0,68 |
Parrones | 0,70 | -0,82 | -1,24 |
El estudiante se enfrentará a la necesidad de
interpretar valores negativos para las tasas en el eje de las
ordenadas.
Gráfico Circular.
El gráfico circular es útil para
representar proporciones de distintas clases dentro de una
muestra. La muestra es representada por un círculo y cada
una de las clases que la componen, por un sector de
éste. El ángulo de cada sector mantiene la
misma proporción de 360° que la de la clase
representada respecto del tamaño total de la
muestra.
A modo de ejemplo, a los estudiantes deben aprender lo
siguiente: si una clase corresponde al 25% del total de la
muestra, le corresponderá un sector del círculo
cuyo ángulo sea de 90°, exactamente el 25% de
360°. El gráfico siguiente, representa la respuesta de
1886 alumnos de Cuarto Medio al preguntárseles por su
interés de seguir estudios universitarios. Los datos
corresponden a alumnos que cursaban Cuanto Año Medio en el
año 1997 en 7 localidades de la V región
(Valparaíso, Viña del Mar, Quilpué, Villa
Alemana, Limache, Quillota, La Calera) y en establecimientos de
tipo Municipalizado, Subvencionado y Particular.
De los 1886 alumnos encuestados, 1768 (93.74%) se
interesa por seguir estudios universitarios. Los restantes 118
(6.26%), no.
Para construir el gráfico circular , debemos
calcular el ángulo central del sector correspondiente a
cada respuesta. Para el caso de los 1768 Interesados en estudios
universitarios su proporción respecto de la muestra total
(93.74%) nos permite determinar que su ángulo del centro
es 337º 28' 34.1'' y por lo tanto, el complemento a
360º (22º 31' 25.9'') representa a los No Interesados.
Hecho este cálculo, con un transportador se puede hacer un
gráfico equivalente al de la siguiente
figura.
La facilidad de graficación
presente en los computadores personales de hoy día, ha
permitido ampliar fuertemente la capacidad de representar datos
con mejores características estéticas. Lo anterior
en sí, constituye una cualidad muy
ventajosa.
Sin embargo, en peligroso dejarse llevar sólo por
consideraciones estéticas al momento de graficar una
información. Es así que muchas veces se tiende a
usar gráficos circulares en perspectiva, con un dibujo que
representa a un disco inclinado en tres dimensiones, de modo que
su cara superior se ve como una elipse. Si bien tiene un aspecto
visual agradable, no es recomendable usarlo, pues desde el punto
de vista de la representación de la información
contenida en la muestra, se produce una
distorsión.
A modo de ejemplo, se construye un nuevo gráfico
circular para los datos anteriores, ahora en
perspectiva.
Como puede verse, el 6.26% 'No Interesado' tiene
aquí una cobertura visual algo mayor que en el dibujo
anterior. Pero, si se cambia la orientación
del dibujo central, se tiene una representación en
que los casos 'No Interesado' se ven
disminuidos.
Estas variaciones de la representación causadas
por un giro del gráfico, no están presente en el
caso del círculo en posición normal y, por lo
tanto, este último es más fidedigno como resumen
informativo visual. Como conclusión, a pesar de su
simplicidad, los gráficos circulares deben ser construidos
teniendo especial cuidado en resguardar su capacidad de
representar sin distorsiones la información
original.
Diagrama de líneas o de
puntos
El denominado gráfico de
puntos permite mostrar apropiadamente a pequeños
conjuntos de datos y tiene la gran ventaja de ser
fácilmente construido a mano.
En este tipo de gráfico, la abcisa representa los
valores de la variable estudiada y la ordenada la frecuencia de
aparición de un valor en el conjunto de datos
estudiado.
Comentario pedagógico.
Para la construcción de un gráfico de
puntos, es necesario que el alumno conozca la
representación de puntos en una recta graduada.
Por ejemplo, el siguiente gráfico representa una
alumna de cuarto medio cuya altura es 162 cm.
Si hubiese que representar otra alumna con esta misma
estatura, el gráfico se vería de la siguiente
forma:
Ahora, si se quisiera representar una muestra de la
estatura de treinta alumnas de cuarto año medio, el
gráfico quedaría como sigue.
Se puede ver con facilidad la distribución de los
valores observados y describir la información contenida en
ellos.
Ejercicio.
El caso presentado a continuación permite
familiarizarse con el estudio de información por medio de
gráficos de puntos.
Niños en un condominio.
En un condominio viven 10 familias (identificadas por un
número del 1 al 10), constituidas por padres e hijos. La
cantidad de hijos por familia está dado en la siguiente
tabla:
Este gráfico de puntos se
resume numéricamente en la siguiente
tabla:
Nota.
Si se hubiese dado a conocer los datos originales, se
hubiese podido pedir a los alumnos que construyesen el
gráfico de puntos y la tabla.
Conocido el gráfico de puntos y/o la tabla
resumen, se puede hacer algunas preguntas de interés
pedagógico. Por ejemplo:
1.- ¿En cuántas familias
hay tres hijos?
2.- ¿Cuántos hijos viven
en el condominio?
3.- ¿Cuántos
hijos no son únicos?
Comentarios pedagógicos.
Las preguntas tienen como objetivo que el alumno o
alumna comprenda la información aportada por el
gráfico y/o la tabla resumen. Para responder la primera
pregunta, el estudiante tendrá que ubicar el número
3 en la abcisa y a continuación leer el
correspondiente a la frecuencia, que en este caso es
2.
La segunda pregunta requiere para su respuesta, la
capacidad de seleccionar correctamente los puntos que cumplen la
condición e interpretar apropiadamente su significado
numérico. Así es que puede verse que hay 8 familias
que aportan hijos. Tres de ellas tienen un hijo cada una, una
tiene dos hijos, dos tienen tres hijos, una tiene cuatro y una
tiene cinco hijos. En total hay (3*1+1*2+2*3+1*4+1*5) = 20 hijos
en el condominio.
La tercera pregunta exige una interpretación de
hijo único. Esto lleva a centrarse sólo en las
familias con dos o más hijos. Identificadas éstas,
el cálculo sigue un camino similar al de la segunda
pregunta. Hay 17 hijos que no son únicos.
Diagrama de Dispersión
El diagrama de dispersión es una herramienta de
análisis la cual representa en forma gráfica la
relación existente entre dos variables pudiendo observar
la dependencia o influencia que tiene una variable sobre la otra,
permitiendo visualizar de forma gráfica su posible
correlación. Conocidos también como gráficos
XY es una herramienta de análisis utilizado generalmente
en el área de la gestión de calidad con el objeto
de encontrar las relaciones de las causas que producen un
efecto.
Tal y como hemos citado en la definición anterior
el diagrama de dispersión nos indica la relación
existente entre dos variables, y por lo tanto si traducimos estas
dos variables a grupos de datos, podemos relacionar grupos de
datos con el objeto de verificar o averiguar que existe una
relación entre ambos y como es esta relación de
forma aproximada.
Los diagramas de dispersión se emplean
para:
Observar el grado de intensidad en la
relación entre dos variables, esta relación
puede ser entre un efecto y una de las supuestas causas que
lo producen o para ver la relación entre dos causas
que provocan un mismo efecto.Visualizar rápidamente cambios
anómalos.Analizar determinadas cuestiones mediante
comparaciones.
A Nivel Pedagógico: Modo de
aplicación
Los pasos a seguir para construir un diagrama de
dispersión son:
Seleccionar las 2 variables que se van
relacionar.Establecer una hipótesis de la posible
relación entre ambas.Construir una tabla que nos relacione los valores de
ambas variables por parejas. Si no disponemos de dichos datos
será necesario realizar una toma.Dibujar el diagrama poniendo una variable en cada
uno de los ejes cartesianos (x,y) con una escala de valores
que se ajuste a los datos que se dispone.Representar en el gráfico cada par de valores
por un punto.Encontrar la correlación analizando la
tendencia de la nube de puntos y la correlación entre
las variables.
Hoy en día gracias a la informática
disponemos de programas basados en hojas de cálculo como
Excel, Numbers o Calc que te permiten realizar rápidamente
un diagrama de dispersión con solo introducir los datos de
las variables.
Interpretación del diagrama de
dispersión
Una vez que se ha realizado el diagrama de
dispersión la forma que adquiera la nube de puntos nos
permitirá analizar la relación entre las 2
variables o grupos de datos, pudiendo obtener las siguientes
figuras e interpretaciones:
Correlación positiva – Se observa como la
nube de puntos obtenida adquiere una forma de recta
creciente, cuando los puntos de la nube se encuentra
próximos a la recta se le conoce como fuerte, en el
caso que se encuentren distantes a la recta es conocida como
débil. Por ejemplo la relación existente entre
la altura y el peso de una persona es positiva a mayor altura
mayor peso.Correlación negativa – Al contrario del caso
anterior se observa como la nube de puntos obtenida adquiere
una forma de recta decreciente, cuando los puntos de la nube
se encuentra próximos a la recta se le conoce como
fuerte, en el caso que se encuentren distantes a la recta es
conocida como débil. Por ejemplo la relación
existente para los fumadores entre el número de
paquetes de tabaco al mes y los años de vida es
negativa dado que a mayor cantidad de tabaco fumado menor
esperanza de vida.Correlación compleja – La nube de puntos
obtenidas adquiere forma de curva, elipse u otra forma
geométrica.Correlación nula – Se observa una
distribución de la nube de puntos con una forma
circular, indicándonos la no existencia de
relación entre ambas variables. Por ejemplo la
relación existente entre el color de los ojos y el
tamaño del pie es nula.
Curvas de frecuencias
Frecuencias relativa.
Frecuencias acumuladas.
Curvas de frecuencias u
ojivas.Tipos de curva de
frecuencias
Frecuencias Relativas
A Nivel Pedagógico el estudiante debe reconocer
que: La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la
clase dividida por el total de frecuencias de todas las clases y
se expresa generalmente como el porcentaje.
Ejemplo: La frecuencia relativa de 66-68 de
la tabla es
14/80 =0,175
17,5%
La suma de todas las frecuencias de todas
las clases da 100%
Frecuencias Acumuladas
La frecuencia total de todo los valores
menores que el límite real superior de clase de un
intervalo inclusive. Por ejemplo: la frecuencia acumulada hasta
el intervalo de clase 66 -68 inclusive en la tabla es 12 +
16 + 14 = 42, el significado es que 42 estudiantes tienen alturas
menores a 68,5.
La tabla que representa las frecuencias
acumuladas se llama distribución de frecuencias
acumuladas.
Hay casos que es preferible considerar una
distribución de frecuencia acumulada de todos los valores
mayores o iguales al límite inferior real
Frecuencias Relativas Acumuladas
Es frecuencia acumulada dividida por el total de
frecuencias se expresa generalmente como el
porcentaje.
Ejemplo: La frecuencia relativa de 66-68 de la tabla de
frecuencias acumuladas menor que es: 42/80 =0,525 ( 5 La
última frecuencia acumulada que es "menor que 74,5" da
100%
Tipos de Curvas de Frecuencias: Las curvas de
frecuencias presentan determinadas formas
características:
1. Las curvas de frecuencias
simétricas o bien formadas se caracterizan por el
hecho de que las observaciones del máximo central tienen
las mismas frecuencias.
2. Las curvas de frecuencias moderadamente
asimétrica se caracterizan por la cola de la
curva a un lado del máximo central es mayor.
3. Las curvas en forma de J o de J
invertida, el máximo se presenta en un extremo.
4. Las curvas en forma U, tiene el
máximo en ambos extremos.
5. Las curvas de frecuencias
bimodal, tiene dos máximo.
6. Las curvas de frecuencias multimodal,
tiene más de dos máximo.
Los histogramas son herramientas estadísticas que
nos permiten visualizar gráficamente y rápidamente
la distribución de un estudio realizado, los histogramas
son representaciones gráficas por medio de barras
verticales, de una distribución de frecuencias de una
variable continua. Cada una de las barras refleja un intervalo o
clase y la altura de las barras representadas es proporcional a
la frecuencia (número de veces) con que aparecen los
valores en cada uno de los intervalos.
Los histogramas también se le conocen con el
nombre de "Diagramas de distribución de
frecuencias".
Los Histogramas, son utilizados como una herramienta que
ayuda en la toma de decisión para la resolución de
problemas, mediante el histograma se puede identificar las pautas
de comportamiento del conjunto de los datos y extraer
conclusiones, así los histogramas la cual nos
permite:
Realizar un análisis de distribución
de datos.Comprobar el grado de cumplimiento de las
especificaciones.Evaluar la eficacia de las soluciones.
A Nivel Pedagógico:
Previo a la explicación de los pasos a seguir
para elaborar un histograma, el estudiante debe conocer algunos
conceptos previos como:
Recorrido o rango (R): es el valor resultante de
restar el valor máximo y el mínimo.Clase (k): es la dimensión de un intervalo de
variabilidad de los datos.Frecuencia: número de elementos comprendidos
en una determinada clase.
Los pasos a seguir son:
Recoger todos los datos (N) en una hoja de datos, en
los histogramas se trabaja con datos, a menudo, con tiempos,
pesos, tamaños…, y por lo tanto cuantos
más datos obtengamos más exacto será el
Histograma. El número total de valores se
denominará "N".Obtener los valores máximo (Vmáx.) y
mínimo (Vmín.).Establecer el recorrido o rango (R) de la siguiente
forma: R = Vmáx. – Vmín, como vemos en la
fórmula, simplemente deberemos restar el valor
máximo de los datos obtenidos del valor
mínimo.Determinar el número de clases (k) que
queremos que exista, con este dato determinaremos las barras
que queremos que aparezcan en el Histograma,
facilitándonos cuantas clases o grupos
tenenos.Calcular la amplitud de cada clase de la siguiente
manera: i = R / k.Redondear, al valor entero superior, si el resultado
no es exacto en términos de la unidad.Establecer los valores de los límites de
clase.Construir una tabla de distribución de
frecuencias y asignar los datos obtenidos a su clase
correspondiente, al hacerlo podemos encontrarnos con el
problema de que tengamos valores en el límite entre
una clase y otra, y no sepamos a cuál de las dos
clases asignarlo, en este caso se recomienda asignar estos
datos a una de las dos clases, la inferior o la superior,
pero siempre con el mismo criterio, para no desvirtuar el
gráfico.Construir los ejes del histograma, para construirlos
seguiremos los siguientes criterios, en el eje horizontal se
colocan los valores de las marcas de clase y sobre el eje
vertical se colocan los valores de las
frecuencias.Trazar los rectángulos correspondientes, una
vez se hayan determinado los intervalos y sepamos
cuántas mediciones caen dentro de cada intervalo,
deberemos poner los rectángulos en función de
los ejes del histograma.
Histogramas
Los histogramas son herramientas estadísticas que
nos permiten visualizar gráficamente y rápidamente
la distribución de un estudio realizado, los histogramas
son representaciones gráficas por medio de barras
verticales, de una distribución de frecuencias de una
variable continua. Cada una de las barras refleja un intervalo o
clase y la altura de las barras representadas es proporcional a
la frecuencia (número de veces) con que aparecen los
valores en cada uno de los intervalos.
Los histogramas también se le conocen con el
nombre de "Diagramas de distribución de
frecuencias"
Los Histogramas, son utilizados como una herramienta que
ayuda en la toma de decisión para la resolución de
problemas, mediante el histograma se puede identificar las pautas
de comportamiento del conjunto de los datos y extraer
conclusiones, así los histogramas la cual nos
permite:
Realizar un análisis de distribución
de datos.Comprobar el grado de cumplimiento de las
especificaciones.Evaluar la eficacia de las soluciones.
Método de aplicación de los
histogramasPrevio a la explicación de los pasos a seguir
para elaborar un histograma, tenemos que conocer algunos
conceptos previos como:Recorrido o rango (R): es el valor resultante de
restar el valor máximo y el mínimo.Clase (k): es la dimensión de un intervalo de
variabilidad de los datos.Frecuencia: número de elementos comprendidos
en una determinada clase.
El estudiante debe manejar los pasos a seguir que
son:
Recoger todos los datos (N) en una hoja de datos, en
los histogramas se trabaja con datos, a menudo, con tiempos,
pesos, tamaños…, y por lo tanto cuantos
más datos obtengamos más exacto será el
Histograma. El número total de valores se
denominará "N".Obtener los valores máximo (Vmáx.) y
mínimo (Vmín.).Establecer el recorrido o rango (R) de la siguiente
forma: R = Vmáx. – Vmín, como vemos en la
fórmula, simplemente deberemos restar el valor
máximo de los datos obtenidos del valor
mínimo.Determinar el número de clases (k) que
queremos que exista, con este dato determinaremos las barras
que queremos que aparezcan en el Histograma,
facilitándonos cuantas clases o grupos
tenenos.Calcular la amplitud de cada clase de la siguiente
manera: i = R / k.Redondear, al valor entero superior, si el resultado
no es exacto en términos de la unidad.Establecer los valores de los límites de
clase.Construir una tabla de distribución de
frecuencias y asignar los datos obtenidos a su clase
correspondiente, al hacerlo podemos encontrarnos con el
problema de que tengamos valores en el límite entre
una clase y otra, y no sepamos a cuál de las dos
clases asignarlo, en este caso se recomienda asignar estos
datos a una de las dos clases, la inferior o la superior,
pero siempre con el mismo criterio, para no desvirtuar el
gráfico.Construir los ejes del histograma, para construirlos
seguiremos los siguientes criterios, en el eje horizontal se
colocan los valores de las marcas de clase y sobre el eje
vertical se colocan los valores de las
frecuencias.Trazar los rectángulos correspondientes, una
vez se hayan determinado los intervalos y sepamos
cuántas mediciones caen dentro de cada intervalo,
deberemos poner los rectángulos en función de
los ejes del histograma.
Ejemplos de Tipos de Histograma
Polígonos de Frecuencia
Son otra forma de representar gráficamente
distribuciones tanto de frecuencias simples como relativas.
Pedagógicamente el estudiante debe:
Para construir un polígono de frecuencias el
estudiante tiene que colocar en el eje vertical y los valores de
la variable que estamos midiendo en el eje horizontal. A
continuación, se gráfica cada frecuencia de clase
trazando un punto sobre su punto medio y conectamos los
resultantes puntos sucesivos con una línea recta para
formar un polígono.
Se añaden dos clases, una en cada extremo de la
escala de valores observados. Estas dos nuevas clases que
contienen cero observaciones permiten que el polígono
alcance el eje horizontal en ambos extremos de la
distribución.
Un polígono de frecuencias es sólo una
línea que conecta los puntos medios de todas las barras de
un histograma. Por consiguiente, podemos reproducir el histograma
mediante el trazado de líneas verticales desde los
límites de clase y luego conectando tales líneas
con rectas horizontales a la altura de los puntos medios del
polígono.
Un polígono de frecuencias que utiliza
frecuencias relativas de puntos de dato en cada una de las
clases, en lugar del número real de puntos, se conoce como
polígono de frecuencias relativas. Este polígono
tiene la misma forma que el polígono de frecuencias
construido a partir del mismo conjunto de datos, pero con una
escala diferente en los valores del eje vertical.
Medidas tendencia central: Media
Mediana
Este tipo de medidas nos permiten identificar y
ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir
los datos ("Punto central"). Estas medidas aplicadas a las
características de las unidades de una muestra se les
denomina estimadores o estadígrafos; mientras que
aplicadas a poblaciones se les denomina parámetros o
valores estadísticos de la población. Los
principales métodos utilizados para ubicar el punto
central son la media, la mediana y la
moda.
Media
Es la medida de posición central más
utilizada, la más conocida y la más
sencilla de calcular, debido principalmente a que
sus ecuaciones se prestan para
el manejoalgebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su
principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno
de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o
pequeños. La media se define como la suma de
todos los valores observados, dividido por el número total
de observaciones.
Cuando los valores representan una
población la ecuación se define como:
Donde (m) representa la media,
(N) representa el tamaño de la población y (Xi)
representa cada uno de los valores de la población. Ya que
en la mayoría de los casos se trabajan con muestras de la
población todas las ecuaciones que se presenten
a continuación serán representativas para las
muestras. La media aritmética para una muestra esta
determinada como
Donde (X) representa la Media para la muestra,
(n) el tamaño de la muestra y (Xi) representa cada uno de
los valores observados. Esta fórmula únicamente es
aplicable si los datos se encuentran desagrupados; en caso
contrario debemos calcular la media mediante la
multiplicación de los diferentes valores por la frecuencia
con que se encuentren dentro de la información; es
decir,
Ecuación
5-4
Donde (Yi) representa el punto medio
de cada observación, (ni) es la frecuencia o número
de observaciones en cada clase y (n) es el tamaño de la
muestra siendo igual a la suma de las frecuencias de cada
clase.
Para entender mejor
este concepto vamos a suponer que hemos tomado la edad
de 5 personas al azar cuyos resultados fueron (22, 33,
35, 38 y 41). Para facilitar su interpretación
se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido
de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50
años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los
puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente.
Losresultados de la organización de estos datos se
representan en la tabla [5-1].
Figura 5-1
Si aplicamos la fórmula para
valores agrupados obtendríamos que la media es
igual a
Lo que nos indicaría que el
promedio de edad de los encuestados es de 35 años. Si ha
estos mismos resultados le aplicamos la ecuación
para datos desagrupados (Ecuación 5-3), tomando como
referencia cada uno de los valores individuales,
obtendríamos que la media es igual a
Lo que nos indicaría que el
promedio de edad para los datos desagrupados es de 34 años
aproximadamente. Esta diferencia se debe a que al agrupar los
datos se pierde parcialmente la exactitud de los cálculos,
principalmente al aumentar el número de datos. Para evitar
estos inconvenientes, SPSS nos permite calcular las
Medias, como si se trataran de valores
desagrupados, aunque tiene algunos procedimientos para valores
agrupados.
Es importante resaltar que existe una gran
variedad de medias como la Media geométrica,
la Media ponderada,
la Media cuadrática, etc. Por el
momento sólo hacemos énfasis en
la media aritmética ya que es la más
utilizada, aunque se recomienda a los lectores profundizar en
estos temas.
Mediana
Con esta medida podemos identificar el valor que se
encuentra en el centro de los datos, es decir, nos
permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad
del conjunto de datos después que las observaciones se han
ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de
los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad
por encima del mismo. Para determinar la posición de
la mediana se utiliza la
fórmula
Para comprender este concepto vamos a suponer
que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la
posición de
la mediana sería:
Lo que nos indica que el valor de
la mediana corresponde a la tercera posición de
la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario
contamos con un conjunto de datos que contiene un número
par de observaciones, es necesario promediar los dos valores
medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el
valor 15, tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y
15) y la posición de
la mediana sería,
Es decir, la posición tres y medio. Dado que es
imposible destacar la posición tres y medio, es necesario
promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para
producir una mediana equivalente, que para el caso
corresponden a (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría
que la mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y
la otra mitad se encuentra por encima de este valor.
En conclusión la mediana indica
el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el
cincuenta porciento de los datos cada una. Para las muestras que
cuentan con un número impar de observaciones o datos,
la mediana dará como resultado una de las posiciones
de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un
número par de observaciones se debe promediar los valores
de las dos posiciones centrales.
Moda
La medida modal nos indica el valor que
más veces se repite dentro de los datos; es decir, si
tenemos la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor que más
veces se repite es el número 2 quien seria la moda de los
datos. Es posible que en algunas ocasiones se presente dos
valores con la mayor frecuencia, lo cual se denomina
Bimodal o en otros casos más de dos valores,
lo que se conoce como multimodal.
En conclusión las Medidas de
tendencia central, permite identificar los valores
más representativos de los datos, de acuerdo a la manera
como se tienden a concentrar. La Media nos
indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor
que obtendría cada uno de los individuos si se
distribuyeran los valores en partes iguales.
La Mediana por el contrario nos informa el
valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las
cuales cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por
último la Moda nos indica el valor que
más se repite dentro de los datos.
Matrices
Definición. Las matrices y los
determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan
el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los
conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados
básicamente en el siglo XIX por matemáticos como
los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés
William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos
ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias
Sociales , Económicas y Biológicas.
También, se puede decir que se llama matriz del
tipo mxn a un conjunto de mxn números dispuestos
en m filas
y n columnas:
Se escribirá A= (aij)
Se llama orden, tipo, o
dimensión de una matriz, al
tamaño mxn.
Ejemplo1: A =es una matriz de orden 2×4, es decir, tiene
dos filas y cuatro columnas.
Ejemplo 2. En un curso de 30 alumnos se han realizado
cuatro evaluaciones, por lo tanto existen cuatro notas por cada
alumno y los resultados se pueden disponen mediante una
matriz:
Evaluaciones
Ejercicio 1. Un fabricante produce tres tipos de
clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos
se fabrican en longitudes de 1, 1"5, 2 y 2,5 cm. con los precios
respectivos siguientes:
2. Tipos de matrices
Definiciones. La matriz se
llama:
Matriz fila, si tiene sólo una
fila.Matriz columna, si tiene sólo una
columna.Matriz
nula, O, si todos sus
elementos son 0.Matriz traspuesta de A y se designa A"
o At, a la que se obtiene cambiando filas por
columnas.
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