Graficos estadisticos y matrices (Matemáticas) (página 2)

Ejercicio 2. Calcula la matriz traspuesta
de A = 

Matriz cuadrada, si tiene el mismo nº de
filas que de columnas.

Si tiene n filas se dirá,
simplemente, de orden n (en vez de
nxn).

Los elementos aii  (i=1,2…,n)
forman la diagonal principal de la
matriz

en esta matriz están indicados los elementos que
forman la  diagonal secundaria.

En particular, si todos los elementos de la diagonal
son 1, se la llama matriz identidad,
I, o unidad.

Ejercicio 3. Escribe la matriz identidad de orden 5.

Solución

• Matriz triangular,  superior si todos
  los elementos situados debajo de la diagonal principal son 0.
  Análogamente se define triangular inferior.

Ejemplo 3. La matriz es triangular
superior.

• Matriz simétrica, si coincide
  con su transpuesta, es decir aij = aji.

Ejemplo 4. La matiz identidad es una matriz
simétrica.

Solución

3. Operaciones con matrices.

I) Suma de matrices.

Sean A= (aij) y B = (bij) dos matrices de orden
mxn.  Se define la matriz suma de A y B como la matriz de
orden mxn dada por:

La suma de matrices, así definida,  es una
operación interna en el conjunto de las matrices de oren
mxn, Mm,n  
,  verificándose además las
siguientes:

Propiedades.  Asociativa, 
conmutativa, elemento neutro (la matriz O), y
elemento opuesto.

 Por tanto el
conjunto Mm,n  con + es un grupo
aditivo.

 II) Producto de una
matriz  por un número

Se define el producto de la matriz A = (aij) por el
número real k así:

 Propiedades. 1)
(k + m ) A = kA + mA

2) (km) A = k(mA)

3) k (A +B) = kA + kB

4) 1.A = A

 Consecuencia: El
conjunto de las matrices mxn con las operaciones suma y producto
por escalares es un espacio vectorial.

 III) Producto de
matrices[

Se define el producto de la matriz A = (aij), de orden
mxn, pr la matriz B = (bij), de orden nxp, como la matriz C=
(cij) de orden mxp, obtenida así:

Observación: Para que dos
matrices, A y B,  se puedan multiplicar tiene que ocurrir
que el número de columnas de A sea igual al de filas de
B

 Propiedades. 1)
Asociativa, es decir  A(BC) = (AB)C

2) (A +B ) C = AB +BC y A(B +C) = AB +AC

Notas:

1) El producto de matrices, en general, no
es conmutativo.

2) El producto de matrices
tiene divisores de cero, es decir, podemos
encontrar dos matrices no nulas cuyo producto sea la matriz
nula.

Ejemplo 5. 

4. Matrices cuadradas. Matrices
regulares.

Si llamamos Mn al conjunto de las matrices
cuadradas de orden n se verifica que con las operaciones +
y ? , definidas anteriormente,  es un
anillo[1].

La unidad para el producto es la matriz
identidad, I.

La simétrica para el producto, que
llamaremos inversa, en general no
existe.

Cálculo de la matriz
inversa

Cuando una matriz sea regular se nos plantea el problema
de cómo calcular su inversa. Hay varios
métodos.

1º) Resolviendo el sistema que plantea
(3).

 El nº de incógnitas que tiene este
sistema es n2. Se empleará para matrices
de orden 2.

2º )  Mediante transformaciones
elementales

   Si la matiz A se somete a ciertos cambios
hasta obtener  I , sometiendo
a I a los mismos cambios llegamos a la
inversa.

Ejemplo 7. Vamos a calcular la inversa de A=

Cómo debemos hacer a I las
mismas transformaciones que a A, la  siguiente
colocación nos ahorrará tiempo y
trabajo:

5. Forma matricial de un sistema de
ecuaciones

Consideremos un sistema lineal de m ecuaciones con n
incógnitas. Teniendo en cuenta cómo se multiplican
las matrices se puede escribir:

 que se escribirá AX =B
(2)

            A =
matriz de los coeficientes del sistema.

X = matriz columna de las
incógnitas.

B = matriz columna de los términos
independientes.

Nota: Si la matriz A es cuadrada,
es decir m=n, y  regular, el sistema resulta compatible
determinado y  X =A-1B. Lo estudiaremos con detalle en el
tema siguiente.

Ejercicios resueltos

1. De una matriz se sabe que es idempotente (es decir,
que se cumple A2 =A). Se define B= A-I,  donde I es la
matriz unidad nxn. Calcular ApBqAr, donde p,q y r son
números enteros positivos.

Solución

2. Un almacén clasifica naranjas
según calidades en Inferior, Media, Buena y Superior. Los
precios por kg. de cada una de estas calidades son ,
respectivamente, 20, 30, 50 y 80 pts. En tres días
consecutivos un agricultor llevó al almacen las
cantidades, en kg., que a continuación se
detallan:

Todos los datos que se piden a continuación deben
obtenerse como resultado de operaciones con matrices.

a) ¿Cuánto cobró el primer
día ?

b) ¿Cuánto recibió por el total
recolectado de naranja de tipo medio y superior?

Solución:

(Buscar otra forma de expresarlo)

3. a)Calcular una matriz X que verifique la
igualdad:

b)¿ Verifica también la matriz X la
igualdad  XA = B ?

Solución

Aunque se puede resolver planteando el sistema de 4
ecuaciones con 4 incógnitas que determina la
ecuación matricial, es más corto usando
que  A es inversible[4] y por lo tanto  X =
A-1B, 

 5). Supongamos que son tres los
sectores de economía de un país:
1.agrario, 2.industrial,
3.servicios. Datos del año 1994:

1. Del sector agrario se conocen los
siguientes datos estadísticos ( en miles de millones): 9
en productos del propio sector, 3 del sector 2, 1 del
sector 3; siendo la demanda total en el sector
12.

2.  El sector industrial empleó:
12 en materias del sector 1, 31 en los propios
productos industriales, y 10 en servicios; la demanda final
47.

3.  El sector de servicios demanda
del 1 0, del 2 6 y del propio
5; siendo el total de la demanda en el sector
31. 

Se piden:

1º.  Construir la
tabla input-output]

2º. Calcular la matriz de los coefiecientes
técnicos (matriz tecnológica)

Solución

Ejercicios propuestos

 1. Dadas las matrices A de orden 3×2, B de orden
mxn y  C de orden 4×5, se sabe que se pueden
multiplicar:  A.B.C . a) ¿De qué tipo es la
matriz B?. b) ¿De qué tipo es la matriz
A.B.C?.

2. La matriz:

nos muestra el número de alumnos en una comida
distribuidos según los cursos y la clase de postre que han
pedido cada uno. A todos los que han pedido el postre A, la casa
les obsequia con 6 vales a canjear a la salida y 3 boletos para
un sorteo. A todos los que han pedido el postre B les obsequia
con 8 vales y 5 boletos. A los que han pedido el postre C les dan
12 vales y 10 boletos, mientras que a los que han pedido el
postre D les dan 5 vales y 2 boletos.

Utilizando las matrices responde a las siguientes
preguntas:

a) ¿Cuántos vales recogen los alumnos de
2º?

b) ¿Cuántos boletos recogen los alumnos de
Cou?

c) ¿Cuántos vales recogen entre
todos?

d) Qué representa la suma de los elementos de las
filas de P

3. Dada la matriz:

6. Siendo A y B matrices cuadradas del mismo orden,
decimos que A es una raíz cuadrada de B

 Regla de Sarrus

La regla de Sarrus: las diagonales azules
son positivas y las diagonales rojas son negativas.
La regla de Sarrus es un método
fácil para memorizar y calcular el determinante de
una matriz 3×3. Recibe su nombre del
matemático francésPierre
Frédéric Sarrus.

Considérese la matriz de 3×3:

Su determinante se puede calcular de la siguiente
manera:

En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la
matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco
columnas en fila. Después sumar los productos de las
diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los
productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta
en:

Esta regla mnemotécnica es un caso especial de
la fórmula de Leibniz y ha sido conocido
que no puede aplicar para matrices mayores a de
3×3. Sin embargo, en octubre del año 2000, el
matemático Gustavo Villalobos Hernández de la
Universidad de Guadalajara, en México, encontró un
método para calcular el determinante de una matriz de
4×4, sin reducir a determinantes de 3×3 con la matriz
adjunta y el menor complementario. Su resultado es una
extensión completa de la regla de Sarrus, ya que utiliza
el mismo método, obteniendo directamente los 24
términos requeridos para su cálculo.

Ejemplo

Regla de Cramer

Es un teorema del álgebra
lineal que da la solución de un sistema lineal
de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe
este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 – 1752), La
regla de Cramer es de importancia teórica porque da una
expresión explícita para la solución del
sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de
más de tres ecuaciones su aplicación para la
resolución del mismo resulta excesivamente costosa:
computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por
ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden
implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario
pivotar matrices, es más eficiente que
la eliminación gaussiana para matrices
pequeñas, particularmente cuando son usadas
operaciones SIMD.

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas [

Para la resolución de un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el
sistema de ecuaciones:

Ejemplo

Ejemplo de la resolución de un sistema simple de
2×2:

Dado

x e y pueden ser resueltos usando la regla de
Cramer

Sistema de 3×3]

La regla para un sistema de 3×3, con una división
de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:

Sean:

Conclusiones

Luego de haber realizado el trabajo, el estudiante
infiere que los gráficos estadísticos permite a las
personas no especializadas, interpretar mejor determinada
información, haciéndola más entendible e
interesante. Aun cuando presentan una cantidad limitada de datos
y cifras aproximadas, permite reforzar los argumentos o
conclusiones que una investigación presente. Proporciona
una idea generalizada de los resultados.

En el mismo orden de ideas, el gráfico hace
más atractiva la información; presentando en forma
generalizada los números y proporciones que se obtienen
como resultado de un estudio. El uso del gráfico
varía según la cantidad de datos que muestre. A
menor cantidad de datos, mayor será la utilidad del
gráfico empleado, mejora la presentación de un
grupo en un informe.

Por otro lado, las medidas de tendencia central (media,
mediana y moda) sirven como puntos de referencia por ejemplo,
para interpretar las calificaciones que se obtienen en una
prueba.

Y finalmente, las matrices se utilizan para
múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para
representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones
lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este
último caso las matrices desempeñan el mismo papel
que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden
sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que
también las hace un concepto clave en el campo del
álgebra lineal.

Bibliografía

Echegaray y Otros. (2000). Matemáticas 2do. De
Diversificado. Biblioteca del Pedagógico.

Figuera Y. (1999). Matemáticas 2do.
Diversificado. Editorial Cobo. Caracas Venezuela

www.abaco.com.ve/lineal/LibroLineal2009_

www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/c_4.html

Autor:

Ysis A. Figueroa Zarraga