La Estática de la partícula aplica en la carrera de Ingeniería Mecánica
Introducción
Entre las disciplinas que forman el plan de estudio de
la carrera de Ingeniería Mecánica se destaca, por
el número de asignaturas y por el grado de
interrelación con las demás disciplina, la
Mecánica Aplicada. La asimilación de sus contenidos
comienza con el estudio de la "Estática" en la asignatura
Mecánica Teórica I y esta, a su vez, encabeza sus
contenidos con la "Estática de la Partícula". Los
que han estudiado ingeniería conocen que dominar este tema
es imprescindible para asimilar muchas de las asignaturas de la
carrera.
La asignatura, Mecánica Teórica I la
reciben los estudiantes en el segundo año de la carrera.
Para ellos asimilar los conceptos, leyes y principios que se
abordan en la Estática de la Partícula no es un
gran problema, pues ya fueron tratados en Física y,
además, pueden ser localizados en una gran cantidad de
textos y materiales digitales. No es la misma situación
cuando deben aplicarlos en la solución de problemas
vinculados a la especialidad, para ello se necesita,
además, conocer metodologías de cálculo y
desarrollar un pensamiento lógico que le permita
aplicarlas. Una de las dificultades con que se cuenta en la
actualidad es la escasez de bibliografía donde puedan
resolver estos últimos dos aspectos.
La intensión de este trabajo es solventar la
problemática expuesta anteriormente, planteándose
como principal objetivo, sobre la base de la experiencia
acumulada por el colectivo de autores en el desarrollo de un gran
número de proyectos y en la impartición de la
asignatura Mecánica Teórica I, exponer
métodos de trabajo para aplicar las leyes y los principios
relacionados con la Estática de la Partícula, en la
solución de problemas concretos relacionados con la
Ingeniería Mecánica. El mismo está dirigido
fundamentalmente a profesores noveles y a estudiantes del
tema.
El documento comienza tratando, sin demostraciones, los
conceptos más generales del tema y luego, en la medida que
se abordan nuevos contenidos, se presentan distintos ejercicios,
sus soluciones y criterios de los autores del porqué de
muchas de las decisiones tomadas. Entre los ejemplos planteados
el lector puede encontrar aquellos vinculados con la
determinación de las componentes de una fuerza, el
cálculo de la resultante de un sistema de fuerzas
concurrentes, así como la aplicación de la primera
Ley de Newton en el plano y en el espacio. En algunos de estos
ejercicios se presentan más de una solución
(distintos métodos) para el mismo problema. Lo anterior
permite al lector valorar cual de las soluciones le es más
fácil de aplicar.
Desarrollo
En tecnología, y más concretamente en los
procesos de ingeniería, cuando hay que diseñar una
máquina o una estructura determinada debemos, en primer
lugar, hacer un estudio de todas las fuerzas o movimientos que
resultaran de su funcionamiento. Esto nos permite determinar,
tanto su geometría para originar los movimientos deseados,
como los materiales más adecuados para soportar las
fuerzas y garantizar, así, un buen funcionamiento de la
máquina o estructura. Y es en todo esto donde la
Mecánica interviene decisivamente.
La Mecánica es la rama de la física
que estudia y analiza el movimiento y el reposo de los cuerpos y
su evolución en el tiempo, bajo la acción de
fuerzas. El conjunto de disciplinas que abarca la mecánica
convencional es muy amplio pero es posible agruparlas en cuatro
bloques principales: Mecánica clásica,
Mecánica cuántica, Mecánica relativista,
Teoría cuántica de campos
El estudio de la Mecánica se remonta a los
tiempos de Aristóteles (384-382 a. de J.C) y
Arquímedes (287-212 a. de J.C), pero fue necesario esperar
a que Newton (1642-1727) obtuviese una formulación
satisfactoria a sus principios fundamentales. Estos fueron
posteriormente expresados en una forma modificada por
D´Alembert, Lagrange y Hamilton. La validez de estos
principios permaneció sin discusión hasta que
Einstein formuló la Teoría de la Relatividad
(1905). No obstante, la mecánica Newtoniana sigue siendo
la base de las ciencias de la ingeniería actual,
fundamentalmente de la Estática.
La Estática es la rama de la
Mecánica Clásica que analiza las cargas (fuerza,
par/momento) y estudia los sistemas físicos en un estado
en que las posiciones relativas de los subsistemas no
varían con el tiempo. La palabra estática se
deriva del griego statikós que significa
inmóvil.
En el presente documento se pretende abarcar el estudio
de la Estática aplicada solamente a la
partícula.
Partícula: Cantidad muy pequeña de
materia, la cual se supone que ocupa un solo punto en el espacio.
Es considerada un cuerpo con una determinada masa, pero
adimensional, es decir, sin dimensiones.
El sólido rígido es, por
el contrario, considerado un cuerpo con una masa determinada, en
el que podemos definir dos puntos, la distancia entre los cuales
se mantiene invariable sean cuales sean las fuerzas que
actúen sobre él.
Figura 1. Sistema de fuerzas
concurrentes.
En la Estática, un sólido puede ser
considerado como partícula cuando el sistema de fuerzas
actuantes es concurrente (las líneas de acción se
interceptan en un solo punto). En ese caso se desprecian las
dimensiones del cuerpo. En la figura 1 se presenta un ejemplos de
Fuerzas concurrentes.
1-Conceptos y principios fundamentales.
Las cantidades básicas empleadas en la
mecánica son: masa, fuerza, longitud y tiempo.
Masa: Propiedad de la materia mediante la cual
puede compararse la acción de un cuerpo con la de otro.
Esta propiedad se manifiesta como una atracción
gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida
cuantitativa de la resistencia que presenta la materia al cambio
de velocidad.
Fuerza: Efecto de la interacción
mecánica entre dos cuerpos. Se representan
gráficamente mediante segmentos rectilíneos
acabados en flecha, tal y como se muestra en la figura 2, donde
se observan, además, los cuatro parámetros
fundamentales:
El módulo o
intensidad.La dirección.
El sentido.
El punto de
aplicación.
Figura 2. Representación
gráfica del vector fuerza.
El módulo se representa por un segmento de recta
de una longitud dada. La longitud de este segmento se establece a
través de un factor de escala. La dirección
está identificada por el ángulo que forma la
línea de acción de la fuerza (línea infinita
a lo largo de la cual actúa la fuerza) con respecto a una
línea de referencia. El sentido define hacia donde, en una
misma línea de acción, está accionando la
fuerza. El punto de aplicación corresponde al punto,
dentro de la línea de acción, donde actúa el
vector.
Longitud: El concepto de longitud tiene su origen
en la palabra latina longitudo y se destina a nombrar a
la magnitud física que permite marcar la distancia que
separa dos puntos en el espacio.
Tiempo: Es una magnitud física con la que
medimos la duración o separación de
acontecimientos, sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a
observación. En la mecánica clásica, el
tiempo se concibe como una magnitud absoluta, es decir, es un
escalar cuya medida es idéntica para todos los
observadores. Esta concepción del tiempo recibe el nombre
de tiempo absoluto.
Con las cuatro cantidades anteriores se asocian las
llamadas unidades cinéticas, es decir, las unidades de
longitud, tiempo, masa y fuerza. En la tabla 1 se muestran las
unidades utilizadas para estas cantidades en el Sistema
Internacional de Unidades (S.I) y en el Sistema utilizado en
Países de habla inglesa (S.U), así como la
conversión entre ambos.
Tabla 1. Sistemas de unidades.
S.I. Sistema Internacional; S.U. Unidades
de uso común en países de habla inglesa.
El estudio de la Estática de la
partícula reposa en 4 Principios
básicos:
Ley del paralelogramo para la suma de fuerzas:
Dos fuerzas que actúan sobre una partícula pueden
ser reemplazadas por una sola fuerza llamada "Resultante", que se
obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo cuyos lados son
iguales a las fuerzas dadas.
Principio de Transmisibilidad: La
condición de equilibrio o de movimiento de un
sólido rígido no varía si la fuerza que
actúa sobre un punto dado del mismo se remplaza por otra
del mismo módulo, dirección y sentido, pero que
actúa sobre otro punto diferente, siempre que ambas
fuerzas tengan la misma línea de acción.
Este es uno principio muy usado en la
Mecánica Teórica. Permite cambiar el punto de
aplicación de una fuerza, dentro de su línea de
acción, sin afectar el estado de reposo o de movimiento
relativo de una partícula o sólido
rígido.
Primera Ley de Newton: "Si sobre un cuerpo
actúa un sistema de fuerzas cuya resultante es nula,
entonces este cuerpo se encontrará en reposo o
moviéndose con velocidad constante en una trayectoria
rectilínea".
La primera ley de Newton implica que la resultante de
las fuerzas de cada organismo en el sistema es igual a cero. La
red de fuerzas igualada a cero se conoce como la primera
condición de equilibrio.
Tercera Ley de Newton (Acción y
Reacción): "Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre
otro, éste último ejerce sobre el primero una
fuerza igual en magnitud y dirección, pero en sentido
opuesto.
2- Fuerzas sobre una partícula.
Fuerzas en el plano.
a-Resultante de dos fuerzas.
La evidencia experimental muestra que la resultante de
dos fuerzas, S y T, ver figura 3a, que
actúan sobre una partícula, puede ser obtenida
mediante la aplicación de la Ley del Paralelogramo. Para
ello debe trazarse una paralela a S por el extremo de
T y una paralela a T por el extremo de S,
ver figura 3b. La diagonal del paralelogramo obtenido representa
la resultante R de ambas fuerzas.
Figura 3. a- Dos fuerzas aplicadas a la
partícula. b- Resultante de las dos fuerzas.
De la ley del paralelogramo se deriva un segundo
método, "la Regla del Triángulo". En este
método, la suma de los vectores se obtiene al dibujar,
desde la partícula, una de las dos fuerzas, S por
ejemplo (ver figura 4), situando en su extremo el origen de la
segunda (T en este ejemplo), la unión del origen de
S con el extremo de T representa la resultante
R de las dos fuerzas. En la representación derecha
de la figura se muestra otro orden de ubicación de las
fuerzas, observe que el resultado es el mismo.
Figura 4. Regla del
triángulo.
Conociendo las magnitudes de ambas fuerzas y sus
respectivas direcciones, con respecto a un eje de referencia, es
posible calcular el valor de la Resultante R. Para ello
puede ser aplicada la Ley del coseno. Por ejemplo, si en la
figura 4 se conocen los valores de ß y a, entonces puede
aplicarse la Ley del coseno al triangulo de la figura 4b o
4c:
b- Resultante de varias fuerzas concurrentes.
Para sumar más de dos fuerzas, podemos proceder
aplicando sistemáticamente la regla del triangulo. Lo cual
significa sumar dos fuerzas y el resultado obtenido sumarlo con
la tercera, y así sucesivamente hasta obtener la suma
total. Esta forma es muy engorrosa, siendo preferible aprovechar
la propiedad asociativa de la suma de vectores y con el sistema
de fuerzas planteado construir un "Polígono de
fuerzas". Para este método de trabajo se procede igual
que en la regla del triangulo, solo que ahora se trataría
de ir colocando los diferentes vectores uno a continuación
de otro, ver figura 5, uniendo sucesivamente el extremo de uno
con el punto de aplicación del otro y, finalmente, uniendo
el punto de aplicación del primero con el extremo del
último, que determinaría su vector suma o
resultante del sistema. En definitiva, daríamos con un
polígono vectorial, razón por la cual este
método se llama regla del polígono. Hay
que recordar que siempre se deben dibujar manteniendo el modulo,
dirección y sentido de los vectores, desplazándolos
sobre una línea paralela a su dirección.
Figura 5. Regla del
polígono.
c- Descomposición de una fuerza en
componentes.
Recíprocamente a lo expuesto en los
epígrafes anteriores, una fuerza F que actúa
sobre una partícula puede ser reemplazada por dos o
más fuerzas que produzcan el mismo efecto sobre dicha
partícula. Estas fuerzas se llaman componentes de la
fuerza original F y el proceso de reemplazar F
por sus componentes se llama descomposición de la
fuerza.
Para una misma fuerza se puede obtener un número
ilimitado de componentes, pero hay un caso de particular
interés: se conoce la línea de acción de
dos componentes.
Cuando se conoce la línea de acción de
cada componente, la magnitud, dirección y sentido de
las componentes se obtienen, gráficamente, aplicando la
Ley del paralelogramo. Para esta acción se trazan por el
extremo de F líneas paralelas a las líneas
de acción definidas previamente. Por ejemplo, en la figura
6a se muestra una fuerza F y dos líneas, p y q, en
iguales direcciones a las componentes a obtener. Trazando por el
extremo de F una paralela a q, hasta que intercepte con p
y una paralela a p hasta que se intercepte con q, se obtienen
dichas componentes, ver figura 6b.
Figura 6. a- Fuerza F y línea de
acción de las componentes P y Q. b- componentes de la
fuerza.
d- Componentes rectangulares de una fuerza en el
plano.
Con frecuencia es conveniente descomponer la fuerza en
componentes perpendiculares entre sí. En la figura 7A se
ha descompuesto a F en la dirección del eje
"x" horizontal, Fx, y en la dirección del eje
"y" vertical Fy. El paralelogramo dibujado es un
rectángulo y las componentes obtenidas son llamadas
componentes rectangulares.
Figura 7. Componentes rectangulares de
una fuerza.
No siempre las componentes que se requieren son la
horizontal y vertical. Pueden necesitarse, en ocasiones,
componentes en otras direcciones perpendiculares cuales quiera,
ver figura 7B.
Si en la figura 7A o 7B, se trabaja
trigonométricamente con el triángulo
rectángulo 0ab, pueden calcularse las magnitudes de las
componentes escalares mediante las ecuaciones matemáticas
3 y 4.
¿Cuáles serían las funciones
trigonométricas a utilizar si el ángulo conocido es
el formado entre F y el eje vertical "y"?
Ahora se introducirán dos vectores de magnitud
igual a la unidad, orientados en la dirección positiva de
los ejes "x" y "y" respectivamente. Estos vectores se llaman
vectores unitarios y se representan por i y por
j, ver figura 8.
Figura 8. Vectores unitarios
Utilizando la definición dada para el producto de
un escalar por un vector, pueden representarse vectorialmente las
componentes rectangulares de una fuerza F. Para ello se
multiplica su magnitud por el vector unitario
correspondiente:
La componente escalar Fx es considerada positiva cuando
tiene igual sentido que el vector unitario i. En caso
contrario es considerada negativa. La componente vertical es
positiva cuando tiene igual sentido que el vector unitario
j.
Veamos a continuación algunos ejemplos
relacionados con la descomposición de las
fuerzas
Ejemplo 1. En la figura 9 aparece representada
por F la fuerza que realiza una biela (no se muestra)
sobre su pistón. Calcule el efecto de la fuerza que tiende
a mover al pistón sobre la dirección horizontal,
cuando su módulo es de 20 kN y su inclinación
respecto a la horizontal, ?, es de 20o.
Figura 9
Solución
Para determinar el efecto de la fuerza sobre el
pistón es necesario obtener su componente en esa
dirección. Esta acción se puede desarrollar de dos
formas distintas: gráfica y
analíticamente.
Para obtener gráficamente la componente de una
fuerza respecto a un eje dado (descomponer) es necesario
primeramente trazar, por ambos extremos de la fuerza, dos
líneas perpendiculares a dicho eje, pasando una por la
cola y la otra por la punta del vector (ver figura 10.a). El
segmento de recta (AB) obtenido entre las dos perpendiculares
representará el módulo de la componente. El sentido
o posición de la saeta se determinará proyectando
de todos los puntos de la fuerza, de igual forma en que se
proyectan las líneas y los puntos en la asignatura
Dibujo.
Si el segmento de recta que representa la fuerza tiene
una longitud proporcional a su magnitud y dicha proporción
se encuentra definida numéricamente mediante un factor de
escala, entonces, este mismo factor de escala puede ser utilizado
para obtener el valor modular de la componente, para ello tenemos
que multiplica la longitud del segmento de recta AB que
representa la componente, por dicho factor de escala
Figura 10. Componente horizontal de una
fuerza F
Solución analítica: La
determinación analítica de las componentes de una
fuerza se basa en el planteamiento de funciones
trigonométricas aplicadas a un triángulo (CDE en la
figura 10.b) formado por la fuerza, el segmento de recta que pasa
por la punta (o cola) del vector y que a su vez es paralelo a la
componente de la fuerza (segmento de recta CD), y la
perpendicular que pasa por la cola (o punta) del vector original
(DE).
Para aplicar en este problema la secuencia planteada,
trazaremos primeramente por "O" la línea x-x en la
dirección horizontal (ver figura 11). A partir de la cola
del vector F y perpendicular al eje x-x, se traza una
recta hasta que se intercepte con dicho eje (punto A). El
segmento OA representará el módulo de la componente
horizontal de la fuerza (Fx). Proyectando cada punto de F
sobre x-x se puede apreciar que el sentido (punta de la saeta) de
esta componente es hacia la izquierda. En esta solución no
se ha trazado la perpendicular a x-x que pasa por el otro extremo
del vector (punta del vector), esto se debe a que este extremo
está ubicado sobre el propio eje, implicando una
perpendicular de longitud cero.
Figura 11. Componente horizontal y
vertical de F
La solución analítica parte del
triángulo rectángulo que se forma entre F,
Fx y la perpendicular a esta última. En él se
puede plantear que:
El resultado indica que F tiende a mover al
pistón hacia la izquierda (sentido de la componente de la
fuerza) con una magnitud de 18,8 kN.
Si usted necesita calcular la componente vertical de
F tendría que:
Trazar el eje vertical y-y (ver figura
11).Trazar por la cola del vector F una
perpendicular a y-y hasta que se intercepte con dicho eje
(punto B). El segmento de recta BO representará el
módulo de la componente vertical Fy. Proyectando todos
los puntos, incluidos los que representan a la punta de la
saeta, obtendrá que el sentido de esta componente
será hacia abajo.La longitud del segmento OB coincide con la del
cateto opuesto al ángulo de 200 , es por eso que
podemos plantear:
De los resultados anteriores se puede concluir que, las
magnitudes de las componentes de una fuerza, proyectada sobre dos
ejes perpendiculares (componentes rectangulares), se obtienen
multiplicando la fuerza por las funciones trigonométricas
seno y coseno, empleándose el coseno para el
cálculo de la componente que conforma el ángulo que
se tiene de dato. La función seno será utilizada
para el cálculo de la otra componente. En la figura 11 el
ángulo de 200 está formado entre F y Fx. Fije su
atención en las funciones trigonométricas usadas en
los cálculos de Fx y Fy.
Usted deberá adquirir tal habilidad en la
determinación de las componentes de una fuerza, que no le
será necesario descomponerla gráficamente en la
hoja del cuaderno, sino de forma imaginaria (representar en su
mente la dirección y el sentido de cada
componente).
Ejemplo 2. En la figura que se muestra determine
las componentes de la fuerza P respecto a:
a- Los ejes x, y
b- El eje n-n y el perpendicular a
él.
Figura 12. Esquema para el ejemplo
2
Solución:
a- En este problema es conocida la
inclinación (dirección) de la fuerza con
respecto al eje. La fuerza P forma un ángulo de 30o
con el eje x, por ello la componente que tiene como
dirección este eje (Px) se determina por:
Hay una tendencia a que los estudiantes vinculen
el cálculo de la componente en x de la fuerza, Fx, con
la función coseno y eso es erróneo. Observe que
los resultados anteriores fueron los mismos con ambos
ángulos, sin embargo, las funciones a utilizar para
calcular cada componente estuvieron vinculadas al
ángulo que se tenía de datos.Para determinar las componentes de P según el
eje n-n y el perpendicular a él (t-t), se debe buscar
primeramente la dirección (ángulo) que forma
dicha fuerza con uno de estos ejes. Según los datos
presentados en la figura 12, la fuerza P forma un
ángulo de 30o con la horizontal, mientras que el eje
n-n forma un ángulo 45o, también con la
horizontal. Se puede deducir entonces que la dirección
de P es de 15o (45o-30o) respecto a n-n, por lo
tanto:Observe en la figura 13 las posiciones relativas
entre P, Pn y Pt. Relaciónelas con las funciones seno
y coseno utilizadas en los cálculosFigura 13. Proyecciones de P sobre
las líneas n-n y t-tUna fuerza tiene infinitas componentes y usted
podrá realizar la acción de descomponerla sobre
determinados ejes según le sea necesario. Las
componentes cambiarán en magnitud y dirección,
pero la resultante seguirá siendo la misma,
P.e- Suma de fuerzas por adición
de componentes.Cuando se suman tres o más fuerzas, no es
práctico obtener la Resultante mediante la
aplicación del método de los polígonos.
En este caso puede obtenerse una solución
analítica descomponiendo cada fuerza en dos
componentes rectangulares. Consideremos por ejemplo, tres
fuerzas P, Q y S que actúan sobre la partícula
A (figura 14). Su resultante se obtiene por la
relaciónFigura 14.
Expresando cada fuerza mediante sus dos componentes
rectangulares (figura 14b), se puede escribir:Según las ecuaciones 6 y 7, las componentes
escalares Rx y Ry de la resultante R, de varias
fuerzas que actúan sobre una partícula, se
obtienen sumando algebraicamente las correspondientes
componentes escalares de las fuerzas que
intervienen.Aplicando la Ley del paralelogramo para Rx y Ry, ver
figura 14c y 14d, se obtiene la resultante mediante la
expresión matemática:Ejemplo 3. A la planchuela de la figura 15 se
le han soldado tres elementos en las direcciones indicadas,
tirándose de ellos con las fuerzas: F1,
F2 y F3, de módulos 100, 200 y 300
Newton respectivamente. Determine la fuerza resultante que
actúa sobre la planchuelaFigura 15. Esquema del problema
3.Solución:
Para calcular la resultante de un sistema de fuerzas
existen distintos métodos: gráficos,
grafo-analíticos y analíticos.Para la solución de los problemas en el plano
el método más empleado es el
grafo-analítico llamado "Suma de fuerzas por
adición de componentes", conocido también como
el de "Descomposición de fuerzas". Para plantear este
método usted puede seguir la siguiente secuencia de
pasos.a- Seleccionar en el plano de trabajo dos
ejes perpendiculares entre sí y trasladar los
puntos de aplicación de todas las fuerzas para el
punto de intersección entre estos ejes. Para
desarrollar este paso quizás sea necesario aplicar
el Principio de Transmisibilidad.b- Determinar, si es necesario, el
ángulo de inclinación de cada fuerza
respecto a uno de los ejes.c- Descomponer cada una de las fuerzas
sobre los ejes y calcular las magnitudes de dichas
componentes. Ver ejemplos 1 y 2.d- Determinar las componentes Rx y Ry de la
resultante, planteando para ello las ecuaciones 6 y
7.
En este caso se ha tomado como referencia los
ejes x e y, pero podrían emplearse otras letras para
identificarlos.Para cada sumatoria se debe seleccionar un convenio
de signo y tener en cuenta y por separado, los sentidos de
cada una de las componentes.e- Calcular la magnitud (R) y
dirección (?) de la resultante planteando
que:
La expresión 9 es utilizada para
determina la inclinación (?) de la resultante respecto
al eje x.Para obtener el sentido de esta resultante es
aconsejable representar gráficamente (puede ser sin
escala) sus componentes Rx, Ry y aplicarles la ley del
paralelogramo.Veamos cómo aplicar esta metodología
en la solución del problema.a- Seleccionemos, en el plano donde se
encuentra representada la figura, un eje x-x horizontal y
otro y-y vertical, procurando la intersección de
ambos en el punto "O". Se ha seleccionado este punto
porque en él coinciden las rectas de acción
de las fuerzas, facilitando esto, mediante el Principio
de Transmisibilidad, trasladar el punto de
aplicación de cada una de las fuerzas con el
objetivo de hacerlas concurrentes.
Antes de pasar al siguiente paso realicemos
gráficamente la acción de cambiar el punto de
aplicación de las fuerzas F1, F2 y F3 hacia el punto
O. Ver figura 16. Para ello solo traslademos las fuerzas
manteniendo las direcciones y los sentidos de cada una. Como
el traslado de cada una ha sido sobre sus propias
líneas de acción (la línea de
acción final coincide con la inicial), entonces no es
necesario agregar ni quitar nada más, simplemente
cambiarla de punto de aplicación.Figura 16. Proyección de las
fuerzas del problema 1.4.Nota: Cuando la nueva línea de
acción sea distinta a la que tiene la fuerza
inicialmente, el procedimiento no será exactamente
igual.b- No es necesario determinar las
direcciones de las fuerzas, constituyen datos del
problema.c- Se descomponen ahora, sobre ambos ejes,
cada una de las fuerzas que conforman el sistema. Para
ello debemos seguir la secuencia desarrollada en el
ejemplo 1. En la figura 16 están representados los
resultados gráficos de estas acciones.
Los módulos de las componentes
serán:Observe que el módulo de la componente
horizontal de F3 (fuerza que coincide en dirección con
el eje x-x) es igual al de la fuerza y que su componente
vertical es cero. Este resultado puede ser
generalizado:"Si una fuerza coincide en dirección con
uno de los ejes, entonces, el módulo de la componente
respecto a dicho eje es igual al de la fuerza. La otra
componente es nula".d- Tomado como referencia la figura 16 y
considerando las fuerzas orientadas hacia la derecha como
positivas, se obtiene que (sustituyendo en la
expresión 6):
El resultado negativo indica que Rx está
orientada hacia la izquierda. Esto se identifica de acuerdo
al convenio de signo tomado para la sumatoria (se
habían asumido signos positivos para las fuerzas
orientadas hacia la derecha).e- Sustituyendo en la expresión 7 y
efectuando la suma
En la ecuación anterior se tomó como
convenio de signos que las fuerzas o componentes orientas
hacia arriba son consideradas positivas.¿Cuál será el sentido de
Ry?El signo negativo indica que Ry se encuentra
orientada hacia abajo.f- El módulo de la resultante se
obtiene sustituyendo los valores de Rx y Ry en la
expresión 8.
En la expresión anterior no se han
considerado los signos negativos de Rx ni de Ry debido a que
ambos valores están elevados al cuadrado.g- Para determinar la inclinación de
la fuerza resultante respecto a la horizontal
utilizaremos la expresión 9.
Tenga en cuenta que con este resultado de 0,51 se
pueden obtener dos valores distintos del ángulo ?: 27o
y 207o.Para seleccionar el valor adecuado tratemos de
conseguir gráficamente la resultante. Apliquemos para
ello la Ley del Paralelogramo, pero sin hacer uso del factor
de escala. Representemos, partiendo desde un mismo punto y
con las direcciones y sentidos ya definidos, las componentes
Rx y Ry (ver figura 17). Tracemos por el extremo de Ry, una
paralela a Rx y por el extremo de Rx, una paralela a Ry. La
resultante estará representada por el vector que sale
del origen (punto de concurrencia de Rx y Ry) y llega al
punto de intersección entre las paralelas, es decir la
diagonal del paralelogramo. Como usted se podrá dar
cuenta, el resultado de 27o no es lógico ya que
implicaría una orientación de la resultante
hacia el primer cuadrante, por lo tanto la respuesta adecuada
es ? =207oFigura 17. Dirección de la
resultante de las fuerzas.¿Qué relación existe entre los
dos números anteriores (2070 y
27o?.207-180=27, pudiéndose considerar a la
resultante con una dirección de 27o con
relación a la parte negativa el eje x.Una sugerencia Importante: En la
práctica está demostrado que para realizar las
sumatorias de fuerzas sobre los ejes (paso "c"), no es
necesario cambiar los puntos de aplicación de las
fuerzas para un punto común (paso "a"). Usted puede
seleccionar un eje, horizontal, por ejemplo (o cualquier otra
dirección), y plantear una sumatoria de fuerzas sobre
este eje. En esa sumatoria se pueden incluir todas las
fuerzas o componentes que actúan sobre la
partícula y que tienen igual dirección que el
eje seleccionado (el horizontal usado como ejemplo), no
importándole cual es su punto de aplicación. De
igual forma, cuando va a desarrollar la sumatoria en el eje
perpendicular (el vertical para que se corresponda con el
ejemplo) incluye en ella a todas las fuerzas o componentes
verticales que actúan sobre el
sólido.Otra forma de resolver el problema
planteadoProbemos ahora una solución vectorial para
resolver el mismo problema. Con ello Ud. podrá elegir
cuál, según su criterio, es el método
más simple.La metodología a seguir es:
a. Expresar vectorialmente cada una de las
fuerzas.
Para expresar vectorialmente una fuerza usted debe
obtener primeramente sus componentes respecto a los ejes x e
y (ver ejemplo 1), multiplicando posteriormente a Fx por el
vector unitario i y a Fy por j.Analíticamente esto es:
b. Plantear la resultante como la suma
vectorial de todas las fuerzas actuantes
La aplicación de esta secuencia en el
problema es:a. Expresar vectorialmente cada una de las
fuerzas.
La obtención de las componentes respecto a
los ejes "x", "y" es un proceso realizado en la
solución escalar. Tomemos los valores ya
calculados.b. Plantear la resultante como la suma
vectorial de todas las fuerzas actuantes. Para ello se
sustituyen las tres fuerzas en la
expresión:
La anterior es la forma utilizada para dar
respuestas en las soluciones vectoriales. En ella usted debe
interpretar que la fuerza produce una acción hacia la
izquierda (signo negativo de la componente afectada por el
vector i) de 57,2 N y hacia debajo (signo negativo de
la componente afectada por el vector j) de 29,3 N.
Observe que estos resultados coinciden con los de Rx y Ry de
la solución escalarComo puede apreciar, existen distintos
métodos para resolver el mismo problema. Decir
cuál es el más fácil o el más
complejo es relativo, dependen de muchos factores entre los
que se encuentran las habilidades personales. Los autores de
este trabajo coincidimos en que la solución escalar es
generalmente más sencilla en los problemas planos,
mientras que en los tridimensionales la solución
vectorial parece ser la más cómoda. Cuando
compare el grado de complejidad de los métodos, tenga
presente que para la solución vectorial fueron
utilizados valores de componentes de fuerzas ya calculados en
la solución escalar.f- Equilibrio de una partícula. Primera ley
de Newton del movimiento.Cuando una partícula se encuentra en reposo,
o moviéndose con velocidad constante en trayectoria
rectilínea, se dice que la partícula se
encuentra en equilibrio. Si al sistema de fuerzas que
actúa sobre una partícula en equilibrio le es
aplicada la Primera Ley de Newton, expuesta anteriormente, se
obtiene que:Estas ecuaciones, 10 y 11, son identificadas como
ecuaciones de equilibrio en el plano.Tal como se ha explicado, se puede utilizar la regla
del polígono para calcular la resultante de varias
fuerzas en el plano. Para lograr que una partícula
este en equilibrio la condición geométrica del
polígono de fuerzas debe ser que la ultima fuerza
coincida con el inicio de la primera, es decir, que la fuerza
resultante sea nula. Con otras palabras, que el
polígono de fuerzas sea cerrado.Ejemplo 4. Una pieza cilíndrica A de 5
Kg de masa y 10 cm de diámetro está soportada
por dos rodillos B y C de 6 cm de diámetro, como se
muestra en la figura 18. Si el sistema se encuentra en
equilibrio, calcule los valores de las fueras a que
están sometidos los apoyos de cada rodillo.Figura 18. Esquema del problema
4Solución:
Para resolver los problemas del equilibrio de la
partícula se pueden plantear los siguientes
pasos:1- Construir el diagrama de fuerzas de la
partícula.
Para la construcción del diagrama de fuerzas
usted debe seleccionar la partícula adecuada y
representarla con todas las fuerzas que actúan sobre
ella, incluyendo las reacciones que se producen en las
ligaduras y apoyos. La partícula debe quedar
totalmente libre de estos apoyos o conexiones. Cada
conexión eliminada tiene que ser sustituida por la o
las posibles reacciones que produce. Tenga presente, para
ello, que las fuerzas a representar son las producidas sobre
la partícula y no las producidas por ella (Ley de
Acción y Reacción). En este diagrama debe
incluirse, además, la dirección o
inclinación de cada fuerza con respecto a un eje
dado.Una partícula adecuada puede ser aquella que
tiene como máximas dos incógnitas para los
problemas en el plano y tres para los tridimensionales. Ello
se debe a que 2 es el número de ecuaciones escalares a
aplicar a cada diagrama en el plano y 3 en los
tridimensionales. En ocasiones es necesario hacer el diagrama
de fuerzas a más de una partícula, pero el
problema es soluble si el número de incógnitas
total es menor o igual que el número de ecuaciones a
plantear (dos o tres por cada diagrama, según el tipo
de problema).A la hora de hacer el diagrama de fuerzas debe
tener presente que en él no puede representar fuerzas
de más ni de menos, cualquier error en este sentido
conlleva a un resultado desastroso.2- Plantear las condiciones de
equilibrio.
El planteamiento de la condición de
equilibrio depende del tipo de solución a aplicar:
Gráfica, grafo-analítica, analítica
escalar o analítica vectorial.Una solución gráfica se basa en la
construcción, a escala, de un polígono
cerrado.
Página siguiente  |