Historia y aplicación de las matemáticas

Introducción

Las Matemáticas, son un área de
estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes
de los descubrimientos. Constituyen una materia básica en
una educación sólida, no sólo por los
conocimientos y técnicas que aportan, sino porque
desarrollan cualidades esenciales en el estudio, como el rigor,
las capacidades de abstracción y de resolución de
problemas.

 Mediante las matemáticas conocemos
las cantidades, las estructuras, el espacio y
los cambios. Los matemáticos buscan
patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar
la verdad
matemática mediante rigurosas deducciones.

Nuestra investigación se realizará un
estudio bibliográfico, como fuente primaria.

En cuanto a su estructura o contenido consta de dos
capítulos.

El primer capítulo, trata acerca del concepto y
la historia de las matemáticas.

El segundo trata de la importancia de las
matemáticas y su aplicación.

Metodología.

En el presente estudio se empleara el diseño
bibliográfico; sobre todo en la utilización de
fuentes primarias para estructurar teóricamente el
contenido del trabajo.

Objetivos.

Objetivo General.

Conocer la historia y la importancia de las
matemáticas a través de los siglos.

Objetivos Específicos.

• 1. Conocer los diferentes conceptos de las
  matemáticas.

• 2. Citar las diferentes etapas de
  evolución de las matemáticas.

• 3. Identificar la importancia que tienen las
  matemáticas en la vida diaria.

Capítulo I.

Concepto e historia
de las matemáticas

Definición ó
Etimología.

"La matemática viene
del latín  "Mathematica"  que significa
(conocimiento), es una ciencia que a partir de notaciones
básicas exactas y a través del razonamiento
lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas
entre los entes abstractos (números, figuras
geométricas, símbolos)". En el siglo VI A.C.
era usado por los pitagóricos, alcanzó su
significado más técnico y reducido de "estudio
matemático", en los tiempos
de Aristóteles (siglo IV a. C.) que
significa, a grandes rasgos, "todas las cosas
matemáticas". Las matemáticas son el estudio de las
relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las
operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades,
magnitudes y propiedades desconocidas. El matemático
Benjamín Pierce definió las matemáticas
como "la ciencia que señala las conclusiones
necesarias".

1.2 Las matemáticas en la Edad Antigua.

Las matemáticas empiezan con el conteo. Sin
embargo, no es razonable sugerir que el conteo de la
antigüedad era matemático. Se puede decir que las
matemáticas empiezan solamente cuando se empezó a
llevar un registro de ese conteo y, por ello, se tuvo alguna
representación de los números. Mucho antes de los
primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún
conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del
tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo,
los paleontólogos han descubierto rocas
de ocre en una caverna de Sudáfrica de
aproximadamente, 70,000 años de antigüedad, que
están adornados con hendiduras en forma de patrones
geométricos.También se
descubrieron artefactos  prehistóricos  en
África y Francia, datados entre
el 35.000 y el 20.000 a.C., que sugieren
intentos iníciales de cuantificar el tiempo. Hay
evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la
cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso
o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más
aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos
de uno, dos y muchos, así como la idea
de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de
animales. El hueso de Ishango, encontrado en las
inmediaciones del río Nilo, al noreste
del Congo, puede datar de antes del 20,000 A. C.
Una interpretación común, es que el hueso supone la
demostración más antigua conocida de
una secuencia de números primos y de
la multiplicación en el Antiguo Egipto. En
el periodo predinástico de Egipto del 5º
milenio A.C. se representaban pictóricamente
diseños espaciales geométricos. Se ha afirmado que
los monumentos megalíticos  en 
Inglaterra y  Escocia, del 3er milenio A.C., incorporan
ideas geométricas tales
como círculos, elipses y ternas
pitagóricas en su diseño.

Las Matemáticas en la Época de los
Mayas.

Los mayas fueron parcialmente avanzados en
matemáticas y en astronomía. Si bien el primer uso
documentado del cero es de los mayas (en el año 36 a. C.),
se quedaron estancados ya que no conocían otros avances
como los decimales, los números complejos, el
cálculo infinitesimal, entre otros. En matemáticas
desarrollaron un sistema de numeración utilizando tres
símbolos y de base 20; Conocían la cifra cero, esto
es muy importante, porque no todas las culturas la
conocían; Sabían sumar, restar, multiplicar y
dividir. El punto tiene un valor numérico de 1 y la raya
de 5. Así podían contar hasta 19. Para hacer
números mayores (igual que nosotros para hacer
números mayores de 9) tenían que colocar esos
signos en determinadas posiciones. Al ser un sistema vigesimal, o
sea, que considera el 20 como unidad básica para la
cuenta, cada espacio que se avanza en el número representa
20 veces más que el espacio anterior. (Ver anexo
I).

Las Matemáticas en el Imperio
Inca.

En el campo de la matemática los incas se
destacaron principalmente por su capacidad de cálculo en
el ámbito económico. Los quipus y yupanas fueron
señal de la importancia que tuvo la matemática en
la administración incaica. Esto dotó a los incas de
una aritmética sencilla pero efectiva, para fines
contables, se basada en el sistema decimal; desconocieron el
cero, pero dominaron la suma, la resta, la multiplicación
y la división. Por otra parte, la construcción de
caminos, canales y monumentos, así como el trazado de
ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una
geometría práctica, que fue indispensable para la
medición de longitudes y superficies, además del
diseño arquitectónico, A la par desarrollaron
importantes sistemas de medición de longitud y capacidad,
los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia. Se tiene
noción que en el Imperio Inca el sistema de
numeración imperante era el decimal. Una de las
principales referencias que confirman esto son las
crónicas que presentan una jerarquía de autoridades
organizadas decimalmente. También se puede confirmar el
uso del sistema decimal en el incario, por medio de la
interpretación de los quipus, era un instrumento de
contabilidad y mnemotécnico, que están organizados
de modo que los nudos de acuerdo a su ubicación pueden
representar: unidades, decenas, centenas, entre otros. (Ver anexo
II). Sin embargo, la principal confirmación de este
sistema, se expresa en la denominación de los
números en quechua, en que los números van
desarrollándose de manera decimal, como se puede apreciar
en el (anexo III). Los incas tenían un sistema de
contabilidad llamado el Quipus, este era un sistema
mnemotécnico basado en cuerdas anudadas, mediante las
cuales se registraban todo tipo de información
cuantitativa o cualitativa; si se trataban de resultados de
operaciones matemáticas, sólo se anudaban las
realizadas anteriormente en los "ábacos incas" o yupanas.
Si bien una de sus funciones se relaciona con la
matemática al ser un instrumento capaz de contabilizar,
también era utilizado para guardar información de
noticias censales, de montos de productos y de subsistencias
conservadas en los depósitos estatales. Incluso hay
quienes mencionan a los quipus como instrumentos donde los incas
dejaban (de un modo diferente al escrito) sus tradiciones e
historia. Los quipus continúan usándose como
instrumentos mnemotécnicos en algunos poblados
indígenas donde sirven para registrar los productos de las
cosechas y los animales de las comunidades. (Ver Quipus en anexo
IV). Los incas también utilizaban la Yupana, conocida
también como "ábaco inca", en ellas realizaban las
operaciones numéricas. Estas podían ser de piedra
tallada o de barro, tenían casilleros o compartimentos que
correspondían a las tenían casilleros o
compartimentos que correspondían a las unidades decimales
y se contaba o señalaba con la ayuda de piedrecitas o
granos de maíz o quinua. Se podían indicar
unidades, decenas, centenas.

Unidades de medidas de los incas.

Entre la medida de longitud están:

• La rikra o braza: que es la distancia medida entre
  los dedos pulgares del hombre teniendo los brazos extendidos
  horizontalmente.

• El cuchuch tupu equivalía al "codo
  castellano" y era la distancia medida desde el codo hasta el
  extremo de los dedos de la mano.

• La capa o palmo, y la más pequeña fue
  el yuku o jeme, que era la longitud existente entre el
  índice y el dedo pulgar, separando uno del otro lo
  máximo posible.

Medidas de superficie.

El tupu, en términos generales se
definía como el lote de tierra requerido para el
mantenimiento de un matrimonio sin hijos.

Medidas de capacidad.

Entre las unidades de medida de capacidad
está:

• La pokcha: que equivalía a media fanega o
  27,7 litros, algunos cultivos como el maíz era medido
  en recipientes; los líquidos se medían en una
  variedad de cántaros y tinajas.

• Runcus o grandes cestas: la utilizaban para medir
  las hojas de coca.

• Ysangas: entre estas se encuentra el poctoy o
  almozada, que equivale a la porción de granos o harina
  que entra en la concavidad formada con las manos
  juntas.

• El huipe, era un instrumento parecido a la romana, y
  las balanzas de platillo.

1.2.1 Antiguo Oriente Próximo (c.
1800 a. C. –500 a. C.)

Estas se fundamentaron el desarrollo de
dos civilizaciones:

Mesopotamia.

Egipcia.

1.2.1.1 Mesopotamia. 

Se llaman matemáticas babilónicas debido
al papel central de Babilonia como lugar de estudio,
que dejó de existir durante el periodo helenístico.
Desde este punto, las matemáticas babilónicas se
fundieron con las matemáticas griegas y egipcias para dar
lugar a las matemáticas helenísticas.
Más tarde, bajo el Imperio árabe, Mesopotamia,
especialmente Bagdad, volvió a ser un importante
centro de estudio para las matemáticas
islámicas. En contraste con la escasez de fuentes en las
matemáticas egipcias, el conocimiento sobre las
matemáticas en Babilonia se deriva de más de 400
tablillas de arcilla desveladas desde 1850, Labradas
en escritura cuneiforme, las tablillas fueron grabadas
mientras la arcilla estaba húmeda y cocidas posteriormente
en un horno o secadas al sol, Algunas de ellas parecen ser tareas
graduadas. Además los sumerios escribieron tablas de
multiplicar en tablillas de arcilla y trataron ejercicios
geométricos y problemas de división; así
como también incluyen fracciones, álgebra,
ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el
cálculo de Primos Gemelos regulares
recíprocos. Estas fueron las señales más
tempranas de los numerales babilónicos también
datan del 1800 al 1600.Las matemáticas babilónicas
fueron escritas usando un sistema de numeración
sexagesimal (base 60). De ahí se deriva la
división de un minuto en 60 segundos y de una hora en 60
minutos, así como la de un círculo en 360 (60
× 6) grados y las subdivisiones sexagesimales de esta
unidad de medida de ángulos en minutos y segundos.Los
avances babilónicos en matemáticas fueron
facilitados por el hecho de que el número 60 tiene
muchos divisores. También, a diferencia de los
egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un
verdadero sistema de numeración posicional, donde los
dígitos escritos a la izquierda representaban valores de
orden superior, como en nuestro actual sistema decimal de
numeración. Carecía, sin embargo, de un equivalente
a la coma decimal y así, el verdadero valor de un
símbolo debía deducirse del contexto.

1.2.1.2 Egipto 

Las matemáticas en el Antiguo Egipto se
refieren a las matemáticas escritas en las lenguas
egipcias. Desde el periodo helenístico,
el griego sustituyó al egipcio como el lenguaje
escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las
matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y
babilónicas para dar lugar a las matemática
helénica. El texto matemático más antiguo
descubierto es el papiro de Moscú, que data
del Imperio Medio de Egipto, hacia el
2000-1800 A. C. El papiro de Rhind (hacia
1650 a. C.), es otro texto matemático egipcio
fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y
geometría. En resumen, proporciona fórmulas para
calcular áreas y métodos para la
multiplicación, división y trabajo con fracciones
unitarias; También contiene pruebas de otros conocimientos
matemáticos, incluyendo números
compuestos y primos; media
aritmética, geométrica
 y armónica, y una comprensión simple de
la criba de Eratóstenes y la teoría
de números perfectos, a saber, del número
6).

El papiro también muestra cómo resolver
ecuaciones lineales de primer orden, así
como series aritméticas y series
geométricas.

Elementos geométricos del papiro de
Rhind:

-Cómo obtener una aproximación
de p con un error menor del 1%.

-Un antiguo intento de cuadrar el
círculo.

-E uso más antiguo conocido de un tipo
de cotangente.

Finalmente, el papiro de Berlín (hacia
1300 A. C.) muestra que los antiguos egipcios
podían resolver una ecuación
cuadrática .

1.2.2 Matemáticas en la antigua
India (del 900 A. C. al 200 D. C.)

Las primeras matemáticas conocidas en
la historia de la India datan del 3000 – 2600 A.C., en
la Cultura del Valle del Indo, (civilización Harappa)
del norte de la India y Pakistán. Esta
civilización desarrolló un sistema de medidas y
pesas uniforme que usaba el sistema decimal, una
sorprendentemente avanzada tecnología
con ladrillos para representar razones, calles
dispuestas en perfectos ángulos rectos y una serie de
formas geométricas y diseños,
incluyendo cuboides, barriles, conos, cilindros y
diseños de círculos y triángulos
concéntricos y secantes. Las matemáticas
védicas comenzaron en la temprana Edad del Hierro,
con el Shatapatha Brahmana (hacia el siglo
IX a. C.), donde se aproxima el valor
de p con dos decimales. y el Sulba
Sutras (hacia el 800–500 a. C.) que eran
textos de geometría que usaban números
irracionales, números primos, regla de
tres y raíces cúbicas; cálculo de
la raíz cuadrada de 2 con cinco decimales; un
método para cuadrar el círculo;
resolución de ecuaciones
lineales y cuadráticas; desarrollo algebraico
de ternas pitagóricas y enunciado y
demostración numérica del teorema de
Pitágoras.

Panini (hacia el siglo V A.C.) formuló las
reglas gramaticales para el sánscrito. Su
notación fue similar a la notación
matemática moderna y usaba
"metarreglas", transformaciones y recursiones con
tal sofisticación que su gramática tenía el
poder de cálculo equivalente a una máquina de
Turing. 

Pingala (aproximadamente de los siglos III al I
a.C.) en su tratado de prosodia usa un dispositivo
correspondiente a un sistema binario de numeración.
Su discusión sobre
la combinatoria de métricas musicales
corresponde al teorema binomial. La obra de Pingala
también contiene ideas básicas sobre
los números de Fibonacci, llamados matrameru. La
escritura Brahmi se desarrolló al menos desde la
dinastía Maurya, en el siglo IV A. C., con
evidencias arqueológicas recientes que hicieron retroceder
la fecha hacia el 600 A. C. Los numerales brahmi datan
del siglo III A. C. Entre el 400 A. C. y el
200 A. C., los matemáticos
Jaina comienzan el estudio de las matemáticas para el
exclusivo propósito de las matemáticas. Ellos
fueron los primeros en desarrollar los números
transfinitos, la teoría de conjuntos,
los logaritmos, leyes fundamentales de
los índices, ecuaciones cúbicas
y cuárticas, sucesiones y
progresiones, permutaciones y combinaciones,
cuadrados y extracción de la raíz cuadrada
y potencias finitas e infinitas. El Manuscrito
Bakhshali, escrito entre el 200 A.C y el 200 D. C.,
incluía soluciones de ecuaciones lineales con más
de cinco incógnitas, la solución de la
ecuación cuadrática, progresiones
aritméticas y geométricas, series compuestas,
ecuaciones cuadráticas indeterminadas, ecuaciones
simultáneas y el uso del cero y
los números negativos. También pudieron
encontrarse cálculos exactos de números
irracionales, que incluían raíces cuadradas de
números tan grandes como un millón y con once
decimales.

Matemáticas en el periodo
helenístico (del 550 a. C. al
300 d. C.) 

Las matemáticas griegas hacen referencia a las
matemáticas escritas en griego desde el
600 a. C. hasta el 300 D.C. Los
matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas a
lo largo del Mediterráneo Oriental,
desde Italia hasta el Norte de África, pero
estaban unidas por un lenguaje y una cultura común. Las
matemáticas griegas del periodo siguiente a Alejandro
Magno se llaman en ocasiones Matemáticas
helenísticas. Las matemáticas griegas eran
más sofisticadas que las matemáticas que
habían desarrollado las culturas anteriores. Todos los
registros que quedan de las matemáticas
pre-helenísticas muestran el uso del razonamiento
inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para
establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por
el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los griegos
usaron la lógica para deducir conclusiones a partir de
definiciones y axiomas. Se cree que las matemáticas
griegas comenzaron con Thales (hacia 624 A.C –
546 A.C) y Pitágoras (hacia 582 A. C.
– 507 A. C.). Aunque el alcance de su influencia puede
ser discutido, fueron inspiradas probablemente por las
matemáticas egipcias, mesopotámicas e indias.
Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto
para aprender matemáticas, geometría y
astronomía de los sacerdotes egipcios. Tales usaron la
geometría para resolver problemas tales como el
cálculo de la altura de las pirámides y
la distancia de los barcos desde la orilla. Se atribuye a
Pitágoras la primera demostración del teorema
que lleva su nombre, aunque el enunciado del teorema tiene una
larga historia. En su comentario
sobre Euclides, Proclo afirma que Pitágoras
expresó el teorema que lleva su nombre y
construyó ternas
pitagóricas algebraicamente antes que de forma
geométrica. La Academia de
Platón tenía como lema "Que no pase nadie que
no sepa
Geometría".Los Pitagóricos probaron la
existencia de números irracionales.

 Eudoxio (408 al 355 a. C.)
desarrolló el método de exhausción, un
precursor de la moderna integración.

 Aristóteles (384 al
322 a. C.) fue el primero en dar por escrito las leyes
de la lógica, Euclides (hacia el
300 a. C.) dio el ejemplo más temprano de la
metodología matemática usada hoy día, con
definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones. También
estudió las cónicas. Su
libro Elementos fue conocido por todo el mundo
occidental culto hasta la mitad del siglo XX. Además de
los teoremas familiares sobre geometría, tales como
el Teorema de Pitágoras, "Los elementos" incluye una
demostración de que la raíz cuadrada de dos es un
número irracional y otra sobre la infinitud de los
números primos. La Criba de
Eratóstenes (hacia 230 a. C.) fue usada
para el descubrimiento de números primos.
Arquímedes de Siracusa (hacia
287-212 a. C.) usó el método de
exhausción para calcular el área bajo un
arco de parábola con ayuda de la suma de
una serie infinita y dio una aproximación
notablemente exacta de pi. También estudió
la espiral, dándole su nombre, fórmulas para
el volumen de superficies de
revolución y un ingenioso sistema para la
expresión de números muy grandes.

1.2.4 Matemáticas en la China
clásica (c. 500 AC – 1300 DC) 

En China, el emperador Qin Shi Huang (Shi
Huang-ti) ordenó en 212 AC que todos los libros de fuera
del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue obedecido
por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco
acerca de la matemática en la China ancestral. Desde
la Dinastía Zhou, a partir del 1046 AC, el libro de
matemáticas más antiguo que sobrevivió a la
quema fue el I Ching, que
usa trigramas y hexagramas para
propósitos filosóficos, matemáticos y
místicos. Estos objetos matemáticos están
compuestos de líneas enteras o divididas llamadas yin
(femenino) y yang (masculino), respectivamente. La más
antigua sobre geometría en China viene de canon
filosófico mohista, hacia el 330 A.C., recopilado por
los acólitos de Mozi (470-390 a.c.). El Mo
Jingdescribió varios aspectos de muchos campos
relacionados con la física así como
proporcionó una pequeña dosis de
matemáticas. Después de la quema de libros,
la dinastía Han (202 a.C – 220 d.C) produjo
obras matemáticas. La más importante de estas
es "Las nueve lecciones sobre arte matemático", cuyo
título completo apareció hacia el 179 d.C., pero
existía anteriormente en parte bajo otros títulos.
La obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran
agricultura, negocios, usos geométricos para establecer
las dimensiones de las pagodas,
ingeniería, agrimensura y nociones
sobre triángulos rectángulos y p.
También se usa el Principio de Cavalieri sobre
volúmenes más de mil años antes de que el
propio Cavalieri lo formulara en Occidente. Los chinos
también hicieron uso de diagramas combinatorios complejos
conocidos como cuadrado
mágico y círculo mágico, descritos
en tiempos ancestrales y perfecionados por Yang
Hui (1238–1398 D.C.). Zu Chongzhi (siglo V) de
las Dinastías del Sur y del Norte calculó
el valor de p hasta siete lugares decimales, lo que daba lugar al
valor de p más exacto durante casi 1000
años.

1.2.5 Matemáticas en la Índia
clásica (hacia 400–1600).

El Surya Siddhanta (hacia el año 400)
introdujo las funciones
trigonométricas de seno, coseno y
arcoseno; estableció reglas para determinar las
trayectorias de los astros que son conformes con sus posiciones
actuales en el cielo. Los ciclos cosmológicos explicados
en el texto, que eran una copia de trabajos anteriores,
correspondían a un año sideral medio de
365.2563627 días, lo que sólo es 1,4 segundos
máyor que el valor aceptado actualmente de 365.25636305
días. Este trabajo fue traducido del árabe al
latín durante la Edad Media. Aryabhata, en 499, introdujo
la función verseno, produjo las primeras
tablas trigonométricas del seno,
desarrolló técnicas y
algoritmos de álgebra, infinitesimales, ecuaciones
diferenciales y obtuvo la solución completa de
ecuaciones lineales por un método equivalente al actual,
además de
cálculos astronómicos basados en un
sistema heliocéntrico de gravitación.
Desde el siglo VIII estuvo disponible una traducción al
árabe de su Aryabhatiya, seguida de una
traducción al latín en el siglo XIII.
También calculó el valor de p con once decimales
(3,14159265359).

En el siglo VII Brahmagupta identificó
el Teorema de Brahamagupta, la Identidad de
Brahmagupta y la Fórmula de Brahmagupta y,
por primera vez en Brahma-sphuta-siddhanta, explicó
claramente los dos usos del número 0: como un
símbolo para rellenar un hueco en el sistema posicional y
como una cifra y explicó el sistema de
numeracion. En el siglo X un comentario
de Halayudha sobre la obra de
Pingala incluía un estudio de la secuencia de
Fibonacci y del Triángulo de Pascal y
describía la formación de una matriz. En el
siglo XII, Bhaskara concibió por primera vez
el cálculo diferencial, junto con conceptos
como derivada, coeficiente diferencial y
diferenciación. También estableció
el Teorema de Rolle (un caso especial del Teorema
del valor medio), estudió la ecuación de
Pell e investigó la derivada de la función
seno. Desde el siglo XIV Madhava y otros matemáticos de
la escuela de Kerala ampliaron sus ideas. Desarrollaron
el concepto de análisis matemático y
números de punto flotante y conceptos
fundamentales para el desarrollo global del cálculo,
incluyendo el teorema del valor medio y
la integración término a término;
las relaciones entre el área bajo una curva y sus anti
derivada o integral; el test integral para la
convergencia; métodos iterativos para la
resolución de ecuaciones no lineales y un buen
número de series infinitas, series de
potencias, series de Taylor y series
trigonométricas. En el siglo
XVI Jyeshtadeva consolidó la mayoría de
los desarrollos y teoremas de la Escuela de Kerala en
el Yuktibhasa, el primer texto en la historia sobre el
cálculo diferencial, donde también se
introducían conceptos del cálculo integral. El
progreso matemático en la India se estancó a partir
de finales del siglo XVI debido a conflictos
políticos.

1.3 Las matemáticas en la edad
moderna.

El siglo XVII vio a Napier, Briggs y otros
ampliar enormemente el poder de las matemáticas como una
ciencia para calcular con el descubrimiento de los logaritmos.
Cavaliere, hizo progresos hacia el cálculo con sus
métodos infinitesimales y Descartes añadió
el poder de los métodos algebraicos a la geometría.
El avance hacia el cálculo continuó con Fermat,
quien, junto con Pascal, inició el estudio
matemático de la probabilidad. Sin embargo, el
cálculo sería el tema de mayor relevancia que
evolucionó en el siglo XVII. Newton, edificando sobre el
trabajo de muchos matemáticos anteriores a él,
tales como su maestro Barrow, convirtió al cálculo
en una herramienta que impulsó el estudio de la
naturaleza. Su trabajo era rico en nuevos descubrimiento que
mostraban la interacción entre las matemáticas, la
física y la astronomía. La teoría de la
gravedad de Newton así como su teoría de la luz,
nos llevan hasta el siglo XVIII. Sin embargo, debemos mencionar
también a Leibniz, cuyo acercamiento mucho más
riguroso al cálculo, puso las condiciones para la labor
matemática del siglo XVIII más que el de Newton. La
influencia de Leibniz sobre los muchos miembros de la familia
Bernoulli, fue importante para hacer crecer la fuerza del
cálculo y la variedad de sus aplicaciones. El
matemático más importante del siglo XVIII fue
Euler, quien además de trabajar en toda una gama de ramas
de las matemáticas, inventó dos nuevas: el
cálculo de variaciones y la geometría diferencial.
Euler también impulsó la investigación sobre
la teoría de números que había iniciado tan
eficazmente Fermat. Hacia finales del siglo XVIII, Lagrange
iniciaría una rigurosa teoría de funciones y de la
mecánica. Ese periodo vio la gran obra de Laplace sobre
mecánica celeste así como grandes progresos de
Monge y Carnot en la geometría sintética. El siglo
XIX vio rápidos avances. El trabajo de Fourier sobre el
calor tuvo fundamental importancia. En geometría,
Plücker produjo obras importantes sobre geometría
analítica y Steiner sobre geometría
sintética. La geometría no-euclidiana desarrollada
por Lobachevsky y Bolyai condujo a la caracterización de
la geometría por Riemann. Gauss, considerado por algunos
como el mejor matemático de todos los tiempos,
estudió la reciprocidad cuadrática y las
congruencias de enteros. Su trabajo sobre geometría
diferencial revolucionaría la materia. También hizo
grandes contribuciones a la astronomía y el magnetismo. El
siglo XIX vio el trabajo de Galois sobre ecuaciones y su
visión sobre el camino que seguirían las
matemáticas en el estudio de las operaciones
fundamentales. La introducción de Galois al concepto de
grupo anunciaría una nueva dirección para la
investigación en matemáticas la cual ha continuado
desde entonces. Cauchy, construyendo sobre funciones de Lagrange,
empezó un análisis riguroso y comenzó el
estudio de la teoría de funciones de una variable
compleja. Esta labor la continuarían Weierstrass y
Riemann. La geometría algebraica fue impulsada por Cayley,
cuyo trabajo sobre matrices y álgebra lineal
complementó el de Hamilton y Grassmann.

Al término del siglo XIX Cantor
inventó la teoría de conjuntos casi sin ayuda
mientras que su análisis del concepto de número se
sumó al importante trabajo de Dedekind y Weierstrass sobre
los número irracionales. El análisis fue conducido
por los requerimientos de la física matemática y la
astronomía. La obra de Lie sobre ecuaciones diferenciales
llevó al estudio de los grupos topológicos y la
topología diferencial. Maxwell revolucionaría la
aplicación del análisis a la física
matemática. La mecánica estadística fue
desarrollada por Maxwell, Boltsmann y Gibbs y condujo a la
teoría ergódica. El estudio de las ecuaciones
integrales fue impulsado por el estudio de la
electrostática y la teoría potencial. El trabajo de
Fredholm llevó a Herbert a desarrollar el análisis
funcional. Hay muchos descubrimientos matemáticos
importantes pero solamente aquellos que pueden ser comprendidos
por otras personas conducen al progreso. Sin embargo, la
facilidad de uso y de comprensión de los conceptos
matemáticos depende de su notación. No siempre fue
así, Harriot usó a como su
incógnita, lo mismo que otros de sus
contemporáneos. La convención que empleamos (las
letras finales del alfabeto como incógnitas) fue iniciada
por Descartes en 1637. Otras convenciones han caído en
desgracia; por ejemplo la notación de Viète, quien
usó las vocales como incógnitas y las consonantes
como cantidades conocidas. Por supuesto que ax = b
contiene otras convenciones de notación que utilizamos sin
notarlo. Por ejemplo, el signo de igual ('=') fue usado por
primera vez por Recorve en 1557. También tenemos que
ax se usa para denotar el producto de a por
x, ¡la notación más eficiente de
todas ya que no requiere escribir nada para denotar el producto!

Capítulo II.

La aplicación
de las matemáticas

2.1. Las Matemáticas Puras y
Aplicadas.

Las matemáticas surgen cuando hay problemas
difíciles en los que intervienen la cantidad, la
estructura, el espacio y el cambio de los objetos. Al principio,
las matemáticas se encontraban en el comercio, en la
medición de los terrenos y, posteriormente, en
la astronomía, actualmente, todas las ciencias
aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al
mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias
matemáticas. Por ejemplo,
el físico Richard Feynman inventó
la integral de caminos de la mecánica
cuántica, combinando el razonamiento matemático y
el enfoque de la física. Hoy la teoría de las
cuerdas, una teoría científica en desarrollo que
trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la
física, sigue inspirando a las más modernas
matemáticas. Algunas matemáticas solo son
relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son
aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a
menudo las matemáticas inspiradas en un área
concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se
incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales
aceptados. El notable hecho de que incluso la
matemática más pura habitualmente tiene
aplicaciones prácticas es lo que Eugene
Wagner ha definido como la irrazonable eficacia de las
matemáticas en las Ciencias Naturales. Como en la
mayoría de las áreas de estudio, la
explosión de los conocimientos en la era científica
ha llevado a la especialización de las
matemáticas.

Hay una importante distinción entre
las matemáticas puras y
las matemáticas aplicadas, la mayoría de los
matemáticos que se dedican a la investigación se
centran únicamente en una de estas áreas y a veces,
la elección se realiza cuando comienzan
su licenciatura. Varias áreas de las
matemáticas aplicadas se han fusionado con otras
áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y
se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser
la estadística, la investigación de
operaciones o la informática.Aquellos que
sienten predilección por las matemáticas,
consideran que prevalece un aspecto estético que define a
la mayoría de las matemáticas, muchos
matemáticos hablan de la elegancia de la
matemática, su
intrínseca estética y
su belleza interna. En general, uno de sus aspectos
más valorados es la simplicidad, hay belleza en una
simple y contundente demostración, como la
demostración de Euclides de la existencia de
infinitos números primos, y en un
elegante análisis numérico que acelera el
cálculo, así como en la transformada
rápida de Fourier. G. H. Hardy en A
Mathematician's Apology  (Apología de un
matemático) expresó la convicción de que
estas consideraciones estéticas son, en sí mismas,
suficientes para justificar el estudio de las matemáticas
puras. Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por
encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente
elegantes, el excéntrico matemático Paul
Erdos se refiere a este hecho como la búsqueda de
pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus
demostraciones favoritas. La popularidad de
la matemática recreativa es otra señal
que nos indica el placer que produce resolver las preguntas
matemáticas.

Importancia de las
matemáticas.

Podemos destacar que las matemáticas están
en el centro de nuestra cultura, También en el arte hay
matemáticas. Desde que Pitágoras, el
matemático más célebre, descubriera razones
numéricas en la armonía musical hasta ahora la
relación de las matemáticas con el arte ha sido
permanente. Las matemáticas las utilizamos en la vida
cotidiana y son necesarias para comprender y analizar la
abundante información que nos llega, su uso va mucho
más allá, se extiende a todas las ramas del saber
humano. Se recurre a modelos matemáticos y no sólo
en la física, sino, que gracias a los ordenadores las
matemáticas se aplican a todas las disciplinas, de modo
que están en la base de las ingenierías, de las
tecnologías más avanzadas, como las de los vuelos
espaciales, de las modernas técnicas de diagnóstico
médico, como la tomografía axial computadorizada,
de la meteorología, de los estudios financieros, de la
ingeniería genética, entre otros. Su lenguaje
universal las convierte en herramienta eficaz para la
cooperación entre países más y menos
desarrollados, favorecer un ámbito de colaboración
que mejore la convivencia y fomentar la paz entre los
pueblos.

Las matemáticas, juegan desde hace veinticinco
siglos, un papel relevante en la educación intelectual de
la juventud; así como también son lógica,
precisión, rigor, abstracción, formalización
y belleza, y se espera que a través de esas cualidades, se
alcancen la capacidad de discernir lo esencial de lo accesorio,
el aprecio por la obra intelectualmente bella y la
valoración del potencial de la ciencia. Todas las materias
escolares deben contribuir al cultivo y desarrollo de la
inteligencia, los sentimientos y la personalidad, pero a las
matemáticas corresponde un lugar destacado en la
formación de la inteligencia ya que, como
señaló Aristóteles (pie de pág.), los
jóvenes pueden hacerse matemáticos muy
hábiles, pero no pueden ser sabios en otras
ciencias.

2.2. La Notación, Lenguaje y
Rigor.