Elementos de lógica matemática y álgebra proposicional (Presentación PowerPoint)
• • • • 2 1. Introducción: En
algún libro de “Lógica” hemos
leído que la “lógica
Aristotélica” se puede definir como: “la
conformidad de la razón con la verdad”. A la
“lógica formal” se la define asimismo, como
“el conjunto de leyes y reglas relativas al razonamiento
deductivo, que permiten distinguir lo verdadero de lo
falso”. Se admite también definir a la lógica
diciendo que: “es la ciencia que expone las leyes, modos y
formas del conocimiento científico”. Hay otras
definiciones tanto para la “lógica
Aristotélica” como para la “lógica
formal”. Por ejemplo puede decirse que el objeto de la
“lógica”, “es el estudio de los
métodos y principios aptos para distinguir el razonamiento
correcto del incorrecto”. Lógica
Matemática
3 • La lógica formal nos propone razonamientos del
tipo: 1. Todos los hombres son mortales. 2. Todos los griegos son
hombres. 3. luego todos los griegos son mortales. • Estos
planteos se llaman “Silogismos”. • Pero
peligrosamente puede hacerse un razonamiento falso o capcioso que
se pretenda hacer pasar por verdadero, tal como: 1. El perro
tiene cuatro patas y camina. 2. El caballo tiene cuatro patas y
camina. 3. luego la mesa, que tiene cuatro patas, camina. O bien:
1. Tomé vino con soda y me hizo mal. 2. Tomé wysky
con soda y me hizo mal. 3. luego la soda me hace mal. • A
estos razonamientos engañosos se los llama
“Sofismas”. Lógica Matemática
4 • Los brillantes matemáticos • Bernard Bolzano
(1781-1848), que creó la teoría de conjuntos;
• Augustus De Morgan (1806-1871), con su lógica de
las clases y • George Boole (1815-1864) con la
creación del álgebra proposicional, fundamentaron
un nuevo capítulo de la matemática llamado:
“Lógica Matemática” •
Básicamente se le aplica a la lógica, las
definiciones concretas y los razonamientos rigurosos propios de
la matemática. • Se establece para cada
expresión del lenguaje un significado exacto y se adopta
además un simbolismo apropiado, con una
interpretación sin ambigüedades. Los argumentos
verbales se pueden analizar así desde un punto de vista
lógico. • Cabe señalar ahora que, el
cálculo electrónico, la computación y la
automatización, son modernos y avanzados desarrollos
científicos y tecnológicos que se fundamentan
precisamente en la “Lógica Matemática”.
Lógica Matemática
• 5 2. Proposiciones: Si se aceptan como intuitivos los
conceptos de “verdad” ó “falsedad”
y no se pretende dar una definición formal, se puede decir
que: Proposición es toda expresión o
afirmación, con significado en un idioma, de la cual tenga
sentido decir si es “verdadera” o
“falsa”. • Las proposiciones son bivalentes, es
decir que pueden asumir dos valores claramente diferentes:
“verdadero (v)” o “falso (f)”. •
Resulta conveniente hacer corresponder a las dos posibilidades
“v” y “f” los signos “1” y
“0”, respectivamente. • Las diversas partes
elementales de un discurso pueden ser tomadas como
“proposiciones”. Estas se pueden ligar entre
sí mediante “conectivos lógicos”,
formando así estructuras de significado claro y preciso.
Lógica Matemática
• 6 Las siguientes son proposiciones: a) ¾ es un
número fraccionario. b) El tigre es un insecto. c) El
carburador tiene una falla. d) El transistor está
conduciendo. e) Hoy es lunes. f) Llueve. • No le compete a
la lógica establecer el valor de verdad de las
proposiciones. De ello deben ocuparse por ejemplo: para a) y b)
las ciencias particulares (matemática, biología).
para c) y d) las especialidades de la técnica
(mecánica, electrónica). para e) y f) simplemente
la observación o comprobación directa.
Lógica Matemática
7 • No son proposiciones en cambio: frases imperativas u
órdenes: ( Escriba esto.) interjecciones o exclamaciones:
( ¡Que barbaridad! ) instrucciones: ( Volver al paso
anterior.) frases sin sentido de “v” o
“f” : ( El mineral “x” es una piedra
preciosa.) igualdades matemáticas tales como: (a + b) . (a
– b) = a2 – b2 • Estas expresiones, aunque formalmente
tengan sentido, no son susceptibles de ser calificadas como v
ó f , que es la esencia del concepto de
proposición. Lógica Matemática
8 • Vinculando dos o mas proposiciones se pueden obtener
otras. Todo razonamiento lógico elaborado, debe partir
necesariamente de una adecuada vinculación de algunas
proposiciones elementales. • En una demostración de
lógica matemática se parte precisamente de
proposiciones elementales tales como axiomas, postulados o
hipótesis y se desea saber, mediante razonamientos
lógicos, si las conclusiones que se obtienen son
“v” o “f” , para cada valor de verdad de
las proposiciones componentes. • Las relaciones entre
proposiciones se llaman “conectivos lógicos” o
también “operaciones lógicas” y se
corresponden con algunas partículas gramaticales que les
sirven de nombre. Lógica Matemática
9 • Si se presentan en una tabla las distintas posibilidades
lógicas de las proposiciones componentes y a cada
combinación, se le hace corresponder el valor
lógico de la proposición resultante, se tiene lo
que se denomina “tabla de verdad”, que expresa la
llamada “función valor de verdad: v(p)”.
• Es generalizado representar las proposiciones con letras
minúsculas: p; q; r; s; t; . . • También
suelen utilizarse en aplicaciones prácticas, abreviaturas
o nombres significativos. Lógica Matemática
• 3. Operaciones del Álgebra Proposicional: 3.1.
Conjunción: La partícula gramatical “ y
” que relaciona dos proposiciones en el lenguaje corriente,
es en general de significado claro. Por ejemplo la frase
“Si el domingo llueve, iré al cine”, puede ser
descompuesta para su análisis lógico, en
proposiciones simples : p: es domingo q: llueve r: iré al
cine Estas proposiciones se pueden conectar lógicamente en
forma de razonamiento: si p y q entonces r Lógica
Matemática 10
• Las diferentes combinaciones para p y q , con sus dos
valores posibles son: p q r a) no es domingo y no llueve; no voy
al cine. b) no es domingo y llueve; no voy al cine. c) es domingo
y no llueve; no voy al cine. d) es domingo y llueve; iré
al cine. la “ r ”, como proposición
resultante, suele escribirse: “ p y q ” ó
solamente “ y ” • La correspondiente
“tabla de verdad” con “0” y
“1” en lugar de “ f ” y “ v
”, será: Lógica Matemática f f v v p 0
0 1 1 f v f v q 0 1 0 1 f f f v y 0 0 0 1 12
• Un enunciado industrial como: “Sistema de seguridad
para el operador de un balancin”, conduce a igual
razonamiento. p: el brazo derecho está apoyado en la
butaca. q: el brazo izquierdo está apoyado en la butaca.
r: funciona el balancín. el razonamiento sería: si
p y q entonces r • El producto de dos números
binarios es: 0.0 = 0; 0.1 = 0; 1.0 = 0 y 1.1 = 1 Se pueden dar
las siguientes proposiciones: p: el primer factor vale 1. q: el
segundo factor vale 1. r: el producto vale 1. de manera similar
se puede expresar: Lógica Matemática si p y q
entonces r
• Estos últimos razonamientos y muchos otros
semejantes, conducen a una tabla de verdad similar a la del
primer ejemplo, por lo que el conectivo lógico “ y
” ó “conjunción” queda
identificado con esta tabla. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 y 0 0 0 1 •
De la observación de la tabla, puede expresarse que
“la conjunción solo es verdadera cuando ambas
proposiciones son verdaderas “. • También se
puede decir que: “para que el resultado sea falso basta con
que lo sea una cualquiera de las proposiciones ó
ambas”. Lógica Matemática 14
• • 3.2. Disyunción: La partícula
gramatical “ o ” que relaciona dos proposiciones en
el lenguaje corriente, debe ser interpretada teniendo en cuenta
el sentido de la oración en la que está
incluída. Por ejemplo la frase “Regalaré la
ropa que me quede chica o que esté fuera de moda”
puede ser descompuesta para su análisis lógico, en
proposiciones simples : p: esta prenda me queda chica. q: esta
prenda está fuera de moda. r: la regalaré Estas
proposiciones se pueden conectar lógicamente en forma de
razonamiento: si p o q entonces r Lógica Matemática
15
• Resulta claro, por el sentido de la frase, que si una
prenda me queda chica y a la vez, también está
fuera de moda, la regalaré. • Es decir que el “
o ” incluye el caso en que ambas proposiciones sean
verdaderas. • Se puede considerar también, como otro
ejemplo, un “Sistema de alarma para la seguridad de una
sala, que tiene solo una puerta y una ventana”. Las
proposiciones pueden ser: p: la puerta es violentada. q: la
ventana es violentada. r: se activa la alarma. • Aquí
también vale poner: si p o q entonces r Y por supuesto se
incluye como “verdadero” el caso en que se violente
la puerta y la ventana a la vez. Lógica Matemática
16
• Este segundo conectivo lógico, la
“disyunción o”, se corresponde con la
pertícula gramatical “o” , mas comunmente
utilizada. • La tabla de verdad correspondiente es, en sus
dos versiones: p f f v v q f v f v o f v v v p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
o 0 1 1 1 • En palabras puede describirse la tabla diciendo
que: “la disyunción solo es falsa cuando ambas
proposiciones son falsas” • También puede
decirse que: “para que el resultado sea verdadero basta que
sea verdadera una cualquiera de las proposisiones o ambas”.
Lógica Matemática 17
• • r: • 3.3. Disyunción Excluyente: La
partícula gramatical “ o ” en el sentido de la
frase: “Debo necesariamente estar presente en un acto,
mañana a las 12:00 hs, en la ciudad de Salta o en la
ciudad de Neuquén”, excluye lógicamente la
posibilidad de estar a la vez en ambos lados. Sean las
proposiciones: p: estaré en Salta. q: estaré en
Neuquén. concurro al acto. Estas proposiciones se pueden
conectar lógicamente en forma de razonamiento: si p o q ,
pero no ambas, entonces r Lógica Matemática
18
r: • Otro caso semejante sería el siguiente planteo:
“Se trata de crear un sistema para envasar juntos dos
productos A y B, de iguales medidas pero de diferente color (por
ejemplo rojo y azul)”. • Las proposiciones
podrían ser: p: A es rojo q: B es rojo se envasa el par
A;B • Y la expresión lógica sería: si p
o q , pero no ambas, entonces r Lógica Matemática
19
• Se tiene así el conectivo lógico “
disyunción excluyente ” ó también
“o exclusivo”, cuyo símbolo es “o”
(o subrayado) y su tabla de verdad es: p f f v v q f v f v o f v
v f Ó bien p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 o 0 1 1 0 • La
descripción verbal de la tabla de verdad puede ser: La
disyunción excluyente es verdadera solo cuando ambas
proposiciones son diferentes. • O también: El o
exclusivo es falso cuando las dos proposiciones tienen igual
valor lógico (o son iguales). Lógica
Matemática 20
• 3.4. Negación: Con cierta frecuencia se utiliza la
negación de una proposición dada. Sea la
proposición: p: el uranio es un metal. su negación
será: – p: el uranio no es un metal. p -p p -p • La
tabla de verdad correspondiente es: f v v f O bien 0 1 1 0 •
Los símbolos que se utilizan para la negación
suelen ser “ una barra horizontal sobre la
proposición que se niega ( p ). Lógica
Matemática – “; “ ~ “ ó
también 21
• • • En la teoría pura de la Lógica
Matemática se definen dos conectivos lógicos
adicionales: “Implicación” ( ) y “Doble
Implicación” ( ), pero a los fines del presente
trabajo, se prefiere no tenerlos en cuenta. Se han definido
cuatro conectivos lógicos básicos:
Conjunción Disyunción (y) (o) Disyunción
exclusiva ( o ) Negación (-) que deben utilizarse siempre
teniendo en cuenta sus respectivas tablas de verdad. Es bueno
aclarar que en la confección de las tablas de verdad se ha
utilizado (y se seguirá empleando en lo sucesivo) la
notación con “0” y “1” en lugar de
“falso” y “verdadero”. Asimismo se adopta
el orden dado por la numeración binaria natural. La
conveniencia de esta adopcción quedará clara mas
adelante. Lógica Matemática 22
4. Enunciados Compuestos: • Del mismo modo que pueden
manejarse expresiones algebraicas complejas mediante el uso de
las operaciones aritméticas elementales, así
también se pueden emplear varios conectivos lógicos
en forma simultánea para construir “enunciados
lógicos compuestos”. • Las distintas
operaciones lógicas se pueden enlazar mediante sus
símbolos y el uso de paréntesis y corchetes tiene
el significado normal del álgebra. • El valor
lógico de un enunciado compuesto depende exclusivamente
del valor lógico de las proposiciones simples y el
resultado lógico que se obtenga quedará claramente
expresado sólo cuando se de la tabla de verdad
correspondiente. Lógica Matemática 23
• Para resolver el enunciado compuesto que se proponga, se
debe confeccionar una tabla donde se destine una columna para
cada variable o proposición. • Luego hacia la
derecha, habrá además de una columna para cada
proposición, una columna para cada conectivo lógico
del enunciado, en el mismo orden en que está escrita la
expresión simbólica. • Se procede a llenar la
tabla con los “0s” y “1s”
correspondientes, comenzando por las proposiciones dadas y luego
siguiendo con los conectivos en el orden indicado por la
expresión, teniendo en cuenta claramente la tabla de
verdad de cada uno. • El enunciado o fórmula
proposicional, tiene su valor de verdad expresada en la columna
final correspondiente. Esa columna final, es precisamente el
resultado del enunciado lógico compuesto y suele
destacarse con una doble barra vertical. Las columnas intermedias
son solo pasos útiles que aclaran el procedimiento.
Lógica Matemática 24
• El problema general de la confección de la tabla de
verdad para un enunciado lógico compuesto a partir de las
proposiciones simples, se ejemplifica a continuación:
• Sea el enunciado compuesto: ( ( p o -q ) y -p) Origina la
siguiente tabla: p 0 0 q 0 1 (p 0 0 o 1 0 -q) 1 0 y 1 0 -p 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 final 7º Lógica
Matemática 32
• En el ejemplo visto, se puede verificar que el resultado
obtenido es el mismo que correspondería a la simple
conjunción entre p y q, luego negadas . De manera que: ( (
p o -q ) y -p ) = -(p y q) • La equivalencia anterior
permite enunciar, sin que esto sea una demostración
formal, el importante “Teorema de la Equivalencia
Lógica”: Dos enunciados lógicos compuestos
diferentes, que tengan la misma tabla de verdad, son
“lógicamente equivalentes” (o equivalentes o
iguales desde el punto de vista lógico). Esta
afirmación es importante para las aplicaciones: El
“comportamiento lógico equivalente” puede
extenderse a cualquier dispositivo cuyo funcionamiento responda a
una tabla de verdad, en forma totalmente independiente de la
naturaleza del mismo. Lógica Matemática 33
1. 2. • Dos equivalencias entre enunciados compuestos son de
gran trascendencia tanto teórica como en las aplicaciones
del álgebra proposicional. Se conocen como leyes de De
Morgan y se pueden expresar simbólicamente: – ( p o q ) =
-p y -q – ( p y q ) = -p o -q • Para la demostración
de la equivalencia lógica se confeccionan las tablas de
verdad correspondientes a cada miembro del enunciado, verificando
así la igualdad de los resultados: p q _ (p o q) -p y -q 0
0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 6º =
Lógica Matemática 44
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