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Elementos de lógica matemática y álgebra proposicional (Presentación PowerPoint)




Enviado por Arturo Gustavo Tajani



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    • • • • 2 1. Introducción: En
    algún libro de “Lógica” hemos
    leído que la “lógica
    Aristotélica” se puede definir como: “la
    conformidad de la razón con la verdad”. A la
    “lógica formal” se la define asimismo, como
    “el conjunto de leyes y reglas relativas al razonamiento
    deductivo, que permiten distinguir lo verdadero de lo
    falso”. Se admite también definir a la lógica
    diciendo que: “es la ciencia que expone las leyes, modos y
    formas del conocimiento científico”. Hay otras
    definiciones tanto para la “lógica
    Aristotélica” como para la “lógica
    formal”. Por ejemplo puede decirse que el objeto de la
    “lógica”, “es el estudio de los
    métodos y principios aptos para distinguir el razonamiento
    correcto del incorrecto”. Lógica
    Matemática

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    3 • La lógica formal nos propone razonamientos del
    tipo: 1. Todos los hombres son mortales. 2. Todos los griegos son
    hombres. 3. luego todos los griegos son mortales. • Estos
    planteos se llaman “Silogismos”. • Pero
    peligrosamente puede hacerse un razonamiento falso o capcioso que
    se pretenda hacer pasar por verdadero, tal como: 1. El perro
    tiene cuatro patas y camina. 2. El caballo tiene cuatro patas y
    camina. 3. luego la mesa, que tiene cuatro patas, camina. O bien:
    1. Tomé vino con soda y me hizo mal. 2. Tomé wysky
    con soda y me hizo mal. 3. luego la soda me hace mal. • A
    estos razonamientos engañosos se los llama
    “Sofismas”. Lógica Matemática

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    4 • Los brillantes matemáticos • Bernard Bolzano
    (1781-1848), que creó la teoría de conjuntos;
    • Augustus De Morgan (1806-1871), con su lógica de
    las clases y • George Boole (1815-1864) con la
    creación del álgebra proposicional, fundamentaron
    un nuevo capítulo de la matemática llamado:
    Lógica Matemática” •
    Básicamente se le aplica a la lógica, las
    definiciones concretas y los razonamientos rigurosos propios de
    la matemática. • Se establece para cada
    expresión del lenguaje un significado exacto y se adopta
    además un simbolismo apropiado, con una
    interpretación sin ambigüedades. Los argumentos
    verbales se pueden analizar así desde un punto de vista
    lógico. • Cabe señalar ahora que, el
    cálculo electrónico, la computación y la
    automatización, son modernos y avanzados desarrollos
    científicos y tecnológicos que se fundamentan
    precisamente en la “Lógica Matemática”.
    Lógica Matemática

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    • 5 2. Proposiciones: Si se aceptan como intuitivos los
    conceptos de “verdad” ó “falsedad”
    y no se pretende dar una definición formal, se puede decir
    que: Proposición es toda expresión o
    afirmación, con significado en un idioma, de la cual tenga
    sentido decir si es “verdadera” o
    “falsa”. • Las proposiciones son bivalentes, es
    decir que pueden asumir dos valores claramente diferentes:
    “verdadero (v)” o “falso (f)”. •
    Resulta conveniente hacer corresponder a las dos posibilidades
    “v” y “f” los signos “1” y
    “0”, respectivamente. • Las diversas partes
    elementales de un discurso pueden ser tomadas como
    “proposiciones”. Estas se pueden ligar entre
    sí mediante “conectivos lógicos”,
    formando así estructuras de significado claro y preciso.
    Lógica Matemática

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    • 6 Las siguientes son proposiciones: a) ¾ es un
    número fraccionario. b) El tigre es un insecto. c) El
    carburador tiene una falla. d) El transistor está
    conduciendo. e) Hoy es lunes. f) Llueve. • No le compete a
    la lógica establecer el valor de verdad de las
    proposiciones. De ello deben ocuparse por ejemplo: para a) y b)
    las ciencias particulares (matemática, biología).
    para c) y d) las especialidades de la técnica
    (mecánica, electrónica). para e) y f) simplemente
    la observación o comprobación directa.
    Lógica Matemática

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    7 • No son proposiciones en cambio: frases imperativas u
    órdenes: ( Escriba esto.) interjecciones o exclamaciones:
    ( ¡Que barbaridad! ) instrucciones: ( Volver al paso
    anterior.) frases sin sentido de “v” o
    “f” : ( El mineral “x” es una piedra
    preciosa.) igualdades matemáticas tales como: (a + b) . (a
    – b) = a2 – b2 • Estas expresiones, aunque formalmente
    tengan sentido, no son susceptibles de ser calificadas como v
    ó f , que es la esencia del concepto de
    proposición. Lógica Matemática

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    8 • Vinculando dos o mas proposiciones se pueden obtener
    otras. Todo razonamiento lógico elaborado, debe partir
    necesariamente de una adecuada vinculación de algunas
    proposiciones elementales. • En una demostración de
    lógica matemática se parte precisamente de
    proposiciones elementales tales como axiomas, postulados o
    hipótesis y se desea saber, mediante razonamientos
    lógicos, si las conclusiones que se obtienen son
    “v” o “f” , para cada valor de verdad de
    las proposiciones componentes. • Las relaciones entre
    proposiciones se llaman “conectivos lógicos” o
    también “operaciones lógicas” y se
    corresponden con algunas partículas gramaticales que les
    sirven de nombre. Lógica Matemática

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    9 • Si se presentan en una tabla las distintas posibilidades
    lógicas de las proposiciones componentes y a cada
    combinación, se le hace corresponder el valor
    lógico de la proposición resultante, se tiene lo
    que se denomina “tabla de verdad”, que expresa la
    llamada “función valor de verdad: v(p)”.
    • Es generalizado representar las proposiciones con letras
    minúsculas: p; q; r; s; t; . . • También
    suelen utilizarse en aplicaciones prácticas, abreviaturas
    o nombres significativos. Lógica Matemática

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    • 3. Operaciones del Álgebra Proposicional: 3.1.
    Conjunción: La partícula gramatical “ y
    ” que relaciona dos proposiciones en el lenguaje corriente,
    es en general de significado claro. Por ejemplo la frase
    “Si el domingo llueve, iré al cine”, puede ser
    descompuesta para su análisis lógico, en
    proposiciones simples : p: es domingo q: llueve r: iré al
    cine Estas proposiciones se pueden conectar lógicamente en
    forma de razonamiento: si p y q entonces r Lógica
    Matemática 10

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    • Las diferentes combinaciones para p y q , con sus dos
    valores posibles son: p q r a) no es domingo y no llueve; no voy
    al cine. b) no es domingo y llueve; no voy al cine. c) es domingo
    y no llueve; no voy al cine. d) es domingo y llueve; iré
    al cine. la “ r ”, como proposición
    resultante, suele escribirse: “ p y q ” ó
    solamente “ y ” • La correspondiente
    “tabla de verdad” con “0” y
    “1” en lugar de “ f ” y “ v
    ”, será: Lógica Matemática f f v v p 0
    0 1 1 f v f v q 0 1 0 1 f f f v y 0 0 0 1 12

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    • Un enunciado industrial como: “Sistema de seguridad
    para el operador de un balancin”, conduce a igual
    razonamiento. p: el brazo derecho está apoyado en la
    butaca. q: el brazo izquierdo está apoyado en la butaca.
    r: funciona el balancín. el razonamiento sería: si
    p y q entonces r • El producto de dos números
    binarios es: 0.0 = 0; 0.1 = 0; 1.0 = 0 y 1.1 = 1 Se pueden dar
    las siguientes proposiciones: p: el primer factor vale 1. q: el
    segundo factor vale 1. r: el producto vale 1. de manera similar
    se puede expresar: Lógica Matemática si p y q
    entonces r

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    • Estos últimos razonamientos y muchos otros
    semejantes, conducen a una tabla de verdad similar a la del
    primer ejemplo, por lo que el conectivo lógico “ y
    ” ó “conjunción” queda
    identificado con esta tabla. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 y 0 0 0 1 •
    De la observación de la tabla, puede expresarse que
    “la conjunción solo es verdadera cuando ambas
    proposiciones son verdaderas “. • También se
    puede decir que: “para que el resultado sea falso basta con
    que lo sea una cualquiera de las proposiciones ó
    ambas”. Lógica Matemática 14

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    • • 3.2. Disyunción: La partícula
    gramatical “ o ” que relaciona dos proposiciones en
    el lenguaje corriente, debe ser interpretada teniendo en cuenta
    el sentido de la oración en la que está
    incluída. Por ejemplo la frase “Regalaré la
    ropa que me quede chica o que esté fuera de moda
    puede ser descompuesta para su análisis lógico, en
    proposiciones simples : p: esta prenda me queda chica. q: esta
    prenda está fuera de moda. r: la regalaré Estas
    proposiciones se pueden conectar lógicamente en forma de
    razonamiento: si p o q entonces r Lógica Matemática
    15

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    • Resulta claro, por el sentido de la frase, que si una
    prenda me queda chica y a la vez, también está
    fuera de moda, la regalaré. • Es decir que el “
    o ” incluye el caso en que ambas proposiciones sean
    verdaderas. • Se puede considerar también, como otro
    ejemplo, un “Sistema de alarma para la seguridad de una
    sala, que tiene solo una puerta y una ventana”. Las
    proposiciones pueden ser: p: la puerta es violentada. q: la
    ventana es violentada. r: se activa la alarma. • Aquí
    también vale poner: si p o q entonces r Y por supuesto se
    incluye como “verdadero” el caso en que se violente
    la puerta y la ventana a la vez. Lógica Matemática
    16

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    • Este segundo conectivo lógico, la
    “disyunción o”, se corresponde con la
    pertícula gramatical “o” , mas comunmente
    utilizada. • La tabla de verdad correspondiente es, en sus
    dos versiones: p f f v v q f v f v o f v v v p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
    o 0 1 1 1 • En palabras puede describirse la tabla diciendo
    que: “la disyunción solo es falsa cuando ambas
    proposiciones son falsas” • También puede
    decirse que: “para que el resultado sea verdadero basta que
    sea verdadera una cualquiera de las proposisiones o ambas”.
    Lógica Matemática 17

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    • • r: • 3.3. Disyunción Excluyente: La
    partícula gramatical “ o ” en el sentido de la
    frase: “Debo necesariamente estar presente en un acto,
    mañana a las 12:00 hs, en la ciudad de Salta o en la
    ciudad de Neuquén”, excluye lógicamente la
    posibilidad de estar a la vez en ambos lados. Sean las
    proposiciones: p: estaré en Salta. q: estaré en
    Neuquén. concurro al acto. Estas proposiciones se pueden
    conectar lógicamente en forma de razonamiento: si p o q ,
    pero no ambas, entonces r Lógica Matemática
    18

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    r: • Otro caso semejante sería el siguiente planteo:
    “Se trata de crear un sistema para envasar juntos dos
    productos A y B, de iguales medidas pero de diferente color (por
    ejemplo rojo y azul)”. • Las proposiciones
    podrían ser: p: A es rojo q: B es rojo se envasa el par
    A;B • Y la expresión lógica sería: si p
    o q , pero no ambas, entonces r Lógica Matemática
    19

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    • Se tiene así el conectivo lógico “
    disyunción excluyente ” ó también
    “o exclusivo”, cuyo símbolo es “o”
    (o subrayado) y su tabla de verdad es: p f f v v q f v f v o f v
    v f Ó bien p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 o 0 1 1 0 • La
    descripción verbal de la tabla de verdad puede ser: La
    disyunción excluyente es verdadera solo cuando ambas
    proposiciones son diferentes. • O también: El o
    exclusivo es falso cuando las dos proposiciones tienen igual
    valor lógico (o son iguales). Lógica
    Matemática 20

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    • 3.4. Negación: Con cierta frecuencia se utiliza la
    negación de una proposición dada. Sea la
    proposición: p: el uranio es un metal. su negación
    será: – p: el uranio no es un metal. p -p p -p • La
    tabla de verdad correspondiente es: f v v f O bien 0 1 1 0 •
    Los símbolos que se utilizan para la negación
    suelen ser “ una barra horizontal sobre la
    proposición que se niega ( p ). Lógica
    Matemática – “; “ ~ “ ó
    también 21

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    • • • En la teoría pura de la Lógica
    Matemática se definen dos conectivos lógicos
    adicionales: “Implicación” ( ) y “Doble
    Implicación” ( ), pero a los fines del presente
    trabajo, se prefiere no tenerlos en cuenta. Se han definido
    cuatro conectivos lógicos básicos:
    Conjunción Disyunción (y) (o) Disyunción
    exclusiva ( o ) Negación (-) que deben utilizarse siempre
    teniendo en cuenta sus respectivas tablas de verdad. Es bueno
    aclarar que en la confección de las tablas de verdad se ha
    utilizado (y se seguirá empleando en lo sucesivo) la
    notación con “0” y “1” en lugar de
    “falso” y “verdadero”. Asimismo se adopta
    el orden dado por la numeración binaria natural. La
    conveniencia de esta adopcción quedará clara mas
    adelante. Lógica Matemática 22

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    4. Enunciados Compuestos: • Del mismo modo que pueden
    manejarse expresiones algebraicas complejas mediante el uso de
    las operaciones aritméticas elementales, así
    también se pueden emplear varios conectivos lógicos
    en forma simultánea para construir “enunciados
    lógicos compuestos”. • Las distintas
    operaciones lógicas se pueden enlazar mediante sus
    símbolos y el uso de paréntesis y corchetes tiene
    el significado normal del álgebra. • El valor
    lógico de un enunciado compuesto depende exclusivamente
    del valor lógico de las proposiciones simples y el
    resultado lógico que se obtenga quedará claramente
    expresado sólo cuando se de la tabla de verdad
    correspondiente. Lógica Matemática 23

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    • Para resolver el enunciado compuesto que se proponga, se
    debe confeccionar una tabla donde se destine una columna para
    cada variable o proposición. • Luego hacia la
    derecha, habrá además de una columna para cada
    proposición, una columna para cada conectivo lógico
    del enunciado, en el mismo orden en que está escrita la
    expresión simbólica. • Se procede a llenar la
    tabla con los “0s” y “1s”
    correspondientes, comenzando por las proposiciones dadas y luego
    siguiendo con los conectivos en el orden indicado por la
    expresión, teniendo en cuenta claramente la tabla de
    verdad de cada uno. • El enunciado o fórmula
    proposicional, tiene su valor de verdad expresada en la columna
    final correspondiente. Esa columna final, es precisamente el
    resultado del enunciado lógico compuesto y suele
    destacarse con una doble barra vertical. Las columnas intermedias
    son solo pasos útiles que aclaran el procedimiento.
    Lógica Matemática 24

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    • El problema general de la confección de la tabla de
    verdad para un enunciado lógico compuesto a partir de las
    proposiciones simples, se ejemplifica a continuación:
    • Sea el enunciado compuesto: ( ( p o -q ) y -p) Origina la
    siguiente tabla: p 0 0 q 0 1 (p 0 0 o 1 0 -q) 1 0 y 1 0 -p 1 1 1
    1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 final 7º Lógica
    Matemática 32

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    • En el ejemplo visto, se puede verificar que el resultado
    obtenido es el mismo que correspondería a la simple
    conjunción entre p y q, luego negadas . De manera que: ( (
    p o -q ) y -p ) = -(p y q) • La equivalencia anterior
    permite enunciar, sin que esto sea una demostración
    formal, el importante “Teorema de la Equivalencia
    Lógica”: Dos enunciados lógicos compuestos
    diferentes, que tengan la misma tabla de verdad, son
    “lógicamente equivalentes” (o equivalentes o
    iguales desde el punto de vista lógico). Esta
    afirmación es importante para las aplicaciones: El
    comportamiento lógico equivalente” puede
    extenderse a cualquier dispositivo cuyo funcionamiento responda a
    una tabla de verdad, en forma totalmente independiente de la
    naturaleza del mismo. Lógica Matemática 33

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    1. 2. • Dos equivalencias entre enunciados compuestos son de
    gran trascendencia tanto teórica como en las aplicaciones
    del álgebra proposicional. Se conocen como leyes de De
    Morgan y se pueden expresar simbólicamente: – ( p o q ) =
    -p y -q – ( p y q ) = -p o -q • Para la demostración
    de la equivalencia lógica se confeccionan las tablas de
    verdad correspondientes a cada miembro del enunciado, verificando
    así la igualdad de los resultados: p q _ (p o q) -p y -q 0
    0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 6º =
    Lógica Matemática 44

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