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Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales




Enviado por Pablo Turmero



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    Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales
    Introducción
    Ecuación del Calor
    Método de Jacobi
    Método de Gauss-Seidel
    Método de Sobrerrelajación
    Problema del Condensador

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    Métodos directos frente a métodos iterativos
    DIRECTOS
    Ax =b
    x = A b
    Tamaño moderado
    Modifican la estructura
    Error de redondeo
    ITERATIVOS
    x = Cx + d
    x(k+1) = Cx(k) + d
    Tamaño grande
    Conservan los ceros
    Error de truncamiento

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    Convergencia y número de operaciones
    Coste (para matrices densas)
    Directos: n3 Iterativos: k.n2
    Convergencia
    Criterio de parada:

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    Ecuación del Calor
    Sistema de ec. lin.
    Matriz asociada
    T0 T1 T2 . . . Tn Tn+1

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    Matriz de la Ecuación del Calor con MATLAB

    function A = mcalor1(n)
    v = ones(1,n-1);
    A = 2*eye(n) – diag(v,1) – diag(v,-1);

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    El método de Jacobi
    Sistema de ecuaciones lineales

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    Ecuación de punto fijo

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    Iteración de Jacobi

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    Expresión matricialResolución con MATLAB
    U = triu(A,1); L = tril(A,-1);
    d = diag(A);
    x = (b-(L+U)*x)./d

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    Condición suficiente de convergencia
    Matriz estrictamente diagonalmente dominante: para i=1,2,…,n

    Si A es estrictamente diagonalmente dominante, los iterados de Jacobi convergen a la solución del sistema partiendo de cualquier estimación inicial.

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    Iteración de Gauss-Seidel

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    Expresión matricialResolución con MATLAB
    d = diag(A); D = diag(d);
    U = triu(A,1); L = tril(A,-1);
    x = (L + D)(b – U*x)

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    Método de sobrerrelajación
    xik
    zi
    xik+1
    (Gp:) ik+1

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    Paso de sobrerrelajación

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    Expresión matricialResolución con MATLAB
    D = diag(diag(A));
    c = w*b; C = (1-w)*D – w*U
    x = (wL + D)(c + C*x)

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    Condición suficiente de convergencia
    Matriz simétrica definida positiva:
    AT = A, xTAx > 0

    Si A es simétrica definida positiva y 0

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