1. Introducción. La realización de cualquier
movimiento implica dos tareas: Planificación de la
Trayectoria. Control del Movimiento.
1. Introducción. ¿En que consiste? Obtención
de las funciones temporales 0TN(t) que nos llevan desde una
localización inicial (Tini) hasta otra final (Tfin). O,
alternativamente: q(t)=(q1(t), q2(t), …, qN(t)). Tipos de
trayectorias: Trayectorias punto a punto: Evolución
independiente de cada articulación. Sólo
útiles en tareas a manipulador parado. Trayectorias
continuas: 0TN(t) es conocida. Trayectorias suaves. Útiles
en tareas con el brazo en movimiento.
1. Introducción. Tipos de Trayectorias Continuas: (Gp:)
Trayectorias interpoladas (Gp:) Trayectorias Cartesianas
Algoritmos más sencillos. Fácil control. Riesgo de
choques con obstáculos. Control directo del movimiento en
el espacio cartesiano. Ortogonalidad (separación
rotación/translación) Mayor dificultad de
implementación y control.
2. Trayectorias Interpoladas. Trayectorias interpoladas con
funciones polinómicas. Trayectoria polinómica desde
una posición inicial a otra final. Condiciones para
trayectoriasuave: Continuidad en la velocidad. Grado del
polinomio ?(t) menor posible.
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas. Condiciones a satisfacer: 4 ! polinomio de
grado 3. Aplicando las (4) condiciones de contorno:
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas. Ejemplo: ?0 = 15º, ?f = 75º, tf = 3
seg.
Es conveniente dar puntos intermedios (¿Por qué?).
Podemos emplear un polinómio cúbico para cada
segmento y replicar el método. Discusión del caso
anterior: ?0 = 15º, ?1 = 75º, ?f = 135º, t01 = 3
seg, t1f = 3 seg. 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de
funciones polinómicas.
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas. Trayectorias con varios segmentos: Recorrido
por secuencia varias posiciones intermedias. Cada segmento emplea
un polinómio cúbico. Se garantiza continuidad en la
posición y velocidad. Ventajas e inconvenientes.
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas. Inconvenientes: No se asegura la continuidad
en la aceleración. Problema mayor: fijar las velocidades
intermedias. Solución: intercambio de las restricciones
anteriores. No se indica velocidad en los puntos intermedios. A
cambio se asegura la continuidad en la aceleración.
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas. Caso sencillo con dos segmentos [?0, ?v, ?g]:
Nótese los intervalos de tiempo. Condiciones impuestas:
Recorrer los puntos inicial, final e intermedio:
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas. Velocidades (nulas en este caso) en los
extremos: Continuidad en la posición, velocidad y
aceleración en el punto intermedio: Nótese que no
exigimos un valor concreto en la velocidad, pero sí
continuidad en la aceleración. (Gp:) !? Segmento 1
Segmento 2
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas. Solución (tf1 = tf2 = tf): Avances:
Ajuste de tiempo favorable para resolver ecuaciones. Introducir
continuidad en aceleración para no definir velocidades
intermedias.
2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4 Operación
frecuente: Traslado de objetos desde una superficie a otra.
Solución sencilla: una trayectoria con cuatro puntos como
la de la figura. Objetivo: evitar colisiones (¿por
qué?). Cómo: introducción de dos puntos
intermedios.
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Se escogen
puntos intermedios en unas posiciones de despegue y asentamiento
normales a las superficies de origen y destino, respectivamente.
Relación tiempos ! velocidad.
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de
contorno para un movimiento suave: Inicio: posición,
velocidad (nula) y aceleración (nula) determinadas. Fin:
posición, velocidad (nula) y aceleración (nula)
determinadas. Intermedios: paso por posiciones de despegue y
asentamiento con continuidad en posición, velocidad y
aceleración. ¿Grado del polinomio? (Gp:) 8
condiciones ) 8 parámetros ) orden 7: ¿Bondad del
polinómio?
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Es preferible
dividir el movimiento en 3 segmentos con polinomios de grado
inferior. Soluciones: trayectorias 4-3-4 y trayectorias 3-5-3.
Variables: ?: tiempo real en segundos. ?i: tiempo real al final
de la trayectoria i-ésima. ti =(?i-?i-1): tiempo real
requerido para el segmento i-ésimo. t: tiempo normalizado
en el intervalo [0,1]:
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Polinomios
empleados: Ventajas/Inconvenientes del tiempo normalizado: 4 3
4
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de
contorno: Punto inicial: Punto despegue:
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Punto
asentamiento: Punto final: 14 ligaduras (ecuaciones) para 14
parámetros
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Primer
segmento de la trayectoria: ? = ?0, t = 0 (inicio primer
segmento).
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. ?=?1, t =1
(final primer segmento). Ahora no ofrecen soluciones, más
adelante recurriremos a ellas.
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Segundo
segmento de la trayectoria: ? = ?1, t = 0 (inicio segundo
segmento).
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de
continuidad con el tramo anterior: ?=?2, t =1 (final segundo
segmento).
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Tercer
(último) segmento de la trayectoria: Nuevo cambio de
variable para facilitar la resolución. Las derivadas no
quedan afectadas (suma de constante). Nótese que el
polinomio esta basado en la nueva variable y no en t (aunque
podemos obtener fácilmente el correspondiente en t).
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. ?=?f, t =1,
(final tercer segmento). ?=?2, t =0, (inicio tercer
segmento).
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de
continuidad con el tramo anterior: Gracias a los cambios de
variable hemos obtenido de forma directa 7 de los 14
parámetros. Para el resto …
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Se calculan
los cambios de las variables de articulación entre
segmentos contiguos: Las condiciones (1) a (7) se pueden expresar
en forma matricial: (Gp:) y (Gp:) C (Gp:) x (Gp:) = (Gp:) .
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Solución: x = C-1y
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Los
coeficientes (a10,a11,a12,a20,an0,an1,an2) se obtienen de forma
directa. Importante: recordar el último cambio de
variable. Si utilizamos:Deberemos recorrer el tiempo de -1 a 0.
Si queremos homogeneizar el tiempo (siempre de 0 a 1) hay que
deshacer el cambio de variable:
2. Trayectorias Interpoladas. Trayectorias interpoladas con
funciones lineales. Opción alternativa al uso de
polinomios. Fundamento sencillo: conectar los puntos mediante
rectas y solucionar los problemas derivados. Problema:
discontinuidad en los extremos.
2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
Solución: suavizado parabólico con una determinada
aceleración. Secuencia de movimientos: Uniforme acelerado.
Uniforme. Uniforme decelerado. ¿Durante cuanto
tiempoaceleramos/deceleramos? tb
2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
Suponemos una cierta aceleración (Ã ventajas
prácticas). Implicaciones del discriminante
positivo.
Generalización a varios segmentos: Definición de
secuencia de puntos (?1, ?2, …, ?f). Definición de
los instantes de tiempo (t1, t2, …, tf). En los puntos
intermedios se realiza una aceleración de suavizado . 2.3.
Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. ?i:
ángulo punto i-ésimo. ti: tiempo punto
i-ésimo. tsi: duración del suavizado. tli-1,i:
duración zona lineal. tdi-1,i: duración
segmento.
Parámetros que definen el movimiento (Ã
síntesis posterior): Segmentos intermedios: 2.3.
Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
Segmento inicial: 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de
Funciones Lineales.
Segmento final: 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones
Lineales.
3. Trayectorias Cartesianas. Descripción de las posiciones
del manipulador. T G (Gp:) C(t) P (Gp:) Z (Gp:) M (Gp:) W(t) 0TN
! T: Trans. Hom. brazo robot. NGherr ! G: coordenadas herramienta
(desde el EF). absZbase ! Z: coordenadas base del robot (desde el
SdR global). absW(t)obj ! W(t) : coordenadas del objeto (desde el
SdR global). Caso General: Consideramos que puede estar en
movimiento (depende de t). objPherr ! P: coordenadas de la
herramienta (desde el SdR del objeto). Para simplificar el
cálculo posterior: C(t)=Z-1W(t)
3. Trayectorias Cartesianas. T1 G1 (Gp:) C1(t) P1 La
posición del manipulador se puede expresar como: TG=C(t)P
Aplicando PCI podremos resolver: T=C(t)PG-1 Para realizar una
tarea habrá que desplazar la herramienta entre varios
puntos consecutivos (1,2,3,…,f): T1G1=C1(t)P1 T2G2=C2(t)P2
… TfGf=Cf(t)Pf T2 G2 P2 C2(t)
3. Trayectorias Cartesianas. Entre dos puntos consecutivos
cualquiera: Entonces podríamos obtener: Vamos a suponer un
par de transformaciones, Pi,i y Pi,i+1, tal que fuera posible: Es
decir, el movimiento entre los dos puntos (i,i+1)
consistiría simplemente en la transformación de
Pi,i+1 en Pi+1,i+1.
3. Trayectorias Cartesianas. G1 (Gp:) C1(t) P1 Obviamente
Pi,i=Pi, pero ¿Pi,i+1? Despejamos Pi,i+1 de la segunda
ecuación: Despejando T de la primera ecuación y
sustituyendo en la anterior: Así, Pi,i+1 puede ser
precalculado. T2 G2 P2 T1 C2(t) G2 P1,2
3. Trayectorias Cartesianas. Podemos definir una
transformación D(t) (transformación de
impulsión) que convierte la matriz Pi,i+1 en la matriz
Pi+1,i+1 conforme avanza el tiempo. Se realiza en tiempo
normalizado t (0 · t · 1). Verifica las siguientes
condiciones de contorno: De donde podemos despejar D(1):
3. Trayectorias Cartesianas. La transformación D(t)
consiste en un movimiento translacional (para alcanzar la
posición final) y dos rotacionales (orientación).
La translación lleva el vector pi hasta pi+1. La primera
rotación lleva ai hasta ai+1 (!). La segunda
rotación (sobre a) lleva oi hasta oi+1 (y por tanto ni a
ni+1).