? ? ? ? 3 Introducción El diccionario de la lengua
española “Pequeño Larousse ilustrado –
Edición 2006”, da para la palabra
“número” varias acepciones: La primera e
inmediata es: “Concepto matemático que expresa la
cantidad de los elementos de un conjunto o el lugar que ocupa un
elemento en una serie”. En cambio la acepción 12,
expresa algo mas claro: “MAT. Noción fundamental de
la matemática que permite contar, clasificar los objetos o
medir magnitudes. No puede ser objeto de definición
rigurosa”. Con las consideraciones que siguen y utilizando
un lenguaje con algo mas de rigor, se pretende dar algunas
definiciones que permitan aclarar conceptos tales como:
número cardinal, número ordinal, operación
de contar, sistemas de numeración, etc. Sistemas de
Numeración
? ? ? 4 Generalidades Si se ven pasar por una ruta a los
participantes de una carrera de bicicletas, sin hacer ninguna
cuenta se puede afirmar que la cantidad de ciclistas es igual a
la cantidad de bicicletas, porque a cada ciclista le corresponde
una bicicleta y a cada bicicleta le corresponde un ciclista. Se
dice entonces que el conjunto de ciclistas (conjunto A) y el
conjunto de bicicletas (conjunto B), están en
relación uno a uno o que están entre ellos en
relación biunívoca o que existe entre A y B una
función biyectiva o también que ambos conjuntos son
coordinables. Asimismo pueden definirse, el conjunto de los pares
de zapatillas de los ciclistas (conjunto C), y el conjunto de las
camisetas de colores que lleva cada uno de ellos (conjunto D).
Estos conjuntos C y D, por supuesto, también están
en relación uno a uno con los conjuntos anteriores A y B.
Sistemas de Numeración
? ? ? ? 5 Generalidades Los diferentes objetos que nos rodean
pueden ser agrupados en “clases”, que tengan una
misma propiedad. Por ejemplo: – clase de los conjuntos de
elementos de la misma forma. – clase de los que tengan igual
utilidad. – clase de los de similar color. – clase de los que
están en una misma zona geográfica. – clase de los
elementos del mismo peso. etc. . .etc. En nuestro caso, los
conjuntos antes definidos A, B, C y D, se pueden agrupar en la
“clase” de los que tienen como propiedad común
“igual cantidad de elementos” , es decir que son
coordinables. La propiedad común que tienen los conjuntos
coordinables se llama: “número cardinal”. La
idea de “número cardinal” está ligada
con el “sentido de cantidad” o “sentido de
número” que se encuentra naturalmente y en forma
rudimentaria, en el hombre primitivo. Sistemas de
Numeración
? ? 6 Generalidades Así al número cardinal de los
conjuntos unitarios, lo denominamos uno ( 1 ); al cardinal de los
conjuntos de pares de elementos, lo llamamos dos ( 2 ); al
cardinal de los conjuntos de ternas, lo nombramos como tres ( 3
); . . . . y así siguiendo, se definen los Números
Naturales ( N ). Bertrand Russell (1872 -1970) eminente
filósofo y matemático dijo: “deben haberse
necesitado muchos siglos para descubrir que un par de faisanes y
un par de días, son, ambos, ejemplos del número
dos.” Sistemas de Numeración
? ? ? ? ? 7 Generalidades Un notable avance intelectual del
hombre fue la creación de un proceso mental que se puede
llamar operación de contar (o facultad de contar). Fueron
ideadas diferentes formas para ir pasando de un número
natural al siguiente. Así se usaron piedras apiladas,
marcas o incisiones en ramas o troncos de árbol, nudos en
una soga, cuñas en tablillas de arcilla o, en forma casi
universal, los diez dedos articulados de las manos y
eventualmente los de los pies. Las dificultades de las formas
rudimentarias aparecieron cuando las cantidades a contar
crecieron . Ello obligó a crear sistemas de
representación mas elaborados y prácticos. Se hizo
necesario adoptar un conjunto de signos o símbolos que,
con ciertas reglas, progresaran en el sentido de las magnitudes
crecientes y que se los hiciera coordinables con los
números naturales. Se crearon así los llamados:
“Sistemas de Numeración” Sistemas de
Numeración
? ? ? ? 8 Generalidades Una vez creado el sistema de
numeración, contar una colección de objetos
significa asignar a cada elemento de éste, un
término de la sucesión natural definida. El
término asignado al último elemento del conjunto o
colección en estudio, se llama : “Número
Ordinal” del mismo. Vale la pena destacar que cuando se
desea determinar el número cardinal de un conjunto, nadie
trata de encontrar otro conjunto modelo para compararlos.
Simplemente contamos la colección y establecemos
así el Número Ordinal correspondiente. En la
realidad práctica, el concepto que realmente interesa en
un planteo concreto, es el número.cardinal, pero esta
noción no sirve de fundamenteción a una
aritmética utilizable. Sistemas de Numeración
? 9 Generalidades Como actualmente pasamos con gran facilidad del
número cardinal al número ordinal, mediante la
operación de contar , los dos aspectos del concepto de
número, se nos presentan así como uno solo.
Sistemas de Numeración
? ? Reseña histórica En la antigua región de
la Mesopotamia ( hoy Irak, este de Siria y sureste de
Turquía), existió hacia el tercer milenio a.C (3000
años a.C = -3000 años), la primera
civilización conocida: la SUMERIA. Entre el 2800 y el 2350
a.C los Sumerios utilizaron un sistema de numeración de
base diez (obviamente basándose en los dedos de las manos)
y también el de base 60 o sexagesimal (hoy se sigue
utilizando para mediciónes del tiempo y de ángulos)
. Sistemas de Numeración 10
? ? ? ? Reseña Histórica Para aplicar el
“sexagesimal”, se extiende la palma de la mano
derecha y se cuentan con el pulgar sucesivamente, las tres
falanges de los cuatro dedos restantes comenzando por el
meñique. La cantidad máxima de unidades que se
pueden contar así son doce. Pero si por cada grupo de doce
unidades, se levanta un dedo de la mano izquierda, se puede
fácilmente registrar hasta 60 ( base del sistema). Acadios
(o Akkadios), Gúteos, nómades Semitas, Elamitas,
Amorritas etc, se sucedieron en el dominio de la mesopotamia,
pero pese a las contínuas guerras, se mantuvo la cultura
sumeria. Entre los años -1900 y -1500 con los Asirios,
cobró importancia la ciudad de Babilonia. En ese tiempo
los Babilonios utilizaron un sistema numérico basado en
todo lo anterior. Usaban además para la escritura de los
numerales una marca vertical con forma de cuña, para la
unidad, que estampaban con punzones en tablillas de arcilla.
Sistemas de Numeración 11
? • Reseña Histórica Se agregaban tantas
unidades como fueran necesarias hasta llegar al 9. El 10
tenía su propio signo. Nuevamente se adicionaban los
signos de 10 y se completaba el grupo con unidades, hasta llegar
a 59. A continuación se utilizaba un sistema posicional
tal que, avanzando desde la derecha hacia la izquierda, los
grupos anteriores (de 1 a 59), valían 60 veces para la
segunda posición; 60 x 60 = 3600 veces para la tercera y
así sucesivamente. Sistemas de Numeración 12
Reseña Histórica • Desde alrededor de 3000
años a.C. los antiguos Egipcios utilizaron como sistema de
numeración una forma de representación por
acumulación de signos o aditiva, de base diez. Para
escribir los números recurrieron a jeroglíficos
específicos. • Por cada unidad se dibujaba un trazo
vertical, por cada decena un arco, etc; siempre acumulando los
símbolos hasta completar el número. • Al no
importar la posición de los dibujos, sino su
acumulación, se podían escribir indistintamente de
izq. a der., de der.a izq. de arriba para abajo o según un
criterio estético cualquiera. Sistemas de
Numeración 13
Reseña Histórica • Los Griegos desarrollaron
alrededor del año 600 a.C.un sistema de base decimal de
estructura simplemente aditiva. • Para representar los
dígitos hasta 4 se usaban trazos verticales. Para el 5,
10, 100, 1000 y 10000, usaron las letras correspondientes a la
inicial del nombre del número. (penta, deka, hekto, kilo y
miria). (Se suele llamar sistema “acrofónico”)
• Los símbolos para el 50, 500 y 5000 se
obtenían agregando al símbolo del 5,
respectivamente los del 10, 100 y 1000, utilizando un principio
multiplicativo. • Los numerales ya no eran
jeroglíficos sino que tenían relación con el
alfabeto. Sistemas de Numeración 14
Reseña Histórica • El sistema descripto de los
griegos, era en realidad ático o ateniense. Unos
años después fue reemplazado por el Jónico
que utilizaba las 24 letras del alfabeto griego, junto con
algunos otros símbolos. • Los números
así escritos tienen el aspecto de palabras y asimismo las
palabras pueden tener un valor numérico. (Esta dualidad
dio origen a disciplinas mágicas y adivinatorias).
Sistemas de Numeración 15
Reseña Histórica • Aproximadamente desde el
año 1500 a.C. en la antigua China se empezó a usar
un sistema de base 10 y que combinaba el principio aditivo con el
multiplicativo. • Para aclarar se señala que para
expresar el 500 en un sistema aditivo se recurre a acumular cinco
representaciones del 100; mientras que en un sistema aditivo
– multiplicativo (híbrido), se usa la
combinación del 5 y del 100. Se destaca que el orden de la
escritura se hace fundamental. ( 5 10 7, podría
representar 57 ó 75). Sistemas de Numeración
16
Reseña Histórica • El sistema de
numeración Chino se escribía tradicionalmente de
arriba hacia abajo, aunque se admitió también de
izquierda a derecha. • Hubo grafías diferentes para
los ideogramas, según fuesen documentos oficiales, usos
domésticos, comerciales y también variantes
regionales. • Además del chino clásico,
también usaron sistemas híbridos los arameos,
etíopes, tamiles, malayalames, etc. • Los Hebreos
asimismo, utilizaron como los griegos, su propio alfabeto para
escribir los numerales. Sistemas de Numeración 17
Reseña Histórica • La civilización
Romana utilizó los conocidos símbolos: I 1 V 5 X 10
L 50 C 100 D 500 M 1000 • Una serie de reglas en algunos
casos aditivas y en otros sustractivas originaron un sistema de
numeración bastante complicado. • En efecto, se puede
repetir (o adicionar) un símbolo hasta tres veces, pero no
se puede agregar un cuarto, sino que debe restarse uno del
siguiente • No fue estrictamente un sistema aditivo, ni
híbrido ni de posición • Dijo el
científico y escritor Isaac Asimov (1920-1992)
“Aún despues de cinco siglos de haber caído
en desuso, los números romanos parecen ejercer una
fascinación especial. Tengo la teoría de que la
razón para que así suceda es que los números
romanos halagan al ego”. Solo se los utiliza en la
actualidad para monumentos, placas recordatorias, lápidas
y relojes de lujo. Sistemas de Numeración 18
Reseña Histórica • De las culturas
precolombinas se destacan las llamadas
“mesoamericanas”, con olmecas, zapotecas, aztecas y
mayas, que ocuparon, con límites no muy bien definidos,
los actuales México, Guatemala, El Salvador, Honduras y
parte de Nicaragua y Costa Rica. En especial los Mayas, entre los
años 300 y 600 de nuestra era, desarrollaron un sistema de
numeración de posición con base 20. •
Observando los símbolos usados, si bien parece que fuera
un sistema de base 5 aditivo, en realidad el conjunto es de base
20 (puesto que los 20 signos son realmente diferentes). • Se
destaca que tuvieron un signo especial para el cero. Fue un
sistema posicional que se escribía de arriba hacia abajo,
empezando por la cifra de mayor orden. Las distintas posiciones
valían 1, 20, 20×20=400 y 20x20x20=8000. Sistemas de
Numeración 19
? Reseña Histórica • Fueron los Indios
(hindúes), los que presumiblemente en el siglo
séptimo de nuestra era (años 600 d.C), idearon un
sistema de numeración tal como hoy lo conocemos. El
único cambio ha sido, por supuesto, una diferente
grafía en la escritura de los diez dígitos que se
usan actualmente. • Se debe destacar la genial
introducción del cero “0”, es decir un signo
que signifique “nada” (sunya = vacío, para los
indios y céfer para los árabes). Ninguno de los
sistemas de numeración de la antigüedad, con la
única excepción del utilizado en la India,
sirvió para establecer una aritmética
razonablemente útil y fundamentalmente simple. La
presencia del cero aportó facilidad en los cálculos
y en la lectura e interpretación de las cantidades.
Sistemas de Numeración 20
? ? ? Reseña Histórica El sistema de
posición Indio, que incluía la genial
concepción del número cero, fue introducido por los
Arabes en Europa entre los años 1000 y 1200 de nuestra era
y es conocido hoy universalmente como “numeración
decimal” o “numeración arábiga”.
Mas precisamente la difusión en occidente de la ciencia
matemática de los árabes, incluída la
numeración arábiga con el cero, se debió al
gran matemático Leonardo Fibonacci (1175-1240) que
publicó en 1202 el libro “Liber abbaci”, con
contribuciones no solo en aritmética sino también
en álgebra y geometría. La facilidad lograda por
éste sistema en la realización de los
cálculos, originó el florecimiento de la
matemática aplicada, facilitó el gran desarrollo de
las otras ciencias y por supuesto contribuyö al explosivo
avance de la tecnología. La numeración decimal es
la noción mas común que tiene el hombre actual.
Sistemas de Numeración 21
? ? ? Sistema de numeración decimal o de posición
de base 10 Todo lo que se señale a continuación
puede parecer trivial, por ser el sistema de numeración
decimal, ampliamente conocido. No obstante se considera de
interés destacar algunas propiedades del mismo. En este
sistema se tienen diez signos o dígitos diferentes: 0; 1;
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9. . Probablemente, como ya se
señaló, esta cantidad tiene como raíz
histórica un hecho fisiológico: los diez dedos
articulados de las manos. Para escribir números mayores
que 9, se le asigna un “peso” o
“ponderación” a las posiciones siguientes, de
derecha a izquierda, equivalentes a las potencias crecientes,
enteras y sucesivas del número 10 (base del sistema).
Sistemas de Numeración 22
• Así en un determinado número, cada cifra
tiene un valor por el dígito y otro valor por la
posición que ocupa. • Si se toma como caso el
número 444, los tres dígitos 4, valen
respectivamente de derecha a izquierda cuatro, cuarenta y
cuatrocientos. • Como otro ejemplo se analizará un
número natural cualquiera: 528 473 ————-3 . 100 =
3 —————-7 . 101 = 70 ——————4 . 102 = 400
———————8 . 103 = 8 000 ———————–2 .
104 = 20 000 ————————–5 . 105 = 500 000 528 473
Sistemas de Numeración 23
? ? ? 3 2 Se destaca el hecho de que el número decimal
puede expresarse como un polinomio o una serie de potencias de
10, donde los sucesivos dígitos representan los
coeficientes del desarrollo. Así se tendrá en el
ejemplo anterior: 5 7 8 4 7 3 = 5 .105 + 7 .104 + 8 .103 + 4. 102
+ 7. 101 + 3. 100 Asimismo se señala que los
“pesos” de las posiciones de la parte fraccionaria,
son considerados a partir de la coma decimal, de izquierda a
derecha, como las potencias de 10, de exponentes negativos
decrecientes. De manera similar se tiene: 0, 8 6 9 1 = 8 10-1 +
6.10-2 + 9.10-3 + 1.10-4 También se puede obtener el
dígito de cada orden, haciendo divisiones sucesivas por la
base 10, como se muestra a continuación: El número
se reconstruye escribiendo en orden inverso, desde el
último cociente hacia los restos intermedios: 4, 7, 5, 2,
3 = 47 523. 47 523 / 10 = 4752 4752 / 10 = 475 475 / 10 = 47 5 47
/ 10 = 4 Sistemas de Numeración 7 4 24
Sistema de Numeración Decimal o de Posición en base
10 Peso relativo y Nombre de cada posición 106 = 1 000 000
: unidades de millón———————-6 105 = 100 000
: centenas de mil——————————7 104 = 10 000 :
decenas de mil——————————–4 103 = 1 000 :
unidades de mil———————————8 102 = 100 :
centenas———————————————5 101 = 10 :
decenas————————————————2 100 = 1
: unidades————————————————3 n = 6
7 4 8 5 2 3 , 7 3 5 2 4 8 7
————————-Décimos: 0,1 = 10-1 3
——————-Centésimos: 0,01 = 10-2 5
———————Milésimos: 0,001 = 10-3 2
————Diezmilésimos: 0,000 1 = 10-4 4
———-Cienmilésimos: 0,000 01 = 10-5 8
———–Millonésimos: 0,000 001 = 10-6 Sistemas de
Numeración 25
? ? Sistemas de Posición en cualquier base. Las
propiedades y algoritmos señalados en el título
anterior para numeración decimal, son absolutamente
válidos para todos los sistemas de posición,
cualquiera sea el número de signos utilizados como base.
Sea “n” el número de signos diferentes con que
se desea estructurar un sistema de numeración. Las
diferentes posiciones de derecha a izquierda, valdrán
sucesivamente: n0 = 1; n1 = n; n2; n3; n4; n5; . . . Es decir que
los “pesos” de cada posición, serán las
potencias enteras crecientes de la base. Sistemas de
Numeración 26
? ? ? Sistemas de Posición en cualquier base. Para
construir un número en cualquier base, deben definirse los
signos que se emplearán y luego aplicar el método
de las divisiones sucesivas. Por sencillez solo trabajaremos con
números enteros positivos y signos decimales conocidos. Se
destaca que podrían utilizarse cualquier conjunto de
“dibujitos ” arbitrarios. Por convención, se
señala la base en que está expresado un
número, colocando luego de él, uno o mas
dígitos entre paréntesis. Si no se indica nada,
debe entenderse que la base es 10 . Para una mejor
comprensión se desarrolla a continuación, un mismo
número (cualquiera), en diferentes bases. Tomamos por
ejemplo el número 429 = 429 (10) : Sistemas de
Numeración 27
• Sistemas de Posición en cualquier base. En base
“ 9 “ – – – – – – – – – – – – – Sean los signos: 0;
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 y 8. 429 / 9 = 47 6 47 / 9 = 5 2 5 429 (10) =
526 (9) ; La serie de potencias de 9 permite leer el
número obtenido: 526 (9) = (6 90) + (2 91) + (5 92) = 6 +
18 + 405 = 429 (10) Sistemas de Numeración 28
• Sistemas de Posición en cualquier base. En base
“ 8 “ ( o sistema octal ) – – – – – – – – – – – – –
Sean los signos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7. 429 / 8 = 53 5 53 / 8 =
6 5 6 429 (10) = 655 (8) ; La serie de potencias de 8 permite
leer el número obtenido: 655 (8) = (5 80) + (5 81) + (6
82) = 5 + 40 + 384 = 429 (10) Sistemas de Numeración
29
• Sistemas de Posición en cualquier base. En base
“ 7 “ – – – – – – – – – – – – – Sean los signos: 0;
1; 2; 3; 4; 5 y 6. . 429 / 7 = 61 2 61 / 7 = 8 5 8/7=1 1 1 429
(10) =1152 (7) ; La serie de potencias de 7 permite leer el
número obtenido: 1152 (7) = (2 70) + (5 71) + (1 72) + (1
73) = 2 + 35 + 49 + 343 = 429 (10) Sistemas de Numeración
30
• Sistemas de Posición en cualquier base. En base
“ 6 “ – – – – – – – – – – – – – Sean los signos: 0;
1; 2; 3; 4 y 5. 429 / 6 = 71 3 71 / 6 = 11 5 11 / 6 = 1 5 1 429
(10) =1553 (6) ; La serie de potencias de 6 permite leer el
número obtenido: 1553 (6) = (3 60) + (5 61) + (5 62) + (1
63) =3+ 30 + 180 + 216 = 429 (10) Sistemas de Numeración
31
• Sistemas de Posición en cualquier base. En base
“ 5 “ – – – – – – – – – – – – – Sean los signos: 0;
1; 2; 3 y 4. 429 / 5 = 85 4 85 / 5 = 17 0 17 / 5 = 3 2 3 429 (10)
= 3204 (5) ; La serie de potencias de 5 permite leer el
número obtenido: 3204 (5) = (4 50) + (0 51) + (2 52) + (3
53) =4+ 0 + 50 + 375 = 429 (10) Sistemas de Numeración
32
• 1 Sistemas de Posición en cualquier base. En base
“ 4 “ – – – – – – – – – – – – – Sean los signos: 0;
1; 2 y 3. 429 / 4 = 107 107 / 4 = 26 3 26 / 4 = 6 2 6 /4 = 1 2 1
429 (10) = 12231 (4) ; La serie de potencias de 4 permite leer el
número obtenido: 12231 (4) = (1 40) + (3 41) + (2 42) + (2
43) + (1 44) = 1 + 12 + 32 + 128 + 256 = 429(10) Sistemas de
Numeración 33
• 0 Sistemas de Posición en cualquier base. En base
“ 3 “ ( o sistema ternario ) – – – – – – – – – Sean
los signos: 0; 1 y 2. 429 / 3 = 143 143 / 3 = 47 2 47 / 3 = 15 2
15 / 3 = 5 0 5/3=1 2 1 429 (10) = 120220 (3) ; La serie de
potencias de 3 permite leer el número obtenido: 120220 (3)
= (0 30) + (2 31) + (2 32) + (0 33) + (2 34) + (1 35) = = 0 + 6 +
18 + 0 + 162 + 243 = 429 (10) Sistemas de Numeración
34
• 1 0 Sistemas de Posición en cualquier base. En base
“ 2 “ ( o sistema binario ) – – – – – – – – – Sean
solamente los signos: 0 y 1. 429 / 2 = 214 214 / 2 = 107 107 / 2
= 53 1 53 / 2 = 26 1 26 / 2 =13 0 13 / 2 = 6 1 6/2=3 0 3/2=1 1 1
429 (10) = 110101101 (2) ; La serie de potencias de 2 permite
leer el número obtenido: 110101101 (2) = (1 20) + (0 21) +
(1 22) + (1 23) + (0 24) + (1 25) + + (1 26) + (0 27) + (1 28) =
1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 32 + 0 + 128 + 256 = 429 (10) Sistemas de
Numeración 35
• Sistemas de Posición en cualquier base. En base
“ 16 “ ( o sistema hexadecimal ) – – – – – – – – Sean
16 los signos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E y F.
(se utilizan las letras como dígitos, que valen
respectivamente:10; 11; 12; 13; 14 y 15) 429 / 16 = 26 13 26 / 16
= 1 10 1 429 (10) = 1AD (16) La serie de potencias de 16 permite
leer el número obtenido: 1AD (16) = (D 160) + (A 161) + (1
162) = 13 + 160 + 256 = 429 (10) Sistemas de Numeración
36
? ? ? ? Sistema “Hexadecimal” ó en base 16
Este sistema solo se utiliza para presentar información
binaria en forma compacta (por ejemplo para nombrar las
direcciones de una memoria en un manual técnico. Nunca se
usa en el interior de una máquina Nuestra vista prefiere
ver pocos símbolos aunque sean variados, que muchos signos
binarios. Esto es exactamente lo contrario que para un sistema
inanimado (una computadora), dentro de la cual la
numeración binaria es la única que se utiliza.
Destacamos que en hexadecimal solo dos posiciones, permiten
señalar 256 puntos diferentes. Esto resulta cómodo
para algunas indicaciones técnicas. El pasaje de un
número hexadecimal a binario es sencillo, ya que cada
signo hexadecimal se reemplaza por cuatro dígitos binarios
y viceversa. Sistemas de Numeración 37
? ? ? Sistema “Binario” ó en base 2 Este
sistema puede llamarse también “Numeración
Binaria” y solo dispone de “ceros” y
“unos” como signos posibles. ( “0” y
“1” ) Es en la actualidad el mas importante de todos
los sistemas de numeración, después, claro
está, del sistema decimal usado en la vida diaria. Esta
afirmación quedará justificada en forma
analítica, al estudiarse los temas correspondientes a
“Lógica Matemática” y “Algebra de
Boole”. En efecto, la relativamente reciente
aparición de las máquinas computadoras, las
computadoras personales, las pequeñas calculadoras
electrónicas y una gran cantidad de aparatos y
dispositivos que revolucionaron el mundo en los últimos
años, se debió por supuesto a tremendos avances
científicos y tecnológicos, pero fundamentalmente
pudieron realizarse, debido a la adopción de la
“numeración binaria”. Esta numeración
constituye en forma exclusiva el “lenguaje interno”
de todos los dispositivos informáticos, equipos de control
automático, sistemas de cálculo y sistemas de
medición y control de tiempo. Sistemas de
Numeración 38
? Sistema “Binario” ó en base 2 Los
números binarios se generan mediante la aplicación
formal de las reglas de los números decimales: Decimal 0 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Binario 0 1 10 11 100 101 110 111
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 Decimal 17 18 . . . 31 32 . .
. 63 64 . . 127 Binario 10001 10010 . . . 11111 100000 . . .
111111 1000000 . . 1111111 15 16 Sistemas de Numeración
1111 10000 128 10000000 . . . y así siguiendo . . .
39
? ? Sistema “Binario” ó en base 2 Pasaje de un
número decimal a binario: Ya se vio en el ejemplo, que se
deben efectuar las sucesivas divisiones del número decimal
dado, por 2, hasta llegar a un cociente de valor 1. Las cifras
del número binario son, de izquierda a derecha, el
último cociente (1), seguido por los “restos”
de las divisiones tomados en forma “ascendente”. Sea:
81 (10) 81 / 2 = 40 1 40 / 2 = 20 0 20 / 2 = 10 0 10 / 2 = 5 1
5/2=2 1 2/2=1 0 1 ________ 81 (10) = 1011001 (2) Sistemas de
Numeración 40
? ? Sistema “Binario” ó en base 2 Pasaje de un
número binario a decimal: Teniendo en cuenta que las
sucesivas posiciones del binario “pesan” como las
potencias enteras del 2, estan valdrán : 1; 2; 4; 8; 16;
32; 64; 128; 256; 512; 1024; 2048; 4096; . . . Etc.; etc.
Además como los dígitos sólo pueden valer
“0” ó “1”, se sumarán, de
derecha a izquierda, solamente aquellas potencias que coincidan
con los “1” del binario propuesto: Ejemplos: Sistemas
de Numeración 10100011 (2) = 1 + 2 + 32 + 128 = 163 (10)
11100 (2) = 4 + 8 + 16 = 28 (10) 11111 (2) = 1 + 2 + 4 +8 + 16 =
31 (10) 41
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LA VERSIÓN DE DESCARGA