1. Un poco de Historia del control Ejemplos históricos: –
La idea de que un reloj de agua pudiera realizar una
función automática se le ocurre a Platón.
Los alumnos de Platón tenían ciertas dificultades
para levantarse por la mañana, lo cual era fuente de
discusiones todos los días. Por lo cual Platón
diseña un sistema de alarma basándose en una
Clepsydra. En el vaso de la Clepsydra se ubicó un flotador
encima del cual se depositan unas bolas. Durante la noche se
llenaba el vaso y al amanecer alcanzaba su máximo nivel y
las bolas caían sobre un plato de cobre. Y así los
alumnos terminarían por levantarse. el caudal suministrado
al depósito b es constante por lo cual este tardará
en llenarse un tiempo determinado y fijo al final del cual las
bolas caen sobre la bandeja ejerciendo la función de
alarma. http://automata.cps.unizar.es/animhistoria/22.html
Otro ejemplo es el reloj de agua diseñado en el siglo III
por H. Diels: El agua hace subir el émbolo que va
señalando las horas, para ello se necesita un flujo
constante. http://automata.cps.unizar.es/animhistoria/11.html
Hasta el siglo XVII se desarrollan innumerables mecanismos
basados en el control como dispensadores de grano y vino o
reguladores para molinos de viento.
La Revolución Industrial: – Los mecanismos reguladores se
desarrollan en la Revolución Industrial. Gracias, en gran
parte a la introducción de la máquina de vapor en
sus vidas. Esto, conllevó que se necesitasen distintos
artilugios para controlar sus aplicaciones. En 1778, James Watt
diseñó controlador centrífugo para la
velocidad de su máquina de vapor, cuyo tipo es aún
usado con pequeñas modificaciones.
http://automata.cps.unizar.es/animhistoria/4444.html Aunque ya
existiesen sistemas de control aún no existía una
Teoría de Control Automático, dado que ni siquiera
existían las herramientas matemáticas necesarias
para ello.
El desarrollo teórico: Al mismo tiempo que Watt se
dedicaba a perfeccionar su regulador de bolas, Laplace y Fourier
(basandose en la trasformada Z) desarrollaban los métodos
de Transformación Matemática, tan utilizados y
asumidos en la Ingeniería Eléctrica y por supuesto
en la actual Ingeniería de Control. (explicaremos algo de
ellos más adelante) En el siguiente medio siglo se
produjeron significativas contribuciones en el campo del control
automático. Durante las dos décadas anteriores a la
II Guerra Mundial ocurrieron importantes desarrollos en la
aviación y en la electrónica. Nyquist
realizó su clásico trabajo sobre la estabilidad de
sistemas lineales retroalimentados, aunque enfocado a redes de
comunicaciones, siendo durante la II Guerra Mundial que la gente
interesada en control automático descubrió de nuevo
sus ideas. El trabajo de Hazen, fue el primer intento de
desarrollar alguna teoría sobre servomecanismos. La
palabra servo fue entonces usada por primera vez, y es derivada
de la palabra latina “servus” que significa esclavo,
la cual expresa justamente la función de aquellos
mecanismos de control que fueron diseñados para mover los
timones de barcos y aviones, obedeciendo fielmente las
órdenes enviadas por los pilotos de las naves.
Las guerras mundiales: Durante las guerras mundiales el
desarrollo de los sistemas de control realimentados se
transformaron en una forma de supervivencia. Se exigió el
desarrollo de una serie de nuevos componentes de control y de una
teoría de control completamente nueva, necesaria por los
complejos sistemas propuestos,.Debido al secreto militar, las
publicaciones fueron muy limitadas y solo hasta 1945 se
conocieron los adelantos que se habían logrado. En la
cuarta y quinta décadas del siglo pasado fueron
introducidos el concepto de función de transferencia de
frecuencia y el uso de cálculo de transformaciones.
Desarrollos durante las guerras: Control de barcos. Entre los
primeros desarrollos estaba el diseño de sensores para
controlar sistemas a lazo cerrado. En el año 1910
E.A.Sperry inventó el giróscopo que utilizó
en la estabilización y dirección de barcos y
más tarde en control e aviones. Desarrollo de armas y
puntería para cañones. Un problema muy importante
durante el periodo de las dos guerras fue lograr exactitud en la
puntería de cañones hacia barcos y aviones en
movimiento. Con la publicación de “Teoría de
los Servomecanismos” por parte de H.L.Házen en 1934,
se inició el uso de la teoría matemática del
control en la solución los problemas planteados. Los
visores de bombardeo Norden desarrollados durante la Segunda
Guerra Mundial, utilizaban sincrorepetidores para relevar la
información sobre altitud y velocidad del avión, y
perturbaciones debidas al viento sobre los visores de bombardeo,
a los fines de asegurar un despacho exacto del sistema de
armas.
Era del control moderno: De 1945 a 1950 se consolidaron los
avances realizados durante la guerra, se publicaron los primeros
libros sobre servomecanismos y algunas universidades del mundo
empezaron a ofrecer cursos sobre control automático. La
teoría desarrollada hasta fines de los años
cuarenta estaba relacionada con sistemas lineales continuos. El
análisis y la síntesis de sistemas de control eran
basados en el método de tanteos. Alrededor de 1950, Evans
introdujo su llamado método del lugar de raíces.
Más o menos al mismo tiempo se desarrollaron los
computadores digitales, cambiando el interés de los
sistemas continuos a los sistemas discretos. Desde 1955 a la
fecha, la ingeniería de control ha experimentado un
desarrollo sin precedentes. Los computadores analógico y
digital han alcanzando grandes niveles de perfeccionamiento y su
disponibilidad es prácticamente universal. La
mayoría de las universidades del mundo han desarrollado
excelentes programas de ingeniería de control y
ésta es una de las más populares áreas de
investigación. Se han generado nuevas formas de control y
se tiende a la optimización de los sistemas.
2. Algo de teoria: Transformada de Laplace: La Transformada de
Laplace de una función f(t) definida (en
matemáticas y, en particular, en análisis
funcional) para todos los números reales t = 0 es la
función F(s), definida por: siempre y cuando la integral
esté definida. La Transformada de Laplace cumple una serie
de propiedades: Linealidad Potencia n-ésima
Seno: Coseno: Seno hiperbólico: Coseno hiperbólico:
Logaritmo neperiano: Raiz n-ésima: Derivación
Integración
A continuación se presenta una tabla con las
transformadas-antitransformadas mas comunes Pierre-Simon Laplace
Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la
probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él
decía que la probabilidad era de (d + 1) / (d + 2), donde
d es el número de días que el sol ha salido en el
pasado. Laplace decía que esta fórmula, que era
conocida como la Regla de Sucesión de Laplace,
podía aplicarse en todos los casos donde no sabemos nada,
o donde lo que conocíamos fue cambiado por lo que no.
Aún es usada como un estimador de la probabilidad de un
evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos
muy pocas muestras de él.
Transformada Z: De forma alternativa, en los casos en que x[n]
está definida únicamente para n = 0, la
transformada Z unilateral de define como En el procesamiento de
señales, se usa esta definición cuando la
señal es causal. Por eso un ejemplo de la TZ es la
función de generación de probabilidades, donde x[n]
es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el
instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s),
ya que s = z-1. Las propiedades de las transformadas Z son
útiles en la teoría de la probabilidad. La
Transformada Z inversa se define donde es un círculo
cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia
(ROC). El contorno, , debe contener todos los polos de . Un caso
especial y simple de esta integral circular es que cuando es el
círculo unidad obtenemos la transformada inversa de tiempo
discreto de Fourier: _ La TZ con un rango finito de n y un
número finito de z separadas de forma uniforme puede ser
procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La
transformada discreta de Fourier es un caso especial de la TZ, y
se obtiene limitando z para que coincida con el círculo
unidad.
3. Ejemplos de Control Resolución de circuitos
eléctricos: Suponemos que v(t) es una función
escalón:
Control de velocidad: Teniendo el sistema abajo descrito, Por
medio de las ecuaciones de Newton hacemos suma de fuerzas en la
masa: (Renombramos la v como y para no llevar a
confusión)
A través de las propiedades y de las tablas de
transformadas de Laplace , convertimos el sistema de ecuaciones
diferenciales en un sistema geométrico de mayor sencillez:
Sustituyendo ahora V(s) por Y(s) obtenemos: Despejando por
último las variables conseguimos una fórmula mucho
mas sencilla de calcular: La teoría de control
comenzaría a trabajar ahora ya que podemos introducir el
valor o tipo de función deseado de U(s) y obtener la
función Y(s) necesaria para cumplir esa condición.
Viceversa también funciona…¡Por
Supuesto!
EJEMPLO NUMÉRICO: m = 1000kg b = 50Nsec/m u = 500N Se
conoce que las condiciones iniciales son 0 U = 500, entonces (por
la teoría de Laplace) : U(s) = 500/s Y la función
Y(s) quedaría,tomando como 0 los valores iniciales: Y(S) =
500/s(1000s+50) Reduciendo la ecuación a dos funciones
transformadas de Laplace, tenemos: Y(s) = 10/s – 10/(s+0.5)
Y aplicando las anti-transformadas obtenemos: Y(t) = 10-10e -0.5
t Esta es la función de Y(t) para que U(t) pueda ser de
500 N
Control de Rumbo: Primero analizamos el sistema dado con las
fuerzas y ángulos: Para simplificar el problema suponemos
que el avión viaja a altitud y velocidad constante, esto
es algo irreal por supuesto, pero nos ayuda a simplificar el
problema en este ejemplo.
Entonces aplicando las ecuaciones se obtiene: Donde los
parámetros que aparecen son los siguientes:
Para facilitar el manejo de las ecuaciones vamos a introducir
datos de los parámetros Obteniendo: Dejando solo las
funciones dependientes del tiempo. Aplicando ahora la
Transformada de Laplace al sistema, tomando las condiciones
iniciales iguales a 0, nos encontramos con: Este sistema es mucho
mas sencillo de resolver que el de arriba, por lo tanto aplicar
Laplace ha sido una gran idea.
Si nuestro objetivo era encontrar la ecuación respecto al
tiempo que debe de cumplir el ángulo de inclinación
para conseguir un ángulo de deflación dado.
Operando con el sistema podemos llegar a conseguir: Una vez
obtenida esta ecuación es muy sencillo conocer el
resultado buscado, simplemente introducimos la función
transformada de ángulo deseado y despejamos la otra
función. Y por anti-transformadas…YA
ESTÁ,PROBLEMA RESUELTO!! EJEMPLO NUMÉRICO: Queremos
conocer que función debe de cumplir el ángulo theta
a través del tiempo para que el ángulo de
deflación cumpla: (t) = t Por lo que su función
transformada es: (s) = 1/s 2
Llevando esto a la ecuación que teníamos de antes y
separándola en distintos sumandos para obtener formas de
transformadas de Laplace y aplicar entonces las
anti-transformadas, conseguimos está sencillez: Más
ejemplos de aplicación de Laplace a la teoría de
control en: http://www.engin.umich.edu/group/ctm (ejemplos de
sistemas de control usando Laplace) ó
http://chem.engr.utc.edu/Webres/Stations/controlslab.html
(experimentos con sistemas de control)
4. Aplicaciones actuales del control Grandes estructuras
espaciales. Es frecuente escuchar que el despliegue de una antena
o telescopio en el espacio ha ocasionado algunos problemas
técnicos, algunos de ellos sumamente costosos o incluso
que han inutilizado completamente la estructura. Estos
despliegues y acoplamientos de componentes deben basarse en el
control. Robótica. Existe la importancia de desarrollar
métodos eficientes de visión artificial, por
ejemplo. Pero la Teoría del Control está
también en el centro de gravedad en este campo. El
desarrollo de la robótica depende de manera fundamental de
la eficiencia y robustez de los algoritmos computacionales para
el control de los robots. No resulta difícil imaginar la
complejidad del proceso de control que hace que un robot camine y
que lo haga de manera estable o sea capaz de coger con sus
"manos" un objeto.
Control de la combustión. Se trata de un tema relevante en
la industria aeronáutica y aeroespacial en las que se hace
imprescindible controlar las inestabilidades en la combustion
que, normalmente, viene acompañada de perturbaciones
acústicas considerables. En el pasado se ha realizado el
énfasis en los aspectos del diseño, modificando la
geometría del sistema para interferir la
interacción, combustión-acústica o
incorporando elementos disipativos. El control activo de la
combustión mediante mecanismos térmicos o
acústicos, es un tema en el que casi todo está por
explorar Control de Fluidos. Se trata de un problema con mucha
importancia en aeronáutica puesto que la dinámica
estructural del avión (en sus alas, por ejemplo)
está acoplada con el flujo del aire en su entorno. Aunque
en los aviones convencionales se puede en gran medida ignorar
este acoplamiento, es probable que los aviones del futuro tengan
que incorporar mecanismos de control para evitar la
aparición de turbulencias en torno a las alas. Desde un
punto de vista matemático casi todo está por hacer,
tanto en lo que respecta a la modelización, al controly a
los aspectos computacionales. Control de Plasma. La
obtención de reacciones de fusión controladas es
uno de los mayores retos para resolver los problemas
energéticos del planeta. En la actualidad, una de las
vías más prometedoras es el de los tokomaks:
máquinas en las que se confina el plasma mediante
mecanismos electromagnéticos. El problema fundamental es
mantener el plasma, de muy alta densidad, a una temperatura muy
alta en la configuración deseada durante intervalos de
tiempo prolongados a pesar de sus inestabilidades. Esto se
realiza a través de sensores mediante los cuales se
obtiene la información necesaria para efectuar cambios
rápidos y precisos de las corrientes que han de compensar
las perturbaciones del plasma. Economía. Las
Matemáticas están jugando hoy en día un
papel activo en el mundo de las finanzas. En efecto, la
utilización de modelos matemáticos para predecir
las fluctuaciones de los mercados financieros es algo
común (mucha gente sueña con predecir los
movimientos en Bolsa y poder volverse un “poco”
rico). Se trata frecuentemente de modelos estocásticos en
los que la Teoría del Control ya existente puede ser de
gran utilidad a la hora de diseñar estrategias
óptimas de inversión y consumo.