1 Señales y sistemas Señales y clasificación
Sistemas y clasificación Respuesta al impulso de los
sistemas
2 Señales Se tratarán 4 tipos de señales:
Analógicas, x(t): amplitud y tiempo continuos.
Muestreadas,X[n], tiempo discreto , amplitud continua.
Cuantizada,Xq[t], tiempo continua amplitud discreta. Digital,
-xq[n], amplitud y tiempo discreto.
3 Clasificación de las señales Clasificación
de las señales según su duración Causales:
Son 0 para t<0. Se definen sólo para el eje positivo de
t. Anticausales: Son 0 para t>0. Se definen sólo para
el eje negativo de t. No causales: Se definen para ambos ejes de
t. Continuas: Se definen para todo tiempo t. Periódicas:
xp(t) = xp(t±nT), donde T es el periodo y n es un entero.
Basada en la simetría Simetría Par: x(t) = x(-t)
Simetría Impar: x(t) = -x(-t) En energía y potencia
(impulsos limitados en tiempo y señales periódicas)
Energía de una señal : Potencia de una señal
: Una señal se dice que es de energía si Ex es
finito, lo que implica que Px es 0. Ej. Pulsos limitados en el
tiempo. Una señal se dice que es de potencia si Px es
finito, lo que implica que Ex es infinito. Ej. Una señal
periódica.
4 Algunas Señales
5 Algunas señales: (cont)
6 Operaciones con señales: Desplazamiento en el tiempo:
x(t-2), desp. A la derecha Compresión en el tiempo: x(2t)
Dilatación en el tiempo: x(t/2) Reflexión:
x(-t)
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8 Sistema Un sistema físico es un conjunto de dispositivos
conectados entre sí, cuyo funcionamiento está
sujeto a leyes físicas. Para nosotros un sistema es un
procesador de señales. Las señales a ser procesadas
son la exitación del sistema . La salida del sistema es
nuestra señal procesada. El análisis de sistemas
implica el estudio de la respuesta del sistema a entradas
conocidas. La síntesis de sistemas se realiza
especificando las salidas que deseamos para una entradas dadas y
estudiando que sistema es el más adecuado . El sistema se
representa mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la
salida y(t) y la entrada x(t) mediante constantes,
parámetros y variables independientes.
9 Sistemas: Clasificación Los sistemas se clasifican en :
* Lineales: los coeficientes no dependen de x o y, no hay
términos constantes. * No lineales: los coeficientes
dependen de x o y, hay términos constantes. * Invariante
en el tiempo: Los coeficientes no dependen de t. * Variante en el
tiempo: Los coeficientes son funciones de t.
10 A los sistemas lineales se les puede aplicar el principio de
superposición. Si x(t)=x1(t)+x2(t) -> y(t)= y1(t)+y2(t)
x(t)=K x1(t) -> y(t)=K. y1(t) Un sistema es invariante en el
tiempo cuando la respuesta y(t) depende sólo de la forma
de la entrada x(t) y no del tiempo en que se aplica.
Matemáticamente: Si L{x()t}=y(t) -> L{x(t-t0)}=y(t-t0)
L{} indica el sistema físico en cuestión.
11 Para Finalizar sistema Usaremos sistemas LTI: lineal e
invariante en el tiempo. La respuesta al impulso del sistema se
representa con h(t) y es la respuesta a la exitación delta
de dirac y nos proporciona la base para estudiar cualquier tipo
de entrada. Es la principal herramienta para el estudio de un
sistema.
12 Convolución Podremos calcular la respuesta y(t) de un
sistema a una entrada cualquiera x(t). Condiciones para llevarla
a cabo: Sistema LTI Respuesta al impulso del sistema h(t)
Basándonos en el principio de superposición y en
que el sistema es invariante en el tiempo:
13 Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse
como un tren infinito de impulsos. Para ello, dividimos x(t) en
tiras rectangulares de anchura ts y altura x(k ts). Cada tira la
reemplazamos por un impulso cuya amplitud es el área de la
tira : ts . x(k.ts) d(t –Kts) La función xs(t) que
aproxima x(t) es : x(t) es el límite cuando ts -> d? ,
kts->? : Y aplicando el principio de
superposición:
14 Conclusiones Convolución Mediante convolución
hemos sido capaces de determinar la respuesta del sistema a una
señal de entrada a partir de la respuesta del sistema a
una entrada impulso. La función h(t) se define para
t>=0 y decrece cuando t->00, para la mayoría de los
sistemas físicos. Por tanto, La respuesta en t0 depende de
los valores actual y pasados de la entrada y de la respuesta al
impulso. Los valores más recientes de x(t) son
multiplicados por sus correspondientes más antiguos (y
más grandes) valores de h(t).
15 Propiedades de la convolución Propiedades (se supone
que x(t)*h(t)=y(t)):
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Ejemplo de uso de la autocorrelación: Radar.
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19
20 En la práctica se trabaja con secuencias de longitud
finita. Para hacer la convolución, una de las secuencias
se refleja y se desplaza sucesivamente. Veremos algunos
métodos para calcular la convolución a partir de
dos secuencias.
21 Convolución Discreta Propiedades sobre la
duración de la convolución discreta. El
índice del comienzo de la convolución es la suma de
los índices de comienzo de las respectivas señales.
Si las dos señales comienzan en n=n0 y n=n1, la
convolución comienza en n=n0+n1. Para dos secuencias de
duración M y N, su convolución se extiende durante
M+N-1 muestreos. Propiedades de la convolución discreta
(x[n]*h[n]=y[n]) Formas de calcular la convolucion
discreta:
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24 Correlación discreta : Se definen de igual manera que
en el caso continuo, así como la
autocorrelación.
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26 Series y Transformada de Fourier Las series de fourier
describen señales periódicas como una
combinación de señales armónicas
(sinusoides). Se puede analizar una señal periódica
en términos de su contenido frecuencial o espectro.
Dualidad entre tiempo y frecuencia. Forma trigonométrica
de las series de fourier: se pretende describir una
función periódica x(t) de período T, frec
fundamental f=1/T ,w0=2*Pi*f0
27 En forma exponencial: Cálculo de los coeficientes
Relación de Parseval La potencia contenida en una
señal puede evaluarse a partir de los coeficientes de su
correspondiente serie de Fourier. Espectro de señales
periódicas : Los coeficientes Xs[k] son los coeficientes
espectrales de la señal xp(t). La gráfica de esos
coeficientes en función del índice armónico
k ó de las frecuencias kw0, se denomina espectro. Hay dos
tipos de gráficos, uno de magnitud con los coeficientes
|Xs[k]| y otro de la fase de Xs[k]. La función |Xs[k]|
así como la fase de Xs[k] son funciones discretas de la
frecuencia. Es importante saber cuantos armónicos
serán necesarios para reconstruir una señal dada.
Para ello utilizaremos la relación de Parseval.
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29 Efecto Gibbs Para señales discontinuas, su
reconstruccón a partir de las series de Fourier produce el
llamado efecto Gibbs, que consiste en la aparición de un
pico de del 9% en el punto de discontinuidad . Aun se tiene este
efecto cuando se utilicen gran cantidad de armónicos para
la reconstrucción. Al querer aproximar la función
periódica que tiene infinitos armónicos hay que
truncar la función hasta el armónico N -> se
produce este efecto. Para eliminarlo se usan las llamadas
ventanas espectrales que suavizan la reconstrucción de la
función.
30 Transformada de Fourier Para ampliar el concepto de series de
Fourier a señales no periódicas se puede visualizar
una señal no periódica como una señal
continua de período infinito . El espaciado entre
frecuencias se aprox. a cero y es por lo tanto una función
continua La señal pasa a ser de potencia a señal de
energía. Los coeficientes Xs[k] son cero. Ya no es un
indicador del contenido espectral de la señal. Se define
la Transformada de Fourier de x(t) como Relación entre
series y transformada de Fourier X(w) es la función
envolvente de Xs[k] Si muestreamos X(w) a intervalos f0. la
función resultante es el espectro de una señal
periódica de período T0=1/f0
31 Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se corresponde
con señales periódicas en el dominio temporal. La
transformada inversa de Fourier de X(w)
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33 Limitaciones de la Transformada de Fourier El sistema debe
tener condiciones iniciales cero. Entradas que no son
señales de energía requieren el uso de impulsos.
Por ello se extiende el concepto de la Transformada de Fourier a
la Transformada de Laplace. Transformada de Laplace La cantidad
compleja s= s+j w. De esta forma se generaliza el concepto de
frecuencia en la Transformada de Fourier. Se hace notar que el
límite inferior de la integral es 0, lo cual proporciona
una misma Transformada para señales causales ya que x(t) y
x(t)u(t) son iguales. La Transformada de Laplace existe si la
integral que la define es finita. Para ello se necesita que los
valores de s sean unos concretos, lo que define una región
de convergencia de la Transformada de Laplace. Con la
Transformada de Laplace se generaliza el concepto de
función de Transferencia de un sistema a aquellos cuyas
condiciones iniciales son no nulas. De igual manera que en la
Transformada de Fourier, podemos obtener la respuesta de un
sistema a un señal de entrada x(t) a partir sus
Transformadas de Laplace: Donde H(s) es la función de
transferencia del sistema.
34 Muestreo y Cuantización El muestreo digital de una
señal analógica trae consigo una
discretización tanto en el dominio temporal como en el de
la amplitud. Para describir matemáticamente el muestreo
nos basaremos en el muestreo ideal. Consiste en una
función que toma los valores de la señal Xc(t) en
los instantes de muestreo y cero en los otros puntos. Donde ts es
el período de muestreo y x(t) es la función de
interpolación. El muestreo trae aparejado pérdida
de información de la señal original. El teorema del
muestreo establece en que condiciones se debe muestrear para que
no se nos escapen los eventos de la señal original que son
importantes para nuestro posterior desarrollo con la
señal.
35 Concepto de discretización de la señalTiempo
discreto y amplitud discreta
36 Teorema del muestreo Una señal Xc(t) con un espectro
limitado a la frecuencia Fb ( |f|<=Fb)puede ser muestreada sin
pérdida de información si la frecuencia de muestreo
fs supera la cantidad 2Fb, es decir fs>=2Fb. De no muestrearse
al menos a esa frecuencia tiene lugar el fenómeno de
”Aliasing” .
Fb/Fs<0.5
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39 Es decir,el espectro de la señal muestreada se compone
de una función de período 1/t, replicándose
en cada período el espectro de la señal original.
En la sig. Fig. se observa el fenómeno:
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