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Tratamiento digital de señales I




Enviado por Pablo Turmero



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    1 Señales y sistemas Señales y clasificación
    Sistemas y clasificación Respuesta al impulso de los
    sistemas

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    2 Señales Se tratarán 4 tipos de señales:
    Analógicas, x(t): amplitud y tiempo continuos.
    Muestreadas,X[n], tiempo discreto , amplitud continua.
    Cuantizada,Xq[t], tiempo continua amplitud discreta. Digital,
    -xq[n], amplitud y tiempo discreto.

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    3 Clasificación de las señales Clasificación
    de las señales según su duración Causales:
    Son 0 para t<0. Se definen sólo para el eje positivo de
    t. Anticausales: Son 0 para t>0. Se definen sólo para
    el eje negativo de t. No causales: Se definen para ambos ejes de
    t. Continuas: Se definen para todo tiempo t. Periódicas:
    xp(t) = xp(t±nT), donde T es el periodo y n es un entero.
    Basada en la simetría Simetría Par: x(t) = x(-t)
    Simetría Impar: x(t) = -x(-t) En energía y potencia
    (impulsos limitados en tiempo y señales periódicas)
    Energía de una señal : Potencia de una señal
    : Una señal se dice que es de energía si Ex es
    finito, lo que implica que Px es 0. Ej. Pulsos limitados en el
    tiempo. Una señal se dice que es de potencia si Px es
    finito, lo que implica que Ex es infinito. Ej. Una señal
    periódica.

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    4 Algunas Señales

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    5 Algunas señales: (cont)

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    6 Operaciones con señales: Desplazamiento en el tiempo:
    x(t-2), desp. A la derecha Compresión en el tiempo: x(2t)
    Dilatación en el tiempo: x(t/2) Reflexión:
    x(-t)

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    8 Sistema Un sistema físico es un conjunto de dispositivos
    conectados entre sí, cuyo funcionamiento está
    sujeto a leyes físicas. Para nosotros un sistema es un
    procesador de señales. Las señales a ser procesadas
    son la exitación del sistema . La salida del sistema es
    nuestra señal procesada. El análisis de sistemas
    implica el estudio de la respuesta del sistema a entradas
    conocidas. La síntesis de sistemas se realiza
    especificando las salidas que deseamos para una entradas dadas y
    estudiando que sistema es el más adecuado . El sistema se
    representa mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la
    salida y(t) y la entrada x(t) mediante constantes,
    parámetros y variables independientes.

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    9 Sistemas: Clasificación Los sistemas se clasifican en :
    * Lineales: los coeficientes no dependen de x o y, no hay
    términos constantes. * No lineales: los coeficientes
    dependen de x o y, hay términos constantes. * Invariante
    en el tiempo: Los coeficientes no dependen de t. * Variante en el
    tiempo: Los coeficientes son funciones de t.

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    10 A los sistemas lineales se les puede aplicar el principio de
    superposición. Si x(t)=x1(t)+x2(t) -> y(t)= y1(t)+y2(t)
    x(t)=K x1(t) -> y(t)=K. y1(t) Un sistema es invariante en el
    tiempo cuando la respuesta y(t) depende sólo de la forma
    de la entrada x(t) y no del tiempo en que se aplica.
    Matemáticamente: Si L{x()t}=y(t) -> L{x(t-t0)}=y(t-t0)
    L{} indica el sistema físico en cuestión.

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    11 Para Finalizar sistema Usaremos sistemas LTI: lineal e
    invariante en el tiempo. La respuesta al impulso del sistema se
    representa con h(t) y es la respuesta a la exitación delta
    de dirac y nos proporciona la base para estudiar cualquier tipo
    de entrada. Es la principal herramienta para el estudio de un
    sistema.

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    12 Convolución Podremos calcular la respuesta y(t) de un
    sistema a una entrada cualquiera x(t). Condiciones para llevarla
    a cabo: Sistema LTI Respuesta al impulso del sistema h(t)
    Basándonos en el principio de superposición y en
    que el sistema es invariante en el tiempo:

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    13 Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse
    como un tren infinito de impulsos. Para ello, dividimos x(t) en
    tiras rectangulares de anchura ts y altura x(k ts). Cada tira la
    reemplazamos por un impulso cuya amplitud es el área de la
    tira : ts . x(k.ts) d(t –Kts) La función xs(t) que
    aproxima x(t) es : x(t) es el límite cuando ts -> d? ,
    kts->? : Y aplicando el principio de
    superposición:

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    14 Conclusiones Convolución Mediante convolución
    hemos sido capaces de determinar la respuesta del sistema a una
    señal de entrada a partir de la respuesta del sistema a
    una entrada impulso. La función h(t) se define para
    t>=0 y decrece cuando t->00, para la mayoría de los
    sistemas físicos. Por tanto, La respuesta en t0 depende de
    los valores actual y pasados de la entrada y de la respuesta al
    impulso. Los valores más recientes de x(t) son
    multiplicados por sus correspondientes más antiguos (y
    más grandes) valores de h(t).

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    15 Propiedades de la convolución Propiedades (se supone
    que x(t)*h(t)=y(t)):

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    Ejemplo de uso de la autocorrelación: Radar.

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    20 En la práctica se trabaja con secuencias de longitud
    finita. Para hacer la convolución, una de las secuencias
    se refleja y se desplaza sucesivamente. Veremos algunos
    métodos para calcular la convolución a partir de
    dos secuencias.

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    21 Convolución Discreta Propiedades sobre la
    duración de la convolución discreta. El
    índice del comienzo de la convolución es la suma de
    los índices de comienzo de las respectivas señales.
    Si las dos señales comienzan en n=n0 y n=n1, la
    convolución comienza en n=n0+n1. Para dos secuencias de
    duración M y N, su convolución se extiende durante
    M+N-1 muestreos. Propiedades de la convolución discreta
    (x[n]*h[n]=y[n]) Formas de calcular la convolucion
    discreta:

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    24 Correlación discreta : Se definen de igual manera que
    en el caso continuo, así como la
    autocorrelación.

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    26 Series y Transformada de Fourier Las series de fourier
    describen señales periódicas como una
    combinación de señales armónicas
    (sinusoides). Se puede analizar una señal periódica
    en términos de su contenido frecuencial o espectro.
    Dualidad entre tiempo y frecuencia. Forma trigonométrica
    de las series de fourier: se pretende describir una
    función periódica x(t) de período T, frec
    fundamental f=1/T ,w0=2*Pi*f0

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    27 En forma exponencial: Cálculo de los coeficientes
    Relación de Parseval La potencia contenida en una
    señal puede evaluarse a partir de los coeficientes de su
    correspondiente serie de Fourier. Espectro de señales
    periódicas : Los coeficientes Xs[k] son los coeficientes
    espectrales de la señal xp(t). La gráfica de esos
    coeficientes en función del índice armónico
    k ó de las frecuencias kw0, se denomina espectro. Hay dos
    tipos de gráficos, uno de magnitud con los coeficientes
    |Xs[k]| y otro de la fase de Xs[k]. La función |Xs[k]|
    así como la fase de Xs[k] son funciones discretas de la
    frecuencia. Es importante saber cuantos armónicos
    serán necesarios para reconstruir una señal dada.
    Para ello utilizaremos la relación de Parseval.

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    29 Efecto Gibbs Para señales discontinuas, su
    reconstruccón a partir de las series de Fourier produce el
    llamado efecto Gibbs, que consiste en la aparición de un
    pico de del 9% en el punto de discontinuidad . Aun se tiene este
    efecto cuando se utilicen gran cantidad de armónicos para
    la reconstrucción. Al querer aproximar la función
    periódica que tiene infinitos armónicos hay que
    truncar la función hasta el armónico N -> se
    produce este efecto. Para eliminarlo se usan las llamadas
    ventanas espectrales que suavizan la reconstrucción de la
    función.

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    30 Transformada de Fourier Para ampliar el concepto de series de
    Fourier a señales no periódicas se puede visualizar
    una señal no periódica como una señal
    continua de período infinito . El espaciado entre
    frecuencias se aprox. a cero y es por lo tanto una función
    continua La señal pasa a ser de potencia a señal de
    energía. Los coeficientes Xs[k] son cero. Ya no es un
    indicador del contenido espectral de la señal. Se define
    la Transformada de Fourier de x(t) como Relación entre
    series y transformada de Fourier X(w) es la función
    envolvente de Xs[k] Si muestreamos X(w) a intervalos f0. la
    función resultante es el espectro de una señal
    periódica de período T0=1/f0

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    31 Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se corresponde
    con señales periódicas en el dominio temporal. La
    transformada inversa de Fourier de X(w)

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    33 Limitaciones de la Transformada de Fourier El sistema debe
    tener condiciones iniciales cero. Entradas que no son
    señales de energía requieren el uso de impulsos.
    Por ello se extiende el concepto de la Transformada de Fourier a
    la Transformada de Laplace. Transformada de Laplace La cantidad
    compleja s= s+j w. De esta forma se generaliza el concepto de
    frecuencia en la Transformada de Fourier. Se hace notar que el
    límite inferior de la integral es 0, lo cual proporciona
    una misma Transformada para señales causales ya que x(t) y
    x(t)u(t) son iguales. La Transformada de Laplace existe si la
    integral que la define es finita. Para ello se necesita que los
    valores de s sean unos concretos, lo que define una región
    de convergencia de la Transformada de Laplace. Con la
    Transformada de Laplace se generaliza el concepto de
    función de Transferencia de un sistema a aquellos cuyas
    condiciones iniciales son no nulas. De igual manera que en la
    Transformada de Fourier, podemos obtener la respuesta de un
    sistema a un señal de entrada x(t) a partir sus
    Transformadas de Laplace: Donde H(s) es la función de
    transferencia del sistema.

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    34 Muestreo y Cuantización El muestreo digital de una
    señal analógica trae consigo una
    discretización tanto en el dominio temporal como en el de
    la amplitud. Para describir matemáticamente el muestreo
    nos basaremos en el muestreo ideal. Consiste en una
    función que toma los valores de la señal Xc(t) en
    los instantes de muestreo y cero en los otros puntos. Donde ts es
    el período de muestreo y x(t) es la función de
    interpolación. El muestreo trae aparejado pérdida
    de información de la señal original. El teorema del
    muestreo establece en que condiciones se debe muestrear para que
    no se nos escapen los eventos de la señal original que son
    importantes para nuestro posterior desarrollo con la
    señal.

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    35 Concepto de discretización de la señalTiempo
    discreto y amplitud discreta

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    36 Teorema del muestreo Una señal Xc(t) con un espectro
    limitado a la frecuencia Fb ( |f|<=Fb)puede ser muestreada sin
    pérdida de información si la frecuencia de muestreo
    fs supera la cantidad 2Fb, es decir fs>=2Fb. De no muestrearse
    al menos a esa frecuencia tiene lugar el fenómeno de
    ”Aliasing” .

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    Fb/Fs<0.5

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    39 Es decir,el espectro de la señal muestreada se compone
    de una función de período 1/t, replicándose
    en cada período el espectro de la señal original.
    En la sig. Fig. se observa el fenómeno:

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