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Funciones matemáticas en la forma y=f(x)




Enviado por Arturo Gustavo Tajani



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    Todos sabemos que el estudio de “Matemática
    implica conocer y familiarizarse con enunciados, reglas,
    propiedades, conceptos, teoremas, procedimientos y muchas cosas
    mas. Pero resulta interesante destacar que toda la estructura de
    esta ciencia, desde la mas elemental
    “aritmética”, hasta los mas complejos
    desarrollos del “análisis matemático
    se basan en dos conceptos (que se consideran fundamentales): El
    primero es la noción de “NÚMERO”; el
    segundo es el concepto de “FUNCIÓN”. Se
    podría decir que éstos son como las dos
    “piernas” o “columnas” sobre las que se
    asientan la totalidad de los capítulos en que puede
    dividirse la compleja estructura que forma la
    “Matemática actual”. Este trabajo se refiere,
    con cierto detalle, al concepto de “FUNCIÓN” y
    a las diferentes e infinitas formas que pueden adoptar en general
    “las FUNCIONES”. Funciones matemáticas

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    3 Funciones; conceptos básicos: En el mundo que nos rodea
    existen muchos ejemplos sencillos de la noción de
    función . En efecto supongamos un simple viaje en taxi.
    Claramente en este caso hay dos variables que son, una la
    “distancia a recorrer (d)” y la otra el “precio
    del viaje (p)”. Por supuesto que todos sabemos que a cada
    distancia “d” le corresponde un precio
    ”p” y solo uno. En este ejemplo las dos variables
    tienen una diferencia fundamental; mientras que la distancia
    “d” la impone el pasajero de acuerdo a su necesidad,
    el precio del viaje “p” lo suministra el sistema. La
    variable “d es independiente” pero la variable
    “p es dependiente” de la primera. Si aceptamos que la
    palabra “depende”, puede reemplazarse por la
    expresión “es función”, podemos decir
    que el precio del viaje “depende” o “es
    función “de la distancia recorrida. No hay
    ningún inconveniente en usar el siguiente simbolismo: p =
    f (d) y decir que “p” es función de
    “d”. Funciones matemáticas

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    4 Se puede generalizar lo anterior y definir
    “función” empleando un lenguaje sencillo, pero
    no demasiado riguroso. Se dice que una variable “y”
    es función de otra variable “x”, cuando entre
    ellas existe una expresión matemática tal que, a
    cada valor de “x” le hace corresponder un valor de
    “y” y sólo uno. y = f(x) Esta correspondencia
    “uno a uno” entre las variables se conoce como
    “unívoca”. La variable “x” se
    llama “variable independiente” o
    “argumento”, mientras que a la “y” se la
    conoce como “variable dependiente” o
    “función”. El conjunto de valores que pueden
    ser asignados a “x” se llama “Dominio D”
    o “conjunto de partida” mientras que se conoce como
    “Codominio CD” o “conjunto de llegada”,
    el que agrupa a los valores que puede tomar “y”.
    Dentro del codominio pueden existir elementos que no se
    correspondan con elementos del dominio; en ese caso se puede
    definir como “conjunto imagen” al que contiene solo
    aquellos valores que coincidan, por la función, con
    elementos del conjunto “x”. Funciones
    matemáticas

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    5 Destacamos que una función no es la expresión
    matemática o fórmula que relaciona a las variables,
    sino que es el conjunto de todos los pares ordenados ( ???? ;
    ???? ) que satisfacen a la expresión dada. No obstante,
    suele decirse que la fórmula define a la función,
    pero resulta indispensable expresar claramente el
    “dominio” de la misma. Varios son los métodos
    de representación de las funciones: 1° – Mediante
    diagramas de Venn 2° – Con una matriz de dos columnas en
    correspondencia con las variables x e y . 3° – Mediante un
    gráfico Cartesiano. Nos apoyaremos en un cuadro de valores
    o matriz, para lo cual, utilizando la expresión dada, se
    calcularán en cada caso los valores numéricos
    correspondientes a “y”, para cada valor
    numérico arbitrario de “x”. Si bien el
    número de puntos que se calculen es obviamente limitado,
    una razonable interpolación gráfica
    permitirá conocer la “forma” de la
    función llevando los pares a coincidir con los puntos de
    un “grafico Cartesiano”. Debemos considerar que las
    expresiones matemáticas que relacionan a las variables son
    “infinitas”. Se tratará de probar esta
    afirmación, pero para un estudio sistemático de las
    funciones las agruparemos en “familias” con
    características particulares. Funciones
    matemáticas

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    1. 6 Primera clasificación de las funciones
    matemáticas: Funciones Algebraicas Funciones
    Matemáticas Funciones Trascendentes Funciones Especiales
    Pero veremos una clasificación mas detallada: Funciones
    matemáticas

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    2. 7 Racional Entera Lineal o de 1° grado Cuadrática o
    de 2° grado Cúbica o de 3° grado Polinomio general
    grado “n” Funciones Algebraicas Racional Fraccionaria
    Hiperbólica Homográfica Fraccionaria General
    Irracional Funciones matemáticas

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    8 3. Funciones Trascendentes Exponencial Logarítmica
    Trigonométricas Hiperbólicas Creciente Decreciente
    Log. Decimales Log. Naturales Directas: Sen, Cos, Tg, Ctg, Sec y
    Cosec Inversas: arc.sen, arc.cos, etc. Directas Sh, Ch, Th.
    Inversas: arg.sh, arg.ch, etc. Funciones matemáticas

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    4. 9 Lineales Módulo Signo Parte Entera Mantisa Funciones
    Especiales Operaciones entre funciones. Suma, Resta, Producto y
    Cociente Compuesta o función de función.
    Paramétricas Definida por tramos Funciones
    matemáticas

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    5. 10 Algebraicas Racional Entera Racional Fraccionaria
    Irracional Exponencial Lineal o de 1° grado Cuadrática
    o de 2° grado Cúbica o de 3° grado Polinomio
    general grado “n” Hiperbólica
    Homográfica Fraccionaria General Creciente Decreciente
    Funciones Matemáticas Trascendentes Logarítmica
    Trigonométricas Log. Decimales Log. Naturales Directas:
    Sen, Cos, Tg, Ctg, Sec y Cosec Inversas: arc.sen, arc.cos, etc.
    Hiperbólicas Lineales Operaciones entre Directas Sh, Ch,
    Th. Inversas: arg.sh, arg.ch, etc. Módulo Signo Parte
    Entera Especiales funciones. Compuesta o función de
    función. Paramétricas Definida por tramos Funciones
    matemáticas Mantisa

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    11 Coordenadas Cartesianas Ortogonales y +y Eje de ordenadas
    P(x;y) 1° cuadrante 2° cuadrante a = ángulo de una
    recta -x 3° cuadrante x -y Funciones matemáticas
    Origen (0;0) 4° cuadrante +x Eje de abcisas

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    12 Funciones desde el comienzo 1. F. Lineal 2. F.
    Cuadrática 3. F. Cúbica 4. F. Polinomio gral. 5. F.
    Hiperbólica 6. F. Homográfica 7. F. Racional
    fraccionaria 8. F. Irracional 9. F Exponencial 10. F
    Logarítmica Elem. de Trigonometría 11. F.
    Trigonométricas 12. F. Trigonomét. Inversas 13. F.
    Hiperbólicas Trascen. 14. F. Hiperb. Inversas 15. F.
    Especiales lineales 16. Operaciones entre Func. 17. F. Compuesta
    o F de F. 18. F. Paramétricas 19. F. definidas por tramos
    Apéndice Funciones matemáticas

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    13 1 – Función de 1° grado o Función Lineal
    y=ax + b Funciones matemáticas

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    14 La primera función que se estudia es la llamada:
    Función lineal: y=ax + b El nombre de “lineal”
    es debido a que, como se verá, en todos los casos la
    representación cartesiana de esta función es una
    “línea recta” situada en algún lugar
    del plano. El dominio y el codominio, debido a su simpleza, se
    extiende a todos los números reales: R Como ejemplo
    tomemos la expresión: y=2x+3 Dándole a la variable
    “x” valores numéricos cualesquiera, se
    calculan los correspondientes valores de “y”. Luego
    se puede construir el siguiente “cuadro” o
    “tabla de valores”: X 1 2 3 -2 -3,5 0 Y 5 7 9 -1 4 3
    Cada par de valores (x;y) se puede representar en un
    gráfico cartesiano por un punto, haciéndole
    corresponder al mismo las coordenadas (x;y) en ese orden. Si se
    unen con un trazo continuo los puntos indicados, se verá
    que están alineados según una recta. Se pueden
    obtener por cálculo todos los pares (x;y) de valores que
    se deseen y los puntos que se grafiquen seguirán estando
    sobre la recta anterior. Los infinitos pares de valores (x;y)
    tienen una correspondencia biunívoca con los infinitos
    puntos de la recta. Por supuesto que, se puede trazar la recta
    correspondiente, calculando solo dos puntos cualesquiera (dos
    puntos determinan una recta). Funciones matemáticas

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    : 15 Y = 2 x + 3 Gráfico cartesiano Cuadro de valores
    Puntos aislados 10 9 Recta completa 10 9 X 1 2 3 -2 Y 5 7 9 -1 8
    7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 -3,5 4 -4 -3 -2 -1 0 -1 0 1 2 3 4
    -4 -3 -2 -1 0 -1 0 1 2 3 4 0 3 -2 -3 -4 -2 -3 -4 En lo que sigue,
    estudiaremos separadamente la influencia que tienen en la
    posición de la recta, los infinitos valores
    numéricos posibles para los parámetros
    “a” y “b” de la función lineal y =
    a x + b . Funciones matemáticas

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    8 6 4 2 16 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a
    < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x
    (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos
    varios valores menores que 1. 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2
    -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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    8 6 4 2 17 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a
    < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x
    (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos
    varios valores menores que 1. y = 0,1 x (azul) -10 -8 -6 -4 -2 0
    0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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    8 6 4 2 18 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a
    < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x
    (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos
    varios valores menores que 1. y = 0,1 x (azul) -10 -8 -6 -4 -2 0
    0 2 4 6 8 10 y = 0,3 x (rojo) Funciones matemáticas -2 -4
    -6 -8 -10

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    8 6 4 2 19 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a
    < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x
    (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos
    varios valores menores que 1. y = 0,1 x (azul) -10 -8 -6 -4 -2 0
    0 2 4 6 8 10 y = 0,3 x y = 0,5 x (rojo) (verde) Funciones
    matemáticas -2 -4 -6 -8 -10

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    8 6 4 2 20 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a
    < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x
    (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos
    varios valores menores que 1. y = 0,1 x (azul) -10 -8 -6 -4 -2 0
    0 2 4 6 8 10 y = 0,3 x y = 0,5 x Y = 0,8 x (rojo) (verde)
    (violeta) Funciones matemáticas -2 -4 -6 -8 -10

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    8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 21 Función lineal: y = a x + b ; para:
    0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y =
    1 x (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le
    asignamos varios valores menores que 1. y = 0,1 x (azul) -10 -8
    -6 -4 -2 0 0 2 4 6 8 10 y = 0,3 x y = 0,5 x Y = 0,8 x (rojo)
    (verde) (violeta) Funciones matemáticas -10 Si
    ”a” es menor que 1, el ángulo a aumenta desde
    0°, pero no sobrepasa los 45°

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    8 4 22 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8
    (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente
    “a”, le damos algunos valores mayores que 1 6
    Comenzamos con: y = 1 x (celeste) 2 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
    10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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    8 4 23 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8
    (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente
    “a”, le damos algunos valores mayores que 1 6
    Comenzamos con: y = 1 x (celeste) 2 y = 1,5 x (naranja) 0 -10 -8
    -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones
    matemáticas

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    8 4 24 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8
    (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente
    “a”, le damos algunos valores mayores que 1 6
    Comenzamos con: y = 1 x (celeste) 2 y = 1,5 x (naranja) 0 -10 -8
    -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y= 3x ( azul) -2 -4 -6 -8 -10 Funciones
    matemáticas

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    8 4 25 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8
    (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente
    “a”, le damos algunos valores mayores que 1 6
    Comenzamos con: y = 1 x (celeste) 2 y = 1,5 x (naranja) 0 -10 -8
    -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y= 3x ( azul) -2 y = 10 x (rojo) Funciones
    matemáticas -4 -6 -8 -10

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    8 4 -6 26 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a
    < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente
    “a”, le damos algunos valores mayores que 1 6
    Comenzamos con: y = 1 x (celeste) 2 y = 1,5 x (naranja) 0 -10 -8
    -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y= 3x ( azul) -2 y = 10 x y = 100 x (rojo)
    (verde) Funciones matemáticas -4 -8 -10

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    8 6 4 2 -6 27 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a
    < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente
    “a”, le damos algunos valores mayores que 1
    Comenzamos con: y = 1 x (celeste) Cuando el valor de
    “a” es > 1, el ángulo aumenta desde
    45°, pero no sobrepasa los 90°. y = 1,5 x (naranja) 0 -10
    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y= 3x ( azul) -2 y = 10 x y = 100 x
    (rojo) (verde) Funciones matemáticas -4 -8 -10

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    6 4 2 0 -2 28 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a
    < 8 (siempre positivo) y b = 0 y = 0,1 x y = 0,3 x y = 0,5 x Y
    = 0,8 x y=1x (azul) (rojo) (verde) (violeta) (celeste) Y ahora
    tenemos todo el haz de rectas con “a” positivo. 10 8
    -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y = 1,5 x (naranja) y= 3x ( azul) -4
    y = 10 x y = 100 x (rojo) (verde) Funciones matemáticas -6
    -8 -10

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    4 2 0 -2 -6 -8 29 Función lineal: y = a x + b ; para: 0
    < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 y = 0,1 x y = 0,3 x y
    = 0,5 x Y = 0,8 x y=1x (azul) (rojo) (verde) (violeta) (celeste)
    8 6 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y = 1,5 x (naranja)
    Conclusión: Si el y= 3x ( azul) -4 coeficiente
    “a” es positivo, la orientación y = 10 x y =
    100 x (rojo) (verde) Funciones matemáticas -10 de la recta
    es del 1° al 3° cuadrante, en todos los casos. El
    ángulo varía desde 0° hasta 90°.°

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    8 6 30 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > –
    8 (siempre negativo) y b = 0 10 A continuación al
    coeficiente “a”, le damos valores entre – 8 y
    -1 (valores negativos). 4 y = – 100 x (verde) 2 0 -10 -8 -6 -4 -2
    0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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    8 6 31 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > –
    8 (siempre negativo) y b = 0 10 A continuación al
    coeficiente “a”, le damos valores entre – 8 y
    -1 (valores negativos). 4 y = – 100 x y = – 10 x (verde) (rojo) 2
    0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones
    matemáticas

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    8 6 32 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > –
    8 (siempre negativo) y b = 0 10 A continuación al
    coeficiente “a”, le damos valores entre – 8 y
    -1 (valores negativos). 4 y = – 100 x y = – 10 x (verde) (rojo) 2
    0 y= -3x ( azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10
    Funciones matemáticas

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    8 6 -4 33 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a
    > – 8 (siempre negativo) y b = 0 10 A continuación al
    coeficiente “a”, le damos valores entre – 8 y
    -1 (valores negativos). 4 y = – 100 x y = – 10 x (verde) (rojo) 2
    0 y= -3x ( azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 y = – 1,5 x
    (naranja) Funciones matemáticas -6 -8 -10

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    8 6 4 2 -4 -6 34 Función lineal: y = a x + b ; para: 0
    > a > – 8 (siempre negativo) y b = 0 10 A
    continuación al coeficiente “a”, le damos
    valores entre – 8 y -1 (valores negativos). Cuando
    “a” se hace negativo, la recta sobrepasa los 90°.
    El ángulo “a” va hasta y = – 100 x y = – 10 x
    (verde) (rojo) 0 135°, conforme el valor crece hasta -1. y=
    -3x ( azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 y = – 1,5 x y=-1x
    (naranja) (celeste) Funciones matemáticas -8 -10

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    8 6 2 35 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a >
    – 8 (siempre negativo) y b = 0 10 Y finalmente el coeficiente
    “a” variará entre -1 y 0 (valores negativos).
    4 y=-1x (celeste) 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10
    Funciones matemáticas

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    8 6 2 0 36 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a
    > – 8 (siempre negativo) y b = 0 10 Y finalmente el
    coeficiente “a” variará entre -1 y 0 (valores
    negativos). 4 y=-1x Y = – 0,8 x (celeste) (violeta) -10 -8 -6 -4
    -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones
    matemáticas

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    8 6 2 0 -2 37 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a
    > – 8 (siempre negativo) y b = 0 10 Y finalmente el
    coeficiente “a” variará entre -1 y 0 (valores
    negativos). 4 y=-1x Y = – 0,8 x (celeste) (violeta) -10 -8 -6 -4
    -2 0 2 4 6 8 10 y = – 0,5 x (verde) Funciones matemáticas
    -4 -6 -8 -10

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    8 6 2 0 -2 -4 38 Función lineal: y = a x + b ; para: 0
    > a > – 8 (siempre negativo) y b = 0 10 Y finalmente el
    coeficiente “a” variará entre -1 y 0 (valores
    negativos). 4 y=-1x Y = – 0,8 x (celeste) (violeta) -10 -8 -6 -4
    -2 0 2 4 6 8 10 y = – 0,5 x (verde) y = – 0,3 x (rojo) -6 -8 -10
    Funciones matemáticas

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    8 6 4 2 0 -2 -4 39 Función lineal: y = a x + b ; para: 0
    > a > – 8 (siempre negativo) y b = 0 10 Y finalmente el
    coeficiente “a” variará entre -1 y 0 (valores
    negativos). El ángulo “a” sigue creciendo
    hasta el valor 180°, para a=0 y=-1x Y = – 0,8 x (celeste)
    (violeta) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y = – 0,5 x (verde) y = –
    0,3 x (rojo) y = – 0,1 x (azul) Funciones matemáticas -6
    -8 -10

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    8 6 4 2 -2 40 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a
    > – 8 (siempre negativo) y b = 0 10 y = – 0,1 x (azul) y = –
    0,3 x y = – 0,5 x Y = – 0,8 x (rojo) (verde) (violeta) Y ahora
    tenemos todo el haz de rectas con “a” negativo. y=-1x
    (celeste) -10 -8 -6 -4 -2 0 0 2 4 6 8 10 y = – 1,5 x (naranja) y=
    -3x ( azul) -4 y = – 10 x y = – 100 x (rojo) (verde) Funciones
    matemáticas -6 -8 -10

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