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Álgebra Booleana
Tanto los conjuntos como las proposiciones tienen propiedades similares. Estas propiedades se usan para definir una estructura matemática llamada álbebra de Boole o álgebra booleana, en honor de George Boole (1813-1864).
Esta álgebra se utiliza en dos casos concretos:
Compuertas lógicas.
Circuitos de interruptores.
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Álgebra Booleana (cont.)
Sea B un conjunto en el cual se han definido dos operaciones binarias, + y *, y una operación unitaria, denotada ’; sean 0 y 1 dos elementos diferentes de B. Entonces a la sextupla
se le llama álgebra de Boole si se cumplen los axiomas de la tabla para elementos a, b y c cualesquiera en el conjunto B:
Leyes conmutativas.
Leyes distributivas.
Leyes de identidad.
Leyes de complemento.
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Álgebra Booleana (cont.)
Aspectos importantes del álgebra:
Al elemento 0 se le llama el elemento cero.
Al elemento 1 se le llama elemento unidad.
A la operación unitaria a’ se le llama complemento de a.
A los resultados de las operaciones binarias + y * se les llama, respectivamente, suma y producto.
Aparte de los axiomas, en la tabla se muestran otras propiedades que tiene el álgebra de Boole, que se pueden obtener mediante los axiomas.
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Álgebra Booleana (cont.)
Ejemplos:
Sea B el conjunto de dos elementos, {0,1}, con operaciones + y * definidas:
Los complementos se defines por 1’ = 0 y 0’ = 1.
El ejemplo anterior se puede extender para sucesiones de n bits, sea Bn.
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Álgebra Booleana (cont.)
Ejemplos:
Sea ? una colección de conjuntos cerrados bajo uniones, intersecciones y complementos. Se tiene como elemento cero al conjunto vacío ? y como elemento unidad al conjunto universal U.
Sea ? el conjunto de proposiciones, que tiene como operaciones ? y ?, con la negación ? como complemento. Se tiene como elemento cero una contradicción f y como elemento unidad una tautología t.
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Álgebra Booleana (cont.)
Ejemplos:
Sea D70 = {1,2,5,7,10,14,35,70}, los divisores de 70. Se tienen las operaciones de mínimo común múltiplo de a y b como la suma, máximo común divisor de a y b como el producto, y 70 dividido entre a el complemento de a. Se tiene como elemento cero al 1 y como elemento unidad al 70.
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Dualidad
El dual de cualquier enunciado en un álgebra de Boole B es el enunciado obtenido al intercambiar las operaciones + y *, e intercambiar los correspondientes elementos identidad 0 y 1, en el enunciado original.
Ejemplo: (1 + a) * (b + 0) = b ? el dual es: (0 * a) + (b * 1) = b
Principio de Dualidad: El dual de cualquier teorema en un álgebra de Boole es también un teorema.
En otras palabras, si cualquier enunciado es una consecuencia de los axiomas de un álgebra de Boole, entonces el dual también es una consecuencia de estos axiomas; ya que el enunciado dual se puede probar usando el dual de cada paso en la demostración del enunciado original.
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Orden y Álgebra de Boole
Una relación es un conjunto S se llama un orden parcial en S si cumple las tres propiedades siguientes:
a a, ?a ? S.
Si a b y b a, entonces a = b.
Si a b y b c, entonces a c.
Un conjunto S junto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado. En tal caso se puede escribir y leer:
a b ? a precede a b.
a b ? a precede estrictamente a b, si a b pero a ? b.
a b ? a sigue a b, si b a.
a b ? a sigue estrictamente a b, si b a.
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Orden y Álgebra de Boole (cont.)
El término parcial se usa al definir un conjunto parcialmente ordenado S, porque puede haber elementos a y b de S que no son comparables, o sea, tales que ni a b ni b a.
Si por otra parte, todo par de elementos de S es comparable, entonces se dice que S es totalmente ordenado, o linealmente ordenado, y S se denomina cadena.
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Orden y Álgebra de Boole (cont.)
Ejemplos:
Sea ? una clase cualquiera de conjuntos, la relación de inclusión ? es un orden parcial de ?.
En los números enteros positivos, se dice que “a divide a b”, escrito a | b, si existe un entero c tal que ac = b; esta relación de divisibilidad es un orden parcial en N. Notar que, por ejemplo, 3 y 5 no son comparables ya que ninguno divide al otro.
La relación = también es un orden parcial de los enteros positivos N. Notar que N es totalmente ordenado por medio de esta relación.
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Orden y Álgebra de Boole (cont.)
Sea B un álgebra de Boole; B es entonces parcialmente ordenado, siendo a b si y sólo si a + b = b.
Sea B cualquier álgebra de Boole; entonces para cualquier elemento a de B, 0 a 1, ya que 0 + a = a y a + 1 = 1.
Ejemplos:
El álgebra de Boole de conjuntos, el conjunto A precede al conjunto B si A es subconjunto de B.
El álgebra de Boole del cálculo proposicional, la proposición P precede a la proposición Q si P implica lógicamente a Q.
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Orden y Álgebra de Boole (cont.)
Un conjunto finito parcialmente ordenado S y, en particular, un álgebra de Boole finita S, se puede representar por un diagrama de la siguiente manera.
Un elemento B de S se dice que es un sucesor inmediato de un elemento a, escrito a b; si a b, pero no hay ningún elemento x de S tal que a x b.
Los elementos se representan por puntos y habrá una flecha, o una línea dirigida hacia arriba, de un elemento a a un elemento b cada vez que a b.
En caso de que S sea un álgebra de Boole, el elemento cero estará en la parte más baja del diagrama y el elemento unidad en la parte más alta.
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Orden y Álgebra de Boole (cont.)
Ejemplo: Sea A = {a,b,c}, y sea ?(A) la colección de todos los subconjuntos de A: ?(A) = [A, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a}, {b}, {c}, ?]. ?(A) es un álgebra de Boole de conjuntos cuyo diagrama se muestra a la derecha, observar que ? está abajo en el diagrama y A está arriba.
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Orden y Álgebra de Boole (cont.)
Sea B una álgebra de Boole, entonces:
Un elemento a de B se llama átomo de B si es un sucesor inmediato del elemento cero. En el diagrama anterior, los átomos son: {a}, {b} y {c}.
Un elemento M de B se llama maxterm de B si el elemento unidad es su único sucesor estricto. En el diagrama anterior, los maxterm son: {a,b}, {a,c} y {b,c}.
Sea B una álgebra de Boole finita con n átomos; entonces B tiene 2n elementos, y todo elemento no nulo de B es la suma de un conjunto único de átomos.
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Expresiones de Boole
Una expresión booleana E en un conjunto de variables (x1, x2, …, xn), algunas veces escrito E(x1, x2, …, xn), es una variable o una expresión construida con estas variables que usan las operaciones booleanas +, * y ’.
Ejemplos:
E(x,y,z) = (x + y’z)’ + (xyz’ + x’y)’
E(x,y,z) = ((xy’z’ + y)’ + x’z)’
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Expresiones de Boole (cont.)
Un literal es una variable o una variable complementada, por ejemplo: x, x’, etc.
Un producto fundamental es un literal o un producto de dos o más literales en los cuales no hay dos literales con una misma variable, por ejemplo: x, x’, xy, x’y, xz’, x’yz, etc.
Un producto de Boole es producto de dos o más literales, por ejemplo: xyx’z, xyzy, etc.
xyx’z = xx’yz = 0yz = 0 (x * x’ = 0 por la ley del complemento)
xyzy = xyyz = xyz (y * y = y por la ley de idempotencia)
Todo producto de Boole se puede reducir a 0 o a un producto fundamental.
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Expresiones de Boole (cont.)
Un producto fundamental P1 se dice que está incluido o contenido en otro producto fundamental P2, si los literales de P1 son también literales de P2; por lo tanto P1 + P2 = P1 por la ley de absorción.
x’z + xy’z (x’z no está incluido en xy’z)
x’z + x’yz = x’z (x’z está incluido en x’yz)
Una expresión de Boole E se dice que está en forma de suma de productos o en forma miniterm si E es un producto fundamental o, es la suma de dos o más productos fundamentales, ninguno de los cuales está incluido en otro.
E1 = x’z + xy’z + x’yz (E1 no está en forma de suma de productos)
E2 = xz’ + x’yz’ + xy’z (E2 está en forma de suma de productos)
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Expresiones de Boole (cont.)
Toda expresión de Boole no nula E se puede poner en forma de suma de productos con el siguiente procedimiento:
Usando las leyes de DeMorgan y la involución, se puede mover la operación de complemento dentro de cualquier paréntesis hasta que finalmente se aplique solamente a variables. E consistirá entonces solamente en sumas y productos de literales.
Usando la ley distributiva, se puede transformar E en una suma de productos.
Usando las leyes conmutativas, de idempotencia y de complemento, se puede transformar cada producto en E en 0 o en un producto fundamental.
Usando la ley de absorción, se puede poner E en forma de suma de productos.
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Expresiones de Boole (cont.)
Ejemplo:
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Expresiones de Boole (cont.)
Una expresión de Boole no nula E(x1, x2, …, xn) se dice que está en forma completa de suma de productos si E está en forma de suma de productos, y en cada producto se usan todas las variables.
Cualquier expresión de Boole E que sea una suma de productos se puede escribir en forma completa de suma de productos.
Si un producto fundamental P de E no usa xi, entonces se puede multiplicar P por xi + xi’; esto se puede hacer ya que xi + xi’ = 1.
Así se continua hasta que todos los productos usen todas las variables.
Además, la representación que se obtiene de E en forma completa de suma de productos es única.
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Expresiones de Boole (cont.)
Ejemplo:
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Compuertas Lógicas
Los circuitos lógicos, que pronto se explicarán, se construyen a partir de ciertos circuitos elementales llamados compuertas lógicas.
A continuación se presentan dos tablas, donde se resumen las compuertas lógicas más importantes.
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Compuertas Lógicas (cont.)
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Compuertas Lógicas (cont.)
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Circuitos Lógicos
Los circuitos lógicos se pueden visualizar como máquinas que contienen uno o más dispositivos de entrada y exactamente un dispositivo de salida.
En cada instante cada dispositivo de entrada tiene exactamente un bit de información, un 0 o un 1; estos datos son procesados por el circuito para dar un bit de salida, un 0 o un 1, en el dispositivo de salida.
De esta manera, a los dispositivos de entrada se les puede asignar sucesiones de bits que son procesadas por el circuito bit por bit, para producir una sucesión con el mismo número de bits.
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Circuitos Lógicos (cont.)
Un bit se puede interpretar como un voltaje a través de un dispositivo de entrad/salida; aun más, una sucesión de bits es una sucesión de voltajes que pueden subir o bajar (encendido o apagado).
Se puede suponer que el circuito siempre procesa la sucesión de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Si no se dice otra cosa se adopta la primera convención.
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Circuitos Lógicos (cont.)
Las tablas de verdad para las compuertas lógicas AND, OR y NOT, que se mostraron en la tablas anteriores, son respectivamente idénticas a las correspondientes proposiciones de conjunción (p ? q), disyunción (p ? q) y negación (?p).
La única diferencia entre las tablas de verdad de las compuertas y las proposiciones es que se usa el 1 y 0, en vez de V y F.
Así que las compuertas lógicas satisfacen las mismas leyes de las proposiciones, y así forman un álgebra de Boole.
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Circuitos Lógicos (cont.)
Los circuitos lógicos vienen en varios patrones. Se tratará especialmente un patrón que corresponde a una expresión de Boole de suma de productos.
Un circuito AND-OR tiene varias entradas, con algunas de las entradas o sus complementos alimentando cada compuerta AND.
Las salidas de todas las compuertas AND alimentan una sola compuerta OR, la cual de al salida para el circuito.
En casos límite, puede haber una sola compuerta AND sin una compuerta OR, o ninguna compuerta AND y una sola compuerta OR.
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Circuitos Lógicos (cont.)
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Circuitos Lógicos (cont.)
Dado cualquier circuito lógico L, se quiere averiguar el efecto de L en cualquier entrada arbitraria; usualmente esto se especifica por medio de una tabla de verdad.
La tabla de verdad de L se obtiene escribiendo primero L como una expresión de Boole L(A,B,C,…), y calculando entonces la tabla de verdad paso por paso.
La expresión de Boole se obtiene del circuito siguiendo las entradas a través de todas las compuertas.
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Circuitos Lógicos (cont.)
Para el circuito anterior se obtiene la siguiente tabla de verdad:
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Circuitos Lógicos (cont.)
Como los circuitos lógicos forman un álgebra de Boole, se puede usar los teoremas (axiomas y propiedades) del álgebra para simplificar los circuitos.
Así el circuito anterior puede ser reemplazado por el circuito lógico más sencillo que se puede formar de la expresión de Boole resultante.
Los dos circuitos lógicos son equivalentes, es decir, tienen la misma tabla de verdad.
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Circuitos Lógicos (cont.)
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Circuitos Lógicos (cont.)
La tabla de verdad (única) de una expresión de Boole equivale a la única forma completa de suma de productos que se puede obtener de una expresión de Boole.
Esta correspondencia surge del hecho que se asigna cualquier combinación de 1s y 0s a las variables, cada uno de los productos fundamentales que involucran todas las variables de la salida toma el valor 1; todos los demás toman el valor de 0.
Por lo tanto, de la tabla de verdad se puede obtener, por inspección, la forma completa de suma de productos y recíprocamente.
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Circuitos Lógicos (cont.)
La forma completa de suma de productos de la expresión de Boole anterior es:
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Circuitos Lógicos (cont.)
La tabla de verdad (única) de la expresión de Boole que se obtiene de la forma completa de suma de productos es:
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Expresiones Boolenas Minimales
Si E es una expresión de Boole de suma de productos, EL denotará el número de literales en E (contados de acuerdo con la multiplicidad), y ES denotará el número de sumandos en E.
Ejemplo: E(a,b,c,d) = abc’ + a’b’d + ab’c’d + a’bcd, entonces EL = 14 y ES = 4.
Sea ahora F una expresión de Boole de suma de productos equivalente de E, entonces se dice que E es más simple que F si EL = FL y ES = FS, y por lo menos una de las relaciones es una desigualdad estricta.
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Expresiones Boolenas Minimales (cont.)
Una expresión de Boole está en forma minimal de suma de productos o suma minimal), si está en forma de suma de productos y no hay ninguna otra expresión equivalente en forma de suma de productos que sea más simple que E.
Un producto fundamental P se llama implicante primo de una expresión de Boole E si P + E = E, pero ningún otro producto fundamental incluido en P tiene esta propiedad.
Ejemplo: P = xz’ es implicante primo de E(x,y,z) = xy’ + xyz’ + x’yz’.
Si una expresión de Boole E está en forma minimal de suma de productos, entonces cada sumando de E es un implicante primo de E.
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