Monografias.com > Ingeniería
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Aplicaciones de la transformada de Laplace




Enviado por Pablo Turmero



    Monografias.com

    Control de Procesos
    ¿Qué es un sistema de control ?
    En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse.
    En el ámbito doméstico
    Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios
    En transportación
    Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta
    En la industria
    Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura

    Monografias.com

    Control de Procesos
    En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.
    Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria:
    tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensa,ble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros

    Monografias.com

    Ejemplos de procesos automatizados
    Un moderno avión comercial

    Monografias.com

    Ejemplos de procesos automatizados
    Satélites

    Monografias.com

    Ejemplos de procesos automatizados
    Control de la concentración de un producto en un reactor químico

    Monografias.com

    Ejemplos de procesos automatizados
    Control en automóvil

    Monografias.com

    ¿ Por que es necesario controlar un proceso ?
    Incremento de la productividad
    Alto costo de mano de obra
    Seguridad
    Alto costo de materiales
    Mejorar la calidad
    Reducción de tiempo de manufactura
    Reducción de inventario en proceso
    Certificación (mercados internacionales)
    Protección del medio ambiente (desarrollo sustentable)

    Monografias.com

    Control de Procesos
    El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia.
    Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:

    La transformada de Laplace

    Monografias.com

    ¿Por qué Transformada de Laplace?
    En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.
    Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.

    Monografias.com

    ¿Por qué Transformada de Laplace?
    El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

    La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

    Monografias.com

    ¿Por qué Transformada de Laplace?
    De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

    Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

    Monografias.com

    El proceso de diseño del sistema de control
    Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere
    Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.
    A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.
    Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.

    Monografias.com

    Conociendo el proceso …
    MODELACIÓN MATEMÁTICA
    Suspensión de un automóvil
    (Gp:) f(t)
    (Gp:) z(t)
    (Gp:) k
    (Gp:) b
    (Gp:) m

    Fuerza de entrada
    Desplazamiento, salida del sistema

    Monografias.com

    El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
    Suspensión de un automóvil
    Función de transferencia

    Monografias.com

    Conociendo el proceso…
    MODELACIÓN MATEMÁTICA
    Nivel en un tanque
    qo(t)
    Flujo de salida
    R
    (resistencia de la válvula)
    h(t)
    qi(t)
    Flujo de entrada
    Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento
    A
    (área del tanque)

    Monografias.com

    El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
    Nivel en un tanque
    Función de transferencia

    Monografias.com

    Conociendo el proceso…
    MODELACIÓN MATEMÁTICA
    Circuito eléctrico

    Monografias.com

    El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
    Circuito eléctrico
    Función de transferencia

    Monografias.com

    La función de transferencia
    Representa el comportamiento dinámico del proceso
    Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada

    Diagrama de bloques
    Proceso
    Entrada del proceso
    (función forzante o
    estímulo)
    Salida del proceso
    (respuesta al
    estímulo)

    Monografias.com

    La función de transferencia
    Diagrama de bloques
    Suspensión de un automóvil

    Entrada
    (Bache)
    Salida
    (Desplazamiento del coche)

    Monografias.com

    La función de transferencia
    Diagrama de bloques
    Nivel en un tanque

    Qi(s)
    (Aumento del flujo de entrada repentinamente)
    H(s)
    (Altura del nivel en el tanque

    Monografias.com

    La función de transferencia
    Diagrama de bloques
    Circuito eléctrico

    Ei(s)
    (Voltaje de entrada)
    Eo(s)
    (Voltaje de salida)

    Monografias.com

    Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control
    TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN
    (Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo)

    TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL
    (Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales)

    Monografias.com

    Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control
    TEOREMA DE VALOR FINAL
    (Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)

    TEOREMA DE VALOR INICIAL
    (Nos indica las condiciones iniciales)

    Monografias.com

    Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.

    En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador.
    Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

    Monografias.com

    a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F.
    b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
    c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.
    Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

    Monografias.com

    Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor

    Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

    Monografias.com

    Intercambiador de calor
    Ecuación diferencial

    Donde:
    Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior
    (BTU/h °F ft2)
    ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)
    Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F)
    tv : Temperatura del vapor (°F)
    te : Temperatura del agua a la entrada (°F)
    ts : Temperatura del agua a la salida (°F)
    (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)
    tref : Temperatura de referencia (°F)
    w : Flujo de agua (lb/h)
    m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)
    : Valores en condiciones estables
    Tv , Ts , W Variables de desviación

    Monografias.com

    Intercambiador de calor
    Linealizando
    1

    2
    Evaluando en condiciones iniciales estables
    3

    Restando (2) de (3)

    Monografias.com

    Intercambiador de calor
    Utilizando variables de desviación

    Aplicando la transformada con Laplace

    Monografias.com

    Intercambiador de calor
    Simplificando

    Datos físicos
    Largo del intercambiador = 9 ft
    Diámetro de coraza = 17 ¼’’
    Flujo = 224 gal/min
    Temperatura de entrada =80°F
    Temperatura de salida = 185°F
    Presión de vapor =150psia.
    Número de tubos= 112
    Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con un claro entre tubos de 0.63’’.
    Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F,
    Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU
    Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F

    Monografias.com

    Intercambiador de calor
    Calculando
    las
    constantes

    Monografias.com

    Intercambiador de calor
    Función de transferencia

    Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.

    0
    0

    Monografias.com

    Intercambiador de calor

    (Gp:) Flujo de agua entrada
    (Gp:) Salida de
    Agua °T
    (Gp:) Temp de
    Vapor entrada
    (Gp:) Salida de
    vapor

    (Gp:) 0
    (Gp:) 5
    (Gp:) 10
    (Gp:) 15
    (Gp:) 20
    (Gp:) 25
    (Gp:) 30
    (Gp:) 35
    (Gp:) 40
    (Gp:) 45
    (Gp:) 50
    (Gp:) 0
    (Gp:) 2
    (Gp:) 4
    (Gp:) 6
    (Gp:) 8
    (Gp:) 10
    (Gp:) 12
    (Gp:) 14
    (Gp:) 16
    (Gp:) 18
    (Gp:) 20
    (Gp:) 224
    (Gp:) 234

    220
    240
    185
    188.85

    Monografias.com

    La respuesta del proceso en el tiempo
    Transformada Inversa De Laplace

    Monografias.com

    La respuesta del proceso en el tiempo
    Transformada Inversa De Laplace

    Monografias.com

    El sistema de control automático
    Temperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin control)

    Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con control)
    (Gp:)
    (Gp:) Tv(s)
    (Aumento de la temperatura de vapor a la entrada )
    (Gp:) Ts(s)
    (Aumento en la temperatura de agua a la salida)

    Controlador
    +

    Valor deseado
    Acción de control
    Variable controlada

    Monografias.com

    La ecuación del controlador
    ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID

    Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido

    Monografias.com

    El sistema de control automático
    Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con control)

    (el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del cambio en la entrada)
    (Gp:) +

    (Gp:) Valor deseado
    (Gp:) Acción de control
    (Gp:) Variable controlada

    Monografias.com

    La respuesta del sistema de controlde nivel
    Comparación del sistema en lazo abierto (sin control) y en lazo cerrado (con control)
    Con control
    Sin control

    Monografias.com

    ¿ Preguntas ?
    Ing. Elvira Niño Departamento de Mecatrónica y Automatización enino@itesm.mx Aulas 7, 3er piso — LD – 306 – H

    Monografias.com

    Actividad para realizar en casa
    Un sistema de suspensión simplificada de un automóvil se puede representar por la figura siguiente:

    Las ecuaciones diferenciales que modelan al sistema están dadas por:

    Monografias.com

    Actividad para realizar en casa
    Obtén la función de transferencia
    (Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en ambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejar Y(s)/U(s) )
    b) Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm, k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg.
    Si se le aplica una cambio escalón unitario en la entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es decir, la transformada inversa de dicha función.
    c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel, matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del desplazamiento en el tiempo para t = [0,20]

    Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

    Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

    Categorias
    Newsletter