Control de Procesos
¿Qué es un sistema de control ?
En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse.
En el ámbito doméstico
Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios
En transportación
Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta
En la industria
Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura
Control de Procesos
En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.
Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria:
tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensa,ble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros
Ejemplos de procesos automatizados
Un moderno avión comercial
Ejemplos de procesos automatizados
Satélites
Ejemplos de procesos automatizados
Control de la concentración de un producto en un reactor químico
Ejemplos de procesos automatizados
Control en automóvil
¿ Por que es necesario controlar un proceso ?
Incremento de la productividad
Alto costo de mano de obra
Seguridad
Alto costo de materiales
Mejorar la calidad
Reducción de tiempo de manufactura
Reducción de inventario en proceso
Certificación (mercados internacionales)
Protección del medio ambiente (desarrollo sustentable)
Control de Procesos
El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia.
Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:
La transformada de Laplace
¿Por qué Transformada de Laplace?
En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.
Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.
¿Por qué Transformada de Laplace?
El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:
La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
¿Por qué Transformada de Laplace?
De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
El proceso de diseño del sistema de control
Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere
Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.
A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.
Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.
Conociendo el proceso
MODELACIÓN MATEMÁTICA
Suspensión de un automóvil
(Gp:) f(t)
(Gp:) z(t)
(Gp:) k
(Gp:) b
(Gp:) m
Fuerza de entrada
Desplazamiento, salida del sistema
El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Suspensión de un automóvil
Función de transferencia
Conociendo el proceso
MODELACIÓN MATEMÁTICA
Nivel en un tanque
qo(t)
Flujo de salida
R
(resistencia de la válvula)
h(t)
qi(t)
Flujo de entrada
Flujo que entra Flujo que sale = Acumulamiento
A
(área del tanque)
El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Nivel en un tanque
Función de transferencia
Conociendo el proceso
MODELACIÓN MATEMÁTICA
Circuito eléctrico
El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Circuito eléctrico
Función de transferencia
La función de transferencia
Representa el comportamiento dinámico del proceso
Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada
Diagrama de bloques
Proceso
Entrada del proceso
(función forzante o
estímulo)
Salida del proceso
(respuesta al
estímulo)
La función de transferencia
Diagrama de bloques
Suspensión de un automóvil
Entrada
(Bache)
Salida
(Desplazamiento del coche)
La función de transferencia
Diagrama de bloques
Nivel en un tanque
Qi(s)
(Aumento del flujo de entrada repentinamente)
H(s)
(Altura del nivel en el tanque
La función de transferencia
Diagrama de bloques
Circuito eléctrico
Ei(s)
(Voltaje de entrada)
Eo(s)
(Voltaje de salida)
Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control
TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN
(Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo)
TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL
(Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales)
Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control
TEOREMA DE VALOR FINAL
(Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)
TEOREMA DE VALOR INICIAL
(Nos indica las condiciones iniciales)
Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.
En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador.
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor
a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F.
b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor
Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor
Intercambiador de calor
Ecuación diferencial
Donde:
Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior
(BTU/h °F ft2)
ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)
Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F)
tv : Temperatura del vapor (°F)
te : Temperatura del agua a la entrada (°F)
ts : Temperatura del agua a la salida (°F)
(te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)
tref : Temperatura de referencia (°F)
w : Flujo de agua (lb/h)
m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)
: Valores en condiciones estables
Tv , Ts , W Variables de desviación
Intercambiador de calor
Linealizando
1
2
Evaluando en condiciones iniciales estables
3
Restando (2) de (3)
Intercambiador de calor
Utilizando variables de desviación
Aplicando la transformada con Laplace
Intercambiador de calor
Simplificando
Datos físicos
Largo del intercambiador = 9 ft
Diámetro de coraza = 17 ¼
Flujo = 224 gal/min
Temperatura de entrada =80°F
Temperatura de salida = 185°F
Presión de vapor =150psia.
Número de tubos= 112
Diámetro exterior de tubo = ¾ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con un claro entre tubos de 0.63.
Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F,
Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU
Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F
Intercambiador de calor
Calculando
las
constantes
Intercambiador de calor
Función de transferencia
Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
0
0
Intercambiador de calor
(Gp:) Flujo de agua entrada
(Gp:) Salida de
Agua °T
(Gp:) Temp de
Vapor entrada
(Gp:) Salida de
vapor
(Gp:) 0
(Gp:) 5
(Gp:) 10
(Gp:) 15
(Gp:) 20
(Gp:) 25
(Gp:) 30
(Gp:) 35
(Gp:) 40
(Gp:) 45
(Gp:) 50
(Gp:) 0
(Gp:) 2
(Gp:) 4
(Gp:) 6
(Gp:) 8
(Gp:) 10
(Gp:) 12
(Gp:) 14
(Gp:) 16
(Gp:) 18
(Gp:) 20
(Gp:) 224
(Gp:) 234
220
240
185
188.85
La respuesta del proceso en el tiempo
Transformada Inversa De Laplace
La respuesta del proceso en el tiempo
Transformada Inversa De Laplace
El sistema de control automático
Temperatura del agua de salida Lazo abierto (sin control)
Temperatura del agua de salida Lazo cerrado (con control)
(Gp:)
(Gp:) Tv(s)
(Aumento de la temperatura de vapor a la entrada )
(Gp:) Ts(s)
(Aumento en la temperatura de agua a la salida)
Controlador
+
–
Valor deseado
Acción de control
Variable controlada
La ecuación del controlador
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID
Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido
El sistema de control automático
Temperatura de agua a la salida Lazo cerrado (con control)
(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del cambio en la entrada)
(Gp:) +
–
(Gp:) Valor deseado
(Gp:) Acción de control
(Gp:) Variable controlada
La respuesta del sistema de controlde nivel
Comparación del sistema en lazo abierto (sin control) y en lazo cerrado (con control)
Con control
Sin control
¿ Preguntas ?
Ing. Elvira Niño Departamento de Mecatrónica y Automatización enino@itesm.mx Aulas 7, 3er piso — LD – 306 – H
Actividad para realizar en casa
Un sistema de suspensión simplificada de un automóvil se puede representar por la figura siguiente:
Las ecuaciones diferenciales que modelan al sistema están dadas por:
Actividad para realizar en casa
Obtén la función de transferencia
(Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en ambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejar Y(s)/U(s) )
b) Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm, k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg.
Si se le aplica una cambio escalón unitario en la entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es decir, la transformada inversa de dicha función.
c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel, matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del desplazamiento en el tiempo para t = [0,20]