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Cinemática de una partícula

Enviado por Pablo Turmero





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I. INTRODUCCIÓN MECANICA MECÁNICA DE FLUIDOS MECÁNICA DE CUERPO DEFORMABLE MECANICA DE CUERPO RIGIDOS DINAMICA ESTATICA CINETICA CINEMATICA

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II. NOCION DE CINEMATICA La cinemática (del griego???e?, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento. En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.

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II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 1. ESPACIO ABSOLUTO. Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio. El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo.

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II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2. TIEMPO ABSOLUTO La Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos.

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II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2. MOVIL El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula. La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico. Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico. Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema considerado.

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III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia. En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos siguientes. a. un origen O, que es un punto del espacio físico. b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico.

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III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo. En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial. De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.

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III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO En la Figura hemos representado dos observadores, S y S', y una partícula P. Estos observadores utilizan los referenciales xyz y x'y'z', respectivamente. Si S y S' se encuentran en reposo entre sí, describirán del mismo modo el movimiento de la partícula P. Pero si S y S' se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes.

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III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una órbita casi circular en torno a la TIERRA. Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una línea ondulante. Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos relativos, podrán reconciliar sus observaciones

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una línea recta 1. POSICIÓN. La posición de la partícula en cualquier instante queda definida por la coordenada x medida a partir del origen O. Si x es positiva la partícula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O.

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 2. DESPLAZAMIENTO. El desplazamiento se define como el cambio de posición. Se representa por el símbolo ?x. Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición inicial P, el desplazamiento ?x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ?S es negativo

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 3. VELOCIDAD MEDIA Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento ?x positivo durante un intervalo de tiempo ?t, entonces, la velocidad media será

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 3. VELOCIDAD MEDIA La velocidad media también puede interpretarse geométricamente para ello se traza una línea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta línea forma un triángulo de altura ?x y base ?t. La pendiente de la recta es ?x/?t. Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final de la gráfica posición-tiempo

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo y por tanto valores más pequeños de ?x. Por tanto:

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 5. RAPIDEZ MEDIA. La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partícula ST, dividida entre el tiempo transcurrido ?t, es decir,

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 6. ACELERACIÓN MEDIA . Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo ?t, entonces: La aceleración media se define como

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 6. ACELERACIÓN INSTANTANEA . La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la aceleración media cuando ?t tiende a cero es decir

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Ejemplo 01 La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la relación Determine: (a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0; (b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;

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Solución La ecuaciones de movimiento son Las cantidades solicitadas son En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2 En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0 En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2 En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

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V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t). Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

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DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x). Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

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V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v). Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos escribir

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V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son

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Ejemplo 01 El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos . Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

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Solución POSICIÓN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la velocidad es función del tiempo v = f(t). La posición es Cuando t = 3 s, resulta ACELERACIÓN. Sabiendo que v = f(t), la aceleración se determina a partir de a = dv/dt Cuando t = 3 s

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Ejemplo 02 Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil.

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Solución Velocidad: Usando el sistema de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuación a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), la posición se determina a partir de la ecuación v = dS/dt

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Ejemplo 03 Una partícula metálica está sujeta a la influencia de un campo magnético tal que se mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partícula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleración se mide como donde S está en metros. Determine; (a) la velocidad de la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de C a B

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Solución Debido a que a = f(S), puede obtenerse la velocidad como función de la posición usando vdv = a dS. Consideramos además que v = 0 cuando S = 100 mm La velocidad cuando S = 0,2 m es El tiempo que demora en viajar la partícula de C a B se determina en la forma Cuando S = 0,2 m el tiempo es

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Ejemplo 04 Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo se encuentra sometida a un campo gravitacional que le proporciona una aceleración g = 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la velocidad y la altura en función del tiempo, (b) el instante en que la bola choca con el piso y la velocidad correspondiente

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Solución

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Solución (Gp:) Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene. Cuando la bola alcanza su altura máxima su velocidad es cero, entonces se tiene

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Solución (Gp:) Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 Entoces tenemos.

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VI. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento relativo Sea A y B dos partículas que se mueven en línea recta como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O serán xA y xB. La posición relativa de B con respecto a A será. La velocidad relativa d A con respecto a B será. La aceleración relativa se expresa en la forma

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Ejemplo 05 Desde una altura de 12 m, en el interior de un hueco de un ascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 18 m/s. En ese mismo instante un ascensor de plataforma abierta está a 5 m de altura ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s. Determine: (a) cuando y donde chocan la bola con el ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa al ascensor en el momento del choque

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(Gp:) SOLUCION: Remplazando la posición, velocidad inicial y el valor de la aceleración de la bola en las ecuaciones generales se tiene. (Gp:) La posición y la velocidad del ascensor será.

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(Gp:) Escribiendo la ecuación para las posiciones relativas de la bola con respect al elevador y asumiendo que cuando chocan la posición relativa es nula, se tiene. (Gp:) Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuación de la posición del elevador y en la velocidad relativa de la bola con respecto al ascensor se tiene

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VI. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento dependiente La posición de una partícula puede depender de la posición de otra u otras partículas. En la figura la posición de B depende de la posición de A. Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es constante se tiene Debido a que sólo una de las coordenadas de posición xA o xB puede elegirse arbitrariamente el sistema posee un grado de libertad

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