Dinámica caótica en mercados financieros

Resumen:

El objetivo del trabajo es introducir la
problemática de la modelización y predicción
en la ciencia económica, analizando en este caso el
comportamiento de variables del mercado financiero en el marco de
la teoría del caos.

Este primer ensayo se limitará a describir los
motivos por los cuales los fenómenos financieros son
loables de ser analizados mediante el herramental de la
matemática del caos, pero sobre todo aplicar una
metodología simplificada utilizada en algunos ensayos para
llevar a cabo un primer testeo de comportamiento caótico
en una serie temporal. No se indagará en este resumen
acerca del funcionamiento matemático de los testeos, sino
que se aborda un análisis conceptual y su consistencia
teórica en el marco de la teoría del
caos.

El procedimiento que se utilizará es el
siguiente:

• 1. Aplicación de un filtro ARIMA o GARCH
  a una serie mediante la metodología Box y
  Jenkings

• 2. Testeo de no linealidad en los residuos
  mediante el test BDS

• 3. Si se observa dinámica no lineal, se
  procede a testear la existencia de comportamiento
  caótico mediante el test NEGM.

Respecto a las variables estudiadas, el presente trabajo
se limitará a explorar la existencia de comportamiento
caótico en precios de acciones cotizantes en el Mercado de
Valores de Buenos Aires.

Ciencia, Física,
Matemática y Economía

El objetivo de la ciencia ha sido explicar y predecir.
La ciencia en sí misma, no es más que una forma de
pensar, distinta al pensamiento religioso, metafísico, o
mitológico. En este afán por explicar el mundo y
sus fenómenos, la ciencia no renuncia al determinismo, ya
sea total o parcial, llegando incluso a pensarse que sin
determinismo no existe la ciencia tal como la
entendemos.

El avance sustancial de la ciencias duras,
principalmente de la física como ciencia madre, ha
incentivado que sus métodos sean aplicados en diversas
disciplinas, con el objetivo de intentar aportar formas
potenciales de explicación de los fenómenos
más allá de las asociaciones, clasificaciones e
interpretaciones de los hechos, observables o
teórico-observables, que comúnmente son utilizados
como medios de análisis en las ciencias
sociales.

La ciencia económica no ha sido ajena a la
motivación de aplicar herramental físico al
análisis de los fenómenos económicos e,
incluso, podría llegar a afirmarse que constituye el caso
más paradigmático.

Modelos económicos y/o
econométricos

Las características fundamentales que pueden
registrarse en la modelización econométrica de
series temporales son las siguientes:

• Normalidad

• Linealidad

• Determinismo subyacente

La evolución de los modelos econométricos
puede sintetizarse en los siguientes:

• Modelos de regresión: corresponden al plano
  (paradigma) explicativo de la ciencia
  económica

• Modelos autorregresivos: corresponde al plano
  (paradigma) predictivo de la ciencia económica (ensayo
  sobre el realismo de los supuestos –
  Freedman)

• Modelos ARIMA: Varianza
  homocedástica

• Modelos GARCH: Varianza
  heterocedástica

• Movimiento Browniano: independencia y normalidad de
  la distribución

Este último punto, el movimiento browniano,
merece especial atención en virtud de ser un ejemplo
paradigmático de cómo modelos originados en las
ciencias físicas son aplicados en la ciencia
económica. Por ello, ocuparemos el siguiente apartado en
hacer un poco de historia y entender conceptualmente en
qué consiste el movimiento browniano.

Movimiento Browniano (Siglo XIX)

El movimiento browniano es uno de los pilares de la
teoría cinética y es característico de los
sistemas coloidales, los cuales son un estadio posterior a las
denominadas soluciones verdaderas[1]En la
solución coloidal las partículas no están
disueltas a nivel molecular: hay racimos, llamados micelas (ej:
granos de polen).

En todos los sistemas, siempre las moléculas del
solvente chocan con las del soluto. En una solución
verdadera el movimiento es totalmente desordenado e imposible de
visualizar porque es a nivel molecular. Pero si la
disolución es distinta, generando racimos (micelas) es
posible realizar observaciones.

El experimento realizado por Brown consistió en
observar en forma frontal granos de polen en agua con luz
(iluminación) trasversal: observó que la
solución estaba en reposo pero las moléculas se
movían.

Hasta ese momento no se habían hecho
observaciones que pudieran demostrar el movimiento continuo de
las moléculas. La primera prueba experimental de la
realidad de los átomos fue la prueba de la teoría
atómica proporcionada por los estudios cuantitativos del
movimiento browniano.

Básicamente, se observó que el polen
suspendido en agua presenta un movimiento irregular
continuo. En tanto, este movimiento solo se da en
moléculas de determinado tamaño (como fue dicho, no
en todas las soluciones, como por ejemplo en soluciones
verdaderas).

Einstein: Teoría del movimiento
browniano

En un gas, las moléculas están en
movimiento todo el tiempo: si hay micelas en el medio
también van a recibir choques generados por dichas
moléculas; que se muevan va a depender de su
tamaño.

Respecto a ello, Einstein planteó la siguiente
hipótesis: las partículas que están
suspendidas en un líquido o un gas comparten los
movimientos térmicos del medio y, en promedio, la
energía cinética de cada partícula es 3/2KT,
de acuerdo con el principio de equipartición de la
energía.

La teoría cinética predice cual es la
energía cinética media de las partículas en
el fluido. Las partículas suspendidas reciben la misma
energía cinética media que las moléculas del
fluido.

Las partículas suspendidas generalmente son
más grandes que las partículas del fluido, siendo
continuamente bombardeadas por las moléculas de este
último. Cuando las partículas son más
pequeñas (micelas más chicas), o si el fluido es
poco concentrado, los choques son muy azarosos. Es decir, si las
moléculas son muy grandes o la concentración es
alta, el movimiento no es tan azaroso. Esto implica que el
movimiento browniano se da en un estadio intermedio:

• Ni cuando las moléculas son chicas o el
  fluido es poco concentrado. En este caso el movimiento es muy
  grande y por lo tanto demasiado azaroso.

• Ni cuando la concentración del fluido tiende
  a infinito. En este caso las micelas no se mueven, dado que
  chocan la misma cantidad de moléculas un lado que del
  otro.

Finalmente se pueden derivar ecuaciones exactas para esa
variación de densidad. Fue Norbert Wiener en 1923 quien
dio la primera definición matemática rigurosa del
movimiento. Él y Paul Lévy elaboraron el modelo que
supone una partícula que en cada instante se desplaza de
manera independiente de su pasado: es como si la partícula
«olvidara» de dónde viene y decidiese
continuamente, y mediante un procedimiento al azar, hacia
dónde ir. O sea que este movimiento, a pesar de ser
continuo, cambia en todo punto de dirección y de
velocidad. Tiene trayectoria continua, pero no tiene tangente en
ningún punto. Las dos propiedades básicas que
Wiener supuso son:

• Todas las trayectorias deben ser
  continuas.

• Una vez que fue observada la posición de la
  partícula en el instante t=0 (posición por
  tanto conocida), su posición (aleatoria) en un
  instante posterior t´ debe estar regido por la ley de
  Gauss, cuyos parámetros dependen del tiempo t
  transcurrido.

No obstante, cabe destacar que fue Luis Bachelier quien
descubrió el movimiento browniano en el mercado
financiero, pero años antes que fuera descubierto en el
movimiento de las partículas y décadas antes que de
la teoría matemática propuesta por
Wiener.

Caben algunos comentarios conclusivos:

• El movimiento browniano determinó, en primera
  instancia, la existencia de movimiento.

• En segunda instancia, se cualificó el
  movimiento: irregular continuo

• En tercera instancia, se modelizó y
  cuantificó el movimiento. Es decir, se derivaron
  ecuaciones.

• En tanto, el fenómeno se da en un conjunto
  acotado (nivel de densidad)

En este sentido, sería loable trazar un
paralelismo conceptual y no sólo matemático entre
la física y la economía. Esto es, proponer no
solamente utilizar las ecuaciones de los modelos físicos,
sino también intentar aportar características de
análisis cualitativo. Por ejemplo, se podría se
podría analizar que los precios de los activos presentan
movimiento browniano en mercados de capitales solamente con una
determinada concentración. En este caso, habría que
definir que se entendería por concentración en un
mercado de capitales: tamaño, profundidad, cantidad de
acciones cotizantes, etc.

En este sentido, se toma como eje metodológico a
la premisa propuesta por Mandelbrot, la cual se basa en la idea
que las reglas de las variaciones de los precios no son las
mismas en todos los mercados, y por lo tanto un único
modelo estadístico no puede describir a todos ellos sin
tener que introducir complejizaciones: "es mejor ser
aproximadamente correcto que estar certeramente
equivocado".

Si bien este trabajo es meramente introductorio, la
pregunta subyacente sobre la cual se basa nuestra
investigación es si es posible predecir en
economía mediante un modelo
matemático.

En este sentido, en este trabajo introductorio, se
aborda el estudio de la teoría del caos, desde una doble
perspectiva:

• Su factibilidad conceptual de ser aplicada al
  ámbito de las finanzas

• Su aplicación empírica, es decir,
  qué herramental matemático puede utilizarse
  para realizar testeos preliminares en series
  temporales

Teoría del Caos

"el desorden se vuelve creador, la
simetría se quiebra, los defectos pueden ser
fértiles, los desequilibrios son permanentes, y las causas
y los efectos se relacionan de forma compleja".

Básicamente, los sistemas caóticos son
sistemas deterministas pero que se comportan como si no lo
fueran. Esto es, se observa un comportamiento aparentemente
aleatorio pero que es generado mediante un modelo determinista,
siendo el comportamiento de la variable,
"caótico".

Características de los modelos
caóticos

En el apartado siguiente se desarrollan ejemplos
sencillos para observar las principales características de
los modelos caóticos: no-linealidad, sensibilidad a las
condiciones iniciales y atractores.

Sensibilidad a las Condiciones
Iniciales, no linealidad, comportamiento acotado y ciclos
límite

La idea de sensibilidad a las condiciones iniciales
puede observarse rápidamente mediante construyendo una
serie cuadrática, la cual surge de fijar un número
inicial (condición inicial) y multiplicarlo por sí
mismo: X t+1 = Xt ^2

Si el valor inicial se fija en 0.9999, al cabo de 10
iteraciones, el resultado obtenido es 0.90266379. Si el valor
inicial se fija en 0.999 (un 0.1% más bajo), al cabo de 10
iteraciones el resultado asciende a 0.358971478 (un 60.2%
más bajo).

Si el mismo ejercicio se aplica a una
función lineal, la discrepancia en un 0.1% en la
condición inicial se traduce en una discrepancia de un 1%
al cabo de 10 iteraciones. En este caso, el proceso es poco
sensible a cambios en las condiciones iniciales.

Luego, la combinación de estructuras no lineales
y sensibilidad a las condiciones iniciales es uno de los caminos
a observar comportamientos caóticos.

Para dar una aproximación a qué se
entiende por comportamiento caótico, se utiliza la
ecuación logística X t+1 = K * Xt * (1-Xt) y se
observa su evolución dentro de 100 interaciones para
distintos valores del parámetro "K" con un valor inicial
de X de 0.6[2]

Como se observa, si se fija el valor del
parámetro K en 1.01 la serie rápidamente converge a
cero. Si se fija en 2, casi instantáneamente converge a al
valor 0.5. Si se fija en 2.7 luego de un par de iteraciones, se
estabiliza en el valor 0.63. La convergencia asintótica
hacia un punto estable indica que se esta frente a un atractor.
Es decir, en los casos anteriores, los valores 0, 0.5 y 0.63
constituyen atractores, dado que atraen el movimiento de la
función X(t).

Para K = 3.3 presenta un comportamiento distinto: la
serie se estabiliza en valores alternados: aproximadamente 0.48 y
0.82 (convergencia a un ciclo límite).

En los casos con valores de K = 3.7 y K = 4 se llega a
un estado caótico, con infinitos valores de X que oscilan
en forma imprevisible entre 1 y 0. En tanto, claramente se cumple
con dos características: comportamiento aperíodico
pero acotado.

En síntesis, se genera un proceso aparentemente
aleatorio pero generado por una ley determinista, con
determinadas condiciones. Pero lo más importante es ver
cómo pueden generarse comportamientos caóticos
desde la simplicidad de la ecuación logística
presentada. Esto es, buscar la complejidad subyacente dentro de
la sencillez aparente.

Aplicación de la Teoría del Caos en el
Mercado de Capitales

En este apartado indagaremos acerca de cuál es el
motivo por el cual se decide en este trabajo introductorio
analizar el mercado de capitales y no otras variables
económicas, tales como el producto bruto, el consumo
privado, el ahorro, etc.

En primera instancia, los grandes agregados
macroeconómicos como los mencionados parecerían ser
los más relacionados a sus fundamentals, y por lo tanto su
evolución no presentaría comportamientos tan
irregulares como es el caso de variables estrechamente
relacionadas a la conducta humana y expectativas.

Entre son los motivos que se pueden enumerar que hacen
plausible la aplicación de la teoría del caos en
los mercados financieros, pueden mencionarse los
siguientes:

• Inmensidad de variables intervinientes.
  Modelos amplios, en contraposición a los modelos
  amplios pero simplificados tradicionalmente utilizados en
  economía y a los modelos microscópicos como los
  estudiados por la física cuántica.

• Cambios bruscos (en cantidad y en velocidad),
  asemejables a los cambios climáticos, disciplina donde
  la aplicación de la teoría del caos ha sido
  exitosa. Por ejemplo, caída sustancial en
  índices bursátiles en pocas horas. Mercados que
  pasan de la euforia a las depresiones.

• Sensibilidad a las condiciones iniciales.
  Diferencia en condiciones iniciales. Por ejemplo: barrera
  psicológica en los índices bursátiles
  (Merval por arriba o por debajo de los 2.000 puntos). El
  comportamiento cambia según se este en uno u otro
  lugar: el modelo cambia. Lo mismo sobre el precio de una
  acción: si esta depreciada o sobrevaluada
  (fundamentalismo) y/o si la acción ha perforado
  algún canal, triángulo o tendencia (chartismo).
  En suma, el punto del cual parte puede ser
  determinante.

• Irracionalidad y no determinismo puro:

• Venta masiva de una acción por un vago rumor
  de mercado.

• Salida despavorida de un activo aún cuando
  sus fudamentals se mantienen intactos.

• Influencia de operadores ocasionales sin
  conocimiento del mercado, donde su demanda puede considerarse
  aleatoria.

Es justamente en este último punto donde gira la
idea conceptual de nuestra investigación. Completando o
especificando nuestra pregunta-guía: ¿ Es
posible predecir en economía mediante modelos
matemáticos …….. en variables que pueden
tener estrecha vinculación con el comportamiento
humano?

En relación a esta idea, ya han surgido
teorías alternativas contrapuestas a las defensoras de la
racionalidad, como ser las teorías del comportamiento, que
sostienen que los inversores y los operadores se mueven
según el contexto y el sesgo propio que cada uno trae, lo
cual significa que el analista basa las recomendaciones de
inversión según sus prejuicios, creencias, estados
de ánimos y otras cuestiones. En síntesis, "el
juego psicológico y emocional está presente todo el
tiempo a la hora de decidir dónde
invertir".

Frente a este escenario, es loable observar
comportamientos totalmente aleatorios en determinados ciclos,
combinados con cierto determinismo, pero solamente en el largo
plazo. En tanto, es totalmente factible que las decisiones de
consumo de un individuo estén en el corto plazo influidas
más por la emoción que por el ingreso disponible y
la tasa de interés, aunque difícilmente el consumo
a nivel agregado tenga esta estructura y, por el contrario,
sí tenga más relación con sus
Fundamentals.

Es por ello que se ha observado factible la
aplicación de la teoría del caos al análisis
de los mercados financieros en esta primera instancia, para luego
pasar a otras variables del ámbito
económico.

Reseña de la literatura

Según Fernández Díaz, el
funcionamiento de los mercados de capitales configura un ejemplo
típico en el que la aparente aleatoriedad en las series
temporales puede deberse al comportamiento caótico de un
sistema no-lineal, pero determinista, que permite llevar a cabo
predicciones a corto plazo más precisas que las que
podrían realizarse con modelos estocásticos
lineales.

Hipótesis clásicas sobre el mercado de
capitales:

• Hipótesis de Mercado Eficiente:
  establece que los precios de las acciones reflejan la
  información tanto en aquellos hechos que han ocurrido
  como sobre aquellos que el mercado espera que ocurran en el
  futuro.

• Hipótesis del Random Walk: los
  rendimientos sucesivos son independientes y están
  idénticamente distribuidos a largo del tiempo. En
  síntesis, son variables aleatorias independientes e
  idénticamente distribuidas, asumiéndose por lo
  general que siguen una distribución normal.

Cuando se generan fenómenos que contradicen la
hipótesis del mercado eficiente, se ha recurrido a una
hipótesis ad-hoc, la cual consiste en establecer que en
tales casos se han generado "anomalías". Para citar
algunos casos:

• Efecto tamaño: empresas pequeñas
  proporcionan rendimientos superiores que empresas
  grandes

• Efecto enero: rendimientos anómales durante
  el mes de enero en el mercado para firmas pequeñas en
  comparación con el resto del mercado.

• Efecto sobrerreacción: las cotizaciones
  reaccionan en exceso a la nueva información que llega
  al mercado

• Efecto cambio de mes: las acciones generan
  rendimientos positivos el último día de cada
  mes y durante la primera quincena del siguiente.

Fernández Díaz resume que para el estudio
de series temporales referidas a mercados de capitales concretos
se ha utilizado el análisis R/S, que permite comprobar si
una serie sigue o no un movimiento browniano y calificarla como
persistente o antipersistente. Sostiene que la aplicación
de dicho análisis pone de relieve la existencia de
estructuras fractales y ciclos no periódicos,
comprobándose asimismo que se comportan como sistemas
no-lineales, y que la hipótesis de mercado eficiente
resulta discutible.

Por su parte, Mandelbrot, en el artículo
"Stable Paretion Random Functions and the Multiplicative
Variation of Income" de 1969, señala que los precios
de los activos tienen características bien
definidas:

• Sufren grandes saltos que además tienden a
  agruparse

• Como consecuencia de lo anterior, las desviaciones
  típicas parecen no estabilizarse; por el contrario,
  tienden a incrementarse.

• Tales desviaciones parecen invariantes a escala, por
  lo cual deben de seguir una distribución de tipo
  hiperbólico, al menos en las colas.

Las consecuencias de lo anterior es que los precios de
los activos financieros no se distribuyen de acuerdo a una
distribución normal y que por lo tanto no se pueden
modelar de acuerdo a un movimiento browniano tal y como
señala la Hipótesis del Mercado
Eficiente.

Frente a ello, Edgard Peters y Haridas proponen la
sustitución de la Hipótesis del Mercado Eficiente
por la Hipótesis del Mercado Fractal. Spronk y Trinidad
Segovia sintetizan las características de ésta
última:

• Ineficiencia: La
  interrelación a través de estructuras no
  lineales entre los precios de los activos financieros elimina
  completamente la Hipótesis del Random Walk y por lo
  tanto el mercado no es eficiente.

• El equilibrio del mercado: No
  existe un solo equilibrio en el mercado (como supone la
  Hipótesis del Mercado Eficiente) sino tantos como
  horizontes temporales tengan los operadores. En el corto
  plazo se asume que el mercado tiene una estructura fractal,
  mientras que en el largo plazo esta se convierte en
  caótica.

• Memoria y ciclos en el mercado:
  Los sistemas caóticos son deterministas y
  retroalimentados, por lo que el mercado tiene memoria de los
  hechos pasados.

• Aleatoriedad Local y Determinismo
  Global: La diferencia fundamental que se suscita
  entre ambas teorías es que bajo la Hipótesis
  del Mercado Eficiente no es posible desarrollar predicciones
  sobre la cual va a ser el comportamiento futuro de los
  precios, puesto que los mismos se comportan de forma
  aleatoria. Pero si se asume por el contrario que el mercado
  no es eficiente y que el sistema subyacente es
  caótico, existen algunas posibilidades de
  predicción.

En síntesis, frente a la no correlación
empírica de la hipótesis del mercado eficiente
surge del mercado fractal, estrechamente emparentada al
comportamiento caótico se las series, cuya principal
consecuencia, según algunos autores, es la capacidad de
predicción en el corto plazo. No obstante, debe destacarse
que la capacidad de predicción estaría limitada al
muy corto plazo, dado que una de las conclusiones fundamentales
de la teoría del caos es, justamente, la aceptación
conceptual de incapacidad de predicción, aún en un
modelo cuasi-determinista.

En suma, la evidencia empírica devenida de los
análisis realizados mediante la hipótesis del
mercado eficiente ha sido tan contradictoria como aquella
devenida del análisis mediante la hipótesis del
mercado fractal.

En el apartado siguiente se presentará una
metodología preliminar para testear si existe evidencia a
favor del comportamiento caótico de una serie temporal.
Luego, para culminar, se harán algunos cometarios respecto
a dicha metodología.

Testo de Comportamiento Caótico

Para testear si existe evidencia de comportamiento
caótico en una serie temporal, se sigue el siguiente
procedimiento:

En primera instancia se filtra o quita toda la
estructura lineal que presente dicha serie. Luego se
evalúa, si la parte remanente, arroja evidencia de
responder a un modelo no lineal, aunque no se estima dicho
modelo.

Si se observa comportamiento no lineal, se procede a
analizar si la serie remanente presenta sensibilidad a las
condiciones iniciales.

Para testear la sensibilidad a las condiciones
iniciales, se estima el coeficiente de
Liapunov[3]de la serie. Si el mismo da un
valor positivo, es una evidencia a favor de existencia de
dinámica caótica subyacente.

Las herramientas a utilizar para concretar el
procedimiento descripto son las siguientes:

• 4. Aplicación de un filtro ARIMA o GARCH
  a una serie mediante la metodología Box y
  Jenkings

• 5. Testeo de no linealidad en los residuos
  mediante el test BDS. Aquí se testea si los residuos
  del modelo ARIMA-GARCH aplicado, en principio "ruido blanco",
  presentan algún tipo de estructura no
  lineal.

• 6. Si se observa dinámica no lineal, se
  procede a testear la existencia de comportamiento
  caótico, testeando la existencia de de sensibilidad a
  las condiciones iniciales estimando el exponente de Liapunov
  mediante el test NEGM.

Testeo en el Mercado de Capitales: Bolsa de Valores
de Buenos Aires

Las series temporales analizadas tienen las siguientes
características:

• Cotización diaria de acciones transadas en la
  bolsa de valores de Buenos Aires, al precio de
  cierre.

• Muestras: inician hacia el año 1997 y
  finalizan en la actualidad. Circa 2.500
  observaciones.

• Son no estacionarias

Trabajando en diferencias primeras se logran series
estacionarias. Las series diferenciadas presentan
heteroscedasticidad, por lo cual se han estimado modelos GARCH.
En casi la totalidad de los casos, surge de la aplicación
del test BDS que los residuos resultantes de aplicar filtros
ARIMA y GARCH presentarían no linealidad. Es decir,
rechazan la hipótesis nula de serie lineal e
idénticamente distribuida contrastada mediante dicho test.
En general, el test NEGM arroja coeficiente de Lyapunov
negativos, con lo cual se estaría rechazando la
hipótesis de comportamiento caótico.

Comentarios

En primera instancia, cabe destacar que el método
utilizado, al igual que muchos otros a lo largo de la literatura,
combinan el uso del herramental de la econometría
clásica de series de tiempo con la matemática del
caos (sensibilidad a las condiciones iniciales, atractores,
acotamiento, etc). Luego, se estaría generando una forma
de desdoblamiento metodológico, dado que el sólo
hecho de aplicar filtros lineales clásicos presuponen
normalidad y determinismo subyacente, características
ajenas a la dinámica caótica. El motivo por el cual
se aplican filtros lineales en el primer paso es que, de no
hacerlo, en las series económicas y financieras se generan
sesgos en relación a las dimensiones seleccionadas para
realizar los testeos.

No obstante, el preconcepto fundamental es que el
análisis de fenómenos en el marco o paradigma de la
teoría del caos implica que se aborda un estudio sin
conocimiento alguno de los parámetros del
modelo.

En síntesis, el desafío es que, si se
pretende testar o modelizar el comportamiento de series
financieras en el marco de la dinámica caótica,
sería necesario hacerlo mediante herramientas propias de
la matemática del caos, sin la aplicación del
análisis tradicional de series temporales. En
síntesis, intentar buscar un paralelismo entre la
teoría conceptual y el análisis
metodológico.

Bibliografía

• Mandelbrot, Benoit (1997), Fractals
  and Scaling in Finance. Ed. Springer.

• Ellner, Nychka and Gallant (1992),
  LENNS, a program to estimate the dominant Lyapunov
  exponent of noisy nonlinear systems from time series
  data. Institute of Statistics Mimeo Series # 2235,
  Statistics Department, North Carolina State
  University.

• Belaire-Franch, Contreras-Bayarri
  (2001), The BDS Test: A Practitioner´s Guide.
  Departamento de Análisis Económico, Universidad
  de Valencia.

• Fernández Díaz,
  Andrés, Dinámica Caótica en
  Economía. Universidad Complutense de Madrid. Mc
  Graw Hill.

• San Miguel, Jesús Miguel,
  Movimiento Browniano y Geometría Fractal: El
  IBEX35. XIII Jornadas de ASEPUMA. Universidad de
  Sevilla.

• Samentband, Moisés José,
  Entre el orden y el caos: la complejidad. Fondo de
  Cultura Económica.

• Spronk, J., Trinidad Segovia, J. E.
  (2005), Más de medio siglo en busca de una
  teoría sobre los mercados de capitales. Estudios
  de Economía Aplicada, vol. 3, número 001,
  Asociación de Economía Aplicada, Madrid,
  España.

• Jorge, Ariel Nicolás,
  Dinámica no lineal y caos en el mercado cambiario:
  Un análisis empírico para Argentina.
  Seminario de Integración y Aplicación, FCE-UBA.
  2004.

• Balocco, Maradona, Señal de
  Caos en series financieras. El spectrum de Lyapunov en el
  análisis de "sensibilidad a condiciones iniciales".
  FCE- UN de Cuyo, Mendoza, Argentina.

Autor:

Actuario Juan Ramón Garnica Hervas
(UBA)

Dra. Adriana Caniggia (UBA)

Lic. Esteban O. Thomasz (UBA)

Docente Alumno Paula
Garófalo(UBA)

[1] Las soluciones verdaderas son soluciones
donde el soluto esta disuelto a nivel molecular. Por ejemplo,
solución de azúcar o sal en agua.

[2] Se utilizan los ejemplos presentados por
Moisés José Sametban, en “Entre el Orden y
el Caos: La Complejidad”, páginas 111-118.

[3] El exponente de Liapunov cuantifica el
crecimiento de errores infinitesimales en el valor inicial
s(to), dando una medida de la separación de dos
trayectorias próximas. El exponente de Liapunov positivo
supone una condición necesaria para la existencia de
caos.