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Interés simple



  1. Interés simple
  2. Definicion de interés
  3. Valor
    presente
  4. Descuento bancario
  5. Redescuento
  6. Descuento en cadena
  7. Pagos
    parciales
  8. Ecuaciones de valor

INTERÉS
SIMPLE

En este tema estudiaremos los métodos y
técnicas que se utilizan en la matemática
financiera. Todos ellos son básicos para el desarrollo del
presente texto y, además, nos permitirán aplicar un
enfoque analítico de los aspectos financieros. De este
modo lograremos la optimización de los recursos
económicos los cuales, al final, vienen a ser nuestro
objetivo fundamental.

DEFINICION DE
INTERÉS

El interés es el rédito que hay que pagar
por el uso del dinero prestado. Resulta ser lo mismo que pagar un
arriendo, por el uso de una casa dada en alquiler; por esta
razón, todas las actividades financieras tienen como norma
cobrar un interés, cuando se presta un dinero.El
interés depende de tres factores fundamentales: el
capital, la tasa de interés y el tiempo.

Interés

Es el pago que se hace por el alquiler de un dinero; lo
representaremos por I.

Tasa de interés

Es la cantidad de dinero que se paga por el
alquiler de $100 o por el alquiler de $1. En el primer caso se
denomina tasa porcentual y en el segundo, tasa por uno. En ambos
casos se representará por i. Por ejemplo si tengo
que pagar $3, de interés por un préstamo de $100,
entonces la tasa será del 3 por ciento que se escribe 3% y
si tengo que pagar 3 centavos por el préstamo de $1 la
tasa será 0,03 por uno que también se puede
escribir como 3% desde que 3% = 3/100 = 0,03.

Mientras no se dé ninguna
especificación en contrario, la tasa de interés se
entenderá anual.

Tiempo

Es la duración del préstamo; normalmente,
la unidad de tiempo es el año y lo representaremos por
t.

Capital inicial

Es la cantidad de dinero que se presta;
también se le conoce con el nombre de valor actual, valor
presente o, simplemente, presente. Lo representaremos por
P.

Fórmula del interés simple

El interés es una función directa del
tiempo, la tasa y el capital inicial, lo cual podremos
representar por:

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Clases de interés simple

Hay personas que usan el año de 360 días y
llaman ordinario al interés. Otros usan un
año de 365 o 366 días y lo llaman exacto
al interés. Cuando se mide el tiempo por el cual se presta
el dinero y éste es inferior a un año,
también hay divisiones; unos siempre usan 30 días
en todos los meses, es decir, calculan un tiempo aproximado.
Otros usan, para el mes, los días que señale el
calendario; por lo tanto, podemos afirmar que existen cuatro
clases de interés simple. Podremos aclararlos con el
siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Calcular el interés en cada caso, suponiendo un
préstamo de $80.000, el cual se hace para el mes de enero,
si la tasa que se cobra es del 30%.

Solución. En todos los casos, se utiliza la misma
fórmula I = P i t en la cual P =
80.000, i = 30% = 30/100 = 0.3 y la aplicación de t puede
hacerse de diferentes formas:

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  • (1) Se conoce con el nombre de interés
    bancario; por ser el más costoso es el de más
    amplio uso, obviamente el más beneficioso para el
    prestamista y el más perjudicial para el
    prestatario.

  • (2) Se conoce con el nombre de interés
    comercial; muy utilizado porque los cálculos manuales
    se facilitan debido a la posibilidad de hacer
    simplificaciones.

  • (3) Comúnmente llamado interés
    racional, exacto o verdadero, produce un resultado exacto,
    las otras clases de interés producen un error debido a
    las aproximaciones, las cuales no tienen importancia si el
    valor del préstamo no es muy grande, pero si se trata
    de un capital grande las diferencias vienen a ser
    significativas por lo que es necesario hacer los
    cálculos lo más exactos posibles con el fin de
    no perjudicar ni al prestatario ni al prestamista.

  • (4) No tienen nombre. Solamente existe en
    teoría, es el más barato de todos y no tiene
    utilización.

Monto Simple

Se denomina monto al capital inicial, más los
intereses y lo representaremos por S, por lo tanto, la
fórmula del monto simple será S = P + Pit =
P(1+i t)

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El monto también se conoce con los nombres de:
valor final, capital final o valor futuro.

Ejemplo 2

Si se invierten hoy $65.000,
¿cuál será su monto al final de 90
días? Suponga una tasa del 32% bancario.

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Solución.

Ejemplo 3

Calcular el monto de $80.000 en 4 meses,
con una tasa del 30% comercial.

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Solución.

VALOR PRESENTE

Si de la fórmula del monto se despeja P se tiene
la siguiente ecuación, la cual es considerada como otra
fórmula:

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Ejemplo 4

Un documento tiene un valor al vencimiento
de $90.000 ¿Cuál será su valor presente 60
días antes del vencimiento, suponiendo un interés
racional del 28%?

Solución.

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En la práctica, la clase de
interés que se utiliza en un momento dado viene a
determinarse por el tipo de operación que se vaya a
realizar.

TABLA DE DIAS

La tabla de días nos será de gran ayuda,
cuando necesitamos conocer, en forma exacta, los días que
transcurren entre una fecha y otra. Esto ocurre en el
interés bancario y en el interés racional. La
elaboración de la tabla de días consistente en
asignarle a cada día del año un número en
forma consecutiva; esta asignación va desde el
número 1, que corresponde al día primero de enero,
hasta el número 365, que corresponde al 31 de diciembre
(cuando el año sea bisiesto, habrá que agregar un
día a partir del primero de marzo, entonces, el 31 de
diciembre sería el día 366). Es necesario aclarar,
que por facilidad, utilizaremos la siguiente clave para
identificar fechas: el primer número indicará los
días del mes, por tanto variará entre 1 y 31; el
segundo número, indicará el mes y podrá
variar entre 1 y 12, y el tercer número
señalará el año. La separación entre
esos números se hará utilizando guiones. Por
ejemplo el 13 de mayo de 1991 se podrá representar por
13-5-91.

LÍNEA DE TIEMPO

Para facilitar la comprensión de un problema, es
conveniente representar el tiempo sobre una línea que se
le denomina línea del tiempo en la cual se ubican las
fechas de las operaciones financieras y sus correspondientes
valores.

Se acostumbra representar con flecha que parte de la
línea hacia arriba a los ingresos y con flecha que parte
de la línea hacia abajo a los egresos. Naturalmente que el
dibujo que se construya para el prestamista será inverso
al que se construya para el deudor.

Al dibujo así obtenido se le suele llamar
diagrama de flujo de caja.

Ejemplo 5

Calcular los días transcurridos
entre el 18 de marzo y el 20 de noviembre del mismo
año.

Solución. Los días que
hay entre el inicio del año y el 20 de noviembre,
según la tabla del anexo 1, corresponde al 324, los
días que hay entre el principio del año y el 18 de
marzo son 77, entonces, por diferencia 324 – 77 = 247
días.

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Ejemplo 6

Calcular los días transcurridos
entre el 16-10-87 y el 20-2-88.

Solución. Como la tabla
está hecha para un año, debemos calcular, por
separado, los días que hay en cada año y
sumarlos.

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31-12-28 = 365

16-10-87 = -289

———-

76 Total de días 76+51 =
127

Ejemplo 7

Hallar la fecha de vencimiento y el valor
final de un documento con valor inicial de $25.000, fechado el 23
de junio, a un plazo de 130 días: a) con un interés
racional del 30%, b) con un interés bancario del
30%.

Solución. Para ambos casos la
fecha de vencimiento será:

23-6=174

+130

————–

31-10=304

Y el valor al vencimiento,
será:

a)

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b)

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DESCUENTO

En la práctica comercial, muy frecuentemente
encontramos la negociación de documentos antes de su
vencimiento. Por ejemplo, es el caso de un fabricante que vende
sus productos a varios minoristas con un plazo de tiempo para el
pago y, en respaldo de la deuda, se entrega algún
documento negociable como un cheque, una letra, un pagaré,
etc. Sin embargo, en un momento dado, el fabricante puede tener
su capital de trabajo representado en estos documentos y no tener
liquidez para pagos urgentes como sueldos, primas, compra de
materia prima, pago de impuestos, etc. Por esta razón,
puede verse obligado a vender estos documentos; es decir, a
negociar su cartera o parte de ella, para obtener liquidez
inmediata. Estos documentos pueden ser negociados con
particulares, con entidades bancarias, o bien, con ciertas
compañías de financiamiento comercial denominadas
Factoring. La función principal de estas empresas es
comprar estos documentos y cobrarlos, a su vencimiento.
Naturalmente, nadie va a pagar por el documento el mismo valor
que va a cobrar al vencimiento del mismo, sino que quieren ganar
algo al hacer el negocio; es decir, van a hacer un
descuento.

El descuento puede hacerse de varias maneras, pero
aquí sólo trataremos el descuento bancario, por ser
el que corresponde al interés simple y puede ser
considerado como una línea de crédito.

DESCUENTO
BANCARIO

Al descuento bancario, simplemente se le denomina
descuento y consiste en cobrar intereses por anticipado,
calculados sobre el valor final del documento (debemos advertir
que el descuento bancario usa el interés
bancario).

Si representamos por:

D = Descuento (la cantidad
desconocida)

d = Tasa de descuento (naturalmente, esta tasa es
anticipada, la cual significa que el interés se cobra al
principio).

S = Valor final del documento (valor al
vencimiento)

t = tiempo que transcurre entre la fecha de
negociación (venta) y la fecha de vencimiento.

De las definiciones anteriores, podemos concluir
que:

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El valor de la transacción es el valor del
documento al vencimiento, menos el descuento y lo representaremos
por VT, en consecuencia:

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Ejemplo 8

Un documento con valor inicial de $50.000 es fechado el
7 de diciembre, con un plazo de 75 días e intereses al
30%. Va a ser descontado el 15 de enero del siguiente año,
al 40% Determinar el valor de la a transacción.

Solución.

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El documento inicia su vigencia el 7 de diciembre y dura
75 días, en consecuencia, el vencimiento se
cumplirá en el siguiente año. El número de
días que faltan, para terminar el año (365 –
341) es de 24. Por lo tanto, el documento tomará 75
– 24 = 51 días del nuevo año que,
según la tabla del anexo 1 corresponde al 20 de
febrero.

Como el documento va a ser negociado (vendido) el 15 de
enero, el tiempo de la transacción será:

20 febrero 51

15 Enero -15

———–

36 días

Ahora procedemos a calcular el valor final del
documento:

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A continuación, calculamos el
descuento.

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Finalmente, el valor de la transacción
será:

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En consecuencia, el vendedor del documento recibe
$51.000, el día 15 de enero y el comprador recibirá
$53.125, el día 20 de febrero, por lo tanto su utilidad
será de $2.125.

REDESCUENTO

Un documento que ya ha sido negociado, es decir que fue
vendido, el comprador puede volverlo a vender, pero se conserva
constante el valor final del documento, puesto que el girador
siempre responderá por la suma que desde un principio se
comprometió a pagar

Por disposiciones del banco emisor, un porcentaje de los
dineros que reciba un banco en calidad de consignaciones en
cuenta corriente, captaciones por depósitos a
término fijo o por otros conceptos, deben ser depositados
en el banco emisor (en Colombia se le denomina Banco de la
República), esta consignación se conoce como encaje
bancario y tiene por objeto controlar el crecimiento del
circulante, es decir la cantidad de dinero que está en
p0oder del público con el fin de restringir el consumo y
con ello reducir la inflación.

Cuando se decide aumentar el encaje bancario es casi
seguro que los bancos no tienen toda la cantidad de dinero para
cumplir con esta medida debido a que está dado en
préstamo a sus clientes y en tal caso, se ven en la
necesidad de negociar con el banco emisor parte de los documentos
que ellos habían adquirido previamente mediante una
operación de descuento, ésta segunda
operación recibe el nombre de redescuento y como se hace
entre bancos se denomina redescuento bancario.

Ejemplo 9

Un documento de valor final $70.000 vence el 17 de
octubre, fue descontado al 45% el 10 de agosto y fue vuelto a
descontar el 20 de septiembre al 30%. Hallar la utilidad obtenido
por el primer comprador.

Solución. Tiempo transcurrido entre el 10-8 y el
17-10 = 68 días. Entonces el valor descontado en la
operación de descuento

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Si el primer comprador se hubiera quedado con el
documento hasta su vencimiento hubiera ganado $5.950, pero como
lo vende, en esta segunda operación de descuento, es decir
en el redescuento perderá:

Tiempo que transcurre entre el 20-9 y el 17-10 = 27
días

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Utilidad obtenida por el primer comprador $5.950 –
1.575 = $4.375

DESCUENTO EN
CADENA

Con frecuencia, un documento puede acumular varios
descuentos, esto recibe el nombre de descuentos en cadena. En
este caso, el siguiente descuento se aplica sobre el saldo
anterior, y así sucesivamente.

Ejemplo 10

Un almacén ofrece los siguientes descuentos,
sobre una mercancía cuyo costo es de $200.000:

30% por venta al por mayo

5% por pago al contado

10% por temporada

  • a) ¿Cuál es el valor final de la
    factura?

  • b) ¿Cuál es el descuento promedio
    que se otorga?

Solución.

V/R antes

del descuento

Tasa de

descuento

V/R después

del descuento

200.000

30%

140.000

140.000

5%

133.000

133.000

10%

119.700

El descuento total es de 200.000 – 119.700 =
$80.300, que equivale a:

80300/200000=0.4015=40.15%

Del ejemplo anterior, podemos deducir la siguiente
fórmula:

V/R antes

del descuento

Tasa de

descuento

V/R después

del descuento

A

d1

A-Ad1= A(1-d1)

A(1-d1)

d2

A(1-d1) (1-d2)

A(1-d1) (1-d2)

d3

A(1-d1) (1-d2)
(1-d3)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A(1-d1) (1-d2)
….(1-dn-1)

dn

A(1-d1)
(1-d2)…(1-dn)

La tasa promedio de descuento será:

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Factorizando y simplificando a A, tenemos:

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El producto (1 – d1) (1 – d2) … (1 –
dn) puede ser escrito en cualquier orden sin que se altere el
resultado, puesto que "el orden de los factores no altera el
resultado". Por tanto, podemos concluir que no tienen ninguna
importancia el orden en que se tomen los descuentos.

Ejemplo 11

Aplicando la fórmula del descuento en cadena al
ejemplo anterior, calcular el descuento promedio.

Solución. d = 1 – (1 – 0.3)(1 –
0.05)(1 – 0.1) = 0.4015 = 40.15%

PAGOS PARCIALES

Hay ocasiones en que se otorga un crédito y se
conviene en que cada vez que el deudor se presente a hacer un
pago a la deuda se liquidan los intereses causados hasta la fecha
y el excedente del pago se utiliza para abonar a la deuda. Este
sistema, utilizado con frecuencia por el comercio, se le conoce
con el nombre de pagos parciales.

Ejemplo 12

Se compra un artículo el día 20 de abril a
un costo de $400.000 y se conviene en cancelarlo así:
$150.000 de cuota inicial, $200.000 el 17 de junio y el saldo el
25 de julio. Con un interés del 30% bancario determinar el
saldo insoluto el 25 de julio (saldo insoluto es el mismo saldo
de la deuda).

Solución:

Saldo el 20 de abril
…………………………………………………………………………………
$250.000

Intereses causados entre el 20 de abril y el 17 de
junio

I = P i t = 250.000 x 0.3 x 58/360 =
………………………………………………………….
12.083,33

Abono el 17 de junio 200.000 – 12.083,33 =
……………………………………………..
187.916.67

Saldo el 17 de junio
……………………………………………………………………………….
62.083.33

Intereses causados entre el 17 de junio y el 25 de
julio

I = P i t = 62.083,33 x 0.3 x 38/360 =
………………………………………………………..
1.965.97

Saldo el 25 de julio
………………………………………………………………………………..
64.049.30

ECUACIONES DE
VALOR

Es muy frecuente encontrar una o varias obligaciones,
que van a ser canceladas mediante uno o varios pagos,
operación que se le denomina refinanciación de
deudas; pero, debido a que el poder adquisitivo del dinero cambia
con el tiempo, la solución de este problema no es tan
elemental y, por ello, se hace necesario el uso de las llamadas
ecuaciones de valor, que son igualdades de valores ubicados en
una sola fecha, denominada fecha focal.

La fecha focal (representada porƒƒ) es la
fecha en que hacemos la comparación de ingresos con
egresos y se representa por una línea a trazos, la
ubicación de la fecha focal puede ser escogida de
común acuerdo entre las partes, pero usualmente es el
acreedor (dueño del dinero) quien determina la
posición de la fecha focal.

El principio fundamental de una ecuación de valor
establece que:

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Es decir que la suma de los ingresos es igual a la suma
de los egresos, pero puestos todos en la misma fecha, la cual se
denomina fecha focal.

Naturalmente, el traslado de cualquier ingreso o de
cualquier egreso a la fecha focal deberá hacerse usando
las fórmulas del monto o del valor presente a una tasa de
interés llamada de rendimiento, la cual es fijada
generalmente de común acuerdo entre las partes.

El principio fundamental de una ecuación de
valor, según el caso, puede ser enunciado en estas otras
formas:

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Ejemplo 13

Debe cancelarse un pagaré por $30.000 en 3 meses;
otro, por $50.000, con vencimiento en 5 meses y un tercero por
$80.000 con vencimiento en un año. Si se ofrece pagar hoy
$25.000 y el resto en 8 meses, ¿cuál debe ser el
valor del pago, para que las deudas queden canceladas? Suponga un
interés del 30% y la ff en 5 meses.

Solución.

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El 0 representa el día de hoy, los demás
números en la línea del tiempo representan las
fechas de los vencimientos de las deudas o de los
pagos.

Obsérvese que hemos colocado las deudas a un lado
de la línea del tiempo y los pagos en el otro lado de la
misma línea.

Para el planteamiento de la ecuación del valor,
debemos trasladar todas las deudas y pagos a la fecha focal
usando la tasa del 30%.

El pagaré de $30.000 debe ubicarse ene l mes 5,
es decir, que si no se paga en el mes 3 sino en el mes 5
¿cuál hubiese sido su valor? Por tanto este
pagaré se convertirá en 30.000 (1 + 0.3 x 2/12). El
segundo pagaré está sobre la fecha focal, en
consecuencia no debe sufrir ningún cambio; pero el tercer
pagaré deberá trasladarse desde el mes 12 hasta el
mes 5, es decir, que si no se pagara en el mes 12, sino en el mes
5 ¿cuál hubiese sido su valor?

Por tanto, este pagaré se convertirá
en:

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Si aplicamos el principio fundamental
tenemos:

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Entonces despejamos y se obtiene X =
$130.569,61

Esto significa que en el mes 8 deberá pagarse
exactamente $130.569.91, si se paga antes o después la
cantidad varía.

Ejemplo 14

Una persona tiene dos deudas caracterizadas así:
$60.000 con vencimiento en 10 meses e intereses del 25% y
$100.000 con vencimiento en 24 meses e intereses del 28%. Si las
va a cancelar con un pago de $20.000 el día de hoy y $X en
12 meses, determine el valor del pago con rendimiento del 20%.
Poner ff en 12 meses.

Solución

Como las deudas devengan interés, entonces, a los
10 meses no se deben $60.000 sino

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En igual forma a los 24 meses se
deberá

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Y la gráfica será

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La deuda de $72.500 debe ser puesta en 12
así:

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La deuda de $156.000 debe ser puesta en 12
así:

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El pago de $20.000 se convierte en:

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La ecuación de valor será

74.916.67 + 130.000 = 24.000 +
X

de donde X =
$180.916.67

Obsérvese que cada deuda se coloca en la
línea de tiempo con su correspondiente interés, es
decir, se colocan los respectivos montos; sin embargo, los
traslados de los montos a la ff se hacen al
rendimiento.

Ejemplo 15

¿A qué tasa de interés $20.000 con
vencimiento en 3 meses y $50.000 con vencimiento en 10 meses
será equivalente a $90.000 con vencimiento en 15 meses?
Coloque la ff en 15 meses.

Solución.

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Eliminando los paréntesis se tiene:

20.000 + 20.000 i + 50.000 + 20.833.33 i
= 90.000

despejando i se tiene: i = 0.4898 =
48.98%

Observación. En una ecuación de
valor se pueden presentar pequeñas diferencias en la
respuesta cuando se cambia de sitio a la ff, por esta
razón, y solamente en interés simple, es
indispensable indicar el sitio donde se deberá colocar la
ff.

 

 

Autor:

Briceño, Francisco

Delgado, Erika

López, Roberto

PROFESOR:

Ing. Andrés Eloy Blanco

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITÉCNICA

"ANTONIO JOSÉ DE SUCRE"

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CÁTEDRA: INGENIERÍA
ECONÓMICA

PUERTO ORDAZ, JULIO DE 2006

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