Contenidos (1). 1.- Cantidad de movimiento. 2.- Primera ley de
Newton (ley de la inercia). 3.- Segunda ley de la
Dinámica. 4.- Impulso mecánico. 5.-
Conservación de la cantidad de movimiento 6.- Tercera ley
de la Dinámica (acción y reacción). 7.-
Sistemas de referencia: 7.1. Inerciales. 7.2. No inerciales
(sólo introducción y algún ejemplo
sencillo).
Contenidos (2). 8.- La fuerza de rozamiento. 9.-Estudio de
algunas situaciones dinámicas: 9.1. Dinámica de
cuerpos aislados. Planos inclinados. 9.2. Dinámica de
cuerpos enlazados. Cálculo de la aceleración y de
la tensión. 9.3. Dinámica del movimiento circular
uniforme.
?Cantidad de movimiento (p) Es el producto de la masa de una
partícula por su velocidad. p = m · v Es un vector
que tiene la misma dirección y sentido que v y es por
tanto también tangente a la trayectoria. Como: v = vx i +
vy j + vz k p = m· v = m·(vx i + vy j + vz k) =
m· vx· i + m· vy· j + m·
vz· k p = px· i + py· j + pz· k
Principio de inercia (primera ley de Newton) Se basa en las
apreciaciones de Galileo. “Si no actúa ninguna
fuerza (o la suma vectorial de las fuerzas que actúan es
nula) los cuerpos permanecen con velocidad (v) contante”.
Es decir, sigue en reposo si inicialmente estaba en reposo, o
sigue con MRU si inicialmente llevaba una determinada v.
Segunda ley de Newton “La fuerza resultante aplicada a un
objeto es igual a la variación de la cantidad de
movimiento con respecto al tiempo, o lo que es lo mismo, al
producto de la masa por la aceleración”. d p d (m
· v) d v F = —— = ————
= m · —— = m · a d t d t d t ya que la
masa, al ser constante, sale fuera de la derivada. En general,
suele existir más de una fuerza por lo que se usa: ? F = m
· a
Deducción del principio de inercia En realidad el primer
principio, se deduce fácilmente a partir del anterior: ? F
= m · a. Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es nula
(? F = 0) ? a = 0 ? v = constante. También puede
deducirse: Si ? F = 0 ? dp = 0 ? p = constante ? v =
constante.
Ejemplo: Un coche de 900 kg de masa parte del reposo y consigue
una velocidad de 72 km/h en 6 s. Calcula la fuerza que aplica el
motor, supuesta constante. ?p = m · v2 – m ·
v1 = m ·(v2 – v1) = = 900 kg · 20 m/s
· i – 0 · i = 18000 · i kg ·m/s
?p 18000 · i kg ·m/s F = —— =
———————— = 3000 i
N ?t 6 s Se pueden sustituir diferenciales por incrementos, pues
aunque así obtendría Fuerza media, ésta
coincidiría con F al considerarla constante.
Impulso mecánico (I). En el caso de que la fuerza que
actúa sobre un cuerpo sea constante, se llama impulso al
producto de dicha fuerza por el tiempo que está actuando.
I = F ·? t = ?p = m · v2 – m · v1 = m
· ?v “El impulso mecánico aplicado a un
objeto es igual a la variación en la cantidad de
movimiento de éste”.
Ejemplo: Un tenista recibe una pelota de 55 g de masa con una
velocidad de 72 km/h; y la devuelve en sentido contrario con una
velocidad de 36 km/h. Calcula el impulso que recibe la pelota y
la fuerza media que aplica el tenista, si el contacto de la
pelota con la raqueta dura una centésima de segundo. I = F
· ? t = ?p = m · v2 – m · v1 = = 0,055
kg · (–10 m/s) · i – 0,055 kg ·
20 m/s · i = I = –1,65 i kg ·m/s I
–1,65 · i kg ·m/s F = —— =
———————— =
–165 i N ? t 0,01 s Lógicamente, tanto la componente
del impulso como la de la fuerza tienen signo negativo pues
tienen sentido contrario al inicial de la pelota.
Teorema de conservación de la cantidad de movimiento. De
la propia definición de fuerza: dp F = —— dt
se deduce que si F = 0, ( o ??F, resultante de todas aplicadas
sobre una partícula, es 0, entonces p debe ser constante.
Lo que significa que deben ser constantes cada una de sus
componentes cartesianas: px, py y pz, y por tanto también
las de la velocidad ? MRU
Principio de acción y reacción (tercera ley de
Newton) Si tenemos un sistema formado por dos cuerpos que
interaccionan entre sí, pero aislados de toda fuerza
exterior, la cantidad de movimiento total de dicho sistema
permanecerá constante. ?ptotal = ?p1 + ?p2 = 0 Si
dividimos ambos miembros por ? t ?ptotall ?p1 ?p2 ? F =
——— = —— + —— = 0 ? F1
= –F2 ?t ?t ?t Es decir, la fuerza que ejercida sobre
1(debido a la interacción de 2) es igual que la ejercida
sobre 2 (producida por 1).
Principio de acción y reacción (tercera ley de
Newton) (cont). Al actuar las dos fuerzas sobre cuerpos distintos
ejercer, en general efectos también distintos
(aceleraciones distintas). Por ejemplo, la fuerza con la que nos
atrae la Tierra (Peso) tiene el mismo módulo y sentido
contrario que la Fuerza con nosotros atraemos a la Tierra. Es
evidente, en este caso que mientras la Tierra ejerce sobre
nosotros un efecto apreciable (aceleración de la
gravedad), el efecto de 60 o 70 kp que ejercemos sobre la Tierra
es absolutamente despreciable.
Ejemplo: Un libro está apoyado en la superficie
horizon-tal de una mesa y se tira de él horizontalmente
con una cuerda ligera. Identifica las fuerzas que actúan
sobre el libro y sus correspondientes pares
acción-reacción. Hay tantas fuerzas como parejas de
cuerpos interaccionan. Con el libro interaccionan: la Tierra, la
cuerda y la mesa. La Tierra actúa sobre el libro (peso) y
el libro atrae a la Tierra (despreciable para la Tierra). La
cuerda aplica al libro la Tensión y el libro actúa
sobre la cuerda con una fuerza igual pero de sentido contrario.
El libro empuja a la mesa con una fuerza igual a su peso. La
reacción de la mesa es la fuerza normal. Igualmente, la
mesa se opone al deslizamiento del libro con una fuerza de
rozamiento y el libro actúa sobre la mesa con una fuerza
igual pero de sentido contrario.
Conservación de la cantidad de movimiento en dos cuerpos.
Ya hemos visto que si ??F= 0, p debe ser constante. En el caso de
que la interacción sea un choque: ? pantes = ?
pdespués m1 · v1 + m2 · v2 = m1 ·
v1’ + m2 · v2’ En el choque elástico
v1’ y v2’ (velocidad con que salen rebotados los
objetos) son distintos. En el choque inelástico v1’
= v2’. (los dos objetos salen juntos incrustado el uno en
el otro)
Ejemplo: Una canica de 8 g lleva una velocidad constante de 4
m/s, y golpea una bola de madera de 200 g que está en
reposo. Si como resultado del choque la canica sale rebotada con
una velocidad de 2 m/s, calcula la velocidad con que comienza a
moverse la otra bola. m1 · v1 + m2 · v2 = m1
· v1’ + m2 · v2’ 8 g ·4 m/s i +
200 g · 0 i = 8 g ·(–2 m/s) i + 200 g
· v2’ Despejando v2’ obtenemos: 32
g·m/s i + 16 g·m/s i v2’ =
——————————
= 0,24 i m/s 200 g
Ejercicio: Una bola de billar choca a una velocidad de4 m/s con
otra bola igual que está parada. Después del
choque, la primera bola se mueve en una dirección que
forma 30º con la inicial, y la segunda con –60º
con la dirección inicial de la primera. Calcula el
módulo de la velocidad final de cada bola. (Sol: 2 m/s y
3,46 m/s) m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v1’
+ m2 · v2’ Descomponiendo la ecuación
vectorial en dos escalares: x) m · (4 + 0) m/s = m
· [v1’· cos 30º + v2’· cos
(-60º)] y) m · (0 + 0) m/s = m ·
[v1’· sen 30º + v2’· sen
(-60º)] 4 m/s = 0,866 v1’ + 0,5 v2’ 0 m/s = 0,5
v1’ – 0,866 v2’ Resolviendo el sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas obtenemos: v1’ = 1,732
m/s ; v2’ = 2 m/s
Sistemas de referencia Inerciales: El origen (observador)
está en reposo o MRU. Son aplicables las leyes de Newton.
Las aceleraciones son producidas por fuerzas debidas a la
interacción entre cuerpos (contacto o a distancia). No
inerciales: El origen (observador) lleva una determinada
aceleración. No son aplicables las leyes de Newton.
Sistemas no inerciales No son aplicables las leyes de Newton. Se
introducen las llamadas fuerzas de inercia Finercia (virtuales)
que no son el resultado de la interacción entre cuerpos
sino un artificio matemático para poder aplicar las leyes
de Newton. (Fi = – m· a ) Cuando el sistema se
encuentra en equilibrio se cumple el principio de
D’Alembert: ??Freales + Finercia = 0
Viaje en autobús Al arrancar con aceleración
“a”, la persona se siente impulsada hacia
atrás: Sist. Inercial: (fuera del autobús) No
existe fuerza y por tanto tampoco “a” (nadie le
empuja, permanece quieto por inercia). Sist. No inercial: (dentro
del autobús) Como experimenta el viajero una
aceleración “–a” (hacia atrás)
deberá existir una fuerza Fi = – m · a
Dentro de un ascensor Sea un cuerpo de masa “m”
suspendido del techo por una báscula. Al subir el ascensor
con aceleración “a”, el objeto marca en la
báscula una fuerza superior a su peso: Sist. Inercial:
(fuera del ascensor) No existe equilibrio puesto que el objeto
acelera con “a” luego T + P = m · a (T–
m· g = m· a) T = m · (g + a) (T es la fuerza
que marca la báscula) Sist. No inercial: (dentro del
ascensor) Hay equilibrio. Se aplica el principio de
D’Alembert: ??F = 0; T + P + Fi = 0 (T– m· g
– m· a = 0) ? T = m · (g + a)
Al tomar una curva Sea una pelota de masa “m” que
viaja sobre una plataforma móvil con velocidad lineal
constante. Al tomar la curva la plataforma se produce sobre
ésta una aceleración normal “an”,
mientras que sobre la pelota ho existe aceleración. Sist.
Inercial: (fuera de la plataforma) La pelota sigue recta con
“v” constante y se sale de la plataforma que gira.
Sist. No inercial: (dentro de la plataforma) La pelota sale
lanzada hacia el exterior una aceleración igual cuyo
módulo vale “v2/R”. Ello implica la existencia
de una fuerza (virtual) hacia el exterior que se conoce como
fuerza centrífuga.
Fuerza de rozamiento (Fr) Es la fuerza que aparece en a
superficie de contacto de los cuerpos, oponiéndose siempre
al movimiento de éstos. Depende de: Los tipos de
superficie en contacto. La fuerza normal N de reacción de
la superficie sobre el objeto (normalmente igual en módulo
a PN excepto que se aplique una fuerza no horizontal sobre el
mismo). No depende de: La superficie (cantidad).
Tipos de fuerza de rozamiento Estático: Es igual a la
fuerza necesaria para iniciar un movimiento (de sentido
contrario). Cuando un cuerpo está en reposo y se ejerce
una fuerza lateral, éste no empieza a moverse hasta que la
fuerza no sobrepasa un determinado valor (Fre). La fuerza de
rozamiento se opone y anula a la fuerza lateral mientras el
cuerpo esté en reposo. Cinético o dinámico:
Es la fuerza que se opone a un cuerpo en movimiento (Frc). Es
algo menor que Fre (en el mismo caso).
Cálculo de Fr Fre(máxima) = ?e · N Frc = ?c
· N En donde ?e y ?c son los “coeficientes de
rozamiento estático y dinámico respectivamente, que
dependen ambos de la naturaleza de las superficies en contacto y
N es la normal (perpendicular a). La normal N es la fuerza de
reacción de la superficie de deslizamiento sobre el objeto
debido a la PN y al resto de componentes perpendiculares al
movimiento.
Manera práctica de obtención de Fre y Frc. Se pone
el objeto sobre la superficie y se va inclinando ésta
hasta que empiece a moverse el objeto. En ese instante: PT = Fre
Al no haber fuerzas exteriores: N = PN m·g·sen ? =
?re· m·g· cos ? sen ? ?re =
——— = tg ? cos ? Una vez iniciado el movimiento
puede bajarse el ángulo hasta ?’.
Análogamente, (Gp:) P (Gp:) PN (Gp:) PT (Gp:) ? (Gp:) ? Fr
(Gp:) ?rc = tg ?’
Dinámica de cuerpos aislados. Se basa en la segunda ley de
Newton: ? F = m · a Hay que determinar todas las fuerzas
que actúa sobre el cuerpo y sumarlas vectorialmente. Si
hay fuerzas oblicuas al movimiento suelen descomponerse
éstas en paralelas y perpendiculares al mismo.
Estática: Estudia los cuerpos en equilibrio Se cumple que:
a = 0 ? ? F = 0
Movimiento sobre plano horizontal. Si arrastramos un objeto
tirando con una fuerza “F” de una cuerda que forma un
ángulo “?” con la horizontal. Dibujamos todas
las fuerzas que actúan. Descomponemos la fuerza F en Fx y
Fy. Si existe rozamiento determinamos si Fx > Fre para
comprobar si se mueve. Aplicamos : ? Fx = m · a; ? Fy = 0
(Gp:) P (Gp:) N (Gp:) F (Gp:) Fx (Gp:) Fy (Gp:) ? (Gp:) Fr
Ejemplo: Calcular las fuerzas de rozamiento estático y
cinético al arrastrar una caja de 5 kg con una fuerza de
20 N aplicada a una cuerda que forma un ángulo con el
suelo de 30º, sabiendo que ?e = 0,15 y ?c = 0,12. ¿Se
moverá la caja? F = 20 N se descompone en: Fx = 20N
·cos 30º = 17,3 N; Fy = 20N ·sen 30º =
10,0 N N = P – Fy = 5 kg · 9,8 m/s2 – 10 N =
39 N Fre= ?e · N = 0,15 · 39 N = 5,85 N Frc = ?c
· N= 0,12 · 39 N = 4,68 N Sí se
moverá hacia la derecha, pues Fx > Fre (Gp:) P (Gp:) N
(Gp:) F (Gp:) Fx (Gp:) Fy (Gp:) 30º (Gp:) Fr
Ejemplo: Calcular la aceleración de la caja del ejemplo
anterior:m = 5 kg F = 20 N, ? = 30º,?d = 0,12. Calculamos
todas las componentes de las fuerzas existentes: Fx = 20N
·cos 30º = 17,3 N; Fy = 20N ·sen 30º =
10,0 N ? Fy = 0 ? N = P – Fy = 5 kg · 9,8 m/s2
– 10 N = 39 N Frd = ?d · N = 0,12 · 39 N =
4,68 N Una vez que sabemos que Fx> Fre, aplicamos: ? Fx = m
· a; 17,3 N – 4,68 N = 5 kg · a 17,3 N
– 4,68 N a =
——————— = 2,528 m
· s–2. 5 kg (Gp:) P (Gp:) N (Gp:) F (Gp:) Fx (Gp:)
Fy (Gp:) 30º (Gp:) Fr
Planos inclinados. Puede descender sin necesidad de empujarlo si
PT > Fre. Si arrastramos o empujamos con una fuerza
“F” hacía abajo, descenderá si F + PT
> Fre. Si arrastramos o empujamos con una fuerza
“F” hacía arriba: Ascenderá si: F >
Fre + PT No se moverá si: PT – Fre ? F ? Fre + PT
Descenderá si F < PT – Fre Recordad que Fr tiene
siempresentido contrario al posible movimiento. (Gp:) P (Gp:) PN
(Gp:) PT (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) F
Ejemplo: Se moverá un baúl de 100 Kg situado en una
superficie inclinada 15º con la horizontal, sabiendo que ?e
y ?d valen 0,30 y 0,28 respectivamente. PT = P · sen ? =
980 N · sen 15 = 253,6 N PN = P · cos ? = 980 N
· cos 15 = 946,6 N Al no existir otras fuerzas oblicuas: N
= PN (sentido contrario) Fre= ?e · N = 0,30 · 946,6
N = 284 N Como PT < Fre el baúl no se moverá. No
se mueve hacia arriba porque Fre no toma su valor máximo
(Gp:) P (Gp:) PN (Gp:) PT (Gp:) ? (Gp:) ? Fr
Ejemplo: ¿Qué fuerzas habrá que realizar a)
hacia abajo, b) hacia arriba, para que el baúl comience a
moverse? c) ¿Con qué aceleración se
moverá si se empuja hacia abajo con una fuerza de 100 N.
Datos: m = 100 kg, ? = 15º, ?e = 0,30 y ?d = 0,28 PT = 253,6
N ; PN = N = 946,6 N; Fre= 284 N a) Fmínima (abajo) >
284 N – 253,6 N = 30,4 N b) Fmínima (arriba) >
284 N + 253,6 N = 537,6 N c) Frd = ?d · N = 0,28 ·
946,6 N = 265,0 N ? F = 100 N + 253,6 N – 265,0 N = 88,6 N
= 100 kg · a a = 0,886 m · s–2 (Gp:) P (Gp:)
PN (Gp:) PT (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) Fre (Gp:) Fmín (Gp:) P
(Gp:) PN (Gp:) PT (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) Fre (Gp:) Fmín
(Gp:) P (Gp:) PN (Gp:) PT (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) Fre (Gp:) F
Dinámica de cuerpos enlazados. Cálculo de
aceleración y tensión. La acción que ejerce
un cuerpo sobre otro se traduce en la tensión de la cuerda
que los enlaza, que es lógicamente igual y de sentido
contrario a la reacción del segundo sobre el primero. Se
aplica la 2ª ley de Newton a cada cuerpo por separado,
obteniéndose una ecuación para cada uno con igual
“a”. (Gp:) P1 (Gp:) P2 (Gp:) T (Gp:) T (Gp:) N
Dinámica de cuerpos enlazados. Cálculo de
aceleración y tensión. Tenemos en cuenta
únicamente las fuerzas que tienen la dirección del
movimiento, pues las perpendiculares se anulan (P1 = N).
Utilizaremos componentes escalares con los que se consideran
positivas las fuerzas a favor y negativas las que van en contra.
Al sumar las ecuaciones miembro a miembro deben desaparecer las
tensiones.
Ejemplo: ¿Cuál será la aceleración
del sistema y la tensión de la cuerda suponiendo que hay
movimiento y que m1 = 5 kg y m2 = 2 kg y ?d vale 0,08? Cuerpo 1:
T – Frd = m1 · a ? T – ?d · m1 ·
g = m1 · a Cuerpo 2: P2 – T = m2 · a ? m2
· g – T = m2 · a
———————————————————————
2 kg · 9,8 m/s2 – 0,08 · 5 kg · 9,8
m/s2 = (5 kg + 2 kg) · a 2 kg · 9,8 m/s2 –
0,08 · 5 kg · 9,8 m/s2 a =
———————————————
= 2,24 m/s2 5 kg + 2 kg T = 5 kg · 2,24 m/s2 + 0,08
· 5 kg · 9,8 m/s2 = 15,12 N (Gp:) Fr (Gp:) 1 (Gp:)
m2
Ejercicio: ¿Se moverá el sistema de la figura y en
caso de que lo haga hacia qué lado?Datos: m1 = 6 kg ; m2 =
2 kg ; ?e = 0,12; ?d = 0,10; ? = 30º. Calculamos el valor
numérico de todas las fuerzas implicadas: P1T = P1
· sen 30º = 6 kg · 9,8 m/s2 · 0,5 =
29,4 N P1N = P1 · cos 30º = 6 kg · 9,8 m/s2
· 0,866 = 50,9 N P2 = 2 kg · 9,8 m/s2 = 19,6 N Fre
= ?e · N = ?e · PN = 0,12 · 50,9 N = 6,1 N
Como P1T > P2 + Fre (29,4 N > 19,6 N + 6,1 N) Se
moverá hacia la izquierda. (Gp:) 1 (Gp:) P1 (Gp:) P2 (Gp:)
T (Gp:) T (Gp:) N (Gp:) P1N (Gp:) P1T (Gp:) ?
Ejercicio: Calcular la aceleración del sistema y la
tensión de la cuerda del ejemplo anterior.Datos: m1 = 6 kg
; m2 = 2 kg ; ?e = 0,12; ?d = 0,10; ? = 30º. P1T = 29,4 N;
P1N = 50,9 N; P2 = 19,6 N Frd = ?d · N = ?d · PN =
0,10 · 50,9 N = 5,1 N 1: P1T – T – Frd = m1
· a ? 29,4 N – T – 5,1 N = 6 kg · a 2:
T– P2 = m2 · a ? T – 19,6 N = 2 kg · a
29,4 N – 5,1 N – 19,6 N = (6 kg + 2 kg) · a
29,4 N – 5,1 N – 19,6 N a =
——————————
= 0,59 m/s2 6 kg + 2 kg T = 2 kg · 0,59 m/s2 + 19,6 N =
20,8 N (Gp:) 1 (Gp:) P1 (Gp:) P2 (Gp:) T (Gp:) T (Gp:) N (Gp:)
P1N (Gp:) P1T (Gp:) ?
Dinámica del M.C.U. Se cumplen las siguientes condiciones:
v = ?v? = k ? at = 0 an = ?an?= ?v?2 / R = v2 / R = ctedonde an
es un vector dirigido hacia el centro de la trayectoria.
Aplicando la 2ª ley de Newton deberá haber una fuerza
también dirigida hacia el centro cuyo ?Fn?= m·?an?=
m· v2 / R que se conoce como fuerza centrípeta
(FC). En caso de objetos que giran horizontalmente debido a una
cuerda: FC = T . En caso de un coche que gira FC = Fr.
Dinámica del M.C.U.
ESTA PRESENTACIÓN CONTIENE MAS DIAPOSITIVAS DISPONIBLES EN
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