Representación de funciones de conmutación
(Gp:) Ejemplo:
F(x, y, z)=x?y+x?z+y?z
x y z f(x, y, z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
(Gp:) 0 0 1 0
0 1 0 1
(Gp:) 00 01 11 10
(Gp:) 0
1
(Gp:) xy
(Gp:) z
(Gp:) f
(Gp:) xy
z
(Gp:) f
La forma más intuitiva de representar una función de conmutación es por medio de una Tabla de Verdad.
La Tabla de Verdad expresa el valor de salida de una función para cada combinación de entrada.
La Tabla de Verdad permite modelar un tipo especial de sistema Digital llamado Sistema Combinacional.
Tabla de Verdad
Tabla de Verdad
(Gp:) Ejemplo:
Tabla de Verdad:
x1 x2 x3 f
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Formas Canónicas
Problema: Dada una Tabla de Verdad, obtener la forma algebraica
x1 x2 x3 f
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
x1?x2? x3
x1? x2?x3
x1? x2?x3
x1? x2?x3
Formas Canónicas
(Gp:) La forma algebraica queda:
f(x1, x2, x3)=x1?x2? x3 + x1? x2?x3 + x1? x2?x3 + x1? x2?x3
Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 1. La variable aparece sin complementar si vale 1 para la combinación en la cual la salida vale 1 y aparece complementada si vale 0 para la combinación en la cual la salida toma el valor 1.
Formas Canónicas: Minitérminos
Se denomina minitérmino a un factor de una expresión booleana que está formado por el AND de todas las variables.
Una función de conmutación corresponde al OR de minitérminos. La función generada de esta manera se denomina OR canónico de AND.
f(x1, x2, x3)=OR( m0, m1, …, mn )
f(x1, x2, x3)=?( m0, m1, …, mn )
Formas Canónicas: Minitérminos
Para el ejemplo anterior:
f(x1, x2, x3)=OR( 2, 4, 5, 6 )
f(x1, x2, x3)=?(2, 4, 5, 6 )
Formas Canónicas: Maxitérminos
(Gp:) (x1+x2+ x3)
(x1+ x2+x3)
(x1+ x2+x3)
(x1+ x2+x3)
(Gp:) Una forma alternativa de expresar la función es examinando las combinaciones en las cuales vale 0.
x1 x2 x3 f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Formas Canónicas: Maxitérminos
(Gp:) La función queda ahora:
f(x1, x2, x3)=(x1+x2+ x3 )?(x1+ x2+x3 )?
( x1+ x2+x3 )?( x1+ x2+x3 )
Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 0. La variable aparece sin complementar si vale 0 para la combinación en la cual la salida vale 0 y aparece complementada si vale 1 para la combinación en la cual la salida toma el valor 0.
Formas Canónicas: Maxitérminos
Se denomina maxitérmino a un factor de una expresión booleana a que está formado por el OR de todas las variables.
Una función de conmutación corresponde al AND de maxitérminos. La función generada de esta manera se denomina AND canónico de OR.
f(x1, x2, x3)=AND( M0, M1, …, Mn )
f(x1, x2, x3)=?( M0, M1, …, Mn )
Formas Canónicas: Maxitérminos
Para el ejemplo anterior:
f(x1, x2, x3)=AND( 0, 2, 4, 7 )
f(x1, x2, x3)=?( 0, 2, 4, 7 )
Conversión entre Formas Canónicas
(Gp:) Problema: dada una función en OR canónico de AND, obtener la forma canónica AND canónico de OR
F(A, B, C)=?( 0, 1, 2, 7 )
F(A, B, C)=?( 3, 4, 5, 6 )=A?B?C+ A?B?C+
A?B?C+ A?B?C
F(A, B, C)=(A+B+C)?(A+B+C)?
(A+B+C)?(A+B+C)
F(A, B, C)=?( 3, 4, 5, 6 )
Funciones Equivalentes
Dos funciones de conmutación son equivalentes cuando sus expansiones en formas canónicas son idénticas, es decir tienen el mismo valor de salida para las mismas combinaciones de entradas.
Una forma similar de expresar lo mismo es que dos funciones de conmutación son equivalentes cuando tienen la misma Tabla de Verdad
Funciones Equivalentes
¿Cuántas funciones de n variables existen?
La respuesta a esta pregunta se encuentra
fácilmente preguntando: ¿Cuántas Tablas
de Verdad existen con n variables?
La respuesta está en observar la columna de salida. El número de funciones es:
Funciones de una y dos variables
(Gp:) F(x)=x NOT
F(x, y)=x?y AND
F(x, y)=x+y OR
F(x, y)=x+y NAND
Funciones de una y dos variables
(Gp:) F(x)=x ?y NOR
F(x, y)=x?y+ x?y OR EXCLUSIVO
F(x, y)= x?y+ x ?y AND EXCLUSIVO
Ejercicio: Construir las Tablas de Verdad de estas funciones.
Lógica Combinacional
Lógica Combinacional contra la Lógica Secuencial
Representación de entradas/salidas de circuitos lógicos:
Circuitos de lógica combinacional:
La salida depende solo de las entradas actuales.
La relación de entrada/salida esta descrita por una tabla de verdad.
Circuitos de lógica secuencial:
La salida depende de las entradas actuales y de las salidas previas.
La relación de entrada/salida esta descrita por una tabla de estados.
(Gp:) Circuito Lógico
(Gp:) X
Y
Z
(Gp:) F Salida
(Gp:) Entradas
Diversificación de las compuertas
Compuertas Lógicas
Una forma alternativa de representar funciones es mediante Compuertas Lógicas. Las Compuertas Lógicas se construyen físicamente con electrónica integrada en sustratos de silicio.
El éxito de los sistemas digitales se debe en gran medida al bajo costo por compuerta que se logra con este proceso y a la alta densidad de integración, llegando en la actualidad a millones de compuertas en un circuito integrado cuya área no sobrepasa 1cm2.
Compuertas Lógicas
(Gp:) Una red de compuertas lógicas se denomina circuito combinacional. Los circuitos combinacionales constituyen una parte importante de una CPU moderna.
(Gp:) ALU CPU
Compuertas Lógicas
(Gp:) A
B
(Gp:) A+B
(Gp:) A
(Gp:) A
(Gp:) A
B
(Gp:) A?B
(Gp:) A
B
(Gp:) A?B
(Gp:) A
B
(Gp:) A+B
(Gp:) A
B
(Gp:) A?B
(Gp:)
AND NAND
OR NOR
NOT OR-EX
Compuertas Lógicas: Ejemplo
(Gp:) F(A, B, C, D)
(Gp:) CA
B
D
(Gp:) F(A, B, C, D)=A?C+A?B?C+A?B?C?D
Implementación de Funciones con Compuertas
Redes con AND, OR y NOT
Una vez que se define la suma de productos mínima se debe de definir el diagrama lógico, compuesto por una red de compuertas que describan la función.
Ejemplo de un circuito de dos niveles
Niveles
El número de niveles corresponde al máximo número de compuertas que una señal debe pasar desde su entrada hasta la salida.
En el caso anterior tenemos dos niveles, esto asumiendo que tenemos disponibles en la entradas los complementos de la literales, cuando no se dispone de los complementos es necesario complementar con compuertas NOT.
Problema
Diagrama de la suma de productos
Diagrama de la suma de productos mínimo
Una red multinivel
Las redes multinivel son el resultado de implementar funciones que no estén
en la forma ni de suma de productos ni de productos de sumas.
Minimización de funciones
Minimización de Funciones
(Gp:) Minimizar una función de conmutación F(x1, x2, …,xn) es encontrar una función G(x1, x2, …,xn) equivalente a F y que contenga el mínimo número de términos y literales en una expresión OR de AND.
Ejemplo
F(A, B, C, D)=A?C?D+ A?C?D + A?C?D+A?C?D+ A?B?D
=(A+A)? C?D+ (A+A)? C?D+A?B?D
= C?D+C?D+A?B?D=(C+C)?D+A?B?D=D+A?B?D
Mapas de Karnaugh
Los mapas de Karnaugh son formas modificadas de Tablas de Verdad que permiten minimizar funciones de hasta 5 variables.
Los mapas de Karnaugh permiten el diseño rápido de circuitos combinacionales de mínimo costo, es decir, con el mínimo número de compuertas.
Construcción de Mapas de Karnaugh
(Gp:) Para construir mapas de Karnaugh se siguen los siguientes pasos:
Para una función de n variables, el mapa de Karnaugh tiene 2n celdas
n=2 n=3 n=3 n=4
Construcción de Mapas de Karnaugh
(Gp:) 2) En las coordenadas se anotan las combinaciones de variables según el código Gray
n=2 n=3 n=3 n=4
(Gp:) 0
1
(Gp:) 0
1
(Gp:) 0 1
(Gp:) 00 01 11 10
(Gp:) 00 01 11 10
(Gp:) 0 1
(Gp:) 00
01
11
10
(Gp:) 00
01
11
10
Construcción de Mapas de Karnaugh
(Gp:) 3) Se asigna un 1 a una variable sin complementar y un cero a una variable complementada.
De esta forma, cada celda queda determinada por una combinación de unos y ceros
(Gp:) A
(Gp:) 0
1
(Gp:) 00 10
(Gp:) 01 11
(Gp:) A?B A?B
(Gp:) 0 1
(Gp:) A?B A?B
(Gp:) 0
1
(Gp:) A
(Gp:) B
(Gp:) B
(Gp:) 0 1
Construcción de Mapas de Karnaugh
(Gp:) 4) A cada combinación de unos y ceros de una celda se le asigna el equivalente decimal de la representación binaria
(Gp:) 0 4 12 8
(Gp:) 00 01 11 10
(Gp:) 00
01
11
10
(Gp:) 1 5 13 9
(Gp:) 3 7 15 11
(Gp:) 2 6 14 10
Ejemplo de construcción del Mapa de Karnaugh
(Gp:) Encontrar el mapa de la función
F(A, B, C, D)=?(0, 1, 5, 6, 9, 13, 15)
(Gp:) 0 4 12 8
(Gp:) 00 01 11 10
(Gp:) 00
01
11
10
(Gp:) 1 5 13 9
(Gp:) 3 7 15 11
(Gp:) 2 6 14 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 1 0 0 0
(Gp:) 00 01 11 10
(Gp:) 00
01
11
10
(Gp:) 1 1 1 1
(Gp:) 0 0 1 0
(Gp:) 0 1 0 0
(Gp:) AB
(Gp:) CD
Construcción de Mapas de Karnaugh
(Gp:) 5) Dos celdas son adyacentes si difieren en una variable
(Gp:) 00 01 11 10
(Gp:) 00
01
11
10
Construcción de Mapas de Karnaugh
(Gp:) 6) Un subcubo es un conjunto de 2n celdas con valor de 1, las cuales tienen la propiedad que cada celda es adyacente a m celdas del conjunto
(Gp:) 00 01 11 10
(Gp:) 00
01
11
10
(Gp:) 1 0 0 0
(Gp:) 1 1 1 1
(Gp:) 0 0 1 0
(Gp:) 0 1 0 0
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) Subcubo tamaño 4
(Gp:) Subcubo tamaño 2
(Gp:) Subcubo tamaño 2
(Gp:) Subcubo tamaño 1
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