El teorema, de Adam Fawer

"Matemáticas en lo Improbable (Porque incluso a
los demonios les gustan las sorpresas)."

Demasiadas
manos… ¡para perder!

"Hay 133 millones de manos posibles que se pueden
hacer con 7 cartas. De estos 133 millones de cartas, sólo
224848 son cuatro del mismo valor. Por lo tanto, sólo hay
un 0,16% de posibilidades de conseguir un cuádruple: 595 a
1.

"¿Qué pasa con la escalera del color?
"Sólo hay 17238 combinaciones de siete cartas que pueden
formar una escalera de color de cinco cartas. Un 0,013% de
probabilidades. Una en 7761 manos". (Pág.
19).

Si nuestro objetivo fuera sólo leer la novela,
seguramente que habríamos pasado por alto los
resultados

que aparecen en la cita anterior, pero, como
también pretendemos estudiar algunos aspectos de las
matemáticas, no los podemos dar por buenos sin
más.

a) Veamos, ¿cuántas manos de 7 cartas se
pueden hacer con un baraja de 52 cartas? Si nos molestamos en
calcularlas, veremos que son 133.784.560, número que no
coincide con el dato de la novela. Averigua cómo se puede
obtener este resultado.

b) En cualquier caso, no debemos ser muy severos, porque
el contexto en el que aparece ese resultado se presta al manejo
de aproximaciones, y 133 millones no está mal,
aunque… ¿estaría mejor haber dicho 134
millones? Da tu opinión razonada sobre el
asunto.

También nos dice que hay 224848 manos (no cartas,
como aparece en el libro…

¿será un error de traducción?) en
los que hay cuatro cartas del mismo valor. Aquí sí
que las cosas no cuadran, porque realmente hay 5.396.352 formas
de obtener cuatro cartas del mismo valor al coger siete de ellas
de una baraja de 52 cartas.

c) ¿De dónde sale el resultado que te
ponemos? Nuestro personaje está bastante
equivocado… ¿Será que no es tan buen
calculador como nos quiere hacer creer el autor de la
obra?

Ahora te proponemos que calcules cuántas manos de
siete cartas pueden formar escalera de color de cinco
cartas.

d) ¿Realmente hay 17238 combinaciones como pone
el libro? Como puedes ver no hay mucha exactitud en, que digamos,
a la hora de asignar resultados calculados por nuestro personaje
principal…

e) Una última cuestión:
¿Cuántas manos de siete cartas contendrán 5
de ellas del mismo palo?

La
Criptografía también forma parte de las
matemáticas

"Fue el director de criptografía quien dio
con la solución" (pág. 33).
"…escribió una nota al director de
criptografía, …(pág. 110). Como decimos
en el título, la Criptografía es una de las partes
de las matemáticas que se ha desarrollado muchísimo
en el último siglo: las guerras mundiales, las tarjetas de
crédito, el envío seguro de información por
internet y otros muchos temas de actualidad están
relacionados con la Criptografía.

a) Averigua qué es la Criptografía y
qué relación tiene con los temas enumerados
anteriormente. ¿De dónde viene su
nombre?

En el Massachussets Intitute of Techcnology, MIT para
los amigos, se ha trabajado mucho en
Criptografía.

De él provienen las siglas RSA, que se
corresponden con los apellidos de tres personas que crearon un
sistema de…

b) Ahora te toca a ti. ¿Qué es el sistema
RSA? ¿Quiénes lo crearon? ¿Qué
relación tiene con la

Criptografía? Los personajes RSA lanzaron un
desafío a la comunidad matemática del
mundo…

c) ¿Qué es el número "RSA 129"?
¿Qué desafío se planteó con ese
número? ¿Cuánto tiempo tardaron los
matemáticos de todo el mundo en resolverlo?

d) Recopila información y explica por qué
los números primos son tan importantes en la
Criptografía.

Un mundo
probabilístico

"Heisenberg se equivocó" (pág.
93).

"¿Ahora me sales con que niegas la
evaluación?" (pág. 95).

"Maxwell demostró que la segunda ley [de
la Termodinámica] sólo era
probabilísticamente cierta, o que era verdad la mayor
parte del tiempo" (pág 97).

A lo largo de las páginas citadas anteriormente
se van desgranando los nombres de varios científicos que
contrapusieron:

Creacionismo y evolución

Determinismo e incertidumbre

Verdad absoluta y verdad
probabilística

a) Reflexiona sobre estas ideas y expón lo que
opinas de cada una de ellas.

b) Relee la página 94 y haz un comentario sobre
lo que opinarían de las ideas anteriores los
físicos newtonianos.

c) Vuelve a leer la página 114 y relaciona el
Principio de Incertidumbre de Heisenberg con el gato de
Schrödinger.

¿Merece la
pena jugar con esperanza a la quiniela de
futbol?

"La manera de calcular lo que espero ganar si pongo
un dólar por un cupón [de la loto] es ésta:
multiplicaría…" (Pág. 43).

Vuelve a leer, en el libro, la cita anterior y su
continuación. Estos cálculos, en
matemáticas, sirven para conocer lo que se denomina
Esperanza Matemática de ese experimento
aleatorio (en este caso el juego de la loto).

Calcula la esperanza matemática del juego que
consiste en acertar los 15 resultados de la quiniela
futbolística. ¿Cuánto deberías
obtener como premio para que el juego fuera equitativo y
mereciera la pena jugar?

El interés
de una deuda … ¡a la mafia rusa!

"Por cierto, ¿cuánto es el
interés?

"El habitual. Cinco por ciento al día,
compuesto semanalmente" (Pág. 77).

Posiblemente sea necesario explicar las palabras
anteriores: compuesto

semanalmente significa que los intereses
generados por la deuda se acumulan cada semana al capital, para
volver a generar nuevos intereses en el futuro. Todo esto
teniendo en cuenta que cada día los intereses suponen un
5% del capital o, en el caso del protagonista, un 5% de la
deuda.

"Era martes, le debía a Nikolaev once de los
grandes desde hacía dos días.

Dado que Nikolaev cargaba el 5% de interés
por semana, ahora Caine le debía 11.157.

Estaba con el agua al cuello.

"En el camino de regreso desde el hospital,
había vaciado su cuenta de ahorros. Todo lo que
tenía eran 438,12 $, menos que el interés de una
semana" (Pág. 100).

Vamos a ayudar a Caine a repasar las condiciones de su
préstamo y a calcular lo que le suponen en sus
mermadas arcas.

a) Al 5% de interés semanal,
¿cuánto interés generan 11.000 $ en dos
días? La cifra de deuda de 11.157 $, ¿es
correcta?

b) ¿Es verdad que 438,12 $ no llegan para pagar
el interés de una semana?

c) ¿Es lo mismo el 5% al día, compuesto
semanalmente, que el 5% semanal? Explica razonadamente lo que te
parece. En la página 112 nuestro protagonista habla de
devolver 2.000 $ semanales durante 7 semanas.

d) ¿Es más o menos lo mismo que si pagara
los intereses de todo ese tiempo? Una ayuda siempre es buena
…

"Diablos, si tú no le hubieses ayudado con el
álgebra, probablemente hubiese tenido que abandonar el
instituto" (pág. 163).

Este es un buen momento para echar la vista atrás
y reflexionar sobre algo que conoces desde hace varios
años: el Álgebra.

a) ¿Qué es el Álgebra? ¿De
dónde procede el nombre? Seguro que al contestar las
cuestiones anteriores habrás encontrado el nombre de un
personaje medieval muy relacionado con el álgebra y con la
palabra algoritmo.

b) ¿A quién nos estamos refiriendo? Recoge
los principales datos biográficos del personaje y sus
aportaciones en el campo de las matemáticas.

c) Explica en qué consistían, para el
personaje anterior, la Almukábala y la

Algebra.

El problema del
cumpleaños

"La teoría de las probabilidades no es
más que la vida expresada en números"
(pág. 103).

Como puedes ver en esa página y las siguientes,
los personajes nos dan una clase práctica sobre el
cálculo de probabilidades; en este caso con unos
resultados sorprendentes.

Se trata de calcular la probabilidad de que varias
personas cumplan años el mismo día del año.
Repasando las explicaciones del libro, contesta razonadamente a
las siguientes cuestiones, justificando con precisión cada
uno de los pasos dados y de los resultados obtenidos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos
personas cumplan años el mismo día?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que tu
cumpleaños coincida con el de algún

compañero o compañera de clase? ¿Y
cuál la de que no coincida con el cumpleaños de
nadie de tu clase?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que tu
cumpleaños y el de otro de tu clase (que no nació
el mismo día que tú) sean diferentes a los del
resto de compañeros y compañeras de clase?
¿Y la de que alguno de vuestros cumpleaños coincida
con el de algún otro de la clase?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que todas
las personas de tu clase cumplan años en días
diferentes? ¿Y la de que al menos haya dos que
coincidan?

Según dicen los personajes de la novela en un
pasaje cercano al de la cita, las moralejas de este problema son
dos:

1. Cuando mayor es la muestra, mayor es la probabilidad
de coincidir.

2. La teoría de las probabilidades nunca
miente.

Reflexionando sobre estas dos conclusiones, sería
muy interesante que aportaras tus ideas sobre ello:

e) ¿Te parecen adecuadas?

f) ¿Podría darse el caso de que, en un
grupo de personas, la probabilidad de que

haya dos, al menos, que cumplan años el miso
día sea mayor que 0,75? ¿Cuántas personas,
como mínimo deberían formar parte del
grupo?

A vueltas con el
Determinismo

"Si lanzas una moneda al aire, tú
dirás que el hecho de que salga cara o cruz es una
cuestión de pura suerte o del azar, ¿correcto?
"Pues te equivocas. Si fueras capaz de medir todos los factores
físicos que intervienen cuando lanzas una moneda: el
ángulo de la mano, la distancia al suelo, […]
podrías predecir con exactitud del ciento por ciento el
resultado de la tirada, porque la moneda está sujeta a las
leyes de la física newtoniana, que son absolutas"
(pág. 210).

"Es muy bonito en teoría, pero es algo que no
funciona en la práctica" (pág.
211).

Vuelve a leer las páginas 208 a 211 de El
Teorema y posiciónate al respecto. ¿Es posible
predeterminar el resultado del lanzamiento de la moneda?
Justifica con argumentos tu contestación.

El juego del
loto

"No podía explicar por qué el 6, 12,
19, 21, 36, 40, más 18 eran sus
números…

como enormes números de neón
detrás de sus párpados" (Pág.
74).

Nos vamos a centrar en el juego de la loto o la
lotería primitiva, y vamos a calcular algunas
probabilidades que, estamos seguros, muchas personas están
muy interesadas en conocer.

a) Cuál es la probabilidad de acertar los seis
números de la combinación ganadora?

b) ¿Y la de acertar los 7 números que
forman la combinación ganadora más el número
complementario?

c) ¿Cuál debe ser la ganancia esperada o
esperanza matemática de este juego?

d) Si hubiera un sorteo cada minuto y cada vez saliera
una combinación nueva, ¿cuánto tiempo
tardaríamos en completar todas las combinaciones
posibles?

El 27 de
noviembre de 1754 moriré

"Calculó que dicha fecha sería el 27
de noviembre de 1754. Y cuando ese día llegó, tal
como había predicho, De Moivre falleció"
(pág. 211).

Parece realmente increíble, pero así
debió ocurrir. Aunque sea imposible de predecir…
¿o no es tan

imposible?

a) Elabora una pequeña biografía de
Abraham De Moivre, fijándote en especial en su
relación con la

Estadística y la Probabilidad.

Por lo que te puede sonar De Moivre es por una
fórmula que aparece en las matemáticas de
Bachillerato, concretamente en el tema de los números
complejos, y que se denomina fórmula De Moivre,
que sirve para calcular la potencia de un número
complejo.

b) Escribe la Fórmula De Moivre.
¿Sabrías demostrar su validez utilizando el
método de inducción

completa? Como ayuda te podemos sugerir que recuerdes
las fórmulas de trigonometría para calcular el
coseno y el seno del ángulo suma de dos: cos(a+b) y
sen(a+b); las vas a necesitar para la
demostración.

c) Explica la paradoja de Moivre.

Laplace es mucho
Laplace

"En 1770, Laplace presentó su primer trabajo
en la prestigiosa Academia de las Ciencias. Después de
aquello, quedó claro para todos que era un genio
matemático.

Así que dedicó el resto de su vida a
dos campos: la probabilidad y la astronomía"
(pág. 212).

El capítulo 19 del libro, además de ser
cuando nuestro protagonista cree estar viviendo una larga
alucinación, también nos proporciona muchos datos
de Pierre Simón Laplace.

a) Elabora una biografía de este ilustre
matemático, situando sus obras en el tiempo y aportando
algunos de sus más famosos resultados.

En relación con estos últimos, no podemos
dejar pasar esta oportunidad sin señalar que Laplace es el
autor de una fórmula que sirve para calcular
probabilidades, conocida en ESO y Bachillerato, y que se denomina
Fórmula de Laplace.

b) ¿En qué consiste? ¿Cuándo
se puede utilizar? Pon algún ejemplo en el se vea su
utilidad.

En el capítulo 19 habrás visto
gráficas que representan distribuciones de datos, con una
característica común: tienen forma de campana. En
matemáticas, a estas formas de distribuirse los datos o
resultados se le llama Distribución Normal, y la
función que tiene esa representación gráfica
se llama Campana de Gauss.

c) Profundiza en el significado de la
Distribución Normal y averigua la expresión general
de la función que la representa. ¿Por qué se
denomina la campana de Gauss?

En 1812 Laplace publicó su obra Teoría
Analítica de las probabilidades. En ella aparece el
método de los mínimos cuadrados, útil para
minimizar los errores.

d) Explica en qué consiste el método
anterior. Explícalo con un ejemplo.

Laplace como excusa para resolver un problema
sencillo

"Laplace demostró que la mejor manera de
predecir la realidad no es calcular la respuesta correcta, sino
establecer cuál sería la respuesta menos
errónea. En el ejemplo de la moneda, a pesar de que la
posibilidad de conseguir dos caras en cuatro tiradas es
sólo del 37,5%, la posibilidad de conseguir cualquier otro
número de caras es incluso menor y, por lo tanto, la
predicción de tener dos

caras es la menos errónea y por consiguiente
la más correcta" (pág. 216).

Vamos a estudiar a fondo el problema que se trata en la
cita anterior, para ello tiramos una moneda cuatro veces…
Gira y gira, parece que se contornea, cae, choca, rebota y por
fin deja de moverse. Anotamos el resultado de cada tirada y nos
preguntamos:

a) ¿Cuántos resultados podemos obtener
después de las cuatro tiradas? Escríbelos todos. El
conjunto de los resultados posibles de un experimento
aleatorio se llama espacio muestral, y si lo
conocemos con exactitud, la mayoría de las preguntas que
nos puedan hacer, sobre resultados del experimento, las podemos
contestar con relativa facilidad. Vamos a calcular la respuesta a
alguna de ellas, sobre la probabilidad de obtener:

b) Exactamente dos caras. Compara tu resultado con el de
la cita.

c) Alguna cruz.

d) Exactamente una cara.

e) Distinto número de caras que de
cruces.

Uno de nuestros deseos es llevarte un poco más
lejos… Para ello vamos a tirar la moneda un número
n de veces, siendo n un número natural mayor o igual que
1. A partir de aquí nos interesa calcular la probabilidad
de obtener:

f) Al menos una cara.

g) Exactamente dos cruces (siendo n ³
2).

h) El mismo número de caras que de cruces (n debe
ser par).

i) Un número de caras menor que cuatro (n debe
ser n ³ 3 ).

j) Exactamente c caras, siendo n ³
c .

Grandes subidas y
grandes desplomes…

"Cuando la noticia se hizo pública a cabo de
unas semanas, las acciones subieron como la espuma, desde la
cotización de 20,24 $ la acción, que
mantenía desde hacía cincuenta y dos semanas, a
101,50 $" (pág. 111).

Por un rato, vamos a ponernos en la piel de Grimes, el
personaje, y vamos a pensar en lo que pasa con nuestro dinero
invertido en la Bolsa.

a) Si tenemos 200.000 $, como Grimes, compramos acciones
a 20,24 $ cada una y al cabo de 52 semanas se ponen a 101,50 $,
¿qué porcentaje de ganancia hemos conseguido? Poco
después de lo anterior, las acciones pierden el 98% de su
valor. Es una pena, pero hemos perdido mucho
dinero…

b) ¿Es cierto que entonces las acciones no valen
ni 10.000$?

El mundo económico tiene uno de sus santuarios en
la Bolsa, también denominada Mercado de
Valores.

c) Busca la información que necesites para hacer
un informe sobre la Bolsa: ¿Qué se negocia en ella?
¿Qué son las acciones? ¿Qué significa
que la Bolsa suba o baje? ¿cuáles con los
principales índices de la Bolsa española?
Añade además toda la información que te
parezca relevante.

El Demonio de
Laplace

"Una inteligencia que en un momento determinado
conociera todas las fuerzas que animan a la naturaleza,
así como la situación respectiva de los seres que
la componen, si además fuera lo suficientemente amplia
como para someter a análisis tales datos, podría
abarcar en una sola fórmula los movimientos de los cuerpos
más grandes del universo y los del átomo más
ligero; nada le resultaría incierto y tanto el futuro como
el pasado estarían presentes ante sus ojos"
(pág. 217).

La cita anterior está tomada de la página
25 del libro de Pierre Simón De Laplace, Ensayo
filosófico sobre las probabilidades. En ella se
ilustra el concepto central desarrollado en El Teorema,
el Demonio de Laplace, aunque aparece en bastantes otras
páginas de la novela: 135, 209, 217, 218,
365,…

a) Resume con tus palabras en qué consiste. En el
libro de Laplace, Ensayo filosófico…las
palabras de la cita continúan con las
siguientes:

"El espíritu humano ofrece, en la
perfección que ha sabido dar a la astronomía, un
débil esbozo de esta inteligencia. Sus descubrimientos en
mecánica y geometría, junto con el de la
gravitación universal, le han puesto en condiciones de
abarcar en las mismas expresiones analíticas los estados
pasados y futuros del sistema del mundo.

Aplicando el mismo método a algunos otros
objetos de su conocimiento, ha logrado reducir a leyes generales
los fenómenos observados y a prever aquellos otros que
deben producirse en ciertas circunstancias. Todos sus esfuerzos
por buscar la verdad tienden a aproximarlo continuamente a la
inteligencia que acabamos de imaginar, pero de la que siempre
permanecerá infinitamente alejado. Esta tendencia, propia
de la especie humana, es la que la hace superior a los animales,
y sus progresos en este ámbito, lo que distingue a las
naciones y los siglos y cimenta su verdadera
gloria".

b) Estas palabras, que lógicamente no se
mencionan en El Teorema, ¿son un jarro de agua
fría para los intentos de la ciencia de conseguir hacer
realidad el Demonio de Laplace? ¿Podrá ser una
realidad en el futuro? Expón tus argumentos con
claridad.

En la página 296 del libro, David Caine, el
protagonista principal, se siente culpable de las cosas que
pasan, puesto que parece que son planificadas y programadas por
él. Este sentimiento podrías tenerlo tú
mismo si te vieras en la misma situación.

c) Imagínalo y describe alguna sensación y
algún sentimiento que podrías tener como
consecuencia de tus poderes.

El origen de las
probabilidades: ¿el Caballero de Meré era
ludópata?, ¿los números nos hacen
trampas?

"De Meré era un jugador compulsivo y sus
preguntas se referían a un juego de dados muy popular
donde el jugador tira cuatro dados. Si lo hacía sin sacar
un seis cobraba la apuesta, pero si sacaba un seis, entonces
ganaba la casa" (Pág. 41).

"¿Alguien conoce de dónde viene la
teoría de las probabilidades? (Pág.
40).

La primera cita continúa en la página 42,
donde se muestra que si un jugador hace 100 tiradas,
probablemente ganaría 48 y perdería 52
veces.

a) Demuestra que es cierto el resultado
anterior.

b) Estudiar la probabilidad de ganar en este juego, en
función del número de dados que se puedan
lanzar.

El Caballero de Meré, que realmente se llamaba
Antoine Gombaud, proporcionó a la historia de las
matemáticas algunos problemas que se recordarán
siempre. Este jugador escribía a Pascal y le
proponía problemas que a él le hubiera gustado
tener resueltos, con el fin de tener ventaja en sus partidas. El
primero de ellos, que Pascal denominaba el problema de los
partidos, dice así:

Después de iniciado un juego en el que participan
dos jugadores de igual destreza, donde se requiere conseguir un
cierto número de puntos para ganar, es interrumpido antes
de que esto ocurra, ¿cómo se han de dividir los
premios, sabiendo el número de puntos de cada jugador en
el momento de la interrupción?

Está claro que las partes en que se reparten los
premios deben ser proporcionales a sus probabilidades respectivas
de ganar la partida. Por tanto habrá que calcular esas
probabilidades.

c) Resuelve el problema si el número de puntos
necesarios para ganar fuera de 5 y los puntos obtenidos por los
jugadores al dejar la partida fueran 4 y 3
respectivamente.

Haz lo mismo si ahora lo hubieran dejado después
de conseguir 2 y 3 puntos respectivamente.

Este problema, en su enunciado original, fue propuesto
por el Caballero de Meré a Pascal, y éste, a su
vez, se lo envió a Fermat. Cuenta Laplace que lo
resolvieron los dos por caminos diferentes y entablaron una
discusión entre ellos sobre cuál de los dos
métodos era mejor. Al final uno reconoció la
generalidad del método del otro.

d) ¿Quién fue el ganador de esta amigable
disputa, Fermat o Pascal?

El segundo problema del Caballero de Meré a
Pascal iba acompañado con el comentario en el que
decía que había hallado falsedad en los
números por la siguiente razón. Si uno se propone
obtener un seis con un dado, hay una ventaja como de 671 a 625 en
intentarlo en cuatro jugadas. Si uno se propone obtenerlo con dos
dados, es desventajoso intentarlo en 24 jugadas. Sin embargo, 24
es a 36, número de caras de dos dados, como 4 es a 6,
número de casos en un dado. He aquí un gran
escándalo, que le hacía decir que las
proporciones no eran constantes y que la aritmética se
desmentía. ¿Qué ocurría? Pues ni
más ni menos que el Caballero de Meré creía
que el número de jugadas debía aumentar
proporcionalmente el número de oportunidades totales, cosa
que no es exacta, pero está cada vez más
próxima a serlo a medida que aumenta el número de
oportunidades.

Lee de nuevo el segundo problema del Caballero de
Meré y contesta a las siguientes cuestiones:

e) Calcula la probabilidad de obtener un seis al tirar
un dado hasta cuatro veces.

¿Por qué dice De Meré que hay una
ventaja de 671 a 625?

f) Calcula la probabilidad de obtener dos seises al
tirar dos dados hasta 24 veces. ¿Es desventajoso, es
decir, la probabilidad es menor que 0,5? Si nos dejan tirar
más de 24 veces, ¿entonces la probabilidad es mayor
que 0,5?

En el principio
estuvo, sobre todo, Blaise Pascal

"Después de ver cómo Blaise se tragaba
Euclides, el padre contrató a los mejores maestros de
matemáticas, algo que resultó ser una sabia
decisión, porque Blaise Pascal se convirtió en uno
de los matemáticos más importantes del siglo
XVII". (pág. 41).

El genio de Pascal fue la principal materia prima para
que se originara una parte nueva en las matemáticas; los
problemas del Caballero de Meré no hubieran servido de
nada si la genialidad de Pascal no se hubiera fijado en lo que
había detrás de ellos. Pero Pascal también
se ocupó de otras cosas en matemáticas.

a) Elabora una biografía de Pascal, recogiendo
sus aportaciones al campo de las matemáticas.

b) El triángulo de Pascal, también llamado
de Tartaglia, ¿en qué consiste? Expón sus
principales propiedades.

c) Haz un comentario sobre la máquina de Pascal
para calcular como precursora de las calculadoras.

d) Estudia el denominado Teorema de Pascal,
enúncialo y expón las características del
hexagrama místico.

Laplace también tenía
problemas…

"Dos años después de la
publicación de Teoría analítica de las
probabilidades, escribió un trabajo titulado Ensayo
filosófico sobre la probabilidad" (pág.
215).

A propósito del segundo de los trabajos, Laplace
expone en él varios problemas, algunos de los cuales te
vamos a presentar. El primero de ellos es el problema de San
Petersburgo, denominado así porque fue publicado en
los Comentarios de la Academia de San Petersburgo por
Daniel Bernouilli, utilizando un concepto nuevo que él
llamó esperanza moral. Su enunciado es el
siguiente:

Pablo juega a cara o cruz con la condición de
recibir dos francos si saca cara en la primera tirada, cuatro si
no lo saca hasta la segunda, ocho si no lo saca hasta la tercera
tirada, y así sucesivamente.

a) Calcula la probabilidad de tener que tira el dado
exactamente seis veces para obtener cara por primera
vez.

b) Calcular la probabilidad de tener que tirar el dado n
veces para obtener cara por primera vez.

c) Calcula la ganancia obtenida en el caso de obtener
cara con las condiciones del apartado anterior.

d) Bernouilli es un apellido muy importante en las
historia de las matemáticas.

Recoge la información necesaria para elaborar un
esquema con todos los matemáticos de esta familia,
sitúa a Daniel y elabora una biografía suya. El
segundo problema tiene el siguiente enunciado: Dos jugadores
juegan juntos a cara o cruz, de tal modo que, en cada tirada, si
sale cara A le da una ficha a B, y si sale cruz B le da una ficha
a A. El número de fichas de A es ilimitado y el de B es
limitado. La partida se acaba cuando B se quede sin fichas. Se
trata de averiguar en qué número de jugadas se
acabará la partida, en función del número de
fichas de B. Laplace dice que se podría apostar un poco
menos de uno contra uno a que la partida terminará en
23780 tiradas, y un poco más (de uno contra uno) a que
terminará en 23 781 tiradas en el caso en que B tenga 100
fichas.

d) Resuelve el problema para el caso en que B tenga una
ficha.

e) Analiza la veracidad de la afirmación de
Laplace en el caso en que B tenga 100 fichas.

La Ley de los
Grandes Números

" Caine tuvo que admitir que su amigo sabía
aceptar las cosas tal comovenían. Eso es algo que siempre
le había gustado de Doc: nada le sorprendía. "Es la
ley de los grandes números –le había
comentado en una ocasión- lo sorprendente sería que
algo extraño les ocurriera a todos los habitantes del
planeta al mismo tiempo" (pág. 298). La Ley de los
Grandes Números fue enunciada y demostrada por primera vez
por Jacques Bernouilli, por lo que inicialmente se le
denominó teorema de Bernouilli.

Más tarde fue Poisson quien le puso el nombre con
el que actualmente se le conoce.

a) Enuncia la Ley de los Grande
Números.

b) Haz una biografía de Jacques Bernouilli y
averigua en qué obra suya aparece por primera vez la
citada Ley.

c) Escribe una biografía breve de Poisson.
Laplace, en su obra Ensayo filosófico sobre las
probabilidades explica la Ley de los Grandes Números
con un ejemplo:

"Tenemos una urna con bolas blancas y negras y cada
vez que extraemos una bola de la urna la volvemos a introducir de
nuevo en ella antes de proceder a una nueva extracción. Lo
que dice la ley de los grandes números es lo siguiente: la
probabilidad de que la razón entre el número de
bolas blancas extraídas y el total de bolas sacadas no se
aparte de la probabilidad de extraer una bola blanca en cada
extracción, es muy alta siempre que el número de
extracciones sea muy grande".

Dicho en un lenguaje más actual podemos decir de
las formas siguientes: Cuando el número de extracciones
sea muy grande (tienda a infinito), la razón entre el
nº de bolas blancas extraídas y el nº total de
extracciones efectuadas se acerca a la probabilidad de extraer
bola blanca en cada extracción.

La frecuencia relativa del suceso aleatorio "sacar bola
blanca" se acerca al valor de la probabilidad de sacar bola
blanca, cuando el número de extracciones tiende a
infinito.

d) En el último de los enunciados se habla de
frecuencia relativa. ¿Qué significa? También
se habla de suceso aleatorio. ¿Qué
significa?

e) Reflexiona sobre el enunciado en cualquiera de las
formas que te hemos expuesto y da tu opinión sobre si es
lógico y comprensible.

f) Idea un método basado en la Ley de los Grandes
Números para averiguar el número aproximado de
peces que puede haber en un lago. Intenta averiguar
también el número de peces de una cierta especie
que hay entre los peces del mismo lago.

Del Big Bang a la
Teoría matemática del Caos

"Caine había pasado horas atrapado en el
despacho de Doc mientras el profesor hablaba poéticamente
de todo, desde el Big Bang a la teoría del caos"
(pág. 113).

a) ¿Qué es el Big Bang? Explica
razonadamente en qué consiste, su origen, defensores,
etc.

Así como el Big Bang se encuadra dentro de los
conocimientos de la Física, la teoría del caos
forma parte de los conocimientos matemáticos surgidos en
el siglo XX.

b) Explica en qué consiste la teoría
matemática del caos.

Para que tengas un conocimiento más profundo
sobre esta nueva teoría matemática, vamos a
presentarte un ejemplo sacado de la obra literaria El curioso
incidente del perro a medianoche, concretamente en la
página 132 de este libro aparece: "He aquí una
fórmula para una población de animales Nnueva
=l ×(Nvieja ) ×(1-Nvieja )
" La ecuación anterior se llama de P. F.
Verhulst, que fue un científico que estudió el
crecimiento demográfico y la planteó en 1845. Para
simplificar las cosas y que todos la entendamos mejor, vamos a
escribir la fórmula así N¢ =l
×N(1- N) , donde N es la
población vieja (del año anterior),
N¢ es la población nueva (del año
siguiente) y l es una constante que llamamos

de fertilidad, que puede cambiar con las condiciones
ambientales, de alimentación, depredadores,
climáticas, etc. Suponemos, para trabajar con
números sencillos, que N y N¢ son
números entre 0 y 1 y que representan los millones de
individuos de esa especie.

c) Comprueba que si l <1, la población es cada
vez más pequeña y se extingue. Hazlo para los casos
l =0,5 y N =0,8 , calculando la población en
años sucesivos.

d) Si l =1,5 y la población inicial es 0,1,
puedes comprobar que al cabo de 3 años la población
será de 0,21676. ¿La población va creciendo?
Comprueba que se va estabilizando hacia el valor 0,3333. ¡Y
esto ocurre aunque el tamaño inicial sea otro!
Compruébalo.

e) Verifica que si l =2,5 ,la población se
estabiliza en las cercanías del valor 0,6.

f) En el caso l =3,2 , puedes comprobar que la
población se estabiliza en valores cercanos a 0,5 y 0,8;
un año en uno de ellos y al siguiente en el
otro.

g) En el caso de l =3,5 la población se acerca a
cuatro valores: 0,38; 0,83 y otros dos valores que debes
descubrir por tus propios medios.

h) Comprueba que para l =3,57 aparece el caos; es decir,
no podemos predecir el resultado de un año sabiendo el del
año anterior.

Este ejemplo fue estudiado en el siglo XX por el
biólogo Robert May con la colaboración de otras
personas. A su vez, estos resultados, junto con los de otras
situaciones, fueron la base para la aparición de un nuevo
campo de las matemáticas que estudia este tipo de
fenómenos y que se denomina Teoría del
Caos.

G) Recopila información y presenta alguna otra
situación en la que podamos encontrar el caos.

Algunas ideas que
han influido y revolucionado la Ciencia

"Todas las teorías y deducciones que lo
habían conducido hasta este punto pasaban en ese momento
por su cabeza. La teoría de la relatividad de Einstein, el
principio de indeterminación de Heisenberg, el gato de
Schrödinger, el multiuniverso de Deutsch, y, por supuesto,
el demonio de Laplace" (pág. 135).

Esta cita resume de forma clara muchas de las ideas
científicas que aparecen en El Teorema, que se
discuten y se explican intentando que el lector reflexione sobre
ellas y forme su opinión personal. Nosotros también
vamos a proponerte que traslades al papel tus reflexiones sobre
estos temas (excepto del demonio de Laplace, que lo tratamos
específicamente):

a) Elabora una pequeña biografía de cada
uno de los personajes, de no más de una página cada
una: Einstein, Heisenberg, Schrödinger y Deutsch.

b) Explica con palabras sencillas en qué consiste
cada una de esas ideas, poniendo, si es posible, algún
ejemplo que ayude a entenderlas.

c) Expón tu opinión personal sobre la
importancia de cada una de ellas.

Y para acabar
unos problemillas…

"La probabilidad de hacer una pareja con cualquiera
de las dos cartas que tenía en la mano era del 13 por
ciento" (pág. 314).

a) Vuelve a leer la página citada, si es
necesario y comprueba si la afirmación es cierta.
"Pero sólo había una probabilidad de 0,5 por
ciento que pudiera convertir la jota o el nueve en un
trío" (pág. 314)

b) Repasa la situación que se plantea en el libro
y averigua si la afirmación anterior es
correcta.

"¿Sabes cuáles son las probabilidades
de conseguir cincuenta caras consecutivas? –preguntó
Tversky-. Es un medio elevado a la quincuagésima potencia.
Eso nos da…-Doc lo calculó en el ordenador- 1 entre
1125.8999.906.842.620" (pág. 345).

Si te fijas en el número anterior, que debe ser
el resultado de 250, puedes ver que no es correcto; 250
da un resultado distinto.

c) Averigua la causa. Vamos a dar por bueno el posible
error cometido al poner un grupo de 4 cifras separadas por
puntos, lo más probable es que sobre uno de los nueves. El
error es otro. Olvidemos lo anterior y sigamos con la moneda.
Ahora se trata de tirar una moneda hasta conseguir una
cara.

d) ¿Cuál es la probabilidad de
obtenerla?

Bibliografía

Dejando a un lado Internet, que en muchos casos es lo
más parecido a la jungla, proponemos algunos
títulos interesantes para consultar y extraer
información. Desde el punto de vista histórico es
imprescindible el libro de Laplace y muy útil de
Mankiewicz, aunque pueden encontrarse muchas cosa en los
innumerables libros de historia de las matemáticas. Desde
el punto de vista didáctico los primeros libros de Miguel
de Guzmán, José Colera y Adela Salvador,
según va pasando el tiempo, se están convirtiendo
en pequeñas joyas. Por último, desde el punto de
vista científico y de divulgación, el libro de
Sautoy es fascinante, aunque su tema central es la
hipótesis de Riemann; para nuestro trabajo es muy
útil la parte que desarrolla muchas ideas de
divulgación sobre la Criptografía.

– Bergasa, J. Laplace: El matemático de los
cielos. Nivola libros y ediciones, S. L., Tres

Cantos, Madrid

– Laplace, P. S. de. Ensayo filosófico sobre
las probabilidades. Alianza Editorial, 1985.

Madrid.

– Guzmán, M. de; Colera, J; Salvador, A.
Bachillerato 1. Matemáticas. Ediciones
Anaya

S. A. 1987. Madrid.

– Guzmán, M. de; Colera, J; Salvador, A.
Bachillerato 3. Matemáticas. Ediciones
Anaya

S. A. 1988. Madrid.

– Guzmán, M. de; Colera, J; COU.
Matemáticas II Opciones C y D. Ediciones Anaya
S.

A. 1989. Madrid.

– Mankiewicz, R. Historia de las
matemáticas. Ed. Paidós Ibérica, 2000.
Barcelona.

– Sautoy, M. du. La música de los
números primos. Ed. Acantilado, 2007.
Barcelona.

Matemáticas en lo Improbable
(Porque incluso a los demonios les gustan las
sorpresas).

Título original:
Improbable

Título en castellano: El
Teorema.

Autor: Adam Fawer

ISBN: 84-08-06096-1.

Editorial Planeta, S.A.
Barcelona.

Primera edición: septiembre de
2005.

¡Excelente Libro te recomiendo que
lo compres!

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo
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República Dominicana,

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