Análisis de Fourier (página 4)

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Serie Trigonométrica de FourierForma compacta

Una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la enésima armónica de f(t).

A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.

Componentes y armónicas
A la componente de frecuencia cero C0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.

Los coeficientes Cn y los ángulos qn son respectiva-mente las amplitudes y los ángulos de fase de las armónicas.

Ejercicio: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente señal senoidal rectificada de media onda de periodo 2p.

(Gp:) -6
(Gp:) -4
(Gp:) -2
(Gp:) 0
(Gp:) 2
(Gp:) 4
(Gp:) 6
(Gp:) -0.2
(Gp:) 0
(Gp:) 0.2
(Gp:) 0.4
(Gp:) 0.6
(Gp:) 0.8
(Gp:) 1
(Gp:) Senoidal rectificada de media onda
(Gp:) t
(Gp:) f(t)

Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)

Funciones Pares e Impares
En forma similar, una función f(t) se dice función impar o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

Funciones Pares e Impares
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares?
f(t) = t+1/t
g(t) = 1/(t2+1)

Solución:
f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.

g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.

Funciones Pares e Impares
Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t2) es par o impar?, donde f es una función arbitraria.
Solución:
Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))
Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),
Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),
finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).

Funciones Pares e Impares
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares:
h(t) = sen (1+t2)
h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)
h(t) = cos (1+t2)+1
h(t) = (1+t2)-(1+t2)1/2
etc…
Ya que todas tienen la forma f(1+t2)

Funciones Pares e Impares
Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n?0 y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, se tiene que:

Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n

Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n

Funciones Pares e Impares
Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:

Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
(Gp:) 1
(Gp:) f(t)
(Gp:) t
(Gp:) . . . -T/2 0 T/2 T . . .
(Gp:) -1

Simetría de Media Onda
Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad

Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo: