(Gp:) ?
(Gp:) LADO
(Gp:) LADO
(Gp:) VÉRTICE
(Gp:) ?
(Gp:) Medida del Angulo convexo
(Gp:) Medida del Angulo cóncavo
(Gp:) O
(Gp:) A
(Gp:) B
ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
?
0º < ? < 180º
0º < ? < 90º
(Gp:) ?
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
a.1) ÁNGULO AGUDO
? = 90º
(Gp:) ?
90º < ? < 180º
(Gp:) ?
a.2) ÁNGULO RECTO
a.3) ÁNGULO OBTUSO
? ? ? = 90º
? + ? = 180º
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
PROBLEMAS
RESUELTOS
El complemento de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de un ángulo “X” es igual al
duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la
medida del ángulo “X”.
90 – { ( ) – ( ) } = ( )
180° – X
90° – X
90° – X
2
90° – { 180° – X – 90° + X } = 180° – 2X
90° – 90° = 180° – 2X
2X = 180°
X = 90°
RESOLUCIÓN
Problema Nº 01
La estructura según el enunciado:
Desarrollando se obtiene:
Luego se reduce a:
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
Sean los ángulos: ? y ?
? + ? = 80°
Dato:
? = 80° – ?
(Gp:) ( 1 )
( 90° – ? ) = 2?
(Gp:) ( 2 )
Reemplazando (1) en (2):
( 90° – ? ) = 2 ( 80° – ? )
90° – ? = 160° -2?
? = 10°
(Gp:) ? = 70°
? – ? = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
Dato:
Diferencia de las medidas
Resolviendo
La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.
Sean los ángulos: ? y ?
( 90° – ? )
( 90° – ? )
= 130°
+
(Gp:) ? + ? = 50°
(Gp:) ( 1 )
( 180° – ? )
( 180° – ? )
= 10°
–
(Gp:) ? – ? = 10°
(Gp:) ( 2 )
Resolviendo: (1) y (2)
? + ? = 50°
? – ? = 10°
(Gp:) (+)
2? = 60°
? = 30°
? = 20°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Del enunciado:
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB< BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB.
(Gp:) A
(Gp:) B
(Gp:) O
(Gp:) C
(Gp:) M
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) 60°
(Gp:) 20°
(Gp:) X
De la figura:
? = 60° – 20°
Luego:
X = 40° – 20°
? = 40°
X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.
(Gp:) A
(Gp:) O
(Gp:) B
(Gp:) C
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) X
(Gp:) (?- X)
( ? + X)
(? – X)
= 30º
2X=30º
X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
(Gp:) M
Construcción de la gráfica según el enunciado
Del enunciado:
AOB – OBC = 30°
–
Luego se reemplaza por lo que
Se observa en la gráfica
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m?AOC = m?BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
(Gp:) A
(Gp:) C
(Gp:) B
(Gp:) D
(Gp:) M
(Gp:) N
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) X
De la figura:
2? + ? = 90°
? + 2? = 90°
(Gp:) ( + )
2? + 2? + 2? = 180°
? + ? + ? = 90°
X = ? + ? + ?
X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado
Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”
(Gp:) 80°
(Gp:) 30°
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) X
(Gp:) m
(Gp:) n
Problema Nº 07
2? + 2? = 80° + 30°
Por la propiedad
Propiedad del cuadrilátero
cóncavo
(Gp:) ? + ? = 55°
(Gp:) (1)
(Gp:) 80° = ? + ? + X
(Gp:) (2)
Reemplazando (1) en (2)
80° = 55° + X
X = 25°
(Gp:) 80°
(Gp:) 30°
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) X
(Gp:) m
(Gp:) n
RESOLUCIÓN
Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”
(Gp:) 5?
(Gp:) 4?
(Gp:) 65°
(Gp:) X
(Gp:) m
(Gp:) n
Problema Nº 08
(Gp:) 5?
(Gp:) 4?
(Gp:) 65°
(Gp:) X
(Gp:) m
(Gp:) n
Por la propiedad:
4? + 5? = 90°
? = 10°
Ángulo exterior del triángulo
40°
65°
X = 40° + 65°
X = 105°
RESOLUCIÓN
(Gp:) Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”
(Gp:) ?
(Gp:) 2?
(Gp:) x
(Gp:) m
(Gp:) n
(Gp:) ?
(Gp:) 2?
Problema Nº 01
3? + 3? = 180°
? + ? = 60°
Ángulos entre líneas poligonales
X = ? + ?
X = 60°
RESOLUCIÓN
(Gp:) ?
(Gp:) 2?
(Gp:) x
(Gp:) m
(Gp:) n
(Gp:) ?
(Gp:) 2?
x
Ángulos conjugados
internos
PROBLEMAS PROPUESTOS
DE ANGULOS
ENTRE PARALELAS
PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ? x
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
(Gp:) x
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) 4x
(Gp:) 3x
(Gp:) L1
(Gp:) L2
(Gp:) m
(Gp:) n
(Gp:) 30°
(Gp:) X
PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ? ?
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
(Gp:) 3?
(Gp:) 3?
(Gp:) 3?
(Gp:) ?
(Gp:) m
(Gp:) n
PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
(Gp:) 40°
(Gp:) 95°
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) 2x
(Gp:) m
(Gp:) n
PROBLEMA 05.- Calcule la m ? x
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
(Gp:) 3?
(Gp:) 6?
(Gp:) x
(Gp:) ?
(Gp:) 4?
(Gp:) 4?
(Gp:) ?
(Gp:) X
(Gp:) m
(Gp:) n
PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m ? x
(Gp:) 88°
(Gp:) 24°
(Gp:) x
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) m
(Gp:) n
PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m ? x
(Gp:) 20°
(Gp:) 30°
(Gp:) X
(Gp:) m
(Gp:) n
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
PROBLEMA 09.-Si m//n y ?- ? = 80°. Calcule la m?x
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) x
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) m
(Gp:) n
PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) m
(Gp:) n
PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m ? ?
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
(Gp:) 180°-2?
(Gp:) ?
(Gp:) 2?
(Gp:) m
(Gp:) n
PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) x
(Gp:) 80°
(Gp:) m
(Gp:) n
PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
(Gp:) 80°
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) m
(Gp:) n
(Gp:) x
REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
20º 8. 50º
30º 9. 80º
45º 10. 30º
10º 11. 60º
120º 12. 40º
36º 13. 50º
7. 32º