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Problema 1. Sector circular
Problema 2. Arandela
Problema 3. Cono truncado
Problema 4. Conductor semicilíndrico
Problema 5. Cable coaxial
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PROBLEMA 1
Una pieza de material óhmico tiene forma de sector circular de ángulo ? y de radios interno y externo a y b, respectivamente. Su espesor es c, y la conductividad del material es ?. Determinar la resistencia eléctrica entre el borde interior y exterior de la pieza.
Si se estableciese una d.d.p. V entre el borde interior y el exterior, dada la simetría del problema, el campo eléctrico tendría en cada punto la dirección de la línea radial, ya que los bordes interior y exterior son equipotenciales y el campo es perpendicular a las equipotenciales.
Tomaremos como referencia de distancias el centro O de la circunferencia, donde r = 0 (de esta forma el borde interno es r = a y el externo es r = b).
Puesto que las líneas de campo se abren de modo homogéneo con simetría cilíndrica según nos alejamos del centro, la intensidad del campo eléctrico (módulo) debe ser inversamente proporcional a r.
(Gp:) O
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PROBLEMA 1 (Continuación)
Siendo un material óhmico, la relación entre campo eléctrico y densidad de corriente es
Por lo tanto, si escribimos la densidad de corriente como
Entonces el campo eléctrico puede escribirse como
La resistencia está dada en general por
(Véase detalle del cálculo en transparencia siguiente)
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PROBLEMA 1 (Continuación 2)
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PROBLEMA 2
A) Calcular la resistencia de una arandela de cobre, de radio interno a = 5 mm y radio externo externo b = 20 mm, medida entre el borde interior y el borde exterior.
B) Calcular la resistencia de una arandela de las mismas dimensiones pero construida la mitad de cobre y la mitad de plata.
El espesor de la arandela es c = 0.5 mm y las resistividades del cobre y la plata son
?Cu = 1.72?10-8 ??m y ?Ag = 1.62?10-8 ??m
A) La solución es inmediata a partir del resultado del problema anterior, teniendo en cuenta que en la arandela el ángulo ? = 2? rad.
(Gp:) Cu
(Gp:) Ag
Cu
A)
B)
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PROBLEMA 2 (Continuación)
B) Conectando las dos semi-arandelas en la forma indicada tenemos dos conductores en paralelo, cada uno de ellos con un ángulo ? = ? rad.
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(Gp:) Z
PROBLEMA 3
Un conductor óhmico tiene forma de cono truncado de las dimensiones que se muestran en la figura adjunta. La conductividad del material es ?. Determine la resistencia de la pieza medida entre las bases superior e inferior.
(Gp:) 2a
(Gp:) h
(Gp:) ?
Sea b el radio de la base inferior
(Gp:) b
(Gp:) ?
(Gp:) 2a
(Gp:) h
(Gp:) b
(Gp:) dz
La pieza puede considerarse formada por una serie de láminas circulares planas apiladas, de espesor dz cada una de ellas.
Si consideramos el origen de coordenadas z = 0 en el centro de la base inferior, el área de cada una de estas láminas es:
La resistencia elemental de cada una de estas placas es
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PROBLEMA 4
Entre dos semicilindros conductores concéntricos de longitud L y radios a y b (b > a) hay un dieléctrico de permitividad ? y resistividad ?, siendo ? inversamente proporcional a la distancia al eje central del conjunto. Entre ambos se establece una ddp V0. Determine:
A) La resistencia entre ambos conductores, la densidad de corriente y el campo eléctrico.
B) Las densidades de carga libre. Compruebe que no hay carga libre neta.
Resistencia entre los conductores
Sea k la constante de proporcionalidad
(Gp:) a
(Gp:) b
(Gp:) r
(Gp:) dr
Consideraremos que el dieléctrico está formado por una serie de capas semicilíndricas superpuestas cuyo espesor es dr y siendo el área de cada una ?rL.
El conjunto de todas esas capas está en serie, por eso podemos determinar la resistencia total sumando las contribuciones de todas ellas.
Resistencia de cada capa:
Resistencia total
(Gp:) L
Intensidad de corriente:
(Gp:) V0
Densidad de corriente:
Suponemos que el potencial del conductor interno es el mayor
Campo eléctrico:
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PROBLEMA 4 (Continuación)
Densidades de carga:
Densidad volumétrica de carga libre
El vector desplazamiento es
(Por la simetría del problema sólo depende de la coordenada radial)
Densidades superficiales de carga libre
(Gp:) El vector unitario está dirigido hacia dentro
La carga libre neta Qf es la suma de las densidades de carga volumétrica y superficial
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(Gp:) a
(Gp:) b
(Gp:) Corte transversal
(Gp:) El conductor interno es positivo
Un cable coaxial está formado por un conductor interno de radio a y un conductor externo concéntrico de radio b. El medio entre ambos conductores es un dieléctrico isótropo y homogéneo de permitividad ? y conductividad s. Calcule la capacidad por unidad de longitud y la resistencia de fuga entre ambos conductores.
PROBLEMA 5
Cálculo de la capacidad
(Gp:) r
Supongamos una ddp V entre ambos conductores (el interno es positivo)
(Gp:) Carga libre contenida en una longitud L del conductor interno
Resistencia de fuga
(Gp:) Si la conductividad del dieléctrico no es nula, fluirá corriente del conductor
(Gp:) positivo al negativo y en el medio dieléctrico se establecerá un campo de densidad de corriente. Si el medio es isótropo, la ley de Ohm nos dice que las líneas de flujo de J y de E serán las mismas.
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PROBLEMA 5 (Continuación)
Expresamos la capacidad y la resistencia en términos de los campos:
Las integrales de superficie se refieren a un área que encierra al conductor positivo interno, y las integrales de línea representan la ddp entre ambos conductores.
Si el medio es homogéneo, ? y s pueden sacarse fuera de las integrales, y el producto RC queda:
Multiplicando ambas ecuaciones:
(Gp:) siendo
Observe que las unidades SI de s son (??m)-1