(Gp:) Forma general en el dominio del tiempo
(Gp:) Expansión en fracciones parciales
Problema de ecuaciones diferenciales
(Gp:) Para la siguiente ecuación diferencial
(Gp:) Buscar el valor de las Ks
(Gp:) Evaluado en s = j2
(Gp:) Evaluado en s = -7
Objetivos de análisis y diseño
estabilidad
respuesta transitoria
error en estado estacionario igual a cero o bien pequeño
Un procedimiento de diseño:
Transformar los requerimientos de desempeño a un sistema físico
Dibujar diagrama de bloques funcional
Dibujar un diagrama esquemático
Desarrollar un modelo matemático
Simular, analizar el sistema y simular su respuesta
Establecer los objetivos de control
Diseñar el controlador que cumpla con los objetivos de control
Simular el desempeño de sistema de control de lazo cerrado
Evaluar desempeño, si es satisfactorio, implantar, si no lo es, volver a diseñar (paso 6)
Capítulo 2
Un conjunto de ecuaciones diferenciales que describe el sistema para todo tiempo no necesariamente
tiene que ser lineal
Cuando aparece una ecuación no lineal, la linearizamos
Cuando las ecuaciones diferenciales son lineales e invariantes en el tiempo (estacionarias), entonces se puede usar la transformada de Laplace para transformar las ecuaciones diferenciales a funciones racionales y algebraicas.
y = mx +b
Ecuaciones diferenciales son el fundamento de los modelos matemáticos
Vamos a crear el modelo fundamental que describe el comportamiento dinámico del circuito.
Sistema lineal satisface el principio de superposición
Falta otra ecuación:
(Gp:) KCL1:
Para este modelo utilizamos una fuente AC senosoidal en estado estacionario. Ecuaciones diferenciales acopladas. Para ecuaciones que no posean transformada de Laplace seguimos usando la ecuación.
(Gp:) Para un circuito lineal:
(Gp:) +
–
(Gp:) L
(Gp:) R
(Gp:) C
(Gp:) Vi(t)
(Gp:) Vc(t)
Tenemos dos variables desconocidas y una sola ecuación
(Gp:) 1) Definir las variables que vamos a usar:
(Gp:) KVL1:
Ecuación diferencial lineal de primer
orden con coeficientes constantes
Nombre y Apellido:
Ahora podemos expresar en términos de vc(t)
Ecuaciones diferenciales acopladas (continuación del circuito anterior)
Una parte de la ecuación resuelve parte de la otra ecuación y siguientemente otra parte de ese segundo
resuelve una parte del primer circuito. Podemos escribir las ecuaciones que describen su comportamiento
dinámico utilizando las leyes de Kirchoff.
(Gp:) Vamos a buscar la función de transferencia
desde vi(t) hasta vo(t)
(Gp:) 1) Aplicar transformada de Laplace
1
2
(Gp:) Queremos resolver para:
Las únicas condiciones que hacen falta
para que haya función de tranferencia
son que sea lineal y estacionario. (sus
parámetros no cambian función del
tiempo)
(Gp:) Para un circuito con condiciones iniciales
igual a cero
(Gp:) +
–
(Gp:) L
(Gp:) R
(Gp:) C
(Gp:) Vi(t)
(Gp:) Vo(t)
Modelos para redes eléctricas
(Gp:) Tipos de modelos
(Gp:) Conjunto de ecuaciones integrodiferenciales
Conjunto de ecuaciones diferenciales de 1er
orden (variables de estado)
3) Funciones de transferencia
(Gp:) KVL1:
Ésta ecuación es útil si deseamos hallar vc(t), es mejor utilizar la ecuación en términos de vc(t).
(Gp:) Resulta:
(Gp:) Ecuación diferencial de segundo orden
con coeficientes constantes.
(Gp:) Ejemplo: Dada la red
(Gp:) Determine un modelo de la red con ecuaciones integro diferenciales
(Gp:) +
–
(Gp:) vC(t)
(Gp:) R
(Gp:) L
(Gp:) Sustituyendo en la ecuación
Función de transferencia
Aplicando la Transformada de Laplace
con condiciones iniciales igual a cero
(Gp:) Los polos son:
(Gp:) Podemos tener tres casos
Polos Complejos
Polos Reales
Polos Reales
Repetidos
Sigue el análisis de la página anterior
(Gp:) negativo
(Gp:) positivo
(Gp:) igual a cero
(Gp:) +
–
(Gp:) R
(Gp:) vi(t)
Realizamos un divisor de voltaje en el inductor
Buscamos impedancia total equivalente
La función de transferencia que
resulta es:
Ejemplo
Modelo de frecuencia
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