Calcular el cero del polinomio de orden 3 que pasa por los puntos
siguientes:
El polinomio de interpolación será de la forma:
donde las ai son los coeficientes a calcular a partir del siguiente sistema,
que se obtiene al obligar a que el polinomio pase por los puntos dados:
Resolviendo el sistema mediante la regla de Cramer:
(Gp:) le sumamos la 2ª fila
(Gp:) le sumamos la 1ª columna
multiplicada por 2
(Gp:) les sumamos la 2ª columna
(Gp:) le sumamos la 1ª columna
multiplicada por 2
(Gp:) le sumamos la 1ª columna
multiplicada por 2
(Gp:) le sumamos la 2ª fila
(Gp:) les sumamos la 2ª columna
Luego:
y el polinomio de interpolación es:
Observando nuevamente los puntos de interpolación:
se ve que y(x) experimenta un cambio de signo, es decir,tiene un cero
entre x1 = 0 y x2 = 1. Por tanto un punto inicial adecuado para el método
de Newton podría ser x = 0.5:
Si tomamos:
tiene los mismos ceros que:
Se tiene la función y(x) definida de forma implícita mediante la
expresión:
Calcular y(0.9).
Se comprueba que cuando x = 1, y = 1; luego ese puede ser un buen
punto de partida para el método de Newton con la función siguiente:
Conociendo la expresión del polinomio de Legendre de 4º orden:
calcular mediante la cuadratura de Gauss-Legendre (sin ayuda de los
datos tabulados) con 4 puntos (n=3) la siguiente integral:
Primeramente tenemos que calcular los ceros del polinomio. Si usamos
el método de Newton con:
partiendo del punto:
Por tanto, dos raíces del polinomio serán: ± 0.33981
Para encontrar los otros dos ceros podemos tomar como nuevo punto
de partida en el método de Newton el punto x0 = 1:
Por tanto, las otras dos raíces del polinomio serán: ± 0.861136
A continuación tendríamos que calcular los factores de peso, wi,
correspondientes a estas raíces:
Haciendo la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n = 3 (4 puntos):
Sin embargo, este resultado no es una buena aproximación como puede
comprobarse en el siguiente ejercicio.
¡¡¡EN RADIANES!!!
Calcular mediante la cuadratura de Gauss-Legendre con 6 puntos
(n=5) la siguiente integral. Hacerlo también mediante Simpson con
un h = 1/8 :
Gauss-Legendre:
¡¡¡EN RADIANES!!!
Simpson:
h = 1/8 (17 puntos):
¡¡¡EN RADIANES!!!
Calcular los tres primeros polinomios ortonormales con respecto al
producto escalar ordinario de funciones definidas en el intervalo (0,1).
El producto escalar ordinario de funciones para este intervalo se define
del siguiente modo:
Luego podemos escoger:
Se debe cumplir que:
, luego:
Se debe cumplir que:
También podríamos haber resuelto el ejercicio alternativamente del
siguiente modo:
Sabemos que los tres primeros polinomios de Legendre son:
y que estos son polinomios ortogonales en el intervalo (-1,1). Por tanto,
si les aplicamos el cambio de variable correspondiente para ir de (-1,1) a
(0,1). Obtendríamos unos nuevos polinomios que serían ortogonales en el
nuevo intervalo (0,1), y ya sólo nos quedaría normalizarlos.
El cambio de variable de x ? (-1,1) a y ? (0,1)viene dado por:
Una vez obtenidos los polinomios ortogonales en el intervalo (0,1), p0(y),
p1(y) y p2(y), si ahora queremos los correspondientes polinomios
ortonormales sólo tenemos que dividirlos por el valor de sus normas:
Con lo que obtenemos el mismo resultado que con el procedimiento
anterior:
Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada
de Fourier de la siguiente función:
Tenemos que calcular la antitransformada:
y, llamando:
nos queda que:
(Gp:) Teorema de convolución
(Gp:) Antitransformada
de Fourier
Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda:
donde
Luego:
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
Luego:
Una variable aleatoria continua, x, obedece a una distribución
normal (o gaussiana) de acuerdo a la siguiente expresión:
Si s = 5 y x0 = 25, calcular la probabilidad de obtener un resultado
menor o igual a 20:
Sustituyendo los valores la distribución de probabilidad queda:
La probabilidad de obtener un resultado menor o igual a 20 será:
Si queremos integrar por cuadraturas tenemos que pasar del intervalo
(0,20) al (-1,1):
(y = 1)
Representar gráficamente la función f(x)= exp(x)-5x
(Gp:) Pero
(Gp:) luego tiene que haber al menos dos ceros, que
(Gp:) podemos encontrar mediante el método de Newton, tomando como puntos
iniciales, uno a la izquierda de x = ln5 y otro a su derecha:
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