1
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
2
Medir
Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuantas veces la segunda está contenida en la
primera.
3
Partes de una medida I
Si medimos el largo de una mesa …
125,434
El resultado podría ser ?
125,434 cm
125,434 ± 17,287 cm
125 ± 17 cm
4
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
(Gp:) valor
(Gp:) ±incertidumbre
Presentación
(Gp:) unidades
5
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
6
Error e incertidumbre I
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
Xmedido
DX
Xreal
DX
7
Error e incertidumbre II
Xmedido
DX
Xreal
DX
Error = Xreal –Xmedido
Xreal Î(Xmedido -DX, Xmedido +DX)
8
Nivel de Confianza
DX depende de lo seguros que queramos estar
Nivel de confianza = fracción de las veces que quiero acertar. 99%, 95%…
(Gp:) Xmedido
(Gp:) DX
(Gp:) Xreal
(Gp:) DX
9
Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2
10
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
Sistemáticos
Aleatorios
Derivados de los anteriores
11
Errores sistemáticos
Errores sistemáticos
Limitaciones de los aparatos o métodos
Precisión
Calibración
(Gp:) 73
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 72
Pesada inicial
Pesada en “vacio”
Recalibración
Pesada corregida
12
Errores aleatorios I
Factores que perturban nuestra medida.
Suma de muchas causas
Tienden a ser simétricos.
Se compensan parcialmente.
Repetir las medidas.
Estadística
medidas
(Gp:) Xreal
13
Errores aleatorios II
Distribuciones
Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios.
Tienden a curvas típicas
Xreal
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
14
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Otros tipos de medidas.
Ejercicios
15
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
16
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
Sistemáticos
Aleatorios
Derivados de los anteriores
17
Cómo estimar el resultado
Frente a errores sistemáticos.
Frente a errores aleatorios.
Medir correctamente
Calibrar los aparatos
Se compensan repetir varias veces la medida
La media es el valor más probable
18
Ejemplo
Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
19
Incertidumbre
Incertidumbre: Estimación del error no corregible
Incertidumbre factores sistemáticos: ES1,ES2…
Destaca la de precisión
Incertidumbre factores aleatorios: EA
Absoluta: DX
Relativa:
Se suele descomponer para medidas directas en:
Se suele expresar como:
20
1. Incertidumbre de precisión Es
En casos sencillos la estimaremos como:
La mitad de la (una) división menor de la escala
Ej: Balanza
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronómetros
Incertidumbre en medidas directas
A veces depende del experimentador
No es fácil definir su intervalo de confianza
21
Para n medidas
(Gp:) s = Desviación
típica de las
medidas
(Gp:) Desviación típica de la media
(Gp:) Factor de cobertura
t de Student
Incertidumbre en medidas directas
2. Incertidumbre Aleatoria EA
22
(Gp:) 4
(Gp:) Xreal
(Gp:) 3
(Gp:) 5
¿Medir la separación con respecto al valor real ?
No conocemos el valor real
¿Medir la separación con respecto al valor medio ?
¿Cómo?
Incertidumbre en medidas directas
S: dispersión de los datos
2. Incertidumbre Aleatoria EA
23
Es la distancia del valor real a la que estará más probablemente un nuevo dato
Tiene las mismas unidades que el resultado
Incertidumbre en medidas directas
S: Propiedades
2. Incertidumbre Aleatoria EA
24
SI hicieramos muchos grupos de n medidas…
La media es más precisa que cualquier dato, los errores aleatorios se compensan
Pero despacio ….
Los errores de precisión no se compensan
Incertidumbre en medidas directas
Dispersión de la media
2. Incertidumbre Aleatoria EA
25
Si a es el nivel de confianza a = 0,95 p=0.05.
Ya tenemos y pero el intervalo… es pequeño y conlleva un nivel de confianza variable 4 multiplicamos por un factor corrector.
Incertidumbre en medidas directas
Factor de cobertura: t de Student
2. Incertidumbre Aleatoria EA
Para pocas medidas s=s n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar.
¿Quien fue Student ?
26
Incertidumbre en medidas directas
Coeficientes tm (m grados de libertad)
2. Incertidumbre Aleatoria EA
27
Un poco de Historia: Student
Inglaterra – Irlanda
Control de calidad industrial
Extraemos un número pequeño de muestras de un lote grande.
¿ Representan al producto ?
W. Gosset 1876-1937
28
Incertidumbre en medidas directas
Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
2. Incertidumbre Aleatoria EA
29
Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:
Incertidumbre en medidas directas
3. Incertidumbre Total
Propiedades
30
Resumen medidas directas
ES= (Media) división
mínima
31
Presentación incorrecta !
Resumen medidas directas
Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
32
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
33
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
34
Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2
35
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
Sistemáticos
Aleatorios
Derivados de los anteriores
36
Dependen de otras mediantes expresiones matemáticas
Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L = 5 ± 1 cm ® A = 25 cm2 , DA= ¿?
Incertidumbre en medidas indirectas
1. Medidas indirectas
Recordando derivadas…
37
Significado DA, DL
Válido si DL pequeño
DL
DL
L
L
Incertidumbre en medidas indirectas
2. Incertidumbres para 1 variable
Interpretación geométrica
38
Area de un rectángulo
A = L1 x L2
L1 conocido perfectamente
DL2
DL2
L1
L2
L1
Incertidumbre en medidas indirectas
3. Incertidumbres para 2 variables
Y si L1, ,L2 inciertos ?
39
Errores independientes se compensan parcialmente
DL1 x DL2
L1 x DL2
L2 x DL1
L2
L1
Incertidumbre en medidas indirectas
3. Incertidumbres para 2 variables
40
(Gp:) Derivada parcial de Y respecto a X1
Incertidumbre en medidas indirectas
4. Incertidumbres para varias variables
41
Como varía Y si varía sólo X1
EJEMPLOS
Incertidumbre en medidas indirectas
5. Derivadas parciales
42
Incertidumbre en medidas indirectas
5. Derivadas parciales: casos simples
43
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
44
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
45
Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2
46
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
Sistemáticos
Aleatorios
Derivados de los anteriores
47
Ejemplo (casi) completo I
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 3
48
Ejemplo (casi) completo II
Usando una balanza (con precisión de 50 mg) se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
49
Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
50
Ejemplo (casi) completo IV
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
51
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Redondeos.
Comparación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
52
NO tengo tanta precisión en Dr como pretendo
¿ Si tengo una incertidumbre de unidades…Por qué doy diezmilésimas en r ?
Presentación de resultados
Los resultados se presentan redondeados
53
Cifras significativas
Cifras significativas ?
Todas salvo los ceros a la izquierda
Sobreviven a un cambio de notación
Ejemplos:
54
Reglas (arbitrarias) de Redondeo
La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
El valor se expresa con tantos decimales como la incertidumbre.
Valor e incertidumbre se expresan con las mismas unidades y potencia de 10.
Redondeamos al número más cercano
Intentamos que el valor sea un número sencillo, normalmente entre 1 y 10
55
Ejemplos de Redondeo I
( 1,2564 ± 0,1 ) m ?
( 1,3 ± 0,1 ) m
( 1,2438 ± 0,168 ) m ?
( 1,24 ± 0,17) m
( 1,52 108 ± 21,68 106 ) km ?
(1,52 ± 0,22) 108 km
(1,52 ± 0,22) 1011 m
( 60506079 ± 89451 ) m ?
( 605,06 ± 0,89) 105 m
( 6,0506 ± 0,0089) 107 m
56
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Redondeos.
Comparación de resultados.
Otros tipos de medidas.
Ejercicios
57
Comparación de resultados
Compatibilidad de medidas
Precisión de medidas:
(Gp:) X1
(Gp:) X2
(Gp:) Xreal
58
Comparación de resultados
Compatibilidad de medidas
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
Son compatibles ?
59
Error relativo
Muy útil en comentarios
Muy útil para estimar si los resultados son coherentes
Definición:
Adimensional
2 cifras significativas
Ejemplo:
100 ± 25 ? d = 0.25 ? incertidumbre del 25%
60
Comparación de resultados
Resultados compatibles
Resultado más preciso.
Review of particle properties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11
61
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados / comparación.
Otras herramientas.
Media ponderada.
Interpolación.
Herramientas de cálculo
Regresión lineal.
Ejercicios
62
Media ponderada I
Varias medidas
Diferentes instrumentos y/o diferentes métodos
Errores aleatorios
63
Media ponderada II
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
¿ Cuanto mide ?
64
Media ponderada III
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
L = (98,0 ± 4,5) cm
Es un valor intermedio
Más cerca del más preciso
Incertidumbre reducida
65
Otras herramientas
Media ponderada
Interpolación lineal
Herramientas de cálculo
Regresión lineal
66
Interpolación lineal I
Objetivo: obtener la dependencia lineal entre dos puntos de valores conocidos.
Método:
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Incertidumbre asociada
67
Si despreciamos el error en los datos de la tabla …
Interpolación lineal II
68
Interpolación lineal III
Calcular la densidad del agua a (12 ± 1 ) °C
Densidad del agua destilada en función de la temperatura
69
Otras herramientas
Media ponderada
Interpolación lineal
Herramientas de cálculo:
Calculadora
Hojas de calculo: Excel, OpenOffice, etc.
Regresión lineal
70
Herramientas de cálculo I: Calculadora
71
Calculadoras
http://www.casio-europe.com/es/support/manuals/
Usar las memorias.
Modo estadístico.
Media.
Dispersión.
Regresión
72
Otras herramientas
Media ponderada
Regresión lineal
Interpolación lineal
Herramientas de cálculo
73
Unidades en los ejes
Puntos CON incertidumbres
NO se unen los puntos
Representación de la recta ajustada
Gráficas I
74
I(A)
V(10-4 V)
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
1
2
3
4
5
0.00
Gráficas II
75
Objetivo: Suponiendo que dos variables siguen una relación lineal: obtener parámetros de la recta m y c que mejor la representan, y sus incertidumbres ?m y ?c
Hipótesis:
Fijamos una variable y medimos otra ? “x” sin incertidumbre, las incertidumbres de las “y” todas iguales.
¿ Cuál es la mejor recta ? ? Mínimos cuadrados
Regresión Lineal III
76
I(A)
V(10-4 V)
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
1
2
3
4
5
(Gp:) m
0.00
(Gp:) c
y = m·x + c
Regresión Lineal II: gráficas
77
Hipótesis:
Existe una variable independiente (podemos darle los valores que queramos), X y otra dependiente Y cuyo valor nos da el experimento.
X sin incertidumbre, las incertidumbres de Y son iguales en todas las medidas.
La relación entre X e Y es lineal o se puede hacer lineal manipulando las fórmulas.
¿ Cuál es la mejor recta ? ? Mínimos cuadrados
Regresión Lineal II
78
Mínimos cuadrados:
Para cada punto calculamos la distancia del punto a la recta en la dirección del eje y ? di
Sumamos las distancias al cuadrado
La mejor recta es la que minimiza la suma S
Regresión Lineal III
79
I(A)
V(10-4 V)
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
1
2
3
4
5
(Gp:) m
0.00
(Gp:) c
y = m·x + c
Regresión Lineal : IV
d5
d2
80
¿ Cómo minimizo la suma ?:
S depende de la pendiente y c.
En el cálculo en varias variables se verá que para que S sea mínimo es necesario que:
Operando obtenemos las fórmulas del guión
Regresión Lineal V
81
Pasos:
Identificar la variable independiente y la dependiente.
Linealizar la fórmula.
Transformar los datos
Aplicar las fórmulas y calcular m y c
Calcular las incertidumbres
Comprobar el coeficiente de correlación r
Regresión Lineal VI
82
Métodos:
Fórmulas de apuntes
Calculadora (incertidumbres?)
Programas de ordenador: Excel…
Regresión Lineal IV
83
Ejemplo
Un coche viaja de Madrid a Barcelona, cada cierto tiempo el piloto mira el cuentakilómetros y apunta la lectura, obteniendo la siguiente tabla. Calcúlese la velocidad media.
84
Resolución
85
Resolución
86
Resolución
87
Resolución
88
Herramientas II: Hoja de cálculo