SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Se produce una transformación de código humano a código binario cuando el operador de una máquina desea comunicarse, y a la inversa cuando desea interpretar el resultado de un procesamiento computacional.
Codificación Humana
Traductores
Codificación Binaria
Sistemas de Numeración Posicionales
Características del Sistema Posicional:
Consta de un número finito de dígitos (símbolos) distintos, numero que define la base o raíz de cada sistema.
Cada símbolo aislado representa un número especificado de unidades.
Los símbolos pueden ordenarse en forma monótona creciente.
Formando parte de un número compuesto por varios símbolos, un mismo símbolo tiene una significación o peso distinto según la posición que ocupe
La posición extrema derecha corresponde a unidades (peso uno); a partir de ella, cada posición tiene el peso de la que está a su derecha multiplicada por la base.
El orden de una posición cambia a partir de la coma fraccionaria, creciendo a la izquierda
Mientras mas a la izquierda se encuentre el dígito, más SIGNIFICATIVO será.
Los números se construyen con una sucesión de dígitos:
D= (…..D3 D2 D1 D0, D-1 D-2 D-3…..) a cada uno debe asignarse un peso según la posición que ocupa: P= (…..p3 p2 p1 p0 ,p-1 p-2 p-3…..)
Para construir el número, hay que realizar la sumatoria de los productos entre el dígito y el peso correspondiente a la posición:
I= +?
V(x)= ? pi * xi
I=-?
El peso de cada una de las posiciones dependerá de la base “b” con que se esté trabajando Peso= bi
Esta fórmula vale tanto para las posiciones positivas como negativas. El primer lugar a la izquierda de la coma, es la posición “cero”.
Bases de Numeración mas comunes
B=10 Sistema de numeración Decimal – Dígitos 0 al 9
B= 2 Sistema de Numeración Binario – Dígitos 0 y 1
B=16 Sistema de Numeración Hexadecimal – Dígitos 0 al 9 y A;B;C;D;E;F
CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL
Los pesos de las distintas posiciones binarias serán:
…..128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1
Observar que se obtienen multiplicando por dos (base del sistema binario) la posición anterior.
Regla de Trabajo
Escribir sobre cada posición el peso que le corresponde
Sumar los pesos de las posiciones cuyos bits valen uno.
CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO
Regla Practica 1:
– Escribir sobre cada posición el peso correspondiente en binario
– Comparar el número decimal de izquierda a derecha con los pesos de las posiciones. Si no llena el peso, colocar cero en la posición, si llena (aunque sobre) el peso, colocar uno, y seguir con el sobrante de haber dejado lleno el peso de la posición. Avanzar hasta el final.
Regla Práctica 2:
– Dividir en 2 sucesivamente el número hasta que el resto sea 1 ó 0
– Formar el número binario con el último cociente y los sucesivos restos.
Conversión de decimal a digital
REPRESENTACIONES DE PARTES FRACCIONARIAS
La representación de la parte fraccionaria debe realizarse como una extensión de lo que es para la parte entera. Los pesos para cada una de las posiciones decimales serán:
B-1; B-2; B-3……
En sistema decimal, los pesos serán: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…..
En binario: 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; …….
Si se quiere pasar de decimal a cualquier sistema, se multiplica la parte decimal por la base, en forma sucesiva, colocándose como dígito de la parte fraccionaria la parte entera de la multiplicación anterior. Para continuar determinando nuevos dígitos fraccionarios, seguir repitiendo la operación para la parte fraccionaria solamente.
EN SINTESIS.…
10
16
2
? DxP
? DxP
Agrupo de a 4 y transformo
Reemplazo c/dígito por 4 binarios
PARTE ENTERA
a).Div Sucesivas
b).Mét. Pesos
PARTE ENTERA
a).Div Sucesivas
b).Mét. Pesos
PARTE FRACCIONARIA
Multiplic. Sucesivas
PARTE FRACCIONARIA
Multiplic. Sucesivas
REPRESENTACIONES SIMBÓLICAS
El ser humano es un ser simbólico, ya que puede representar realidades por símbolos, a su vez un símbolo puede representar distintas cosas.
Una sucesión de dígitos puede tener distintas significaciones. Dependerá del sistema de codificación bajo el cual debe interpretárselo.
NECESIDADES DE REPRESENTAR DISTINTAS INFORMACIONES
a) ALFANUMÉRICA: para representar números, letras, signos especiales y códigos de control
b) Numérica: Para representar números de distinto tipo:
1. Naturales
2. Enteros: pueden ser negativos o positivos
3. Racionales: Cociente entre dos números
4. Irracionales: No tienen límite en sus decimales. Son irrepresentables.
CLASIFICACION DE LAS REPRESENTACIONES
FORMATOS DE LONGITUD FIJA (Información Numérica)
Binario Puro (Números Naturales)
Signo y Módulo (Enteros)
Coma Fija Complemento a 2 (Enteros)
Complemento a 1 (Enteros)
En Exceso a M (Enteros)
Coma Flotante (Racionales e Irracionales)
FORMATOS DE LONGITUD VARIABLE
Códigos Decimales BCD Desempaquetado
(Información Numérica) Empaquetado
Códigos Alfanuméricos (ASCII, EBCDIC) (Información Alfanumérica
BINARIO PURO
Se emplea solo para números naturales. No soporta parte decimal.
V(X) = xn-1 * 2n-1 + ………+ x2 * 22+ x1 * 21 + x0 * 20
El subíndice n-1 es debido a que la primera posición es 0
Menor número en esta representación: 0
Mayor Número: 2n – 1
Limitaciones de este sistema:
1. El resultado de la suma (o producto) puede superar el rango ? Overflow
2. Como no se pueden representar números negativos, se debe verificar que el minuendo sea siempre mayor que el sustraendo.
SIGNO Y MODULO
Hay un bit destinado al signo:
Si 0 ? positivo
Si 1 ? negativo
Menor Número: – 2n-1 + 1
Mayor número : 2n-1 – 1
Si se tienen 5 bits para la representación ? 1bit para signo + 4 bits para el módulo
Limitaciones de este sistema:
1. El cero tiene una doble representación
2. Antes de realizar una suma o resta se debe operar con el signo
3. Hay posibilidades de desbordamiento
COMPLEMENTOS A LA BASE O A CUALQUIER NRO
La utilización de números con “Complemento a la base”, tiene la ventaja de convertir restas en sumas, así como representar números negativos, utilizando el mismo dispositivo sumador para positivos que para negativos.
En una computadora, cuando se opera con números enteros, se trabaja con un “número fijo” de bits.
En términos generales, obtener el complemento (CN) a la base “B”, de un número N, trabajando con un sistema de “n” dígitos, es encontrar un número, tal que:
N + CN = Bn ? CN = Bn – N
COMPLEMENTO A LA BASE MENOS UNO
Sea cualquier base en la que se esté trabajando con “n” dígitos, obtener el complemento a la base menos uno, es obtener aquel número que verifique:
Desde un punto de vista operativo, es más sencillo hallar el complemento a la base menos uno que el complemento a la base.
Para Cualquier base:
N + C´N = Bn – 1
CN = C´N + 1
RESTA MEDIANTE SUMA DEL COMPLEMENTO DEL SUSTRAENDO
Este artificio matemático se utiliza para utilizar un mismo circuito sumador para realizar sumas y restas.
Justificación: N + CN = Bn ? – N = CN – Bn
Por otra parte: CN = C´N + 1
Operativamente obtener el complemento a 2 es cambiar 0 por 1 y uno por ceros (complemento a uno) y sumarle 1. Luego restarle Bn es eliminar el arrastre.
A – N = A + CN – Bn ; se puede ver que A menos N es A mas el complemento a la base de N menos Bn (Siendo Bn el arrastre)
A – N = A + CN – Bn = A + (C´N + 1) – Bn = A + C´N – Bn + 1 :
A menos N es igual a A + el Complemento a 1 – el arrastre + 1
RANGO PARA EL COMPLEMENTO A DOS
Valores Positivos: 0 a (2n-1 –1)
Valores Negativos: -1 a (- 2n-1)
Para n= 8 bits
Menor Valor Positivo: 0 ? 00000000
Mayor Valor Positivo: 127 ? 01111111
Mayor Valor Negativo: -1 ? 11111111
Menor Valor Negativo: -128 ? 10000000
Combinaciones Posibles:
128 Positivos + 128 Negativos = 256
EN SINTESIS…
Cuando se tiene que operar con números negativos, se hace imprescindible trabajar con complemento a dos.
Para pasar un número positivo a C2, no se cambia.
Para pasar un número negativo a C2:
Se expresa en binario negativo
Se complementan con ceros los bits disponibles
Se pasa a complemento a Uno, cambiando 0 x 1 y 1 x 0
Se suma 1 al C1 para lograr el complemento a 2
Para pasar de C2 a Decimal:
Si el primer dígito es cero ? Positivo ? Convertir directamente a Decimal
Si el primer dígito es uno: ? Negativo ? Restar uno para obtener C1 ? Cambiar 1 x 0 y 0 x 1: para obtener el binario con signo negativo.
REPRESENTACIÓN EN EXCESO A M
Consiste en agregar un valor Constante M al número a representar y luego hacerlo en binario puro:
Si M= 2 (n-1)-1
Para hacer la representación de N Excedido 2 (n-1)-1 puede hacerse:
a) Si el nro es negativo: Hacer C1 y cambiar el primer bit (0 x 1 ó 1 x 0)
b) Si el nro es positivo: Hacer la suma del número + el Exceso
La Representación en Exceso a M (siempre que sean 2 (n-1) ó 2 (n-1)-1) puede trabajarse como un caso particular de C2 ó C1, de tal forma que si son números negativos, para construir los excesos se elimina la resta.
(N + M)2
REPRESENTACIONES EN PUNTO FLOTANTE
Surgen, a partir de la necesidad de representar números muy chicos y muy grandes.
m: Mantisa; Positivo o Negativo y
Comprendida entre 1 y 10
p: exponente: número entero
Este formato, permite representar gran cantidad de números, con relativamente pocos bits.
Existe un formato en la representación en punto flotante que es el más utilizado en los procesadores: IEEE 754, que representa cada número con 4 bytes (8 byte Precisión doble)de la siguiente manera:
0 1 8 9 31
1 bit 8 bits 23 bits
Nro en P. F. = ± m . 10 ±p
(Gp:) Sm Exponente Mantisa
Ejemplo: representar el número 12,37510 en coma flotante
Numero
Formato
Binario
Exponente
Exceso 127
12,37510
1100,0112
1,100011 x (10)11
310 ? 112
10000010
(Gp:) + ? 0
(Gp:) En exceso a 127
Forma 1,M
FORMATOS DE REPRESENTACIÓN DE LONGITUDES VARIABLES
REPRESENTACIONES
ALFANUMÉRICAS
“Los sistemas de codificación alfanumérica, representan cada carácter con un determinado número, de tal forma de que se pueda comparar cada uno de ellos y organizarlos alfabéticamente en sentido creciente o decreciente”.
TABLA ASCII
TABLA EBCDIC
FORMATO DECIMAL CODIFICADO EN BINARIO (BCD)
Consiste en asignar a cada dígito decimal su correspondiente codificación binaria utilizando cuatro bits.
Esta representación sirve para representar números enteros como fraccionarios, con solo definir por formato la cantidad de posiciones decimales.
Variantes en la representación
BCD
BCD Desempaquetado
BCD Empaquetado
BCD Desempaquetado
Utilizado en la entrada de datos desde periféricos: codificados como alfanuméricos con un byte para cada número: Como sobran 4 bits para cada dígito, se rellena con cuatro unos (F en hexadecimal) salvo para el dígito menos representativo que se emplea para el signo los 4 bits redundantes:
Se rellena con F los bits redundantes, ya que en EBCDIC, los números empiezan con F
F? indica positivo implícito
C? positivo explícito
D? Negativo explícito
BCD Empaquetado
Como una forma de aprovechar más que en el formato anterior, se codifican dos dígitos decimales por byte, conservando el último medio byte para el signo
Los datos empaquetados deben emplear un número entero de bytes, por lo que si el número tiene un número par de dígitos, se debe rellenar el medio byte sobrante con ceros.
Estos formatos se denominan de longitud variable, porque dependerán los bytes ocupados del tamaño del número ha definir (se define un máximo según la precisión).
La conversión de datos en BCD es inmediata, no siendo muy simples los circuitos para operar matemáticamente con ellos.
Ejemplo: Represente en codificación BCD los siguientes números:
Numero
BCD NATURAL
Repr.
BCD DESEMPAQUETADO
BCD EMPAQUETADO
0276
0000
0010
0111
0110
+ 276
+ 276
2
0010
0111
0110
1100
6
7
C
0010
0111
1100
0110
1111
1111
2
7
6
C
F
F
REPRESENTACIONES REDUNDANTES
Son aquellas que emplean más dígitos de los estrictamente necesarios para la representación, a efectos de detectar posibles fallos.
Bit de Paridad: Es un caso de representación redundante, donde se agrega un bit que contabiliza la paridad de la representación.
Regla: Si la cantidad de “unos es par”? bit de paridad 1.
Si la cantidad de “unos” es impar ? bit de paridad cero.